2024屆湖北省黃岡市新聯(lián)考高三第三次測評數(shù)學試卷含解析

2024屆湖北省黃岡市新聯(lián)考高三第三次測評數(shù)學試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線的漸近線方程為()A． B．C． D．2．將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案種數(shù)是()A．18種 B．36種 C．54種 D．72種3．已知雙曲線的一個焦點為，點是的一條漸近線上關于原點對稱的兩點，以為直徑的圓過且交的左支于兩點，若，的面積為8，則的漸近線方程為（）A． B．C． D．4．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P、Q兩點，且∠POQ＝120°(其中O為坐標原點)，則k的值為()A． B． C．或－ D．和－5．等差數(shù)列中，已知，且，則數(shù)列的前項和中最小的是（）A．或 B． C． D．6．已知向量，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．7．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A． B． C． D．8．設過拋物線上任意一點(異于原點)的直線與拋物線交于兩點，直線與拋物線的另一個交點為，則（）A． B． C． D．9．在中，，則=（）A． B．C． D．10．若，則下列關系式正確的個數(shù)是（）①②③④A．1 B．2 C．3 D．411．已知表示兩條不同的直線，表示兩個不同的平面，且則“”是“”的()條件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要12．如圖，四面體中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小為，若四面體的頂點都在球上，則球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，滿足，則的展開式中的系數(shù)為______.14．如圖，已知一塊半徑為2的殘缺的半圓形材料，O為半圓的圓心，，殘缺部分位于過點C的豎直線的右側，現(xiàn)要在這塊材料上裁出一個直角三角形，若該直角三角形一條邊在上，則裁出三角形面積的最大值為______.15．如圖，直線是曲線在處的切線，則________.16．（5分）如圖是一個算法的流程圖，若輸出的值是，則輸入的值為____________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知矩陣，且二階矩陣M滿足AMB，求M的特征值及屬于各特征值的一個特征向量.18．（12分）已知A是拋物線E：y2＝2px(p>0)上的一點，以點A和點B(2,0)為直徑兩端點的圓C交直線x＝1于M，N兩點.（1）若|MN|＝2，求拋物線E的方程；（2）若0＜p＜1，拋物線E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點為P，Q，點G為PQ的中點，O為坐標原點，求直線OG斜率的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）設.若在上恒成立，求實數(shù)的最大值.20．（12分）已知橢圓：（），點是的左頂點，點為上一點，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設過點的直線與的另一個交點為（異于點），是否存在直線，使得以為直徑的圓經過點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.21．（12分）已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和．22．（10分）中的內角，，的對邊分別是，，，若，.（1）求；（2）若，點為邊上一點，且，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

將雙曲線方程化為標準方程為，其漸近線方程為，化簡整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得，則其漸近線方程為，整理得.故選：A【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單性質的應用.2、B【解析】

把4名大學生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【詳解】把4名大學生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，則不同的分配方案有種.故選：.【點睛】本題考查排列組合，屬于基礎題.3、B【解析】

由雙曲線的對稱性可得即，又，從而可得的漸近線方程.【詳解】設雙曲線的另一個焦點為，由雙曲線的對稱性，四邊形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，，所以，的漸近線方程為.故選B【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質，考查直線與圓的位置關系，考查數(shù)形結合思想與計算能力，屬于中檔題.4、C【解析】

直線過定點，直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點，且∠POQ=120°（其中O為原點），可以發(fā)現(xiàn)∠QOx的大小，求得結果．【詳解】如圖，直線過定點（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，?∠1=120°，∠2=60°，∴由對稱性可知k=±．故選C．【點睛】本題考查過定點的直線系問題，以及直線和圓的位置關系，是基礎題．5、C【解析】

設公差為，則由題意可得，解得，可得.令

，可得

當時，，當時，，由此可得數(shù)列前項和中最小的.【詳解】解：等差數(shù)列中，已知，且，設公差為，

則，解得

，.

