專題05 五大類圓錐曲線題型（試卷含解析）-2024年高考數(shù)學(xué)最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項(xiàng)訓(xùn)練（新高考新題型專用）

專題05五類圓錐曲線題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）【題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問題】【題型3圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題】【題型4圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題】曲線方程的定義一般地，如果曲線C與方程F(x,y)=0之間有以下兩個(gè)關(guān)系：①曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解；②以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線C上的點(diǎn).此時(shí)，把方程F(x,y)=0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程F(x,y)=0的曲線.求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（如果已給出，本步驟省略）；（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)；（3）根據(jù)曲線上點(diǎn)所適合的條件寫出等式；（4）用坐標(biāo)x、y表示這個(gè)等式，并化簡；（5）確定化簡后的式子中點(diǎn)的范圍.上述五個(gè)步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、確定點(diǎn)的范圍.求軌跡方程的方法：定義法：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。直接法：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P,的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程則可以設(shè)出P(x,y)，用(x,y)表示出相關(guān)點(diǎn)P,的坐標(biāo)，然后把P,的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。點(diǎn)差法：圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得x1+x2，y1，x1x2，y1y2等關(guān)系式，由于弦AB的中點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足2x=x1+x2，2y=y1+y2且直線AB的斜率為，由此可求得弦AB中點(diǎn)的軌跡方程.且與l1垂直的直線l2分別交x軸，y軸于A(x,0)，B(0,y)兩點(diǎn)，點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y)，當(dāng)M點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(8,4).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.已知A(-1,0),B(1,0)，直線AM,BM相交于M，且直線AM,BM的斜率之積為2.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；(2)設(shè)P,Q是點(diǎn)M軌跡上不同的兩點(diǎn)且都在y軸的右側(cè)，直線AP,BQ在y軸上的截距之比為1:2，求證：直線PQ經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).，點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在直線x=s(s>2)上，A、B為C的左右頂點(diǎn)，直線PA交C于點(diǎn)E（異于A,B直線PB交C于點(diǎn)F（異于A,BEF交AB于G，過G作x軸的垂線分別交PA、PB于R、T，問是否存在常數(shù)λ,使得RG=λTG.22 x垂直，垂足M1位于第一象限，MM2 x2----------垂直，垂足M2位于第四象限，且MM1.MM2=20.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程E；(2)設(shè)A1(2,0)，A2(2,0)，過點(diǎn)(3,0)的直線l與曲線E交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方6P為直線A1A，A2B的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P6時(shí)，求直線l的方程.2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線M:一y2=1經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，C為M上一動(dòng)點(diǎn)，且C異于A,B兩點(diǎn).(1)求M的離心率；(2)若△BCT的重心為A，點(diǎn)D(8,4)，求DT的最小值；(3)若△BCT的垂心為A，求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡方程.3．已知長為2的線段PQ的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，圓T經(jīng)過P,Q兩點(diǎn)且與直線y+2=0相切，圓心T的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)過點(diǎn)D(1,b)且互相垂直的直線l1,l2分別與曲線C交于點(diǎn)E,H和點(diǎn)M,N，且ED=DH，四邊形MENH的面積為15，求實(shí)數(shù)b的值.是其右焦點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)P(x0,y0)(y0>0)是橢圓C上一點(diǎn)，經(jīng)PFB的角平分線與直線AP交于點(diǎn)T.①求點(diǎn)T的軌跡方程；②若△TPF面積為，求x0.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)不經(jīng)過圓點(diǎn)O的直線l與點(diǎn)P的軌跡交于A，B兩點(diǎn).設(shè)直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，記k1k2=t，是否存在t值使得‘OAB的面積為定值，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.6．已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(2,0)，且截y軸所得的弦長為4.(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；(2)若點(diǎn)F(1,0)，過點(diǎn)P(5,一4)的直線交C的軌跡于M,N兩點(diǎn)，求FM.FN的最小值.7．在‘ABC中，已知B(一1,0)，C(1,0)，設(shè)G,H,W分別是‘ABC的重心、垂心、外心，且存在λeR使=.(1)求點(diǎn)A的軌跡Γ的方程；(2)求ΔABC的外心W的縱坐標(biāo)m的取值范圍；(3)設(shè)直線AW與Γ的另一個(gè)交點(diǎn)為M，記△AWG與ΔMGH的面積分別為S1,S2，是否存在實(shí)數(shù)λ使=？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.8．已知A(2,0)，B(-2,0)，P為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).設(shè)直線AP,BP的斜率分別為k1，k2，且滿足k1.k2=-.記P的軌跡為曲線Γ.(1)求Γ的軌跡方程；(2)直線PA，PB分別交動(dòng)直線x=t于點(diǎn)C,D，過點(diǎn)C作PB的垂線交x軸于點(diǎn)H..