陜西省銅川市2024屆高三第二次質量檢測數學試題（文）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省銅川市2024屆高三第二次質量檢測數學試題（文）一?選擇題1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意知，，所以.故選：B.2.已知復數，則=（）A. B.2 C. D.3〖答案〗A〖解析〗，則.故選：A.3.從這九個數字中任取兩個，這兩個數的和為質數的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗這九個數字中任取兩個，有種取法，和為質數有，共14種情況，因此所求概率為.故選：C.4.已知一個圓柱的高不變，它的體積擴大為原來的倍，則它的側面積擴大為原來的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍〖答案〗B〖解析〗設圓柱的高為，底面半徑為，則其體積，側面積為；設體積擴大倍后的底面半徑為，則，，其側面積變?yōu)?，，即側面積擴大為原來的倍.故選：B.5.已知A，B是：上的兩個動點，P是線段的中點，若，則點P的軌跡方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為中點為P，所以，又，所以，所以點P在以C為圓心，4為半徑的圓上，其軌跡方程為.故選：C.6.已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則（）A.-2 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因為函數是定義在上的奇函數，且時，所以，故C項正確.故選：C.7.設F為拋物線的焦點，點P在拋物線上，點Q在準線l上，滿足軸．若，則（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗依題意有，則為等邊三角形，又軸，所以．故選：A．8.已知實數滿足約束條件則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由約束條件可得可行域如下圖所示，當取得最大值時，在軸截距最大，由圖象可知：當過時，軸截距最大，由得：，則，所以.故選：C.9.在遞增等比數列中，其前項和為，且是和的等差中項，則（）A.28 B.20 C.18 D.12〖答案〗A〖解析〗根據題意得，，解得或（舍），則.故選：A.10.已知函數且滿足，則的最小值為（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗由已知可得，即，所以關于對稱，故，，所以，又，所以時，取最小值．故選：A．11.已知，是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點，若為等邊三角形，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗∵為等邊三角形，∴，∴，，，中，由余弦定理有，∴，∴，∴.故選:B.12.正四棱錐內有一球與各面都相切，球的直徑與邊AB的比為，則PA與平面ABCD所成角的正切值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據正棱錐的性質，易知球心在正棱錐的高線上，設球心為O，在平面ABCD內的射影為H，，取M為BC中點，則，且.作于E，設球的半徑為r，則，，，.因為，，所以，所以，即，整理可得.連接，則，所以.因為平面，所以即為直線PA與平面ABCD所成的角，所以，PA與平面ABCD所成角的正切值為.故選：D．二?填空題13.已知向量，且，則___________.〖答案〗〖解析〗因為，，所以，又，所以，解得，所以，故.故〖答案〗為：.14.已知銳角滿足，，則__________.〖答案〗〖解析〗均為銳角，，，.故〖答案〗為：.15.已知函數在區(qū)間上不單調，則m的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由題意知，因為在區(qū)間上不單調，即在區(qū)間有零點，又，即為的零點在區(qū)間內，所以解得，即m的取值范圍是．故〖答案〗為：16.如圖所示是一系列有機物的結構簡圖，途中的“小黑點”表示原子，兩黑點間的“短線”表示化學鍵，按圖中結構第n個圖的化學鍵和原子的個數之和為______個.(用含n的代數式表示)〖答案〗〖解析〗由圖，第1個圖中有6個化學鍵和6個原子；第2個圖中有11個化學鍵和10個原子；第3個圖中有16個化學鍵和14個原子，觀察可得，后一個圖比前一個圖多5個化學鍵和4個原子，則第n個圖有個化學鍵和個原子，所以總數為.故〖答案〗為：三?解答題（一）必考題17.清明節(jié)，又稱踏青節(jié)、行清節(jié)、三月節(jié)、祭祖節(jié)等，是傳統(tǒng)的重大春祭節(jié)日，掃墓祭祀、緬懷祖先，是中華民族自古以來的優(yōu)良傳統(tǒng)．某社區(qū)進行流動人口統(tǒng)計，隨機抽取了100人了解他們今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的列聯(lián)表：回老家不回老家總計50周歲及以下5550周歲以上1540總計100（1）根據統(tǒng)計完成以上列聯(lián)表，并根據表中數據估計該社區(qū)流動人口中50周歲以上的居民今年回老家祭祖的概率；（2）能否有99.9%的把握認為回老家祭祖與年齡有關？參考公式：，其中．參考數據：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）補全表格如下：回老家不回老家總計50周歲及以下5556050周歲以上152540總計2080100該社區(qū)中50周歲以上的居民今年回老家祭祖的概率為；（2）∵，∴有99.9%的把握認為是否回老家祭祖與年齡有關．18.在中，內角的對邊分別為，，，．（1）證明：；（2）若，當A取最大值時，求的面積．（1）證明：∵，則，可得，∴，又∵，則，由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，整理得.（2）解：由（1）可得：，即，則，當且僅當，即時，取最大值，此時，則，∵，則，可得，故．19.如圖，在四棱錐中.側面⊥底面，為等邊三角形，四邊形為正方形，且.（1）若為的中點，證明：；（2）求點到平面的距離.（1）證明：取中點，連接，為等邊三角形，，四邊形為正方形，，，又平面，∴⊥平面，∴（2）解：連接，因為平面⊥底面，平面底面，⊥，所以⊥平面，因為四邊形為正方形，所以⊥，且，故，因為，，所以，由勾股定理得，設到平面的距離為，，即，解得.20.已知橢圓的離心率為，直線經過橢圓的右焦點，且與橢圓交于點.（1）求橢圓的標準方程：（2）設橢圓的左焦點為，求的內切圓的半徑最大時的值.解：（1）依題意，橢圓右焦點，即半焦距，又離心率，則，所以橢圓的標準方程為.（2）設的內切圓半徑為，而的周長為，由，得，因此的面積最大時，其內切圓半徑最大，設，由消去x得：，則，于是，令，則，，當且僅當，即時等號成立，此時，所以的內切圓的半徑最大時.21.已知，函數滿足對任意恒成立.（1）當時，求的極值；（2）求的值.解：（1）當時，，定義域，則，令，得，令，得，因此在上單調遞減，在上單調遞增，即極小值為，無極大值；（2）的定義域為.令，得；令，得；故在上單調遞減，上單調遞增，.又因為對任意，所以，解得.另一方面，等價于.設函數.令，得；令，得；所以在上單調遞增，上單調遞減，.又因為對任意，所以，即.設，，則，當時，，故.所以只能有，即的值為1.綜上，的值為1.（二）選考題選修4-4：坐標系與參數方程22.在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；（2）設直線與曲線，分別交于A，B兩點（異于極點），求線段AB長度．解：（1）曲線（為參數），消去參數得，將代入，得曲