專題03圓錐曲線的方程(原卷版)_第1頁
專題03圓錐曲線的方程(原卷版)_第2頁
專題03圓錐曲線的方程(原卷版)_第3頁
專題03圓錐曲線的方程(原卷版)_第4頁
專題03圓錐曲線的方程(原卷版)_第5頁
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文檔簡介

專題03圓錐曲線的方程一.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(共3小題)1.(2022秋?洛陽期末)“0<t<1”是“曲線表示橢圓”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.(2022秋?寧陽縣校級期末)以雙曲線﹣=1的焦點為頂點,頂點為焦點的橢圓方程是.3.(2022秋?渝北區(qū)校級期末)已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為,短軸長為2.(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)若直線l:y=kx+m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點M,N,且線段MN的垂直平分線過定點(1,0),求實數(shù)k的取值范圍.二.橢圓的性質(zhì)(共9小題)4.(2022秋?臺江區(qū)校級期末)以橢圓+=1的左焦點為焦點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.y2=16x B.y2=﹣8x C.y2=﹣16x D.x2=﹣16y5.(2022秋?道里區(qū)校級期末)橢圓的焦距為()A.4 B.6 C.8 D.106.(2022秋?葫蘆島期末)設(shè)橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,上頂點為B.若|BF2|=|F1F2|=4,則該橢圓的方程為()A. B. C. D.7.(2023春?海淀區(qū)校級期末)已知橢圓的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P在橢圓C上,且PF2⊥F1F2,過P作F1P的垂線交x軸于點A,若,記橢圓的離心率為e,則e2=()A. B. C. D.8.(2022秋?潮陽區(qū)期末)已知P,Q是橢圓3x2+6y2=1上滿足∠POQ=90°的兩個動點(O為坐標(biāo)原點),則等于()A.45 B.9 C. D.9.(2022秋?信陽期末)已知F1,F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點,P為C上一點,|PF1|=2|PF2|,若C的離心率為,則∠F1PF2=()A.150° B.120° C.90° D.60°10.(2022秋?陽泉期末)設(shè)橢圓C:的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,P是C上的點,PF2⊥x軸,∠PF1F2=30°,則橢圓C的離心率等于.11.(2022秋?嶗山區(qū)校級期末)已知橢圓C1:=1的左右焦點分別為F1、F2,雙曲線C2:=1(a>0,b>0)與C1共焦點,點在雙曲線C2上.(1)求雙曲線C2的方程;(2)已知點P在雙曲線C2上,且∠F1PF2=60°,求△PF1F2的面積.12.(2022秋?河北區(qū)期末)已知橢圓=1(a>b>0)的一個頂點為A(0,1),離心率為,過點B(0,﹣2)及左焦點F1的直線交橢圓于C,D兩點,右焦點設(shè)為F2.(1)求橢圓的方程;(2)求△CDF2的面積.三.直線與橢圓的綜合(共3小題)13.(2022秋?西昌市期末)已知橢圓,離心率為.點P(x0,y0)為橢圓C上一動點(其中x0<0,y0>0),點F1,F(xiàn)2為橢圓C左右焦點,直線3x0x+4y0y=0與直線PF2在一象限交于點M,則線段PM長度為()A.2 B. C.1 D.414.(2022秋?陽泉期末)已知F1是橢圓的左焦點,上頂點B的坐標(biāo)是,離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)O為坐標(biāo)原點,直線l過點F1且與橢圓相交于P,Q兩點,過點F1作EF1⊥PQ,與直線x=﹣3相交于點E,連接OE,與線段PQ相交于點M,求證:點M為線段PQ的中點.15.(2022秋?萍鄉(xiāng)期末)已知橢圓C的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,離心率為,點P在橢圓C上,PF1⊥F1F2,|PF1|=.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知M是直線l:x=t上的一點,是否存在這樣的直線l,使得過點M的直線與橢圓C相切于點N,且以MN為直徑的圓過點F2?