是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.:已知點(diǎn)P(x0,y0)是橢圓+=1(a>b>0)上的一個(gè)定點(diǎn)，A,B是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。kAB為定值；證明:重新建系將橢圓C上的P(x0,y0)成為新0-00,y00-000+02b2橢圓C上的定點(diǎn)P(x0,y0)和動(dòng)點(diǎn)A,B分別對(duì)應(yīng)橢圓C1上的定點(diǎn)O和動(dòng)點(diǎn)A1,B1，設(shè)直線A1B1的方程為mx0n0m坐標(biāo)滿足這個(gè)方程，所以kOA1,kOB1是這個(gè)關(guān)于若kPA+kPB=λ,由平移斜率不變可知kOA1+kOB1=λ,故kOA1OB1=λ,當(dāng)λ=0時(shí)，所以-2b2x0n-2a2y0m=0，由此得kA1B1即-2b2x0nx0b22y0a。所以AB的斜率為定值，kAB為定值x0b22y0a2222y0(2b2x0)-2ay0m=λa+2aλy0n:-λm-|(λ2222y0(2b2x0)0-:若直線kPA+kPB=λ,則直線AB過定點(diǎn).0平面內(nèi)的定點(diǎn)P(x0,y0)和橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)A、B分別對(duì)應(yīng)橢圓C1上的定點(diǎn)O和動(dòng)點(diǎn)A1、2=0（構(gòu)造齊次式2整理得，2-n2+0n+2mn2y0m-2mn++-m2kPA+kPB=λ的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程，所以kOA1和kOB1 y是關(guān)于的方程的兩根．若 y是關(guān)于x知kOA1OB1=λ所以11n2x02-2kOAOB11n2x02-2a2b2n可知直線A1B1過定點(diǎn)，由平移規(guī)律可得直線AB過定點(diǎn).個(gè)頂點(diǎn)，△F1MF2是等腰直角三角形.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，求線段PM的中點(diǎn)Q的軌跡方程；（3）過點(diǎn)M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為k1，k2，=8，探究：直線AB是否過定點(diǎn)，并說明理由.(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，------（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)Q(2,一1)且不過點(diǎn)P的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求證：直線PA與PB的斜率之和為定值.)，且離心率為.（1）求橢圓E的方程；（2）若經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.2=-4y的焦點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)(y1>y2)均在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為，(ⅰ)求證：直線PQ過定點(diǎn)；(ⅱ)當(dāng)//時(shí)，求直線PQ的方程.且E的焦距為2.(1)求E的方程和離心率；(2)過點(diǎn)(1,0)且斜率不為零的直線交橢圓于R，S兩點(diǎn)，設(shè)直線RS，CR，CS的斜率分別為k，k1，k2，若k1+k2=-3，求k的值.的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過(0,1)且斜率存在的直線l與橢圓E交于C、D兩點(diǎn)，直線BD與直線AC的斜率分別為k1和k2，求的值.4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，重新定義兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)之間的“距離”為AB=x2x1+y2y1，我們把到兩定點(diǎn)F1(c,0),F2(c,0)(c>0)的“距離”之和為常數(shù)2a(a>c)的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”.(1)求“橢圓”的方程；(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對(duì)稱性，并說明理由；(3)設(shè)c=1,a=2，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為C,C的左頂點(diǎn)為A，過F2作直線交C于M,N兩點(diǎn)，ΔAMN的外心為Q，求證：直線OQ與MN的斜率之積為定值.5．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 1上不同三點(diǎn)，且當(dāng)OB=λOC時(shí)，直線MB和直線MC的斜率之積為一4.(1)求b的值；(2)若ΔOAB的面積為1，求x+x和y+y的值；(3)在（2）的條件下，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，求OD.AB的最大值.PDPNPMPEPDPNPMPE6．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓6．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓 為B1，且AB1的方程為為B1，且AB1的方程為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若P是直線x=3上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的兩條不同直線分別交C于點(diǎn)D，E和點(diǎn)M，N，且=，求證：直線DE的斜率與直線MN的斜率之和為定值.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；求直線PQ與直線l的斜率之積的最小值.8．已知P為圓x2+y2=4上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，M為PQ的中點(diǎn).M的軌跡曲線E.(1)求曲線E的軌跡方程；(2)曲線E交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B.直線l與曲線E交于C，D兩點(diǎn)，若直線l//直線AB，設(shè)直線AC，BD的斜率分別為k1,k2.證明：k1.k2為定值.1+k21+k2弦長公式= 1-x2)2+(y1-y2= =x-x== =三角形面積問題（最常用公式，使用頻率最高）直線AB方程：y=kx+md=PH=kx0-y0+m11+k2ΔA'2 ΔAΔA'2 ΔA2+B2AB=222A'焦點(diǎn)三角形的面積直線AB過焦點(diǎn)F2,ΔABF1的面積為=F.y1y2=cy1y2=AA'2ΔAOB=|AB|d=2AA2+B2 4a2b2(a2A2+b2B2一Ca2A2+b2B2ab(a2A2+b2B2一C2)C22A2+b2B2注意：A'為聯(lián)立消去x后關(guān)于y的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)平行四邊形的面積mm22xx= 2)24x1x22 ΔA'mm 12注意：A'為直線與橢圓聯(lián)立后消去y后的一元二次方程的系數(shù).范圍問題應(yīng)用均值不等式求解最值時(shí)，應(yīng)注意“一正二定三相等”圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：2t2當(dāng)且僅當(dāng)9k2=時(shí)，等號(hào)成立225y225y9x225y9x025y0當(dāng)且僅當(dāng)25.=9.時(shí)等號(hào)成立.2222當(dāng)且僅當(dāng)m2=m2+8時(shí)，等號(hào)成立(5)2當(dāng)且僅當(dāng)2k2+1=2m時(shí)等號(hào)成立.雙曲線，最早由門奈赫莫斯發(fā)現(xiàn)，后來阿波羅尼茲進(jìn)行了總結(jié)和完善.在他的著作中，雙曲線也被稱作“超曲線”.