2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國(guó)版）第24講 特殊四邊形-菱形（講義）（原卷版）

第24講特殊四邊形-菱形目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識(shí)建構(gòu)考點(diǎn)一菱形的性質(zhì)與判定題型01利用菱形的性質(zhì)求角度題型02利用菱形的性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)題型03利用菱形的性質(zhì)求周長(zhǎng)題型04利用矩形的性質(zhì)求面積題型05利用矩形的性質(zhì)求坐標(biāo)題型06利用矩形的性質(zhì)證明題型07添加一個(gè)條件證明四邊形是菱形題型08證明四邊形是菱形題型09根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度題型10根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線(xiàn)段長(zhǎng)題型11根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積題型12根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題題型13與菱形有關(guān)的新定義問(wèn)題題型14與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題題型15與菱形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題題型16菱形與一次函數(shù)綜合題型17菱形與反比例函數(shù)綜合題型18菱形與一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合題型19菱形與二次函數(shù)綜合考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)菱形的性質(zhì)與判定探索并證明菱形的性質(zhì)定理.探索并證明菱形的判定定理.菱形是特殊平行四邊形中比較重要的圖形，也是幾何圖形中難度比較大的幾個(gè)圖形之一，年年都會(huì)考查，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn).菱形的考察類(lèi)型比較多樣，其中選擇、填空題?？疾炝庑蔚幕拘再|(zhì)，解答題中考查菱形的性質(zhì)和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動(dòng)態(tài)問(wèn)題綜合應(yīng)用的可能性比較大．考點(diǎn)一菱形的性質(zhì)與判定菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形的性質(zhì)：1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）四條邊都相等；3）兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直，且每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角.4）菱形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形，菱形的對(duì)稱(chēng)中心是菱形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，菱形的對(duì)稱(chēng)軸是菱形對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)，菱形的對(duì)稱(chēng)軸過(guò)菱形的對(duì)稱(chēng)中心.菱形的判定：1）A對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.A2）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.3）四條邊相等的四邊形是菱形.【解題思路】判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，可先說(shuō)明它是平行四邊形，再說(shuō)明它的一組鄰邊相等或它的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，也可直接說(shuō)明它的四條邊都相等或它的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分．菱形的面積公式：S=ah=對(duì)角線(xiàn)乘積的一半（其中a為邊長(zhǎng)，h為高）.菱形的周長(zhǎng)公式：周長(zhǎng)l=4a（其中a為邊長(zhǎng)）.1.對(duì)于1.對(duì)于菱形的定義要注意兩點(diǎn):a.是平行四邊形;b.一組鄰邊相等.2.定義說(shuō)有一組鄰邊相等的平行四邊形才是菱形,不要錯(cuò)誤地理解為有一組鄰邊相等的四邊形是菱形.3.菱形的面積S=對(duì)角線(xiàn)乘積的一半，適用于對(duì)角線(xiàn)互相垂直的任意四邊形的面積的計(jì)算.4.在求菱形面積時(shí),要根據(jù)圖形特點(diǎn)及已知條體靈活選擇面積公式來(lái)解決問(wèn)題，5.在利用對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)求菱形的面積時(shí),要特別注意不要漏掉計(jì)算公式中的12題型01利用菱形的性質(zhì)求角度【例1】（2022·河北石家莊·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，菱形ABCD中，∠1=15°，則∠D=（

A．115° B．150° C．125° D．130°【變式1-1】（2023·陜西西安·一模）如圖，將菱形紙片沿著線(xiàn)段AB剪成兩個(gè)全等的圖形，則∠1的度數(shù)是（

）A．40° B．60° C．80° D．100°【變式1-2】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，菱形ABCD中，以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交BC,CD于點(diǎn)E，F(xiàn)．若∠EAF=60°，則

【變式1-3】（2020·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考二模）如圖，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，連接OE，若∠ABC=124°，則∠OED=度．【變式1-4】（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，∠CBD=75，分別以A、B為圓心，大于AB的一半長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在AB的兩側(cè)分別交于點(diǎn)P、Q，作直線(xiàn)PQ交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，連接BF，求題型02利用菱形的性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)【例2】（2022·安徽·合肥38中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖在菱形ABCD中，AD=12，對(duì)角線(xiàn)AC和BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OD和OC的中點(diǎn)，AE與BF交于點(diǎn)G，則EF的長(zhǎng)為．

