專題03圓錐曲線的方程（原卷版）

專題03圓錐曲線的方程一．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共3小題）1．（2022秋?洛陽期末）“0＜t＜1”是“曲線表示橢圓”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2022秋?寧陽縣校級期末）以雙曲線﹣＝1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程是．3．（2022秋?渝北區(qū)校級期末）已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，短軸長為2．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線l：y＝kx+m（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點M，N，且線段MN的垂直平分線過定點（1，0），求實數(shù)k的取值范圍．二．橢圓的性質(zhì)（共9小題）4．（2022秋?臺江區(qū)校級期末）以橢圓+＝1的左焦點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．y2＝16x B．y2＝﹣8x C．y2＝﹣16x D．x2＝﹣16y5．（2022秋?道里區(qū)校級期末）橢圓的焦距為（）A．4 B．6 C．8 D．106．（2022秋?葫蘆島期末）設(shè)橢圓＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為B．若|BF2|＝|F1F2|＝4，則該橢圓的方程為（）A． B． C． D．7．（2023春?海淀區(qū)校級期末）已知橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓C上，且PF2⊥F1F2，過P作F1P的垂線交x軸于點A，若，記橢圓的離心率為e，則e2＝（）A． B． C． D．8．（2022秋?潮陽區(qū)期末）已知P，Q是橢圓3x2+6y2＝1上滿足∠POQ＝90°的兩個動點（O為坐標(biāo)原點），則等于（）A．45 B．9 C． D．9．（2022秋?信陽期末）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P為C上一點，|PF1|＝2|PF2|，若C的離心率為，則∠F1PF2＝（）A．150° B．120° C．90° D．60°10．（2022秋?陽泉期末）設(shè)橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2⊥x軸，∠PF1F2＝30°，則橢圓C的離心率等于．11．（2022秋?嶗山區(qū)校級期末）已知橢圓C1：＝1的左右焦點分別為F1、F2，雙曲線C2：＝1（a＞0，b＞0）與C1共焦點，點在雙曲線C2上．（1）求雙曲線C2的方程；（2）已知點P在雙曲線C2上，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面積．12．（2022秋?河北區(qū)期末）已知橢圓＝1（a＞b＞0）的一個頂點為A（0，1），離心率為，過點B（0，﹣2）及左焦點F1的直線交橢圓于C，D兩點，右焦點設(shè)為F2．（1）求橢圓的方程；（2）求△CDF2的面積．三．直線與橢圓的綜合（共3小題）13．（2022秋?西昌市期末）已知橢圓，離心率為．點P（x0，y0）為橢圓C上一動點（其中x0＜0，y0＞0），點F1，F(xiàn)2為橢圓C左右焦點，直線3x0x+4y0y＝0與直線PF2在一象限交于點M，則線段PM長度為（）A．2 B． C．1 D．414．（2022秋?陽泉期末）已知F1是橢圓的左焦點，上頂點B的坐標(biāo)是，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）O為坐標(biāo)原點，直線l過點F1且與橢圓相交于P，Q兩點，過點F1作EF1⊥PQ，與直線x＝﹣3相交于點E，連接OE，與線段PQ相交于點M，求證：點M為線段PQ的中點．15．（2022秋?萍鄉(xiāng)期末）已知橢圓C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，點P在橢圓C上，PF1⊥F1F2，|PF1|＝．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知M是直線l：x＝t上的一點，是否存在這樣的直線l，使得過點M的直線與橢圓C相切于點N，且以MN為直徑的圓過點F2？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．四．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（共2小題）16．（2022秋?