已知雙曲線C:xy -a2b2為A1，A2，經(jīng)過點(diǎn)B(4，0)的直線l與C的右支分別交于M，N兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M在x軸上方.(1)若l」x軸時(shí)，MN=2，設(shè)直線MA1，NA2的斜率分別為k1，k2，求的值；(2)若經(jīng)BA2N=2經(jīng)BA1M，求‘A1MN的面積.設(shè)拋物線方程為y2=2x，過點(diǎn)P的直線PA,PB分別與拋物線相切于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸下方，點(diǎn)B在x軸上方.(1)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-1,-2)時(shí)，求AB；(2)點(diǎn)C在拋物線上，且在x軸下方，直線BC交x軸于點(diǎn)N，直線AB交x軸于點(diǎn)M，且3AM<2BM.若‘ABC的重心在x軸上，求的最大值.（注：S表示三角形的面積）(2)設(shè)直線l交C于不同于點(diǎn)A的M，N兩點(diǎn)，直線AM，AN的傾斜角分別為C，β,若(c,0)分別是橢圓C:+y2=1的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，------(1)求橢圓C的方程；(2)求橢圓C的外切矩形ABCD的面積S的最大值.2．在橢圓C:+=1上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，點(diǎn)M在線段PD上，且滿足DP=DM.(1)當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；(2)若曲線E與x，y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)N是E上第三象限內(nèi)一點(diǎn)，線段AN與y軸交于點(diǎn)H，線段BN與x軸交于點(diǎn)G，求四邊形ABGH的面積.3．在橢圓(雙曲線)中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，該圓的圓心是橢圓(雙曲線)的中心，半徑等于橢圓(雙曲線)長半軸(實(shí)半軸)與短半軸(虛半軸)平方和(差)的算與橢圓E交于A,B兩點(diǎn)（不與P1,P2兩點(diǎn)重合）且直線l2:x+2y-6=0.(1)證明：AP1，BP2的交點(diǎn)P在直線y=2上;(2)求直線AP1,BP1,l2圍成的三角形面積的最小值.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)A，B是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過F的直線l交C于D，E兩點(diǎn)（其中D點(diǎn)在x軸上方求‘DBF與ΔAEF的面積之比的取值范圍.5．已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為．點(diǎn)M在直線x=-3(y干0)上運(yùn)動(dòng)，且直線MF1的斜率與直線MF2的斜率之商為2.(2)若點(diǎn)A、B在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA」OB，求‘AOB面積的最小值.四邊形A1B1A2B2的面積為6，若橢圓C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值和最小值之和為6.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)(-1,0)且斜率不為0的直線l與C交于P,Q（異于A1,A2)兩點(diǎn)，設(shè)直線A2P與直線A1Q交于點(diǎn)M，探究三角形B1B2M的面積是否為定值，請(qǐng)說明理由.(1)求E的方程；(2)若圓x2+y2=1的兩條相互垂直的切線l1,l2均不與坐標(biāo)軸垂直，且直線l1,l2分別與E相交于點(diǎn)A，C和B，D，求四邊形ABCD面積的最小值.8．已知橢圓C的方程為+=1(a>b>0)，由其3個(gè)頂點(diǎn)確定的三角形的面P(2,1)在C上，A,B為直線x=4上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AP,BP與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M,N.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：直線MN經(jīng)過定點(diǎn)；(3)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求ΔMON面積的最大值.題型4圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直定點(diǎn)問題1.求解(或證明)直線和曲線過定點(diǎn)的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量x，y視作常數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就是對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn).2.常用方法：一是引進(jìn)參數(shù)法，引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)；二是特殊到一般法，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).定值問題1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值．常見定值問題的處理方法：（1）確定一個(gè)（或兩個(gè)）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示（2）將所求表達(dá)式用核心變量進(jìn)行表示，然后進(jìn)行化簡，看能否得到一個(gè)常數(shù).2.定值問題的處理技巧：（1）對(duì)于較為復(fù)雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進(jìn)而給后面一般情況的處理提供一個(gè)方向.（2）在運(yùn)算過程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個(gè)數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運(yùn)算定直線問題定直線問題是證明動(dòng)點(diǎn)在定直線上，其實(shí)質(zhì)是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等.已知拋物線C：y2=2px（p>0M是其準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，y0）時(shí)，有|MB|=|BA|.(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)P，證明：直線BP過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).已知斜率為√3的直線l與拋物線C:y2=4x相交于P,Q兩點(diǎn).(1)求線段PQ中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值；(2)已知點(diǎn)T(,0)，直線TP,TQ分別與拋物線相交于M,N兩點(diǎn)（異于P,Q求證：直線MN恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).已知雙曲線C:x2-y2=1，點(diǎn)A是雙曲線C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P坐標(biāo)為(4,0).4(1)過點(diǎn)P作C的兩條漸近線的平行線分別交雙曲線C于R，S兩點(diǎn).求直線RS的方程；(2)過點(diǎn)P作直線l與橢圓+y2=1交于點(diǎn)D，E，直線AD，AE與雙曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)M，N.試問：直線MN是否過定點(diǎn)，若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.長為8.(1)求C的方程.