若存在,求出直線l的方程,若不存在,說明理由.四.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(共2小題)16.(2022秋?大豐區(qū)校級期末)拋物線y2=2x的準(zhǔn)線方程是()A. B. C. D.17.(2022秋?廣東期末)設(shè)拋物線y2=mx的準(zhǔn)線與直線x=1的距離為3,則拋物線的方程為.五.拋物線的性質(zhì)(共7小題)18.(2022秋?攀枝花期末)對拋物線y=x2,下列描述正確的是()A.開口向上,焦點為(0,1) B.開口向右,焦點為(1,0) C.開口向上,焦點為(0,) D.開口向右,焦點為(,0)19.(2022秋?阿拉善左旗校級期末)拋物線x2=6y的準(zhǔn)線方程為()A.x=﹣ B.x=﹣3 C.y=﹣ D.y=﹣320.(2022秋?長樂區(qū)期末)拋物線y2=2px上橫坐標(biāo)為4的點到此拋物線焦點的距離為9,則該拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為()A.4 B.9 C.10 D.1821.(2022秋?二道區(qū)校級期末)數(shù)學(xué)與建筑的結(jié)合造就建筑藝術(shù),如圖,吉林大學(xué)的校門是一拋物線形水泥建筑物,若將校門輪廓(忽略水泥建筑的厚度)近似看成拋物線y=ax2的一部分,其焦點坐標(biāo)為(0,﹣2),校門最高點到地面距離約為18米,則校門位于地面寬度最大約為()A.18米 B.21米 C.24米 D.27米22.(2022秋?重慶期末)拋物線C:y2=﹣12x的焦點為F,P為拋物線C上一動點,定點A(﹣5,2),則|PA|+|PF|的最小值為()A.8 B.6 C.5 D.923.(2022秋?天河區(qū)校級期末)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點M在拋物線C的準(zhǔn)線l上,線段MF與y軸交于點A,與拋物線C交于點B,若|AB|=1,|MA|=3,則p=()A.1 B.2 C.3 D.424.(2022秋?福州期末)如圖所示,高腳杯的軸截面為拋物線,往杯中緩慢倒水,當(dāng)杯中的水深為2cm時,水面寬度為6cm,當(dāng)水面再上升1cm時,水面寬度為.六.直線與拋物線的綜合(共3小題)25.(2022秋?南崗區(qū)校級期末)已知直線l1:4x﹣3y+6=0和直線l2:x=﹣1,拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()A.2 B.3 C. D.26.(2022秋?南岸區(qū)校級期末)如圖,設(shè)拋物線y2=2px的焦點為F,過x軸上一定點D(2,0)作斜率為2的直線l與拋物線相交于A,B兩點,與y軸交于點C,記△BCF的面積為S1,△ACF的面積為S2,若,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x27.(2022秋?涪城區(qū)期末)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F到雙曲線﹣y2=1的漸近線的距離為.(1)求拋物線C的方程;(2)過原點作兩條相互垂直的直線交曲線C于異于原點的兩點A,B,直線AB與x軸相交于N,試探究在x軸上是否存在異于N的定點M,使得x軸為∠AMB的角平分線,若存在,請求出M點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.七.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(共3小題)28.(2022秋?河?xùn)|區(qū)期末)等軸雙曲線的一個焦點是F1(﹣6,0),則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.29.(2022秋?宿遷期末)體育館等建筑的屋頂一般采用曲面結(jié)構(gòu).如圖所示,某建筑的屋頂采用雙曲面結(jié)構(gòu),該建筑屋頂外形弧線可看作是雙曲線上支的部分,其漸近線方程為y=±x,上焦點坐標(biāo)為(0,),那么該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.=1 B.=1 C. D.=130.(2022秋?阿勒泰地區(qū)期末)求下列各曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)與橢圓+=1有公共焦點,且離心率e=的雙曲線的方程.(2)拋物線的焦點是雙曲線16x2﹣9y2=144的左頂點.求拋物線方程.八.雙曲線的性質(zhì)(共11小題)31.(2022秋?徐州期末)雙曲線的漸近線方程是()A. B. C.y=±3x D.32.(2022秋?