令

，可得，故當時，，當時，，

故數(shù)列前項和中最小的是.故選：C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質，等差數(shù)列的通項公式的應用，屬于中檔題.6、A【解析】

投影即為，利用數(shù)量積運算即可得到結論.【詳解】設向量與向量的夾角為，由題意，得，，所以，向量在向量方向上的投影為.故選：A.【點睛】本題主要考察了向量的數(shù)量積運算，難度不大，屬于基礎題.7、C【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎題.8、C【解析】

畫出圖形，將三角形面積比轉為線段長度比，進而轉為坐標的表達式。寫出直線方程，再聯(lián)立方程組，求得交點坐標，最后代入坐標，求得三角形面積比.【詳解】作圖，設與的夾角為，則中邊上的高與中邊上的高之比為，，設，則直線，即，與聯(lián)立，解得，從而得到面積比為.故選：【點睛】解決本題主要在于將面積比轉化為線段長的比例關系，進而聯(lián)立方程組求解，是一道不錯的綜合題.9、B【解析】

在上分別取點,使得,可知為平行四邊形，從而可得到，即可得到答案．【詳解】如下圖，，在上分別取點,使得,則為平行四邊形，故,故答案為B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，考查了學生邏輯推理能力，屬于基礎題．10、D【解析】

a，b可看成是與和交點的橫坐標，畫出圖象，數(shù)形結合處理.【詳解】令，，作出圖象如圖，由，的圖象可知，，，②正確；，，有，①正確；，，有，③正確；，，有，④正確.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學生數(shù)形結合的思想，是一道中檔題.11、B【解析】

根據(jù)充分必要條件的概念進行判斷.【詳解】對于充分性：若，則可以平行，相交，異面，故充分性不成立；若，則可得，必要性成立.故選：B【點睛】本題主要考查空間中線線，線面，面面的位置關系，以及充要條件的判斷，考查學生綜合運用知識的能力.解決充要條件判斷問題，關鍵是要弄清楚誰是條件，誰是結論.12、B【解析】

分別取、的中點、，連接、、，利用二面角的定義轉化二面角的平面角為，然后分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，在中計算出，再利用勾股定理計算出，即可得出球的半徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案．【詳解】如下圖所示，分別取、的中點、，連接、、，由于是以為直角等腰直角三角形，為的中點，，，且、分別為、的中點，所以，，所以，，所以二面角的平面角為，，則，且，所以，，，是以為直角的等腰直角三角形，所以，的外心為點，同理可知，的外心為點，分別過點作平面的垂線與過點作平面的垂線交于點，則點在平面內，如下圖所示，由圖形可知，，在中，，，所以，，所以，球的半徑為，因此，球的表面積為.故選：B.【點睛】本題考查球體的表面積，考查二面角的定義，解決本題的關鍵在于找出球心的位置，同時考查了計算能力，屬于中等題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

根據(jù)二項式定理求出，然后再由二項式定理或多項式的乘法法則結合組合的知識求得系數(shù)．【詳解】由題意，．∴的展開式中的系數(shù)為．故答案為：1．【點睛】本題考查二項式定理，掌握二項式定理的應用是解題關鍵．14、【解析】

分兩種情況討論：（1）斜邊在BC上，設，則，（2）若在若一條直角邊在上，設，則，進一步利用導數(shù)的應用和三角函數(shù)關系式恒等變形和函數(shù)單調性即可求出最大值.【詳解】（1）斜邊在上，設，則，則，，從而.當時，此時，符合.（2）若一條直角邊在上，設，則，則，，由知.，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，.當，即時，最大.故答案為：.【點睛】此題考查實際問題中導數(shù)，三角函數(shù)和函數(shù)單調性的綜合應用，注意分類討論把所有情況考慮完全，屬于一般性題目.15、.【解析】

