2025屆新高三數(shù)學精準沖刺復習平面向量及其應用

2025屆新高三數(shù)學精準沖刺復習

平面向量及其應用

010203目錄CONTENTS思維導圖知識梳理典型例題01思維導圖思維導圖02知識梳理知識梳理1.向量的有關概念(1)向量：既有大小又有

的量叫做向量，向量的大小叫做向量的__________.(2)零向量：長度為

的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于

長度的向量.(4)平行向量：方向相同或

的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行.(5)相等向量：長度相等且方向

的向量.(6)相反向量：長度相等且方向

的向量.方向長度(或模)01個單位相反相同相反知識梳理向量運算法則(或幾何意義)運算律加法

交換律：a＋b＝_______；結合律：(a＋b)＋c＝_________2.向量的線性運算b＋aa＋(b＋c)知識梳理減法

a－b＝a＋(－b)數(shù)乘|λ

a|＝_______，當λ>0時，λa的方向與a的方向

；當λ<0時，λa的方向與a的方向

；當λ＝0時，λa＝___λ(μ

a)＝_______；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝________|λ||a|相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb知識梳理3.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使得________.b＝λa4.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個

向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，

一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝____________.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個_______.5.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個

的向量，叫做把向量作正交分解.不共線有且只有基底互相垂直λ1e1＋λ2e2知識梳理6.平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝

，a－b＝

，λa＝

，|a|＝_________.(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

＝

，||＝___________________.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)知識梳理7.平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?

.x1y2－x2y1＝08.向量的夾角已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作

則________＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.9.平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量__________叫做向量a與b的數(shù)量積，記作_____.∠AOB|a||b|cosθa·b知識梳理投影投影向量|a|cosθ

e知識梳理11.向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).(3)(a＋b)·c＝_________.a·c＋b·c知識梳理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容

＝

＝

＝2Ra2＝

；b2＝

；c2＝_________________12.正弦定理與余弦定理b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC知識梳理變形(1)a＝2RsinA，b＝

，c＝

；(2)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝_____________；cosB＝____________；cosC＝____________2RsinB2RsinC知識梳理13.三角形中常用的面積公式知識梳理術語名稱術語意義圖形表示仰角與俯角在目標視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角

方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角.方位角θ的范圍是0°≤θ<360°

14.測量中的幾個有關術語知識梳理方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：

(2)南偏西α：

坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即i＝

＝tanθ

03典型例題

題型一：向量的線性運算

題型一：向量的線性運算

題型一：向量的線性運算

題型二：向量的數(shù)量積運算、夾角、模長

題型二：向量的數(shù)量積運算、夾角、模長

題型二：向量的數(shù)量積運算、夾角、模長

題型三：向量范圍與最值問題

題型三：向量范圍與最值問題

題型三：向量范圍與最值問題

題型四：余弦定理、正弦定理

題型四：余弦定理、正弦定理

題型四：余弦定理、正弦定理

題型五：平面向量的實際應用

題型五：平面向量的實際應用

題型五：平面向量的實際應用

題型六：解三角形范圍與最值問題

題型六：解三角形范圍與最值問題

題型