大豐區(qū)校級期末）拋物線y2＝2x的準(zhǔn)線方程是（）A． B． C． D．17．（2022秋?廣東期末）設(shè)拋物線y2＝mx的準(zhǔn)線與直線x＝1的距離為3，則拋物線的方程為．五．拋物線的性質(zhì)（共7小題）18．（2022秋?攀枝花期末）對拋物線y＝x2，下列描述正確的是（）A．開口向上，焦點為（0，1） B．開口向右，焦點為（1，0） C．開口向上，焦點為（0，） D．開口向右，焦點為（，0）19．（2022秋?阿拉善左旗校級期末）拋物線x2＝6y的準(zhǔn)線方程為（）A．x＝﹣ B．x＝﹣3 C．y＝﹣ D．y＝﹣320．（2022秋?長樂區(qū)期末）拋物線y2＝2px上橫坐標(biāo)為4的點到此拋物線焦點的距離為9，則該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為（）A．4 B．9 C．10 D．1821．（2022秋?二道區(qū)校級期末）數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù)，如圖，吉林大學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物，若將校門輪廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成拋物線y＝ax2的一部分，其焦點坐標(biāo)為（0，﹣2），校門最高點到地面距離約為18米，則校門位于地面寬度最大約為（）A．18米 B．21米 C．24米 D．27米22．（2022秋?重慶期末）拋物線C：y2＝﹣12x的焦點為F，P為拋物線C上一動點，定點A（﹣5，2），則|PA|+|PF|的最小值為（）A．8 B．6 C．5 D．923．（2022秋?天河區(qū)校級期末）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點M在拋物線C的準(zhǔn)線l上，線段MF與y軸交于點A，與拋物線C交于點B，若|AB|＝1，|MA|＝3，則p＝（）A．1 B．2 C．3 D．424．（2022秋?福州期末）如圖所示，高腳杯的軸截面為拋物線，往杯中緩慢倒水，當(dāng)杯中的水深為2cm時，水面寬度為6cm，當(dāng)水面再上升1cm時，水面寬度為．六．直線與拋物線的綜合（共3小題）25．（2022秋?南崗區(qū)校級期末）已知直線l1：4x﹣3y+6＝0和直線l2：x＝﹣1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是（）A．2 B．3 C． D．26．（2022秋?南岸區(qū)校級期末）如圖，設(shè)拋物線y2＝2px的焦點為F，過x軸上一定點D（2，0）作斜率為2的直線l與拋物線相交于A，B兩點，與y軸交于點C，記△BCF的面積為S1，△ACF的面積為S2，若，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x27．（2022秋?涪城區(qū)期末）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點F到雙曲線﹣y2＝1的漸近線的距離為．（1）求拋物線C的方程；（2）過原點作兩條相互垂直的直線交曲線C于異于原點的兩點A，B，直線AB與x軸相交于N，試探究在x軸上是否存在異于N的定點M，使得x軸為∠AMB的角平分線，若存在，請求出M點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．七．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（共3小題）28．（2022秋?河?xùn)|區(qū)期末）等軸雙曲線的一個焦點是F1（﹣6，0），則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．29．（2022秋?宿遷期末）體育館等建筑的屋頂一般采用曲面結(jié)構(gòu)．如圖所示，某建筑的屋頂采用雙曲面結(jié)構(gòu)，該建筑屋頂外形弧線可看作是雙曲線上支的部分，其漸近線方程為y＝±x，上焦點坐標(biāo)為（0，），那么該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．＝1 B．＝1 C． D．＝130．（2022秋?阿勒泰地區(qū)期末）求下列各曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）與橢圓+＝1有公共焦點，且離心率e＝的雙曲線的方程．（2）拋物線的焦點是雙曲線16x2﹣9y2＝144的左頂點．求拋物線方程．八．雙曲線的性質(zhì)（共11小題）31．（2022秋?徐州期末）雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C．y＝±3x D．32．（2022秋?