【變式2-1】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知菱形的一個(gè)內(nèi)角為60°，一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為43，則另一條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為【變式2-2】（2022·湖南長(zhǎng)沙·?？级＃┤鐖D，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為5的菱形，對(duì)角線(xiàn)AC，BD的長(zhǎng)度分別是一元二次方程x2-2m+1x+8m

【變式2-3】（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在菱形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線(xiàn)段OD上，連接CE，若BE=CD=2DE，

【變式2-4】（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC=2，BD=1，AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CE交CE于點(diǎn)F

題型03利用菱形的性質(zhì)求周長(zhǎng)【例3】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于O，CE∥BD，DE∥AC，若AB=6，AD=8，則四邊形

A．10 B．20 C．28 D．30【變式3-1】（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在坐標(biāo)軸上，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,3，∠D=60°，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（

A．13 B．14 C．15 D．8【變式3-2】（2023·河南商丘·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，CD的中點(diǎn)，EF=4，F(xiàn)G=3，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為（A．12 B．16 C．18 D．20【變式3-3】（2023·湖南永州·?？级＃┤鐖D，在菱形ABCD中，M、N分別為AB、AC的中點(diǎn)，若MN=3

【變式3-4】（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，

(1)求證：AC⊥(2)若EF=6，tan∠AEF題型04利用矩形的性質(zhì)求面積【例4】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）一個(gè)菱形的周長(zhǎng)是20，兩條對(duì)角線(xiàn)的比是4:3，則這個(gè)菱形的面積是（

）A．12 B．96 C．48 D．24【變式4-1】（2023·青海海東·統(tǒng)考三模）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，若OA=6，OH=4，則菱形ABCD的面積為（

）A．72 B．48 C．24 D．9【變式4-2】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知菱形ABCD的周長(zhǎng)為24，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，且AC+BD=16【變式4-3】（2022·福建龍巖·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，菱形ABCD中，∠CBA=60°，其中一條對(duì)角線(xiàn)AC=6cm

題型05利用矩形的性質(zhì)求坐標(biāo)【例5】（2022·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是菱形ABCD對(duì)角線(xiàn)BD的中點(diǎn)，AD∥x軸且AD=4，∠A=60°，將菱形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在x軸正半軸上，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)

A．0，23 B．2，-4【變式5-1】（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)校考一模）如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)D在x軸上，頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(0，2)，(4，4)，則點(diǎn)

A．(4，2) B．(6,2) C．(6,4) D【變式5-2】（2023·河南周口·淮陽(yáng)第一高級(jí)中學(xué)?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A-3,3，C1,-1，對(duì)角線(xiàn)BD交AC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，若BN=2ND

A．32,72 B．2,22 C．（4，2【變式5-3】（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考三模）菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，已知頂點(diǎn)A8,0，點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠AOC=60°，當(dāng)PAA．6,23 B．6,433 C．【變式5-4】（2023·天津紅橋·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD為菱形，點(diǎn)A-3,0，點(diǎn)D0,4，點(diǎn)B在x

A．5,4 B．4,5 C．4,3 D．3,4【變式5-5】（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為4,0，點(diǎn)B、C在第一象限,∠AOC=60°，求點(diǎn)

題型06利用矩形的性質(zhì)證明【例6】（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形ABCD中，E,F是對(duì)角線(xiàn)AC上的兩點(diǎn)，且AE(1)求證：△ADE(2)證明四邊形BEDF是菱形．【變式6-1】（2023·山西·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形ABCD中，AC是對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn)E是線(xiàn)段AC延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，在線(xiàn)段CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取AF=CE，連接DF，BF，DE，BE．試判斷四邊形【變式6-2】（2024上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)統(tǒng)考期末）【操作探究】已知：在菱形ABCD中，點(diǎn)M在直線(xiàn)BD上，過(guò)M作AC的平行線(xiàn)交直線(xiàn)AD于點(diǎn)E，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)F．(1)【舉例感知】如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段BD上時(shí)，求證：AC=(2)【類(lèi)比探究】①當(dāng)點(diǎn)M在DB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，直接寫(xiě)出AC、②當(dāng)點(diǎn)M在BD延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，直接寫(xiě)出AC、【變式6-3】（2020·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長(zhǎng)．

