傳染病模型專題知識

傳染病模型專題知識傳染病模型專題知識第1頁傳染病模型目標

描述傳染病傳輸過程

分析受感染人數(shù)改變規(guī)律

預報傳染病高潮到來時刻

預防傳染病蔓延伎倆

按照傳輸過程普通規(guī)律，用機理分析方法建立模型傳染病模型專題知識第2頁一、微分方程建模在研究實際問題時，經(jīng)常會包括到一些變量改變率或?qū)?shù)問題，這么所得到變量之間關系式就是微分方程模型。微分方程模型反應是變量之間間接關系，所以，要得到直接關系，就得求解微分方程。求解微分方程有三種方法：

1）求準確解；2）求數(shù)值解（近似解）；3）定性理論方法。傳染病模型專題知識第3頁建立微分方程模型方法（1）依據(jù)規(guī)律列方程利用數(shù)學、力學、物理、化學等學科中定理或經(jīng)過試驗檢驗規(guī)律等來建立微分方程模型。（2）微元分析法利用已知定理與規(guī)律尋找微元之間關系式，與第一個方法不一樣是對微元而不是直接對函數(shù)及其導數(shù)應用規(guī)律。傳染病模型專題知識第4頁（3）模擬近似法在生物、經(jīng)濟等學科實際問題中，許多現(xiàn)象規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復雜，建模時在不一樣假設下去模擬實際現(xiàn)象，建立能近似反應問題微分方程，然后從數(shù)學上求解或分析所建方程及其解性質(zhì)，再去同實際情況對比，檢驗此模型能否刻畫、模擬一些實際現(xiàn)象。傳染病模型專題知識第5頁二、問題重述問題:有一個傳染?。ㄈ鏢ARS、甲型H1N1）正在流行?，F(xiàn)在希望建立適當數(shù)學模型，利用已經(jīng)掌握一些數(shù)據(jù)資料對該傳染病進行有效地研究，以期對其傳輸蔓延進行必要控制，降低人民生命財產(chǎn)損失?？紤]以下幾個問題，建立適當數(shù)學模型，并進行一定比較分析和評價展望。1、不考慮環(huán)境限制，設單位時間內(nèi)感染人數(shù)增加率是常數(shù)，建立模型求t時刻感染人數(shù)。2、假設環(huán)境條件下所允許最大可感染人數(shù)為。單位時間內(nèi)感染人數(shù)增加率是感染人數(shù)線性函數(shù)，最大感染時增加率為零。建立模型求t時刻感染人數(shù)。傳染病模型專題知識第6頁3、現(xiàn)有衛(wèi)生防疫部門采集到某地域一定時間內(nèi)一定間隔區(qū)間感染人數(shù)數(shù)據(jù)（見下表），利用該數(shù)據(jù)確定上述兩個模型中相關參數(shù)，并將它們預測值與實際數(shù)據(jù)進行比較分析（計算仿真偏差）并對兩個模型進行適當評價。（注：該問題中，設最大可感染人數(shù)為人）傳染病模型專題知識第7頁4、假設總人口可分為傳染病患者和易感染者，易感染者因與患病者接觸而得病，而患病者會因治愈而降低且對該傳染病含有很強免疫功效，建立模型分析t時刻患病者與易感染者關系，并對傳染情況（如流行趨勢，是否最終毀滅）進行預測。傳染病模型專題知識第8頁三、問題分析1、這是一個包括傳染病傳輸情況實際問題，其中包括傳染病感染人數(shù)隨時間改變情況及一些初始資料，可經(jīng)過建立對應微分方程模型加以處理。2、問題表述中已給出了各子問題一些對應假設。3、在實際中，感染人數(shù)是離散變量，不含有連續(xù)可微性，不利于建立微分方程模型。但因為短時間內(nèi)改變是少數(shù)人口，這種改變與整體人口相比是微小。所以，為了利用數(shù)學工具建立微分方程模型，咱們還需要一個基礎假設：感染人數(shù)是時間連續(xù)可微函數(shù)。傳染病模型專題知識第9頁三、問題求解3.1、問題1解答——模型一A、模型假設1)、感染人數(shù)是時間連續(xù)可微函數(shù)；2)、單位時間內(nèi)感染人數(shù)增加率是常數(shù)，或單位時間內(nèi)感染人數(shù)增加量與當初感染人數(shù)成正比。