大通縣期末）已知雙曲線C的左、右焦點分別為F1（﹣4，0），F(xiàn)2（4，0），M是雙曲線上一點且||MF1|﹣|MF2||＝，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．33．（2022秋?建鄴區(qū)校級期末）過點（3，2）且與橢圓3x2+8y2＝24有相同焦點的雙曲線方程為（）A． B． C． D．34．（2023春?柯坪縣校級期末）與雙曲線有相同的焦點，且短半軸長為的橢圓方程是（）A． B． C． D．35．（2022秋?南開區(qū)校級期末）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，P是C上位于第一象限的一點，且，則△PF1F2的面積為（）A．2 B．4 C． D．36．（2022秋?和平區(qū)校級期末）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，P是它們的一個交點，且∠F1PF2＝，記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2，則e1?e2的最小值為（）A． B． C． D．337．（2022秋?中山市校級期末）圓錐曲線有良好的光學(xué)性質(zhì)，光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點（如左圖）；光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出（如中圖）．封閉曲線E（如右圖）是由橢圓C1：+＝1和雙曲線C2：﹣＝1在y軸右側(cè)的一部分（實線）圍成．光線從橢圓C1上一點P0出發(fā)，經(jīng)過點F2，然后在曲線E內(nèi)多次反射，反射點依次為P1，P2，P3，P4，…，若P0，P4重合，則光線從P0到P4所經(jīng)過的路程為．38．（2022秋?辛集市期末）已知雙曲線的右焦點為F，關(guān)于原點對稱的兩點A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，且點C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．239．（2022秋?攀枝花期末）設(shè)F2是雙曲線的右焦點，O為坐標(biāo)原點，過F2的直線交雙曲線的右支于點P、N，直線PO交雙曲線C于另一點M，若|MF2|＝3|PF2|，且∠MF2N＝60°，則雙曲線C的離心率為．40．（2022秋?湖北期末）P是雙曲線右支在第一象限內(nèi)一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點，A為右頂點，如圖圓C是△PF1F2的內(nèi)切圓，設(shè)圓與PF1，PF2分別切于點D，E，若圓C的半徑為2，直線PF1的斜率為．41．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級期末）已知雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過點（2，3）．（1）求雙曲線C的方程；（2）已知雙曲線C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線l經(jīng)過F2，傾斜角為，l與雙曲線C交于A，B兩點，求△F1AB的面積．九．直線與雙曲線的綜合（共3小題）42．（2022秋?攀枝花期末）已知雙曲線C的離心率為，且經(jīng)過點．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點M（2，1）的直線l交雙曲線C于A、B兩點，且M為AB的中點，求直線l的方程．43．（2022秋?嘉興期末）已知雙曲線C：＝1（a＞0，b＞0）的兩個焦點坐標(biāo)分別為、，C的一條漸近線經(jīng)過點（1，2）．（1）求雙曲線C的方程；（2）若A為C的右頂點，過原點O且異于坐標(biāo)軸的直線與C交于M、N兩點，直線AM與圓O：x2+y2＝a2的另一交點為P，直線AN與圓O的另一交點為Q．證明：直線PQ過定點．44．（2022秋?蓮湖區(qū)校級期末）已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)D為雙曲線C的右頂點，直線l與雙曲線C交于不同于D的E，F(xiàn)兩點，若以EF為直徑的圓經(jīng)過點D，且DG⊥EF于點G，證明：存在定點H，使|GH|為定值．一十．曲線與方程（共2小題）（多選）45．（2022秋?白云區(qū)校級期末）已知曲線C的方程為＝1（m∈R），則（）A．當(dāng)m＝1時，曲線C為圓 B．當(dāng)m＞1時，曲線C為焦點在x軸上的橢圓 C．當(dāng)m＝5時，曲線C為雙曲線，其漸近線方程為 D．存在實數(shù)m使得曲線C為雙曲線，其離心率為46．（2022秋?營口期末）由曲線x2+y2＝2|x|+2|y|圍成的圖形的面積為．一十一．直線與圓錐曲線的綜合（共3小題）47．（2022秋?