(2)設(shè)C的右頂點(diǎn)為點(diǎn)A，過點(diǎn)D(4,6)的直線l與C交于P,Q兩點(diǎn)（異于B直線AP,AQ與y軸分別交于點(diǎn)M,N，試問線段MN的中點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.2．已知橢圓C:+=1(a>b>0)的上下頂點(diǎn)分別為B1,B2，左右頂點(diǎn)分別為A1,A2，四邊形A1B1A2B2的面積為6，若橢圓C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值和最小值之和為6.(1)求橢交于點(diǎn)M，證明：點(diǎn)M在定直線上.3．如圖，已知橢圓Γ的短軸長為4，焦點(diǎn)與雙曲線x2yx24-tt=1的焦點(diǎn)重合.點(diǎn)P(4,0)，斜率為1與橢圓Γ交于A,B兩點(diǎn).(1)求常數(shù)t的取值范圍，并求橢圓Γ的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進(jìn)行解答)極點(diǎn)與極線是法國數(shù)學(xué)家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對(duì)于橢圓Γ:+=1，極點(diǎn)P(x0,y0)（不是原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為xx xx2a+y0yb2=1，且若極點(diǎn)P在x軸上，則過點(diǎn)P作橢圓的割線交Γ于點(diǎn)A1,B1，則對(duì)于lP上任意一點(diǎn)Q，均有kQA+kQB=2kPQ（當(dāng)斜率均存在時(shí)）.已知點(diǎn)Q是直線l1上的一點(diǎn)，且點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2.連接PQ交y軸于點(diǎn)E.連接PA,PB分別交橢圓Γ于M,N兩點(diǎn).①設(shè)直線AB、MN分別交y軸于點(diǎn)D、點(diǎn)T，證明：點(diǎn)E為D、T的中點(diǎn)；②證明直線：MN恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).----------F1B+F----------(1)求C的方程.(2)設(shè)C的右頂點(diǎn)為點(diǎn)A，過點(diǎn)D(4,6)的直線l與C交于P,Q兩點(diǎn)（異于B直線AP,AQ與y軸分別交于點(diǎn)M,N，試問線段MN的中點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)P(0,1)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，過A,B分別作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)M,N，求證：直線AN與BM的交點(diǎn)在某條定直線上，并求該定直線的方程.圓L于C，D（不同于橢圓的頂點(diǎn)）兩點(diǎn)，直線AD交y軸于M，直線BC交x軸于N，且直線MN交l于P.(1)求橢圓L的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線AD，BC的斜率相等，證明：點(diǎn)P在一條定直線上運(yùn)動(dòng).7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離與到直線x=4的距離之比為.(1)求動(dòng)點(diǎn)M軌跡W的方程；(2)過點(diǎn)F的兩條直線分別交W于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，線段AB，CD的中點(diǎn)分別為P，Q．設(shè)直線AB，CD的斜率分別為k1，k2，且+=1，試判斷直線PQ是否過定點(diǎn)．若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.8．已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過定點(diǎn)F1(-,0)，且與圓F2(1)求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；(2)設(shè)軌跡C與x軸從左到右的交點(diǎn)為A，B，點(diǎn)P為軌跡C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PB交直線x=4于點(diǎn)T，連接AT交軌跡C于點(diǎn)Q，直線AP，AQ的斜率分別為kAP，kAQ.①求證：kAP·kAQ為定值；②證明：直線PQ經(jīng)過x軸上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).圓錐曲線的極點(diǎn)與極線已知橢圓C:+=1（a＞b＞0則稱點(diǎn)P(x0,y0)和直線+=1為橢圓的一對(duì)極點(diǎn)和極線．極點(diǎn)和極線是成對(duì)出現(xiàn)的.我們先從幾何的角度來研究圓錐曲線的極點(diǎn)與極線.從幾何角度看極點(diǎn)與極線如圖，設(shè)P是不在圓錐曲線上的一點(diǎn)，過P點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，連接EH，F(xiàn)G交于N，連接EG，F(xiàn)H交于M，則直線MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.若P為圓錐曲線上的點(diǎn)，則過P點(diǎn)的切線即為極線.由圖同理可知，PM為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線，PN為點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的極線．因而將ΔMNP稱為自極三點(diǎn)形.設(shè)直線MN交圓錐曲線于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，則PA，PB恰為圓錐曲線的兩條切線.定理1）當(dāng)P在圓錐曲線Γ上時(shí)，則點(diǎn)P的極線是曲線Γ在P點(diǎn)處的切線；（2）當(dāng)P在Γ外時(shí)，過點(diǎn)P作Γ的兩條切線，設(shè)其切點(diǎn)分別為A，B，則點(diǎn)P的極線是直線AB（即切點(diǎn)弦所在的直線（3）當(dāng)P在Γ內(nèi)時(shí)，過點(diǎn)P任作一割線交Γ于A，B，設(shè)Γ在A，B處的切線交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)P的極線是動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M:x2+(y+4)2=1上的點(diǎn)的距離的最小值4.(1)求p；(2)若點(diǎn)P在圓M上，PA,PB是C的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，求‘PAB面積的最大值.已知F為拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)，直線l:y=2x+1與C交于A，B兩點(diǎn)且（1）求C的方程.（2）若直線m:y=2x+t(t子1)與C交于M，N兩點(diǎn)，且AM與BN相交于點(diǎn)T，證明：點(diǎn)T在定直線上.1(a>b>0)共頂點(diǎn)，且它們的離心率之積為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，直線l與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，設(shè)直線A1P與A2Q的斜率分別為k1，k2，且k1一k2=0．試問，直線l是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.x2a2,A2分別是橢圓x2a2（1）若B.AB=4，求橢圓Γ的方程；（2）設(shè)a=，F(xiàn)2是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)Q是橢圓第二象限部分上一點(diǎn)，若線段F2Q的中點(diǎn)M在y軸上，求△F2BQ的面積.