大通縣期末)已知雙曲線C的左、右焦點分別為F1(﹣4,0),F(xiàn)2(4,0),M是雙曲線上一點且||MF1|﹣|MF2||=,則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.33.(2022秋?建鄴區(qū)校級期末)過點(3,2)且與橢圓3x2+8y2=24有相同焦點的雙曲線方程為()A. B. C. D.34.(2023春?柯坪縣校級期末)與雙曲線有相同的焦點,且短半軸長為的橢圓方程是()A. B. C. D.35.(2022秋?南開區(qū)校級期末)已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點,P是C上位于第一象限的一點,且,則△PF1F2的面積為()A.2 B.4 C. D.36.(2022秋?和平區(qū)校級期末)已知橢圓和雙曲線有共同的焦點F1,F(xiàn)2,P是它們的一個交點,且∠F1PF2=,記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1,e2,則e1?e2的最小值為()A. B. C. D.337.(2022秋?中山市校級期末)圓錐曲線有良好的光學(xué)性質(zhì),光線從橢圓的一個焦點發(fā)出,被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點(如左圖);光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出,被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出(如中圖).封閉曲線E(如右圖)是由橢圓C1:+=1和雙曲線C2:﹣=1在y軸右側(cè)的一部分(實線)圍成.光線從橢圓C1上一點P0出發(fā),經(jīng)過點F2,然后在曲線E內(nèi)多次反射,反射點依次為P1,P2,P3,P4,…,若P0,P4重合,則光線從P0到P4所經(jīng)過的路程為.38.(2022秋?辛集市期末)已知雙曲線的右焦點為F,關(guān)于原點對稱的兩點A、B分別在雙曲線的左、右兩支上,,且點C在雙曲線上,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.239.(2022秋?攀枝花期末)設(shè)F2是雙曲線的右焦點,O為坐標(biāo)原點,過F2的直線交雙曲線的右支于點P、N,直線PO交雙曲線C于另一點M,若|MF2|=3|PF2|,且∠MF2N=60°,則雙曲線C的離心率為.40.(2022秋?湖北期末)P是雙曲線右支在第一象限內(nèi)一點,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為其左、右焦點,A為右頂點,如圖圓C是△PF1F2的內(nèi)切圓,設(shè)圓與PF1,PF2分別切于點D,E,若圓C的半徑為2,直線PF1的斜率為.41.(2022秋?城關(guān)區(qū)校級期末)已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)與雙曲線的漸近線相同,且經(jīng)過點(2,3).(1)求雙曲線C的方程;(2)已知雙曲線C的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,直線l經(jīng)過F2,傾斜角為,l與雙曲線C交于A,B兩點,求△F1AB的面積.九.直線與雙曲線的綜合(共3小題)42.(2022秋?攀枝花期末)已知雙曲線C的離心率為,且經(jīng)過點.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)經(jīng)過點M(2,1)的直線l交雙曲線C于A、B兩點,且M為AB的中點,求直線l的方程.43.(2022秋?嘉興期末)已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的兩個焦點坐標(biāo)分別為、,C的一條漸近線經(jīng)過點(1,2).(1)求雙曲線C的方程;(2)若A為C的右頂點,過原點O且異于坐標(biāo)軸的直線與C交于M、N兩點,直線AM與圓O:x2+y2=a2的另一交點為P,直線AN與圓O的另一交點為Q.證明:直線PQ過定點.44.(2022秋?蓮湖區(qū)校級期末)已知雙曲線的右焦點為,漸近線方程為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)D為雙曲線C的右頂點,直線l與雙曲線C交于不同于D的E,F(xiàn)兩點,若以EF為直徑的圓經(jīng)過點D,且DG⊥EF于點G,證明:存在定點H,使|GH|為定值.一十.曲線與方程(共2小題)(多選)45.(2022秋?白云區(qū)校級期末)已知曲線C的方程為=1(m∈R),則()A.當(dāng)m=1時,曲線C為圓 B.