銅梁區(qū)期末）已知F1（﹣3，0），F(xiàn)2（3，0），點P滿足|PF1|﹣|PF2|＝4，記點P的軌跡為曲線C．斜率為k的直線l過點F2，且與曲線C相交于A，B兩點．（1）求曲線C的方程；（2）求斜率k的取值范圍；（3）在x軸上是否存在定點M，使得無論直線l繞點F2怎樣轉(zhuǎn)動，總有kAM+kBM＝0成立？如果存在，求出定點M；如果不存在，請說明理由．48．（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知A（﹣2，0），B（2，0），動點P滿足條件：直線PA與直線PB的斜率之積等于，記動點P的軌跡為E．（1）求E的方程；（2）過點C（4，0）作直線l交E于M，N兩點，直線AM與BN交點Q是否在一條定直線上？若是，求出這條直線方程；若不是，說明理由．49．（2022秋?潢川縣校級期末）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點，T為直線x＝﹣3上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q．證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點）．一十二．圓錐曲線的綜合（共2小題）50．（2022秋?老河口市校級期末）已知F1，F(xiàn)2是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且|PF1|＜|PF2|，線段PF1的垂直平分線經(jīng)過點F2，若橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，則的最小值為（）A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣651．（2022秋?青山區(qū)校級期末）已知橢圓C1：與雙曲線C2：有相同的焦點F1、F2，橢圓C1的離心率為e1，雙曲線C2的離心率為e2，點P為橢圓C1與雙曲線C2的交點，且，則的最大值為（）A． B． C． D．一十三．圓與圓錐曲線的綜合（共3小題）52．（2022秋?吉水縣校級期末）點P為橢圓C：+＝1（a＞1）上的任意﹣一點，AB為圓M：（x﹣1）2+y2＝1的任意一條直徑，若的最大值為15，則a＝．53．（2022秋?信宜市期末）已知過橢圓E：上的動點P作圓C（C為圓心）：x2﹣2x+y2＝0的兩條切線，切點分別為A，B，若∠ACB的最小值為，則橢圓E的離心率為．54．（2022秋?增城區(qū)期末）已知圓x2+y2＝12與拋物線x2＝2py（p＞0）相交于A，B兩點，點B的橫坐標(biāo)為2，F(xiàn)為拋物線的焦點．（1）求拋物線的方程；（2）若過點F且斜率為1的直線l與拋物線和圓交于四個不同的點，從左至右依次為P1，P2，P3，P4，求|P1P2|﹣|P3P4|的值．一．選擇題（共2小題）1．（2022秋?西湖區(qū)校級期末）已知橢圓Γ：內(nèi)有一定點P（1，1），過點P的兩條直線l1，l2分別與橢圓Γ交于A、C和B、D兩點，且滿足，，若λ變化時，直線CD的斜率總為，則橢圓Γ的離心率為（）A． B． C． D．2．（2022秋?益陽期末）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：的左、右焦點，過F2的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點（其中點A在第一象限）．設(shè)點H，G分別為△AF1F2，△BF1F2的內(nèi)心，則|HG|的取值范圍是（）A．[2，4） B．[2，） C．（，2] D．[2，）二．多選題（共3小題）（多選）3．（2022秋?吉林期末）在橢圓中，其所有外切矩形的頂點在一個定圓Γ：x2+y2＝a2+b2上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓．該圓由法國數(shù)學(xué)家G?Monge（1746﹣1818）最先發(fā)現(xiàn)．若橢圓，則下列說法正確的有（）A．橢圓C外切矩形面積的最小值為48 B．橢圓C外切矩形面積的最大值為48 C．點P（x，y）為蒙日圓Γ上任意一點，點M（﹣10，0），N（0，10），當(dāng)∠PMN取最大值時，tan∠PMN＝2+ D．若橢圓C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過橢圓C上一點P和原點作直線l與蒙日圓相交于點M，N，則PF1?PF2＝PM?PN（多選）4．（2022秋?保定期末）若直線l與拋物線C：y2＝2px有且僅有一個公共點P（x0，y0），且l與C的對稱軸不平行，則稱直線l與拋物線C相切，公共點P稱為切點，且拋物線C在點P處的切線方程為y0y＝px0+px．已知拋物線C：y2＝4x上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2）．