求出切線的斜率，即可求出結論.【詳解】由圖可知直線過點，可求出直線的斜率，由導數(shù)的幾何意義可知，.故答案為:.【點睛】本題考查導數(shù)與曲線的切線的幾何意義，屬于基礎題.16、或【解析】

依題意，當時，由，即，解得；當時，由，解得或(舍去)．綜上，得或．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、特征值為1，特征向量為．【解析】

設出矩陣M結合矩陣運算和矩陣相等的條件可求矩陣M，然后利用可求特征值的另一個特征向量.【詳解】設矩陣M＝，則AM＝，所以，解得，所以M＝，則矩陣M的特征方程為，解得，即特征值為1，設特征值的特征向量為，則，即，解得x＝0，所以屬于特征值的的一個特征向量為．【點睛】本題主要考查矩陣的運算及特征量的求解，矩陣運算的關鍵是明確其運算規(guī)則，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).18、（1）.（2）【解析】

（1）設A的坐標為A（x0，y0），由題意可得圓心C的坐標，求出C到直線x＝1的距離.由半個弦長，圓心到直線的距離及半徑構成直角三角形可得p的值，進而求出拋物線的方程；（2）將拋物線的方程與圓的方程聯(lián)立可得韋達定理，進而求出中點G的坐標，再求出直線OG的斜率的表達式，換元可得斜率的取值范圍.【詳解】（1）設A（x0，y0）且y02＝2px0，則圓心C（），圓C的直徑|AB|，圓心C到直線x＝1的距離d＝|1|＝||，因為|MN|＝2，所以（）2+d2＝（）2，即1，y02＝2px0，整理可得（2p﹣4）x0＝0，所以p＝2，所以拋物線的方程為：y2＝4x；（2）聯(lián)立拋物線與圓的方程整理可得x2﹣2（5﹣p）x+16＝0，△＞0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2＝2（5﹣p），x1x2＝16，所以中點G的橫坐標xG＝5﹣p，yG（），所以kOG（0＜P＜1），令t＝5﹣p（t∈（4，5）），則kOG（），解得0＜kOG，所以直線OG斜率的取值范圍（0，）.【點睛】本題考查拋物線的性質及直線與拋物線的綜合，換元方法的應用，屬于中檔題.19、（Ⅰ）單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域以及導數(shù)，利用導數(shù)可求出該函數(shù)的單調遞增區(qū)間和單調遞減區(qū)間；（Ⅱ）由題意可知在上恒成立，分和兩種情況討論，在時，構造函數(shù)，利用導數(shù)證明出在上恒成立；在時，經過分析得出，然后構造函數(shù)，利用導數(shù)證明出在上恒成立，由此得出，進而可得出實數(shù)的最大值.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為.當時，.令，解得（舍去），.當時，，所以，函數(shù)在上單調遞減；當時，，所以，函數(shù)在上單調遞增.因此，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（Ⅱ）由題意，可知在上恒成立.（i）若，，，，構造函數(shù)，，則，，，.又，在上恒成立.所以，函數(shù)在上單調遞增，當時，在上恒成立.（ii）若，構造函數(shù)，.，所以，函數(shù)在上單調遞增.恒成立，即，，即.由題意，知在上恒成立.在上恒成立.由（Ⅰ）可知，又，當，即時，函數(shù)在上單調遞減，，不合題意，，即.此時構造函數(shù)，.，，，，恒成立，所以，函數(shù)在上單調遞增，恒成立.綜上，實數(shù)的最大值為【點睛】本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)的單調區(qū)間，同時也考查了利用導數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題，本題的難點在于不斷構造新函數(shù)來求解，考查推理能力與運算求解能力，屬于難題.20、（1）；（2）存在，【解析】

（1）把點代入橢圓C的方程，再結合離心率，可得a,b,c的關系，可得橢圓的方程；（2）設出直線的方程，代入橢圓，運用韋達定理可求得點的坐標，再由，可求得直線的方程,要注意檢驗直線是