（3）設(shè)a=3，點(diǎn)P是直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C和D是橢圓上異于左右頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，且C，D分別在直線PA1和PA2上，求證：直線CD恒過一定點(diǎn).2y42．已知A，B分別是雙曲線E:y4且與雙曲線E交于C，D兩點(diǎn).（1）若=3，求直線l的方程；（2）若直線AC與BD相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在定直線上.3．已知橢圓C:+=1(a>0,b>0)與y焦點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線FA的距離為b.（1）求橢圓C的離心率；（2）設(shè)b=2，直線y=kx+4與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N，求證：直線BM與直線AN的交點(diǎn)G在定直線上.4．已知橢圓C的離心率e=，長軸的左、右端點(diǎn)分別為A1(一2,0)，A2(2,0)2(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線x=my+1與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線A1P與A2Q交于點(diǎn)S，試問：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條直線上？若是，請(qǐng)寫出這條直線的方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由.(1)求橢圓C的方程：(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)B(-1,0)的直線l與橢圓C相交于D，E兩點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為F，直線DF與x軸相交于點(diǎn)G，求△DEG的面積S的取值范圍.C上的兩點(diǎn)(異于A,B)，連結(jié)AM,BN,MN，且BN斜率是AM斜率的3倍.（1）求橢圓C的方程；（2）證明:直線MN恒過定點(diǎn).x2的傾斜角為135。.（1）求橢圓C的方程；（2）過D且斜率存在的動(dòng)直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線A1M與A2N交于P，求證：P在定直線上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N是橢圓上異于A，B的不同兩點(diǎn)，直線BN的斜率為k(k干0)，直線AM的斜率為3k，求證：直線MN過定點(diǎn).專題05五類圓錐曲線題型-2024年高考數(shù)學(xué)大題秒殺技巧及專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）【題型2圓錐曲線中齊次化處理斜率乘積問題】【題型3圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題】【題型4圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題】曲線方程的定義一般地，如果曲線C與方程F(x,y)=0之間有以下兩個(gè)關(guān)系：①曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解；②以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線C上的點(diǎn).此時(shí)，把方程F(x,y)=0叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程F(x,y)=0的曲線.求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（如果已給出，本步驟省略）；（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)；（3）根據(jù)曲線上點(diǎn)所適合的條件寫出等式；（4）用坐標(biāo)x、y表示這個(gè)等式，并化簡；（5）確定化簡后的式子中點(diǎn)的范圍.上述五個(gè)步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、確定點(diǎn)的范圍.求軌跡方程的方法：定義法：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。直接法：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)P滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)P所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y)表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P,的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程則可以設(shè)出P(x,y)，用(x,y)表示出相關(guān)點(diǎn)P,的坐標(biāo)，然后把P,的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。點(diǎn)差法：圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得x1+x2，y1，x1x2，y1y2等關(guān)系式，由于弦AB的中點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足2x=x1+x2，2y=y1+y2且直線AB的斜率為，由此可求得弦AB中點(diǎn)的軌跡方程.且與l1垂直的直線l2分別交x軸，y軸于A(x,0)，B(0,y)兩點(diǎn)，點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y)，當(dāng)M點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(8,4).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.破解1）第一步：設(shè)點(diǎn)設(shè)線聯(lián)立化解韋達(dá)判別由題設(shè)，l2:y-3=-(x-2)，令y=0，則x=3k+2，令x=0，則y=+3，所以l1:y=2x-1，代入-=1并整理得(b2-4a2)x2+4a2x-a2-a2b2=0，第二步：判別式等于04第一步：設(shè)點(diǎn)設(shè)線聯(lián)立化解韋達(dá)判別所以(3-k2)x2-2mkx-m2-3=0，則Δ=4m2k2+4(3-k2)(m2+3)=0，整理得m2+3=k2，第二步：多元合一元22=(x+)，令y=0，則x=，令x=0，則y=，2，故P點(diǎn)的軌跡方程為x2=16+3y2，即所以軌跡是去掉頂點(diǎn)的雙曲線.x23yx2已知A(一1,0),B(1,0)，直線AM,BM相交于M，且直線AM,BM的斜率之積為2.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；(2)設(shè)P,Q是點(diǎn)M軌跡上不同的兩點(diǎn)且都在y軸的右側(cè)，直線AP,BQ在y軸上的截距之比為1:2，求證：直線PQ經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).破解1）直接法設(shè)M(x,y)(x子土1)，則直線AM的斜率是k1=，直線BM的斜率是k2=，（2）第一步：設(shè)點(diǎn)設(shè)線聯(lián)立化解韋達(dá)判別設(shè)直線AP在y軸上的截距為t，則直線BQ在y軸上的截距為2t，顯然t子0，2又雙曲線x2又雙曲線x2一2=1的漸近線方程為y=土x，顯然直線AP與雙曲線兩支各交于一點(diǎn)，22=-t消去y化簡整理得：(t2-2)2t1-1),消去y化簡整理得：(2t2-1)x2-4t2x+(2t2QQ2t2Qx=Q2t22t2-12t2-1第二步：含參點(diǎn)表示向量2t2+1t2+24(t4-1)4txQ-xP=2t2-1+t2-2=(2t2-1)(t2-2)，yQ-yP=-2t2-1+=0，設(shè)點(diǎn)P(xQ,yQ)，4t2t2-14t (2t2-1)(t2-2)t2-2于是=(t2-1,t)，設(shè)直線PQ上任意一點(diǎn)R(x,y)，則顯然//，因此t(x+)=(t2-1)(y+)，即x=(y+)-，整理得x=y+3，顯然直線x=y+3恒過定點(diǎn)(3,0)，所以直線PQ經(jīng)過定點(diǎn)(3,0).