【變式6-4】（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）已知菱形ABCD中，E是邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是邊AD上一點(diǎn)．(1)如圖1，連接CE，CF．CE⊥AB，①求證：CE=②若AE=2，求CE(2)如圖2，連接CE，EF．若AE=3，EF=2AF題型07添加一個(gè)條件證明四邊形是菱形【例7】（2022·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，?ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于點(diǎn)O，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形【變式7-1】（2019·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，且互相平分．添加下列條件，仍不能判定四邊形ABCD為菱形的是（）A．AC⊥BD B．AB=AD C．【變式7-2】（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,AD上，AF=【變式7-3】（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，AB∥CD，要使四邊形ABCD為菱形，應(yīng)添加的條件是題型08證明四邊形是菱形【例8】（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，且BE(1)求證：四邊形DBCE為菱形；(2)若△DBC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)P、M、N分別在線(xiàn)段BE、BC、CE上運(yùn)動(dòng)，求PM【變式8-1】（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過(guò)程與同學(xué)小潔交流．小惠：證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，CB＝CD，∴四邊形ABCD是菱形．小潔：這個(gè)題目還缺少條件，需要補(bǔ)充一個(gè)條件才能證明．

若贊同小惠的證法，請(qǐng)?jiān)诘谝粋€(gè)方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說(shuō)法，請(qǐng)你補(bǔ)充一個(gè)條件，并證明．【變式8-2】（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線(xiàn)，且

(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若∠ABC=60°，△ABE的面積等于43，求平行線(xiàn)【變式8-3】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)在對(duì)角線(xiàn)BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°．(1)求證：△ABF≌△CDE；(2)連接AE，CF，已知__________（從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，填寫(xiě)序號(hào)），請(qǐng)判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結(jié)論．條件①：∠ABD=30°；條件2：AB=BC．（注：如果選擇條件①條件②分別進(jìn)行解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）題型09根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度【例9】（2020·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖，①以點(diǎn)A為圓心2cm長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧分別交∠MAN的兩邊AM、AN于點(diǎn)B、D；②以點(diǎn)B為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，再以點(diǎn)D為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)C；③分別連接BC、CD、AC，若∠MAN=60°，則∠【變式9-1】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以C、B為圓心，取AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D．連接BD、AD．若∠ABD【變式9-2】（2022·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，若四邊形OBCD為菱形，則∠BAD的度數(shù)是．【變式9-3】（2022·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，雨傘不論張開(kāi)還是收緊，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角∠BAC．當(dāng)傘收緊時(shí)，點(diǎn)D與點(diǎn)M重合，且點(diǎn)A，E（F），D在同一條直線(xiàn)上．已知傘骨的部分長(zhǎng)度如下（單位：cm）：DE=DF=AE=AF=40．(1)求AM的長(zhǎng)．(2)當(dāng)傘撐開(kāi)時(shí)，量得∠BAC=110°，求AD的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到1cm）參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.8192,題型10根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線(xiàn)段長(zhǎng)【例10】（2023·湖北荊州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在?ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線(xiàn)AG交BC于點(diǎn)E．若BF=6，AB=5，則AE的長(zhǎng)為（

A．4 B．6 C．8 D．10【變式10-1】（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·校考三模）如圖，在矩形ABCD中，過(guò)AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC，交BC于E，交AD于F，連接AE、CF．若AB=3，∠DCF

A．2 B．5 C．3 D．2【變式10-2】（2023·青海海東·統(tǒng)考三模）如圖所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，P為BC邊上的任意一點(diǎn)，連接PA，以PA、PC為鄰邊作?PAQC

【變式10-3】（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考二模）如圖，小李將一張邊長(zhǎng)分別為4和10的矩形紙片對(duì)折、再對(duì)折，然后沿圖中的虛線(xiàn)AC剪下，將紙展開(kāi)，就得到一個(gè)四邊形．若∠ACB=60°，則這個(gè)四邊形的周長(zhǎng)為題型11根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積【例11】（2023·云南·模擬預(yù)測(cè)）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．(1)求證：四邊形ADBF是菱形；(2)若AB＝8，菱形ADBF的面積為40，求AC的長(zhǎng)．【變式11-1】（2022·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）折疊矩形紙片ABCD，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，折痕為MN，已知AB=8，AD=4，則MN的長(zhǎng)是（