過點A，B分別作拋物線C的兩條切線l1，l2，直線l1，l2交于點Q（x3，y3），過拋物線C上異于A，B的一點D（x4，y4）的切線l3分別與l1，l2交于點M，N，則（）A．直線AB的方程為y3y＝2x+2x3 B．點A，Q，B的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列 C．|QA|?|BN|＝|QB|?|QM| D．|MN|?|BN|＝|QB|?|DN|（多選）5．（2022秋?麗水期末）已知拋物線C：y2＝4x，點A（﹣1，0），B（0，m）（m≠0），過點B的直線與拋物線C交于P，Q兩點，AP，AQ分別交拋物線C于M，N兩點，O為坐標(biāo)原點，則（）A．焦點坐標(biāo)為（2，0） B．向量與的數(shù)量積為5 C．直線MN的斜率為m D．若直線PQ過焦點F，則OF平分∠PAQ三．填空題（共4小題）6．（2022秋?香洲區(qū)校級期末）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸交于點M，過F的直線l交C于A、B兩點，交準(zhǔn)線于點D．若BM平分∠AMD，|AB|＝6，則C的方程為．7．（2022秋?張家界期末）如圖，已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過右焦點作平行于一條漸近線的直線交雙曲線于點A，若△AF1F2的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為．8．（2022秋?河北區(qū)校級期末）已知互不相同的三點M、N、P均在雙曲線H：上，PM⊥PN，PD⊥MN，垂足為D，點O為坐標(biāo)原點，若，則的最大值為．9．（2022秋?福州期末）如圖，已知一酒杯的內(nèi)壁是由拋物線x2＝2py（p＞0）旋轉(zhuǎn)形成的拋物面，當(dāng)放入一個半徑為1的玻璃球時，玻璃球可碰到酒杯底部的A點，當(dāng)放入一個半徑為2的玻璃球時，玻璃球不能碰到酒杯底部的A點，則p的取值范圍為．四．解答題（共13小題）10．（2022秋?懷柔區(qū)期末）已知橢圓C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝4，且a＝b．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點F1的直線l與橢圓C交于A，B兩個不同的點，求證：x軸上存在定點P，使得直線PA與直線PB的斜率之和為零．11．（2022秋?綿陽期末）已知橢圓C：的離心率為，其左、右焦點分別為F1、F2，上頂點為P，且．（1）求橢圓C的方程；（2）直線l：y＝kx+m（m＞0）與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點．試求當(dāng)k為何值時，|OA|2+|OB|2恒為定值，并求此時△AOB面積的最大值．12．（2022秋?惠州期末）已知雙曲線的右焦點為F（2，0），O為坐標(biāo)原點，雙曲線C的兩條漸近線的夾角為．（1）求雙曲線C的方程；（2）過點F作直線l交C于P，Q兩點，在x軸上是否存在定點M，使為定值？若存在，求出定點M的坐標(biāo)及這個定值；若不存在，說明理由．13．（2022秋?肇慶期末）已知橢圓，左頂點為A，右頂點為B．（1）求橢圓的長軸長與短軸長的差值；（2）已知定直線，點S為橢圓上位于x軸上方的動點，直線AS，BS分別與直線l交于點D與E．當(dāng)DE的長度最小時，橢圓上是否存在這樣的點T，滿足△TBS的面積為？若存在，確定點T的個數(shù)；若不存在，請說明理由．14．（2022秋?諸暨市期末）已知橢圓C1：＝1（a＞b＞0），離心率為，右焦點為F2，拋物線C2：x2＝﹣2by的焦點F到其準(zhǔn)線的距離為1．（1）求C1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過F2作斜率為的直線交橢圓C1于B，D，交y軸于A，BD的中垂線交y軸于E，記以弦BD為直徑的圓M的面積為S1，△MAE的面積為S2，求S1：S2；（3）已知n≥2且n∈N*，若斜率為的直線與橢圓C1相交于P，Q兩點，且PQ中點N恰在拋物線C2上．記N的橫坐標(biāo)為xn，求xn的最大值．15．（2022秋?奉化區(qū)期末）已知離心率為的橢圓過點．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l：y＝k（x﹣1）與橢圓C交于不同的兩點E、F，直線AE、AF分別交直線x＝3于點M、N．當(dāng)△AMN面積為8時，求k的值．16．（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）已知橢圓C：＝1，A1，A2為橢圓C的左、右頂點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，Q為橢圓C上任意一點．（1）求直線QA1和QA2的斜率之積；（2）直線l交橢圓C于點M，N