傳染病模型專題知識第10頁B、模型組成設t時刻感染人數(shù)為，初始時刻()感染者人數(shù)為，感染者增加率為r，依據(jù)單位時間內(nèi)感染人數(shù)增加率是常數(shù)假設，t到時間內(nèi)感染人數(shù)增量為：所以，滿足以下微分方程：傳染病模型專題知識第11頁C、模型求解這是一個線性常系數(shù)微分方程，輕易求得其解為：D、模型分析由上述解形式，能夠看出，感染人數(shù)將伴隨時間增加按指數(shù)規(guī)律無限增加。尤其地，當初間趨向于無窮時，感染人數(shù)也將趨向于無窮大。這顯然是不符合現(xiàn)實，說明該模型不可能用于傳染病長久預報，同時也說明迫切需要對該模型進行必要修正。傳染病模型專題知識第12頁E、改進方向單位時間內(nèi)感染人數(shù)增加率不是常數(shù)，而是逐步下降。原因：感染人數(shù)增加到一定數(shù)量后，環(huán)境條件、人口總數(shù)等原因?qū)Ω腥菊邤?shù)量增加起阻滯作用，且阻滯作用隨感染者數(shù)量增加而變大。增加率是感染人數(shù)減函數(shù)：感染者越多，增加率越低。傳染病模型專題知識第13頁3.2、問題2解答——模型二A、模型假設1)、感染人數(shù)是時間連續(xù)可微函數(shù)；2)、感染人數(shù)受環(huán)境條件限制，有一個最大可感染人數(shù)。3)、單位時間內(nèi)感染人數(shù)增加率和感染人數(shù)相關，是其線性函數(shù)，最大感染時對應增加率為零。傳染病模型專題知識第14頁B、模型組成依然設t時刻感染人數(shù)為，初始時刻()感染者人數(shù)為，感染者人數(shù)為0時，感染人數(shù)增加率為。依據(jù)單位時間內(nèi)感染人數(shù)增加率和感染人數(shù)相關，是其線性函數(shù)假設，可得增加率關于感染者人數(shù)線性函數(shù)關系式：傳染病模型專題知識第15頁深入，由最大感染時對應增加率為零可確定參數(shù)k值為：所以，在該模型假設下，感染人數(shù)應滿足以下微分方程：傳染病模型專題知識第16頁C、模型求解這是一個非線性微分方程，利用微分方程中分離變量法，求得其解為：傳染病模型專題知識第17頁D、模型分析a)、依據(jù)前述微分方程作出dx/dt~x曲線圖，見圖1-1，這是一條拋物線。由該圖可看出感染人數(shù)增加率隨感染人數(shù)改變規(guī)律：增加率伴隨感染人數(shù)增加而先增后減，在xm/2時到達最大。這預示著傳染病高潮到來，是醫(yī)療衛(wèi)生部門關注和需要親密注意時刻。因為感染人數(shù)增加率在一定程度上代表了醫(yī)療衛(wèi)生水平，增加率越小衛(wèi)生水平越高。所以改進保健設施、提升衛(wèi)生水平能夠推遲傳染病高潮到來。傳染病模型專題知識第18頁b)、依據(jù)模型求解得到結果作出x~t曲線，見圖1-2，這是一條S型曲線。由該圖可看出感染人數(shù)隨時間改變規(guī)律：能夠看出，當初間趨于無窮時，x(t)趨于xm，且對一切t，x(t)<xm

。此性質(zhì)說明感染者數(shù)量不可能到達最大容量，但可無限趨近于最大容量。傳染病模型專題知識第19頁3.3、問題3解答—兩個模型分析比較將問題所給出表中t=0時刻和t=1時刻數(shù)據(jù)代入所建立兩個模型中，確定模型中未知參數(shù)r和，然后再利用它們得到t=2到t=14時刻仿真數(shù)據(jù)，深入地能夠得到兩個模型仿真誤差百分比。兩個模型仿真效果和性能能夠從下面表和圖中清楚地看出。傳染病模型專題知識第20頁3.3.1實際感染人數(shù)與按兩個模型

計算感染人數(shù)比較表傳染病模型專題知識第21頁3.3.2實際感染人數(shù)與按兩個模型

計算感染人數(shù)比較圖傳染病模型專題知識第22頁3.3.3、性能分析從上述圖和表中，能夠得出以下結果和結論：1、在傳染病傳輸早期(t=0到t=7)，采取兩個模型都能得到很好仿真結果；2、在傳染病傳輸后期(t=8到t=14)，采取第二個模型仍能得到很好仿真結果，而采取第一個模型得到結果則和真實結果有較大偏差；傳染病模型專題知識第23頁3.3.4、兩個模型評價1、經(jīng)過上述分析說明，第一個模型用于短期感染者預計有很好近似效果，但不能用于傳染病長久預報；第二個模型較為符合實際情況。2、同時說明，感染者人數(shù)增加率并不是一個常數(shù)，而受到環(huán)境等條件制約，是改變、遞減。傳染病模型專題知識第24頁3、在模型二中，為了簡便，咱們給出了較準確最大可感染人數(shù)預計；實踐中，這個參數(shù)是不易準確得到(可經(jīng)過數(shù)據(jù)擬合)，錯誤參數(shù)預計會極大地影響該模型性能，這也是該模型一個缺點之一。4、這兩個模型都是確定性連續(xù)時間模型；為了使預報更準確，能夠深入地發(fā)展隨機性模型和離散時間模型。傳染病模型專題知識第25頁3.4、問題4解答——模型三A、模型假設1)、總人口可分為傳染病患者和易感染者，患病者和易感人數(shù)都是時間連續(xù)可微函數(shù)。2)、假設易感染者因與患病者接觸而得病，患病率為；而患病者會因治愈而降低，治愈率為。3）、患病者治愈后對該傳染病含有免疫功效，不再成為易感染者。傳染病模型專題知識第26頁B、模型組成設t時刻患病者和易感者人數(shù)分別為和，初始時刻(t=0)患病者和易感者人數(shù)分別為和。依據(jù)單位時間內(nèi)患病率和治愈率假設，可得到單位時間內(nèi)傳染病人數(shù)增量為,治愈人數(shù)為。所以可建立以下模型：傳染病模型專題知識第27頁C、模型求解與分析這是一個含兩個因變量微分方程組，該方程組無法求得和解析解。所以，咱們轉(zhuǎn)到相平面上來討論解性質(zhì)。傳染病模型專題知識第28頁消去dt相軌線定義域相軌線11yx0D在D內(nèi)作相軌線圖形，進行分析傳染病模型專題知識第29頁相軌線定義對于二維情形，若微分方程

dx/dt=P(t,x,y)

dy/dt=Q(t,x,y)滿足初始條件x(t0)=x0,y(t0)=y0解為

x=x(t)

y=y(t)則該組解在xOy平面上（相平面）所描繪曲線就是相軌線。通俗解釋若有兩個函數(shù)變量x(t)和y(t)，繪出y(x)曲線就是相軌線傳染病模型專題知識第30頁yx101D相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延y(t)單調(diào)減

相軌線方向P1y0xmP1:y0>1/σ