=4，點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在直線x=s(s>2)上，A、B為C的左右頂點(diǎn)，直線PA交C于點(diǎn)E（異于A,B直線PB交C于點(diǎn)F（異于A,BEF交AB于G，過G作x軸的垂線分別交PA、PB于R、T，問是否存在常數(shù)λ,使得RG=λTG.所以點(diǎn)M的軌跡以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓，x24所以橢圓x242（2）第一步：設(shè)點(diǎn)設(shè)線聯(lián)立化解韋達(dá)判別x24設(shè)PA:x=myx24x24x242+4y2即(n2F第二步：含參點(diǎn)表示向量ExG,yE),=(xFxE,yFyE)，由//得(xExG)(yFyE)=(xFxE)yE，得xExG=yEFE)，得xG=xEyEFE)=xExF2m284n2n2+84m m2=4n4mn22m282n2m2)mn2)m+n代入PA:x=my一2，得yR=，代入PB:x=ny+所以存在常數(shù)λ=1，使得RG=λTG.5252x垂直，垂足M1位于第一象限，MM2 x2----------垂直，垂足M2位于第四象限，且MM1.MM2=20.(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程E；(2)設(shè)A1(2,0)，A2(2,0)，過點(diǎn)(3,0)的直線l與曲線E交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在x軸上方6P為直線A1A，A2B的交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P6時(shí)，求直線l的方程. 【詳解】（1）設(shè)M(x,y)，直線y=x的傾斜角為θ,則tanθ=經(jīng)M1OM2為鈍角，x+y(5)2x+y(5)2（2) 會(huì)=911 x2y(5)2（2)5x2y 3所以MM.MM x2y20由于M1位于第一象限，M2位于第四象限，所以M的軌跡方程E:xy 452(x2)聯(lián)立消去y得：226m6mmm4|xy1y1-5y2y1-5y23故點(diǎn)P,，直線AA1的斜率為：242，消去x化簡得：242，消去x化簡得：, 3y2y2x-333m===y220直線l的方程為x=y+32．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線M:-y2=1經(jīng)過點(diǎn)A(2,1)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，C為M上一動(dòng)點(diǎn)，且C異于A,B兩點(diǎn).(1)求M的離心率；(2)若△BCT的重心為A，點(diǎn)D(8,4)，求DT的最小值；(3)若△BCT的垂心為A，求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡方程.【答案】(1)(2)(3)-=1（去除點(diǎn)(-2,士1),(2【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線M:x2-y22所以M的離心率e=22a 20所以T的軌跡不含(6,3),(10,5)兩點(diǎn).之，當(dāng)且僅當(dāng)y=4時(shí)，等號(hào)成立，即DT的最小值為.（3）因?yàn)锳為△BCT的垂心，所以AT」BC,BT」AC，設(shè)C(x0,y0),T(x,y)，此時(shí)點(diǎn)T與點(diǎn)C重合，不合題意，舍.當(dāng)直線BC或AC的斜率不為0時(shí)，直線AT與BT的斜率存在，4因?yàn)閗AT.kBT.kAC.kBC=1，所以kAT.kBT==2，lx2lx22x2442則=1，因?yàn)锽,C,T構(gòu)成三角形，故B不能在軌跡上，3．已知長為2的線段PQ的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，圓T經(jīng)過P,Q兩點(diǎn)且與直線y+2=0相切，圓心T的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)過點(diǎn)D(1,b)且互相垂直的直線l1,l2分別與曲線C交于點(diǎn)E,H和點(diǎn)M,N，且ED=DH，四邊形MENH的面積為15，求實(shí)數(shù)b的值.【答案】(1)x2=4y+2(2)【詳解】（1）由題意知圓心T在線段PQ的垂直平分線上，則OT2+OP2=TP2,設(shè)T(x,y)，圓T的半徑為r，2又圓T與直線y+2=0相切，故r=y+2，+2，化簡得x2=4y+2，所以曲線C的方程為x2=4y+2.（2）設(shè)E(x1,y1),H(x2,y2)，根據(jù)ED=DH可得D為EH的中點(diǎn)，x22x22-4-4b即kl12由Δ1所以x1+x2=2,x1.x2=-4b，所以EH=2.設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4)，因?yàn)閘1,l2互相垂直，易知直線l2:y=-2(x-1)+b，得x2+8x-4b-10=0，所以x3+x4=-8,x3.x4=-4b-10，則四邊形MENH的面積為EHMN=xxx2x=5.化簡得4b2+27b-7=0， 1.4解得b=-7（舍）或b=，符合Δ>0，所以b= 1.4是其右焦點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； +3-x-(x0-1) 2y0y0(2)設(shè)P(x0,y0)(y0>0)是橢圓C上一點(diǎn)，ZPFB的角平分線與直線AP交于點(diǎn)T.①求點(diǎn)T的軌跡方程；②若△TPF面積為，求x0.22（2）①：由（1）知，A(-2,0),B(2,0),F(1,0),P(x0,y0)，設(shè)ZBFT=θ,則ZPFB=2θ, 12 12x+1,FT:y=x-1，x+1xx+1x-1當(dāng)x0FP1，sin2θ==y，設(shè)直線FT的k=tanθ=1-cos2θ11-(x0-1)sin2θsin2θtan2所以直線FT方程為y=(x-1)，又直線AT方程為y=(x+2)，y=(x-1)3(2-x0)y03(4-x2)-2y3(4-x2)+4y0(x-1)0解得x=3(4-x)+4y012-3x+4(3-x)2(12-3解得x=3(4-x)-2y0=12-3x-2(3-3x)=1(12-3x)=2將x=4代入直線AT方程，得y=，即T(4,)，故點(diǎn)T的軌跡方程為x=4(y>0)；PFPF.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)不經(jīng)過圓點(diǎn)O的直線l與點(diǎn)P的軌跡交于A，B兩點(diǎn).設(shè)直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，記k1k2=t，是否存在t值使得‘OAB的面積為定值，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.（2）設(shè)A(x1,k1x1)，B(x2,k,設(shè)直線OA與OB的傾斜角分別為c，β,則k1-k2k2tanc-tanβ1+k1-k2k2tanc-tanβ1+tanc.tanβ k2 k22.同理x=， -k2)2k222，所以當(dāng)t=-時(shí)，SAOB為定值，即‘OAB面積為定值.6．已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(2,0)，且截y軸所得的弦長為4.(1)求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；(2)若點(diǎn)F(1,0)，過點(diǎn)P(5,-4)的直線交C的軌跡于M,N兩點(diǎn)，求FM.FN的最小值.【答案】(1)y2=4x(2)【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為C(x,y),CA=(x-2)2+y2，C到y(tǒng)軸距離為x，動(dòng)圓截y軸所得半弦長為2，則(x-2)2+y2=|x|2+22，化簡得y2=4x；所以動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為y2=4x.