當(dāng)m>1時,曲線C為焦點在x軸上的橢圓 C.當(dāng)m=5時,曲線C為雙曲線,其漸近線方程為 D.存在實數(shù)m使得曲線C為雙曲線,其離心率為46.(2022秋?營口期末)由曲線x2+y2=2|x|+2|y|圍成的圖形的面積為.一十一.直線與圓錐曲線的綜合(共3小題)47.(2022秋?銅梁區(qū)期末)已知F1(﹣3,0),F(xiàn)2(3,0),點P滿足|PF1|﹣|PF2|=4,記點P的軌跡為曲線C.斜率為k的直線l過點F2,且與曲線C相交于A,B兩點.(1)求曲線C的方程;(2)求斜率k的取值范圍;(3)在x軸上是否存在定點M,使得無論直線l繞點F2怎樣轉(zhuǎn)動,總有kAM+kBM=0成立?如果存在,求出定點M;如果不存在,請說明理由.48.(2022秋?鼓樓區(qū)校級期末)在直角坐標(biāo)平面內(nèi),已知A(﹣2,0),B(2,0),動點P滿足條件:直線PA與直線PB的斜率之積等于,記動點P的軌跡為E.(1)求E的方程;(2)過點C(4,0)作直線l交E于M,N兩點,直線AM與BN交點Q是否在一條定直線上?若是,求出這條直線方程;若不是,說明理由.49.(2022秋?潢川縣校級期末)已知橢圓C:=1(a>b>0)的焦距為4,其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點,T為直線x=﹣3上任意一點,過F作TF的垂線交橢圓C于點P,Q.證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點).一十二.圓錐曲線的綜合(共2小題)50.(2022秋?老河口市校級期末)已知F1,F(xiàn)2是橢圓與雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且|PF1|<|PF2|,線段PF1的垂直平分線經(jīng)過點F2,若橢圓的離心率為e1,雙曲線的離心率為e2,則的最小值為()A.2 B.﹣2 C.6 D.﹣651.(2022秋?青山區(qū)校級期末)已知橢圓C1:與雙曲線C2:有相同的焦點F1、F2,橢圓C1的離心率為e1,雙曲線C2的離心率為e2,點P為橢圓C1與雙曲線C2的交點,且,則的最大值為()A. B. C. D.一十三.圓與圓錐曲線的綜合(共3小題)52.(2022秋?吉水縣校級期末)點P為橢圓C:+=1(a>1)上的任意﹣一點,AB為圓M:(x﹣1)2+y2=1的任意一條直徑,若的最大值為15,則a=.53.(2022秋?信宜市期末)已知過橢圓E:上的動點P作圓C(C為圓心):x2﹣2x+y2=0的兩條切線,切點分別為A,B,若∠ACB的最小值為,則橢圓E的離心率為.54.(2022秋?增城區(qū)期末)已知圓x2+y2=12與拋物線x2=2py(p>0)相交于A,B兩點,點B的橫坐標(biāo)為2,F(xiàn)為拋物線的焦點.(1)求拋物線的方程;(2)若過點F且斜率為1的直線l與拋物線和圓交于四個不同的點,從左至右依次為P1,P2,P3,P4,求|P1P2|﹣|P3P4|的值.一.選擇題(共2小題)1.(2022秋?西湖區(qū)校級期末)已知橢圓Γ:內(nèi)有一定點P(1,1),過點P的兩條直線l1,l2分別與橢圓Γ交于A、C和B、D兩點,且滿足,,若λ變化時,直線CD的斜率總為,則橢圓Γ的離心率為()A. B. C. D.2.(2022秋?益陽期末)已知F1,F(xiàn)2分別為雙曲線C:的左、右焦點,過F2的直線與雙曲線C的右支交于A,B兩點(其中點A在第一象限).設(shè)點H,G分別為△AF1F2,△BF1F2的內(nèi)心,則|HG|的取值范圍是()A.[2,4) B.[2,) C.(,2] D.[2,)二.多選題(共3小題)(多選)3.(2022秋?吉林期末)在橢圓中,其所有外切矩形的頂點在一個定圓Γ:x2+y2=a2+b2上,稱此圓為該橢圓的蒙日圓.該圓由法國數(shù)學(xué)家G?Monge(1746﹣1818)最先發(fā)現(xiàn).若橢圓,則下列說法正確的有()A.橢圓C外切矩形面積的最小值為48 B.橢圓C外切矩形面積的最大值為48 C.點P(x,y)為蒙日圓Γ上任意一點,點M(﹣10,0),N(0,10),當(dāng)∠PMN取最大值時,tan∠PMN=2+ D.若橢圓C的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過橢圓C上一點P和原點作直線l與蒙日圓相交于點M,N,則PF1?PF2=PM?PN(多選)4.(2022秋?保定期末)若直線l與拋物線C:y2=2px有且僅有一個公共點P(x0,y0),且l與C的對稱軸不平行,則稱直線l與拋物線C相切,公共點P稱為切點,且拋物線C在點P處的切線方程為y0y=px0+px.已知拋物線C:y2=4x上有兩點A(x1,y1),B(x2,y2).過點A,B分別作拋物線C的兩條切線l1,l2,直線l1,l2交于點Q(x3,y3),過拋物線C上異于A,B的一點D(x4,y4)的切線l3分別與l1,l2交于點M,N,則()A.