）A．535 B．25 C．735【變式11-2】（2019·山東德州·校聯(lián)考二模）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE=DF（1）求證：?ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求?ABCD的面積．【變式11-3】（2022·吉林長(zhǎng)春·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，BE//AC，（1）求證：四邊形AOBE是菱形；（2）若∠AOB=60°，AC=4【變式11-4】（2022·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、DC的中點(diǎn)．(1)求證∠AEF(2)若菱形ABCD的面積為8，則△AEF的面積為_(kāi)_____題型12根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題【例12】（2023·內(nèi)蒙古·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，直線(xiàn)MN分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．下列結(jié)論：①四邊形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC?EF＝CF?CD；④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式12-1】（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD為菱形，BF∥AC，DF交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，交BF于點(diǎn)F，且CE:AC=1:2．則下列結(jié)論：①△ABE≌△ADE；②A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【變式12-2】（2022·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，直線(xiàn)CE是平行四邊形ABCD的邊AB的垂直平分線(xiàn)，垂足為點(diǎn)O，CE與DA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E．連接AC，BE，DO，DO與AC交于點(diǎn)F，則下列結(jié)論：①四邊形ACBE是菱形；

②∠ACD=∠BAE；

③AF：FC=1：2；其中正確的結(jié)論有．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）【變式12-3】（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，點(diǎn)M，N分別在AD，將矩形紙片ABCD沿直線(xiàn)MN折疊，使得點(diǎn)C落在AD上的一點(diǎn)E①連接CM，四邊形ENCM一定是菱形；②F，M，C三點(diǎn)一定在同一直線(xiàn)上；③當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，A，B，C，D，F(xiàn)五點(diǎn)在同一個(gè)圓上；④點(diǎn)E到邊MN，BN的距離可能相等．其中正確的是．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）題型13與菱形有關(guān)的新定義問(wèn)題【例13】（2020·河北唐山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義：如圖，若菱形AECF與正方形ABCD兩個(gè)頂點(diǎn)A，C重合，另外兩個(gè)頂點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形ABCD的內(nèi)部，則稱(chēng)菱形AECF為正方形ABCD的內(nèi)含菱形．若正方形的周長(zhǎng)為16，其內(nèi)含菱形邊長(zhǎng)是整數(shù)，則內(nèi)含菱形的周長(zhǎng)為；若正方形的面積為18，其內(nèi)含菱形的面積為6，則內(nèi)含菱形的邊長(zhǎng)為．【變式13-1】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）定義：若四邊形中某個(gè)頂點(diǎn)與其它三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，則這個(gè)四邊形叫做等距四邊形，這個(gè)頂點(diǎn)叫做這個(gè)四邊形的等距點(diǎn)．

(1)判斷：一個(gè)內(nèi)角為60°的菱形________等距四邊形．（填“是”或“不是”）(2)如圖2，在5×5的網(wǎng)格圖中有A、B兩點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷給出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找出C、D兩個(gè)格點(diǎn)，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形以A為等距點(diǎn)的“等距四邊形”，畫(huà)出相應(yīng)的“等距四邊形”（互不全等），并寫(xiě)出該等距四邊形的端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)．端點(diǎn)均為非等距點(diǎn)的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_______．(3)如圖，在海上A，B兩處執(zhí)行任務(wù)的兩艘巡邏艇，根據(jù)接到指令A(yù)，B兩艇同時(shí)出發(fā)，A艇直接回到駐地O，B艇到C島執(zhí)行某項(xiàng)任務(wù)后回到駐地O（在C島執(zhí)行任務(wù)的時(shí)間忽略不計(jì)），已知A，B，C三點(diǎn)到O點(diǎn)的距離相等，AO∥BC，BC=100km，tanA=32，若【變式13-2】（2022·遼寧沈陽(yáng)·東北育才雙語(yǔ)學(xué)校?？既＃径x】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果點(diǎn)A，C為某個(gè)菱形的一組對(duì)角的頂點(diǎn)，且點(diǎn)A，C在直線(xiàn)y=x上，那么稱(chēng)該菱形為點(diǎn)A，C的“陽(yáng)光菱形”，如圖是點(diǎn)A，C的“陽(yáng)光菱形