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，由題易知直線MN的斜率不為0，設(shè)直線MN的方程為y=k(x-5)-4=kx-5k-4(k牛0)，,5k-4,消去y得k2x2-(10k2+8k+4)x+(5k+4)2=0，由P(5,-4)在拋物線內(nèi)部，故Δ>0，所以x1由（1）知，F(xiàn)(1,0)為軌跡C的焦點(diǎn)，由拋物線定義得，xxx48k+20(16)2363648k+20(16)23636所以當(dāng)=-,k=-時(shí)，F(xiàn)M.FN的最小值為；當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，x1=x2=5.36.5綜上，F(xiàn)M.FN的最小值為36.57．在ΔABC中，已知B(-1,0)，C(1,0)，設(shè)G,H,W分別是ΔABC的重心、垂心、外心，且存在λeR使=.3(1)求點(diǎn)A的軌跡Γ的方程；(2)求ΔABC的外心W的縱坐標(biāo)m的取值范圍；(3)設(shè)直線AW與Γ的另一個(gè)交點(diǎn)為M，記△AWG與ΔMGH的面積分別為S1,S2，是否存在實(shí)數(shù)λ使=？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.B(-1,0)，C(1,0)，則=(2,0)，H為垂心，故H(x,yh)（2）由外心的定義知點(diǎn)W在y軸上，則W(0,m)，(x-1y)---(x-1y-2m)(x-1y)---(x-1y-2m)4（3）由對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，設(shè)A(x1,y1)，M(x2,y2)，直線AM：x=t(y-m)，2)得(3t2+1)y2-6mt2y+3m2t2-3=0，Δ=36m2t4-4(3t2+1)(3m2t2-3)>0，整理得3t2-m2t2+1>0；t2+1y22t2+1y22(x1y1)(y1)(x1y1)(y1) 12舍去）.又點(diǎn)A(x1,y1)在直線AM：x=t(y-m)上，所以x1=t(y1-m)，即x1=y1-，所以y1=3x1.又x+又=，所以=λ，即=2λ,所以λ=.λ=-所以，當(dāng)點(diǎn)A在第一、四象限時(shí)，λ=λ=-1.3.8．已知A(2,0)，B(-2,0)，P為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).設(shè)直線AP,BP的斜率分別為k1，k2，且滿足k1.k2=-3.記P的軌跡為曲線Γ.(1)求Γ的軌跡方程；(2)直線PA，PB分別交動(dòng)直線x=t于點(diǎn)C,D，過點(diǎn)C作PB的垂線交x軸于點(diǎn)H..是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.（2）由題意知直線AP,BP的斜率分別為k1，k2，且滿足k1.k2=一，設(shè)直線PA的方程為y=k1(x+2)，令x=t，則可得直線PB:y=k2(x2)，同理求得D(t,k2(t2))，k223t242------即HC.HD存在最大值，最大值為------:已知點(diǎn)P(x0,y0)是橢圓+=1(a>b>0)上的一個(gè)定點(diǎn)，A,B是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。kAB為定值；證明:重新建系將橢圓C上的P(x0,y0)成為新0,y00-000+b2橢圓C上的定點(diǎn)P(x0,y0)和動(dòng)點(diǎn)A,B分別對(duì)應(yīng)橢圓C1上的定點(diǎn)O和動(dòng)點(diǎn)A1,B1，設(shè)直線坐標(biāo)滿足這個(gè)方程，所以kOA1,kOB1是這個(gè)關(guān)于的方程的兩個(gè)根.若kPA+kPB=λ,由平移斜率不變可知kOA1+kOB1=λ,故xkOA1OB1=λ,當(dāng)λ=0時(shí)，所以-2b2x0n-2a2y0m=0，由此得kA1B1mnx0b22y0a。所以AB的斜率為定值x0b22y0a即-2b2x0n-2a2y0m=λa2+2a2λy0n:-mkAB為定值；(2b2x0)(2b2x0)0在直線A1B1:mx,+ny,=1上，從而直線AB過定點(diǎn)0-:若直線kPA+kPB=λ,則直線AB過定點(diǎn).0,y0)喻0-0平面內(nèi)的定點(diǎn)P(x0,y0)和橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)A、B分別對(duì)應(yīng)橢圓C1上的定點(diǎn)O和動(dòng)點(diǎn)A1、2=0（構(gòu)造齊次式2整理得，2-n2+0n+2mn2y0m-2mn++-m2因?yàn)辄c(diǎn)A1、B1的坐標(biāo)滿足這個(gè)方程，所以kOA1和kOB1是關(guān)于的方程的兩根．若kPAkOA1OB1m-2mn=λ整理可得到m和n的關(guān)系，從而可知直線A1B1過定點(diǎn)，由平移規(guī)律可得直線AB過定點(diǎn).個(gè)頂點(diǎn)，△F1MF2是等腰直角三角形.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，求線段PM的中點(diǎn)Q的軌跡方程；（3）過點(diǎn)M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)兩直線的斜率分別為k1，k2，=8，探究：直線AB是否過定點(diǎn)，并說明理由.解1）由點(diǎn)M(0,2)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，可知b=2，(（2）設(shè)P(（2）設(shè)P(x0,y0)，線段PM的中點(diǎn)坐標(biāo)Q(x,y)，可得〈0 2(x02+y0ly0=2y-22(2x)28+又點(diǎn)(2x)28+(2y-2)24x22x22x22所以線段PM的中點(diǎn)x22齊次化方法齊次化方法第一步：明確定點(diǎn)M(0,2)第二步：重新建系:2+2y,2第三步：聯(lián)立齊次式(lx(lx+2y,2第四步：同時(shí)除以x,222:一(|14)|第五步：還原成原直角坐標(biāo)系的定點(diǎn)(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)Q(2,一1)且不過點(diǎn)P的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求證：直線PA與PB的斜率之和為定值.2x2x24齊次化方法第一步：明確定點(diǎn)P0,1P0,1第二步：重新建系2222第三步：聯(lián)立齊次式(lx(lx22222第四步：同時(shí)除以x/2222（1）求橢圓E的方程；（2）若經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值.:齊次化方法齊次化方法第一步：明確定點(diǎn)第二步：重新建系ly=y-1+2y,2-4y,=0牽ly=y-1+2y,2-4y,=0牽,2x2:2,2x第三步：聯(lián)立齊次式(lx(lx+2y,2-4y,=0牽x,2+2y,2-4y,(mx,+ny,)=0牽x,2+2y,2-4mx,-4ny,2=0第四步：同時(shí)除以x,2:m=12n2一一2(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2)(y1>y2)均在橢圓C上，且滿足直線AP與AQ的斜率之積為，(ⅰ)求證：直線PQ過定點(diǎn)；(ⅱ)當(dāng)//時(shí)，求直線PQ的方程.【答案】(1)+y2=1(2)(ⅰ)證明見解析；(ⅱ)y=土x+32x2x242（2）(ⅰ)當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，設(shè)P(x0,y0)，則Q(x0,一y0)，所以直線PQ的斜率存在，由已知直線AP,AQ斜率同號(hào)，因此直線PQ的斜率存在且不為0，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，由Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=16(4k2-m2+1)>0，可得4k2+1>m2，xx=4m2-4xx=4m2-42x1x22x1x222當(dāng)m=-1時(shí)直線PQ方程為y=kx-1，令x=0，可得y=-1，所以直線PQ恒過定點(diǎn)(0,-1)，不合題意，當(dāng)m=3時(shí)直線PQ方程為y=kx+3，令x=0，可得y=3，所以直線PQ恒過定點(diǎn)(0,3)，符合題意.