第10招旋轉(zhuǎn)問(wèn)題中作輔助線的技巧課件人教版九年級(jí)上冊(cè)極速提分法

第10招旋轉(zhuǎn)問(wèn)題中作輔助線的技巧九年級(jí)數(shù)學(xué)（上）極速提分法如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠B＋∠ADC＝180°，對(duì)角線AC＝m，求四邊形ABCD的面積．

例解題方法：此四邊形不是特殊的四邊形，要求面積通常需要將圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則的圖形求解．解：將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ADE，如圖．則AC＝AE，∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE.∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠ADE＋∠ADC＝180°.∴點(diǎn)C，D，E在同一條直線上．∵∠BAD＝60°，∠BAC＝∠DAE，∴∠CAE＝60°.

又∵AE＝AC，∴△AEC是等邊三角形．技巧1利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)成等腰三角形1.【問(wèn)題提出】如圖①，四邊形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四邊形ABCD的面積．【嘗試解決】旋轉(zhuǎn)是一種重要的圖形變換，當(dāng)圖形中有一組鄰邊相等時(shí)，往往可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)解決問(wèn)題．

(1)如圖②，連接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°，因此可將△DCB繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DAB′，則△BDB′的形狀是__________；等邊三角形【點(diǎn)撥】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD＝B′D，旋轉(zhuǎn)角∠BDB′＝60°，∠DAB′＝∠C.又∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠BAD＋∠C＝180°，∴∠BAD＋∠DAB′＝180°，即點(diǎn)B，A，B′三點(diǎn)共線，∴△BDB′是等邊三角形．(2)在(1)的基礎(chǔ)上，求四邊形ABCD的面積；解：由(1)知，△BCD≌△B′AD，∴S四邊形ABCD＝S△BDB′，AB′＝BC＝1，∴BB′＝AB＋AB′＝2＋1＝3.∵△BDB′是等邊三角形，∴BD＝BB′＝3.解：如圖②，連接BD，由于AD＝CD，∠ADC＝60°，因此可將△BCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△B′AD，連接BB′，過(guò)點(diǎn)B′作B′E⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△BCD≌△B′AD，∴S四邊形ABCD＝S四邊形BDB′A.∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，∴∠BCD＋∠BAD＝360°－∠ABC－∠ADC＝360°－75°－60°＝225°，∴∠B′AD＋∠BAD＝∠BCD＋∠BAD＝225°，∴∠BAB′＝360°－(∠B′AD＋∠BAD)＝360°－225°＝135°，∴∠B′AE＝180°－∠BAB′＝180°－135°＝45°，∴△B′EA是等腰直角三角形．技巧2利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)成等邊三角形解：如圖，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BDA，連接PD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，BD＝PB＝4，AD＝PC＝3，∠BPC＝∠BDA，∠DBP＝∠ABC＝60°，∴△BDP是等邊三角形，∴PD＝PB＝4，∠BDP＝60°.∵AD2＋DP2＝32＋42＝25，PA2＝52＝25，∴AD2＋DP2＝PA2，∴△ADP是直角三角形，且∠ADP＝90°，∴∠BDA＝∠BDP＋∠ADP＝60°＋90°＝150°，∴∠BPC＝∠BDA＝150°.【點(diǎn)方法】利用旋轉(zhuǎn)作輔助線構(gòu)造出直角三角形和等邊三角形是解本題的關(guān)鍵．3.(1)如圖①，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，小明同學(xué)的方法是將△ABE繞點(diǎn)A