【運(yùn)用】已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為2，2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1)下列各組點(diǎn)，能與點(diǎn)M，P形成“陽(yáng)光菱形”的是______．（直接填寫(xiě)序號(hào)）①E-4，10，F(xiàn)10,-4；②G1，6，(2)如果四邊形MNPQ是點(diǎn)M，P的“陽(yáng)光菱形”，點(diǎn)N在MP下方，且面積為16．①求點(diǎn)N、點(diǎn)Q的坐標(biāo)；②如果直線(xiàn)y=kx-3k【變式13-3】（2022·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預(yù)測(cè)）若四邊形對(duì)角線(xiàn)互相垂直，那么我們定義這種四邊形為“對(duì)垂”四邊形．特征辨析(1)下列4個(gè)圖中，四邊形ABCD不是“對(duì)垂”四邊形的是（）歸納探究(2)如圖1，ED⊥AF于O，動(dòng)點(diǎn)P，Q都從O點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P沿OE運(yùn)動(dòng)到B，點(diǎn)Q沿OF運(yùn)動(dòng)到①當(dāng)∠BAC=30°，OB=OC，OD=1，OA=4時(shí)，則AB2+CD2=___________，AD2+②在“對(duì)垂”四邊形ABCD中，當(dāng)①中的條件都不存在時(shí)，①中所猜想的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．拓展應(yīng)用(3)如圖2，四邊形AEDB和四邊形AGFC均為正方形，點(diǎn)B恰好在FC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且已知AC=2，AB=題型14與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題【例14】（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，菱形OABC的頂點(diǎn)O(0,0)，A(-2,0)，∠B=60°，若菱形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到菱形OA1B1C1，依此方式，繞點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)

A．3,1 B．1,-3 C．-3【變式14-1】（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)均在坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,0，以AB為邊構(gòu)造菱形ABEF，將菱形ABEF與正方形ABCD組成的圖形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F2023的坐標(biāo)為（

A．-2,22 B．22,-2 C．【變式14-2】（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)分別為6，4，進(jìn)行如下操作：第一次，順次連接矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1；第二次，順次連接四邊形A1B1C

A．32n-4 B．32n【變式14-3】（2023·貴州銅仁·校考一模）如圖，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=1，延長(zhǎng)CD至A1，使DA1=CD，以A1C為一邊，在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上作菱形A1CC1D1，連接AA1，得到△ADA1；再延長(zhǎng)C1D1至A2，使D1A2=C

【變式14-4】（2020·甘肅蘭州·蘭州市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考二模）如圖，在菱形ABCD中，邊長(zhǎng)為1，∠A＝60?，順次連接菱形ABCD各邊中點(diǎn)，可得四邊形A1B1C1D1；順次連結(jié)四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，可得四邊形A2B2C2D2；順次連結(jié)四邊形A2B2C2D2各邊中點(diǎn)，可得四邊形A3B3C3D3；按此規(guī)律繼續(xù)下去，…，則四邊形A2019B2019C2019D2019的面積是．【變式14-5】（2019·甘肅白銀·校聯(lián)考一模）如圖，作出邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD，∠DAB＝60°，連接對(duì)角線(xiàn)AC，以AC為邊作第二個(gè)菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°，連接AC1，再以AC1為邊作第三個(gè)菱形ACC2D2，使∠D2AC1＝60°；…按此規(guī)律所作的第2019個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為．題型15與菱形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【例15】（2023·廣東東莞·統(tǒng)考一模）如圖菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm，，∠A=60°，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，都以1cm/s的速度分別沿A→B→C和A→D→C的路經(jīng)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（單位：s），四邊形PBDQA．B．C．D．【變式15-1】（2017·山東濰坊·統(tǒng)考一模）菱形OBCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，頂點(diǎn)B2，0，∠DOB=60°，點(diǎn)E坐標(biāo)為0,-3，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)OC

【變式15-2】（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）用四根一樣長(zhǎng)的木棍搭成菱形ABCD，P是線(xiàn)段DC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)D和點(diǎn)C重合），在射線(xiàn)BP上取一點(diǎn)M，連接DM，CM，使∠CDM操作探究一

(1)如圖1，調(diào)整菱形ABCD，使∠A=90°，當(dāng)點(diǎn)M在菱形ABCD外時(shí)，在射線(xiàn)BP上取一點(diǎn)N，使BN=DM，連接CN，則∠操作探究二(2)如圖2，調(diào)整菱形ABCD，使∠A=120°，當(dāng)點(diǎn)M在菱形ABCD外時(shí)，在射線(xiàn)BP上取一點(diǎn)N，使BN=DM，連接CN，探索拓展遷移(3)在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=6．若點(diǎn)P在直線(xiàn)CD上，點(diǎn)M在射線(xiàn)BP上，且當(dāng)∠【變式15-3】（2023·江蘇鹽城·景山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，BD是菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，AB=BD=2cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線(xiàn)AB-BC以1cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)后，且不與點(diǎn)B重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥BD交折線(xiàn)AD-DC于點(diǎn)Q．以PQ為邊作正三角形PQE，且點(diǎn)E與BD始終在PQ