直線AB的方程為y3y=2x+2x3 B.點A,Q,B的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列 C.|QA|?|BN|=|QB|?|QM| D.|MN|?|BN|=|QB|?|DN|(多選)5.(2022秋?麗水期末)已知拋物線C:y2=4x,點A(﹣1,0),B(0,m)(m≠0),過點B的直線與拋物線C交于P,Q兩點,AP,AQ分別交拋物線C于M,N兩點,O為坐標(biāo)原點,則()A.焦點坐標(biāo)為(2,0) B.向量與的數(shù)量積為5 C.直線MN的斜率為m D.若直線PQ過焦點F,則OF平分∠PAQ三.填空題(共4小題)6.(2022秋?香洲區(qū)校級期末)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準(zhǔn)線與x軸交于點M,過F的直線l交C于A、B兩點,交準(zhǔn)線于點D.若BM平分∠AMD,|AB|=6,則C的方程為.7.(2022秋?張家界期末)如圖,已知雙曲線的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過右焦點作平行于一條漸近線的直線交雙曲線于點A,若△AF1F2的內(nèi)切圓半徑為,則雙曲線的離心率為.8.(2022秋?河北區(qū)校級期末)已知互不相同的三點M、N、P均在雙曲線H:上,PM⊥PN,PD⊥MN,垂足為D,點O為坐標(biāo)原點,若,則的最大值為.9.(2022秋?福州期末)如圖,已知一酒杯的內(nèi)壁是由拋物線x2=2py(p>0)旋轉(zhuǎn)形成的拋物面,當(dāng)放入一個半徑為1的玻璃球時,玻璃球可碰到酒杯底部的A點,當(dāng)放入一個半徑為2的玻璃球時,玻璃球不能碰到酒杯底部的A點,則p的取值范圍為.四.解答題(共13小題)10.(2022秋?懷柔區(qū)期末)已知橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=4,且a=b.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)過點F1的直線l與橢圓C交于A,B兩個不同的點,求證:x軸上存在定點P,使得直線PA與直線PB的斜率之和為零.11.(2022秋?綿陽期末)已知橢圓C:的離心率為,其左、右焦點分別為F1、F2,上頂點為P,且.(1)求橢圓C的方程;(2)直線l:y=kx+m(m>0)與橢圓C交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點.試求當(dāng)k為何值時,|OA|2+|OB|2恒為定值,并求此時△AOB面積的最大值.12.(2022秋?惠州期末)已知雙曲線的右焦點為F(2,0),O為坐標(biāo)原點,雙曲線C的兩條漸近線的夾角為.(1)求雙曲線C的方程;(2)過點F作直線l交C于P,Q兩點,在x軸上是否存在定點M,使為定值?若存在,求出定點M的坐標(biāo)及這個定值;若不存在,說明理由.13.(2022秋?肇慶期末)已知橢圓,左頂點為A,右頂點為B.(1)求橢圓的長軸長與短軸長的差值;(2)已知定直線,點S為橢圓上位于x軸上方的動點,直線AS,BS分別與直線l交于點D與E.當(dāng)DE的長度最小時,橢圓上是否存在這樣的點T,滿足△TBS的面積為?若存在,確定點T的個數(shù);若不存在,請說明理由.14.(2022秋?諸暨市期末)已知橢圓C1:=1(a>b>0),離心率為,右焦點為F2,拋物線C2:x2=﹣2by的焦點F到其準(zhǔn)線的距離為1.(1)求C1,C2的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若過F2作斜率為的直線交橢圓C1于B,D,交y軸于A,BD的中垂線交y軸于E,記以弦BD為直徑的圓M的面積為S1,△MAE的面積為S2,求S1:S2;(3)已知n≥2且n∈N*,若斜率為的直線與橢圓C1相交于P,Q兩點,且PQ中點N恰在拋物線C2上.記N的橫坐標(biāo)為xn,求xn的最大值.15.(2022秋?奉化區(qū)期末)已知離心率為的橢圓過點.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)設(shè)直線l:y=k(x﹣1)與橢圓C交于不同的兩點E、F,直線AE、AF分別交直線x=3于點M、N.當(dāng)△AMN面積為8時,求k的值.16.(2022秋?岳麓區(qū)校級期末)已知橢圓C:=1,A1,A2為橢圓C的左、右頂點,F(xiàn)1,F(xiàn)2為左、右焦點,Q為橢圓C上任意一點.(1)求直線QA1和QA2的斜率之積;(2)直線l交橢圓C于點M,N

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