綜上可得直線PQ恒過定點(diǎn)(0,3).(ⅱ)設(shè)直線PQ恒過定點(diǎn)為M(0,3)，MOMA------由OP//MOMA------224kxx=xx=,，所以7222，解得k2=，滿足k2>2，且E的焦距為2.(1)求E的方程和離心率；(2)過點(diǎn)(1,0)且斜率不為零的直線交橢圓于R，S兩點(diǎn)，設(shè)直線RS，CR，CS的斜率分別為k，k1，k2，若k1+k2=-3，求k的值.【詳解】（1）由題意可得A(-a,0)，C(0,b)，可得a2-b2=c2=3，a2+b2所以橢圓的方程為x2+y2=1，離心率e=；（2）由（1）可得C(0,1)， m由題意設(shè)直線RS的方程為x=my+1(m子0)，則 m2則k1+k22my1y2+(1-m)(y1+y2)-2=2-3-2mm-1，2-3-2mm-1，242所以直線RS的斜率k==3．即k的值為3.的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知過(0,1)且斜率存在的直線l與橢圓E交于C、D兩點(diǎn)，直線BD與直線AC的斜率分別為k1和k2，求的值.k1k2【答案】(1)k1k2:a2=8，b2=4，22橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.（2）設(shè)直線CD：y=kx+1，聯(lián)立直線CD和橢圓方程，2k2+1)x2+4kx-6=0，Δ>0牽keR，記C(x2,y2)，D(x1,y1)，||x2|x1-4k2k22k2-62k2由題意知A(0,2)和B(0,-2).kx1x22)-3x1kx1x2-x1-x-x -18k3x-6k-6k 1-x1所以k1k2所以4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，重新定義兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)之間的“距離”為AB=x2-x1+y2-y1，我們把到兩定點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)的“距離”之和為常數(shù)2a(a>c)的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”.(1)求“橢圓”的方程；(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對(duì)稱性，并說明理由；(3)設(shè)c=1,a=2，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為C,C的左頂點(diǎn)為A，過F2作直線交C于M,N兩點(diǎn)，‘AMN的外心為Q，求證：直線OQ與MN的斜率之積為定值.【答案】(1)x+c+x-c+2y=2a(a>c>0)(2)答案見解析(3)證明見解析【詳解】（1）設(shè)“橢圓”上任意一點(diǎn)為P(x,y)，則PF1+PF2=2a，（2）由方程x+c+x-c+2y=2a，得2y=2a-x+c-x-c，解得-a<x<a，所以“橢圓”的范圍為-a<x<a，c-a<y<a-c，將點(diǎn)(-x,y)代入得，-x+c+-x-c+2y=2a，即x+c+x-c+2y=2a，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于y軸對(duì)稱，將點(diǎn)(x,-y)代入得，x+c+x-c+2-y=2a，2即x+c+x-c+2y=2a，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于x軸對(duì)稱，將點(diǎn)(-x,-y)代入得，-x+c+-x-c+2-y=2a，即x+c+x-c+2y=2a，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以“橢圓”關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱；所以橢圓C的方程為x23y2 +由題意可設(shè)直線MN的方程為x=my+1(m士0),M(x1m22則y1+y2y2則y1+y2因?yàn)锳M因?yàn)锳M y1,所以直線AM的中垂線的方程為y=-x-y1，同理直線AN的中垂線的方程為y=-x-y2，設(shè)Q(x0,y0)，則y1,y2是方程y0=x0y的兩根，即y1,y2是方程y2+(mx0+y0)y所以直線OQ與MN的斜率之積為定值一3.5．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓上不同三點(diǎn)，且當(dāng)=時(shí)，直線MB和直線MC的斜率之積為一.(1)求b的值；(2)若ΔOAB的面積為1，求x+x和y+y的值；(3)在（2）的條件下，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，求OD.AB的最大值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以O(shè),B,C三點(diǎn)共線，則必有點(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，所以y2=一y3,x2=x3，設(shè)直線MB和直線MC的斜率分別為kMB，kMC，2因?yàn)辄c(diǎn)M為橢圓的左頂點(diǎn)，所以MMC(-2,0)， y3-0y3所以114 -y2(x2+2)(2-x2),（2）設(shè)過A,B兩點(diǎn)的直線為l，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，A,B兩點(diǎn)關(guān)于x對(duì)稱，所以x2=x1，y2=-y1，( 因?yàn)镺到直線l的距離d=，所以S‘OAB=1AB.d=1， 12 12所以.44k2-m2+1..1+4k2m m,整理的4k2-2m2+1=0，符合①式，x22+y2此時(shí)ΔOAB為直角三角形且經(jīng)AOB為直角，x2+y1y2x2)x1x22222解得m2=1，從而k2=，此時(shí)等號(hào)可成立.所以O(shè)D.AB的最大值為.>b>0)的左、右焦點(diǎn)，左頂點(diǎn)為A，則上頂點(diǎn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；PDPNPDPNPMPE..(2)若P是直線x=3上一點(diǎn)，過點(diǎn)P的兩條不同直線分別交C于點(diǎn)D，E和點(diǎn)M，N，且=，求證：直線DE的斜率與直線MN的斜率之和為定值.【答案】(1)xy +【答案】(1)xy +可知可知PDPNPMPEPDPDPNPMPE因?yàn)辄c(diǎn)P在直線x=3上，可設(shè)點(diǎn)P(3,n)，由題可知：直線DE的斜率與直線MN的斜率都存在.設(shè)D(x1,y1)，E(x2,y2)，M(x3,y3)，N(x4,y4)，x+(n3k1)2x2又因?yàn)镻D=1x3，PE=12x3，212..則PD.PE1x31 4n2.又因?yàn)镻DPE=PMPN，則4n2+15=4n2+15，.=，整理可得k=k，所以直線DE的斜率與直線MN的斜率之和為0.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；求直線PQ與直線l的斜率之積的最小值.【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c，（2）設(shè)直線l的方程為x=my-2(m>0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)， 4m所以y1+y2=故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,.PQ因?yàn)橹本€l的斜率k=，所以kPQ.k=當(dāng)且僅當(dāng)m=時(shí)，等號(hào)成立，即直線PQ與直線l斜率之積的最小值為2.8．已知P為圓x2+y2=4上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，M為PQ的中點(diǎn).M的軌跡曲線E.2(1)求曲線E的軌跡方程；(2)曲線E交x軸正半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B.直線l與曲線E交于C，D兩點(diǎn)，若直線l//直線AB，設(shè)直線AC，BD