(1)當(dāng)點(diǎn)E落在BD上時(shí)，求t的值；(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)點(diǎn)E落在∠BDC的平分線(xiàn)上時(shí)，直接寫(xiě)出t【變式15-4】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊AB向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)．以PA為一邊作∠APQ=120°，另一邊PQ與折線(xiàn)AC-CB相交于點(diǎn)Q，以PQ為邊作菱形PQMN，點(diǎn)N在線(xiàn)段

(1)當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，PQ的長(zhǎng)為cm．（用含x的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時(shí)，求x的值．(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍．題型16菱形與一次函數(shù)綜合【例16】（2022·江蘇常州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-43x+4的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以AB為邊作菱形ABCD，BC∥【變式16-1】（2018·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考一模）已知一次函數(shù)y=﹣3x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)．直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A且垂直于x軸．兩動(dòng)點(diǎn)D、E分別從AB兩點(diǎn)間時(shí)出發(fā)向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)停止）．運(yùn)動(dòng)速度分別是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和3個(gè)單位長(zhǎng)度．點(diǎn)G、E關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，GE交AB于點(diǎn)F．設(shè)D、E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形是菱形？判斷此時(shí)△AFG與AGB是否相似，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)△ADF是直角三角形時(shí)，求△BEF與△BFG的面積之比．題型17菱形與反比例函數(shù)綜合【例17】（2023·吉林長(zhǎng)春·吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCO的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊CO在x軸正半軸上，∠AOC=60°，反比例函數(shù)y=3xx>0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且交菱形對(duì)角線(xiàn)BO于點(diǎn)D，DE⊥

A．1 B．3 C．2-3 D．【變式17-1】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A,C在反比例函數(shù)y=kx(k<0)的圖象上，對(duì)角線(xiàn)AC與

A．-4 B．4 C．-9 D【變式17-2】（2023·廣東湛江·校考一模）如圖，菱形OABC的一邊OA在x軸的負(fù)半軸上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，tan∠AOC=43，反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D，若

【變式17-3】（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·校聯(lián)考二模）如圖，點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，以線(xiàn)段AB為邊在第一象限作等邊△ABC，S△ABC=3，且CA

(1)求該反比例函數(shù)的解析式；(2)若點(diǎn)N是反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCN是菱形時(shí)，求出點(diǎn)N坐標(biāo)．【變式17-4】（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為6,8，連接OA，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)，垂足為B，∠AOB的平分線(xiàn)與線(xiàn)段AB交于點(diǎn)P

(1)若反比例函數(shù)y=kx(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線(xiàn)，交射線(xiàn)OP于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作OA的平行線(xiàn)，交x軸于點(diǎn)R．求證：四邊形OAQR是菱形．【變式17-5】（2023·河南商丘·統(tǒng)考三模）如圖，菱形OBAC頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上，點(diǎn)B在y

(1)求k的值；(2)點(diǎn)P為反比例函數(shù)圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，交OA于點(diǎn)M，若PM=題型18菱形與一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合【例18】（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b的圖像與反比例函數(shù)y=mxm>0的圖像相交于

(1)求m和n的值；(2)若點(diǎn)Pe,f在該反比例函數(shù)的圖像上，且它到y(tǒng)軸的距離小于3，則f(3)以AC為邊在右側(cè)作菱形ACDE．使點(diǎn)D在x軸正半軸上，點(diǎn)E在第一象限，雙曲線(xiàn)交DE于點(diǎn)F，連接AF,CF，則△ACF【變式18-1】（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，已知反比例函數(shù)y1=kx與一次函數(shù)y2=x(1)求n和k的值．(2)根據(jù)圖象，當(dāng)y1≥y(3)如圖，以AB為邊作菱形ABCD，使點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在第一象限，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【變式18-2】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知一次函數(shù)y1=32x-3的圖象與反比例函數(shù)y(1)求n和k的值；(2)如圖，以AB為邊作菱形ABCD，使點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D在第一象限，雙曲線(xiàn)交C