2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第7章立體幾何第5講空間向量及其運(yùn)算課件

第五講空間向量及其運(yùn)算知識梳理·雙基自測知

識

梳

理知識點(diǎn)一空間向量的有關(guān)概念1．空間向量的有關(guān)概念(1)空間向量：在空間中，具有________和________的量叫做空間向量，其大小叫做向量的________或______.(2)零向量：長度為______的向量，記作0；零向量與任意向量共線，0∥a；單位向量：模為______的向量；相反向量：與向量a長度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a；相等向量：方向________且模________的向量．大小方向長度模01相同相等(3)共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線________或________，則這些向量叫做____________或____________.(4)共面向量：平行于同一________的向量叫做共面向量．平行重合共線向量平行向量平面2．空間向量中的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b?存在唯一確定的λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個基底．3．空間向量的數(shù)量積及運(yùn)算律向量a，b的數(shù)量積a·b＝__________________.〈a，b〉0≤〈a，b〉≤π互相垂直|a||b|cos〈a，b〉(2)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；交換律：a·b＝b·a；分配律：a·(b＋c)＝__________________.a·b＋a·c知識點(diǎn)二空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．則

向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b________________________共線a＝λb(b≠0)__________________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)_____________________模|a|__________________夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝_____________________a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝0知識點(diǎn)三兩個重要的向量1．直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線的方向向量有________個．2．平面的法向量直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面α的法向量．顯然一個平面的法向量有________個，它們是共線向量．無數(shù)無數(shù)知識點(diǎn)四空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?m·n＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α、β的法向量分別為n、mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0歸

納

拓

展1．向量三點(diǎn)共線定理2．向量四點(diǎn)共面定理3．|a|2＝a·a；|a·b|≤|a|·|b|.4．a(chǎn)·b>0?a、b的夾角為銳角或0角．即“a·b>0”是“a、b的夾角為銳角”的必要不充分條件．5．向量法證明空間的線面平行或垂直雙

基

自

測題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)空間中任意兩個非零向量a，b共面．(

)(2)在向量的數(shù)量積運(yùn)算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(

)(3)對于非零向量b，由a·b＝b·c，則a＝c.(

)(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同．(

)(5)平面的單位法向量是唯一確定的．(

)(6)若兩平面的法向量垂直，則兩平面垂直．(

)√××××√題組二走進(jìn)教材D[解析]

∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，M為A1C1的中點(diǎn)，3．(選擇性必修1P14T2)(2023·河南駐馬店模擬)在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(

)A題組三走向高考4．(多選題)(2021·全國新高考Ⅱ)如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)，則滿足MN⊥OP的是(

)BC[解析]

不妨設(shè)正方體棱長為2，對于A，BD考點(diǎn)突破·互動探究空間向量的線性運(yùn)算——自主練透2．(多選題)在四面體P－ABC中，以下說法正確的有(

)ABC名師點(diǎn)撥：用已知向量表示某一向量的方法用已知不共面的向量表示某一向量時，應(yīng)結(jié)合圖形，將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則，把所求向量用已知向量表示出來．【變式訓(xùn)練】A空間向量共線、共面定理的應(yīng)用——師生共研(2)當(dāng)k＝0時，點(diǎn)M、A重合，點(diǎn)N、B重合，MN在平面ABB1A1內(nèi)，當(dāng)0<k≤1時，MN不在平面ABB1A1內(nèi)，A．2 B．－2C．1 D．－1D名師點(diǎn)撥：1．證明空間三點(diǎn)P、A、B共線的方法2．證明空間四點(diǎn)共面的方法對空間四點(diǎn)P，M，A，B可通過證明下列結(jié)論成立來證明四點(diǎn)共面．【變式訓(xùn)練】C空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用——師生共研1.如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長；(2)求BD1與AC所成角的余弦值．BA名師點(diǎn)撥：空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【變式訓(xùn)練】(2023·河南駐馬店期末)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，CD⊥平面PAD.AB＝6，∠BAD＝60°，PC＝AD＝2PD＝2BC＝4，則異面直線PA與BC所成角的余弦值為(

)D利用向量證明(判斷)空間的平行與垂直——師生共研(2023·山東青島膠州實驗學(xué)校期中)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1，平面PAD⊥平面ABCD，E為AD的中點(diǎn)．(1)求證：PA⊥BD；(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)G，使得直線BC∥平面PEG？若存在，請證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．[解析]

(1)證明：取BA的中點(diǎn)H，連EH，在梯形ABCD中，由題意易知EH⊥AD，∵PA＝PD，E為AD的中點(diǎn)，∴PE⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥EH，PE⊥AD，∴AE、EH、EP兩兩垂直，名師點(diǎn)撥：1．建立空間直角坐標(biāo)系時盡可能地利用圖形中的垂直關(guān)系，要準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而確定向量的坐標(biāo)．2．用向量法證平行問題的類型及常用方法線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直②證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行③證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量表示面面平行①證明兩平面的法向量平行(即為共線向量)②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題3.利用向量法證垂直問題的類型及常用方法線線垂直問題證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直問題直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直面面垂直問題兩個平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直【變式訓(xùn)練】如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn)．(1)求證：平面A1B1D⊥平面ABD；(2)求證：平面EGF∥平面ABD.[證明]

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(xiàn)(0,1,4)．又GF?平面ABD，AB?平面ABD，∴GF∥平面ABD，同理EF∥平面ABD，又GF∩EF＝F，GF?平面EGF，EF?平面EGF，∴平面EGF∥平面ABD.名師講壇·素養(yǎng)提升空間幾何體建系策略建系的原則：關(guān)注圖形對稱性，使求解問題相關(guān)的元素盡可能多的落在坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面上，以便于確定點(diǎn)或向量的坐標(biāo)，簡化后續(xù)計算，注意構(gòu)建右手系．建系的技巧：1．利用共點(diǎn)且兩兩垂直的三條直線建系(即“墻角”型)——分別以三條直線所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．當(dāng)條件不明顯時，要先證明過一點(diǎn)的三條直線兩兩垂直(即一個線面垂直＋面內(nèi)兩條線垂直)，這個過程不能?。ㄏ岛髮ψ鴺?biāo)不易確定的點(diǎn)，通常是先設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，再選取向量，利用向量關(guān)系解出變量的值來確定．常見類型：2．利用線面垂直關(guān)系建系——常以此直線或與此直線平行的直線為z軸，在垂面內(nèi)找到x軸，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系．(面面垂直或知某點(diǎn)在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為線面垂直問題)證明：PC⊥平面BED.注：本題也可以分別以O(shè)C、OD所在直線為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系，或分別以AB、PA所在直線為x軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．3．利用正棱錐(或正棱臺或正棱柱)底面中心和高所在直線建系；4．無線面垂直關(guān)系，但某一平面內(nèi)有兩條垂直直線——常以這兩直線為兩坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系．

如圖，已知四棱錐P－ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB＝2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系并求出各點(diǎn)坐標(biāo)．

[解析]

解法一：取AD中點(diǎn)O，連接BO，PO