上海市黃浦區(qū)2024屆高三上學期期中調研測試（一模）數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市黃浦區(qū)2024屆高三上學期期中調研測試（一模）數學試題一、填空題1.已知集合，則__________．〖答案〗〖解析〗集合，所以.故〖答案〗為：2.若函數為偶函數，則_______〖答案〗1〖解析〗函數，函數為偶函數，，，.3.已知復數（i為虛數單位），則滿足的復數為__________．〖答案〗〖解析〗，則，則，為，即，故〖答案〗為：.4.若雙曲線經過點，則此雙曲線的離心率為__________．〖答案〗〖解析〗因為點在雙曲線上，代入可得，解得，由曲線方程可知，故，所以雙曲線的離心率為，故〖答案〗為：5.已知向量，則向量與夾角的余弦值為__________．〖答案〗〖解析〗向量，所以向量與夾角的余弦值.故〖答案〗：6.若一個棱長為2的正方體的八個頂點在同一個球面上，則該球的體積為__________．〖答案〗〖解析〗棱長為的正方體的八個頂點在同一個球面上，則球的直徑等于正方體的對角線長，即，則該球的體積.7.某城市30天的空氣質量指數如下：29，26，28，29，38，29，26，26，40，31，35，44，33，28，80，86，65，53，70，34，36，，31，38，63，60，56，34，74，34．則這組數據的第75百分位數為__________．〖答案〗56〖解析〗顯然，30個數據由小到大排列為：26，26，26，28，28，29，29，29，31，31，33，34，34，34，35，36，38，38，40，44，，53，56，60，63，65，70，74，80，86，或者26，26，26，28，28，29，29，29，31，31，33，34，34，34，35，36，38，38，40，，44，53，56，60，63，65，70，74，80，86，由，得這組數據的第75百分位數為上述排列后的從小到大的第23個數56.故〖答案〗為：568.在中，三個內角對邊分別為，若，則的值為__________．〖答案〗〖解析〗，即，則，因為，所以，所以，所以，故〖答案〗為：.9.某校共有400名學生參加了趣味知識競賽（滿分：150分），且每位學生的競賽成績均不低于90分．將這400名學生的競賽成績分組如下：，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則這400名學生中競賽成績不低于120分的人數為__________．〖答案〗〖解析〗由頻率分布直方圖可知，解得，這400名學生中競賽成績不低于120分的人數為，故〖答案〗為：10.若是一個三角形的內角，且函數在區(qū)間上是單調函數，則的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗函數，令，解得：，令，解得：則的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，若函數在區(qū)間上單調遞增函數，則，是一個三角形的內角，，，，要使，只能令，得，且，此時，則，則，解得，是一個三角形的內角，，若函數在區(qū)間上是單調遞減函數，則，，，要使，只能令，得，且，此時，則，則，解得，與矛盾，函數在區(qū)間上是不能是單調遞減函數，綜上所述，，故〖答案〗為：.11.設是首項為3且公比為的等比數列，則滿足不等式的最小正整數的值為__________．〖答案〗25〖解析〗是首項為3且公比為的等比數列，，則，即有，當為偶數時，則，當為奇數時，為偶數，則，則，要滿足不等式，則為奇數，此時，解得：，則滿足不等式的最小正整數的值為，故〖答案〗為：25.12.若正三棱錐的底面邊長為6，高為，動點P滿足，則的最小值為__________．〖答案〗8〖解析〗設在底面的射影為，則為底面的中心，如圖，以為原點建立空間直角坐標系，由題可知，則，，,,，設，故，，，，，，設中點為，且，，設是平面的平面方程，且該平面的一個法向量為，作為與該平面的對稱點，，設，中點為，故在該平面上，面，故，，解得，，故，.故〖答案〗為：8.二、選擇題13.設，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗求解不等式可得，求解絕對值不等式可得或，據此可知：“”是“”的充分而不必要條件.本題選擇A選項.14.從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗記3名男同學為，2名女同學為，從5名同學中任選2名的結果有：，共10個，選出的2名同學中至少有1名女同學的事件含有的結果有，共7個，所以選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是.