山西省長治市上黨好教育聯盟2023-2024學年高一上學期1月期末數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山西省長治市上黨好教育聯盟2023-2024學年高一上學期1月期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意知，則．故選：A．2.當時，的最小值為（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，則，當且僅當時，即時，等號成立，故的最小值為2．故選：C．3.函數的圖象的一個對稱中心是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由函數，令，解得，令，可得，所以函數的一個對稱中心有，其它不是對稱中心.故選：B．4.若為奇函數，則的值為（）A. B.0 C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗由函數為奇函數，可得，可得，解得，經檢驗，當時，，滿足，符合題意，所以.故選：D.5.“”是“函數的定義域為”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗由于函數的定義域為，則在上恒成立，故滿足，解得，由成立得一定成立，反之成立時，不一定成立，所以“”是“函數的定義域為”的必要不充分條件.故選：B.6.已知，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，即，解方程得或（舍）.因為，所以，，所以.故選：D.7.高斯是德國著名數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數．例如，，已知函數，則函數的值域為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗當時，；，當時，，；此時，當時，，，，故，則的值域為．故選：A．8.已知函數在區(qū)間上恰有一個最大值點與一個最小值點，則正實數的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據題意，當時，有，而函數在區(qū)間上恰有一個最大值點與一個最小值點，因此，可得．故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法中正確的是（）A.B.第一象限角都是銳角C.在半徑為2的圓中，弧度的圓心角所對的弧長為D.終邊在直線上的角的集合是〖答案〗AC〖解析〗，A正確；角也是第一象限角，不是銳角，B錯誤；在半徑為圓中，弧度的圓心角所對的弧長為，C正確；終邊在上的角的集合是，D錯誤．故選：AC.10.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗由知，，則，A正確；取滿足，此時，，BD錯誤；由，得，C正確.故選：AC.11.已知，則下列說法正確是（）A. B.C.若，則 D.若，則〖答案〗BCD〖解析〗由題意得，A錯誤，B正確；當時，，C正確；若，則，D正確．故選：BCD．12.已知正實數滿足，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗由題目可知，，當且僅當時，等號成立，故A正確；，當且僅當時，等號成立，故B錯誤；因為，則，當且僅當時，等號成立，故C正確；當時，，D錯誤.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數的定義域為________________.〖答案〗〖解析〗令，則或，解得或，所以函數的定義域為.故〖答案〗為：.14.已知函數，則不等式的解集為_____________．〖答案〗〖解析〗在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，則由得，解得，即不等式的解集為．故〖答案〗為：.15.已知函數的最大值為2，則_____________．〖答案〗6〖解析〗因為函數由與復合而成，而在定義域上單調遞增，所以當取最大值時，函數取得最大值，由二次函數的性質易知當時，，此時，所以，解得．故〖答案〗為：.16.將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，若是偶函數，則_____________．〖答案〗〖解析〗由函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則，又由是偶函數，則有，解得，因為，可得．故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17.已知命題．（1）寫出命題的否定；（2）判斷命題的真假，并說明理由．解：（1）由命題，可得命題的否定為.（2）命題為假命題，理由如下：因為，當時，，故命題為假命題．18.已知．（1）若為銳角，求的值；（2）求的值．解：（1）由，得，因為銳角，，所以，可得.（2）由得，則．19.已知，.（1）當時，求的最小值；（2）當時，求的最小值.解：（1）當時，，即，所以，即，當且僅當時等號成立，所以的最小值為9.（2）當時，，即，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為5.20.某大學科研小組自2023年元旦且開始監(jiān)測某實驗水域中綠球藻的生長面積的變化情況，并測得最初綠球藻的生長面積為（單位：），此后每隔一個月（每月月底）測量一次，一月底測得綠球藻的生長面積比最初多了，二月底測得綠球藻的生長面積為，科研小組成員發(fā)現該水域中綠球藻生長面積的增長越來越慢，綠球藻生長面積（單位：）與時間（單位：月）的關系有兩個函數模型可供選擇，一個是；另一個是，記2023年元旦最初測量時間的值為0.（1）請你判斷哪個函數模型更適合，說明理由，并求出該函數模型的〖解析〗式；（2）該水域中綠球藻生長面積在幾月底達到其最初的生長面積的7倍？解：（1）函數模型在上都是增函數，的函數值增加得越來越快，而的函數值增加得越來越慢，因為該水域中綠球藻生長面積的增長速度越來越慢，所以第二個函數模型滿足要求，由題意知，解得，所以.（2）由題意，解得，所以該水域中綠球藻生長的面積在9月底達到其最初的生長面積的7倍.21已知函數滿足.（1）求實數的值；（2）求函數的值域.解：（1），由題意有，化簡得，解得（舍去）或，故.（2）由（1）可知，所以，令（當且僅當時取等號），所以所求函數為，由函數在上單調遞增，所以，即函數的值域為.22.函數的部分圖象如圖所示，該