故選：B.15.若實數滿足，則必有（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗對于A，，整理可得，當且僅當取等號，故A錯誤；對于B，因為，設，則方程變?yōu)椋獾?，所以，故B錯誤；對于C，當時，代入等式成立，但，故C錯誤；對于D,由可得，整理可得，當且僅當時取等號；所以，因為，所以，故D正確；故選：D.16.在平面直角坐標系中，對于定點，記點集中距離原點O最近的點為點，此最近距離為．當點P在曲線上運動時，關于下列結論：①點的軌跡是一個圓；②的取值范圍是．正確的判斷是（）A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立C①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立〖答案〗C〖解析〗由題意知，點集表示以為中心，邊長為2且各邊均平行或垂直于坐標軸的正方形及其內部，如圖，當點P的縱坐標大于或等于1時，在上述正方形的左下頂點，如圖，此時點的軌跡方程為；當點P的縱坐標小于1時，在上述正方形的左側邊與x軸的交點，如圖，此時點的軌跡方程為，所以點的軌跡方程為，故①錯誤；記，如圖，結合圖形，則，又，所以，左側等號當且僅當依次共線時取到，右側等號當且僅當依次共線時取到，故②正確.故選：C.三、解答題17.已知等比數列是嚴格增數列，其第3、4、5項的乘積為1000，并且這三項分別乘以4、3、2后，所得三個數依次成等差數列．（1）求數列的通項公式；（2）若對任意正整數n，數列的前n項和，向量的模為，求數列的前n項和．解：（1）設數列的公比為，由分別乘以4,3,2后依然成等差數列，得，所以有，即，由，可得，解得：或，因為等比數列是嚴格增數列，所以．代入解得：，所以；（2）因為數列的前n項和，當時，，當時，，當時也滿足上式，所以．則，所以數列的前n項和為.18.如圖，平面平面，四邊形是正方形，．（1）證明：平面；（2）求二面角的正切值．（1）證明：由于，所以四邊形是等腰梯形，，所以到的距離是，所以.依題意，平面平面，四邊形是正方形，由此以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，，設平面的法向量為，則，故可設.，由于，所以，所以平面.（2）解：平面的一個法向量為，，，設平面的法向量為，則，故可設，設二面角為，由圖可知為銳角，則，則，所以.19.某公園的一個角形區(qū)域如圖所示，其中．現擬用長度為100米的隔離檔板（折線）與部分圍墻（折線）圍成一個花卉育苗區(qū)，要求滿足．（1）設，試用表示；（2）為使花卉育苗區(qū)的面積最大，應如何設計？請說明理由．解：（1），，，，，設,，則,，則，，則，則，即，即則，則，則則則，則，則，則，則，則，即，即，即.（2）設，由（1）得，則，，，，，，，要使花卉育苗區(qū)的面積最大，則，即，故當,時，花卉育苗區(qū)的面積最大，最大為.20.設a為實數，是以點為頂點，以點為焦點的拋物線，是以點為圓心、半徑為1的圓位于y軸右側且在直線下方的部分．（1）求與的方程；（2）若直線被所截得的線段的中點在上，求a的值；（3）是否存在a，滿足：在的上方，且有兩條不同的切線被所截得的線段長相等？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．解：（1）設，則，解得，故，依題意有.（2）設被所截得的線段為，中點為，聯立和有，故，故，代入得：，解得.（3）如圖，在的上方時，拋物線和圓無交點，聯立和有且，解得，顯然，切線斜率存在，設切線方程為，由為四分之一圓知，又圓心到切線的距離等于半徑：，故，切線方程為，與聯立得，設被所截得的線段為，則，，記，則，，記，則，依題意有：對給定的，使得和有兩個交點，由知使即可，否則在上單調，不存在使得，而，故只需，解得，綜上所述：.21.設函數與的定義域均為，若存在，滿足且，則稱函數與“局部趨同”．（1）判斷函數與是否“局部趨同”，并說明理由；（2）已知函數．求證：對任意的正數，都存在正數，使得函數與“局部趨同”；（3）對于給定的實數，若存在實數，使得函數與“局部趨同”，求實數的取值范圍．（1）解：得，，令，解得：，，且，即不存在，滿足且，則函數與不是“局部趨同”；（2）證明：函數，則，若函數與“局部趨同”，則存在，滿足且，即，且，則若有解，存在正數，都存在，滿足且，即對任意的正數，都存在正數，使得函數與“局部趨同”，即，其，即有解，設方