分類(lèi)思想在等腰三角形中的應(yīng)用(全文)

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分類(lèi)思想是數(shù)學(xué)思想方法中很重要的一種思想方法。它要求學(xué)生能把某個(gè)較為復(fù)雜的問(wèn)題經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)周密的思考,確定一個(gè)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn),并按同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)把它分為若干類(lèi)較為簡(jiǎn)單的情況。然后逐一討論研究解決,使研究的結(jié)果不重復(fù)、不遺漏。而等腰三角形中由于邊、角的特殊性,經(jīng)常要用分類(lèi)思想進(jìn)行分類(lèi)討論解決。所以學(xué)生是否能用分類(lèi)思想正確解決等腰三角形中的分類(lèi)問(wèn)題,也是中考考查的重要內(nèi)容之一。

教學(xué)目標(biāo)

1.進(jìn)一步鞏固對(duì)等腰三角形的認(rèn)識(shí),熟練運(yùn)用等腰三角形知識(shí)解決問(wèn)題。

2.認(rèn)識(shí)分類(lèi)思想在解決等腰三角形的問(wèn)題中的重要性,并能學(xué)會(huì)分析,學(xué)會(huì)分類(lèi),培養(yǎng)分析能力和分類(lèi)意識(shí)。

教學(xué)過(guò)程

師:前面我們學(xué)過(guò)了等腰三角形的有關(guān)知識(shí),與一般三角形相比,它有很多特殊地方,誰(shuí)來(lái)簡(jiǎn)單說(shuō)明一下?

(學(xué)生紛紛舉手)

生1:在對(duì)邊和角的稱(chēng)呼上就不同,如邊有腰底之分,角有頂角、底角之分。

生2:還有邊與角之間關(guān)系的轉(zhuǎn)換,如等邊對(duì)等角、等角對(duì)等邊、“三線(xiàn)合一”等。

師:很好。為了進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和研究它,我想請(qǐng)一名同學(xué)在黑板上畫(huà)一個(gè)等腰三角形。

(其中一名學(xué)生自告奮勇到講臺(tái)上,畫(huà)了一個(gè)頂角為銳角的等腰三角形。)

師:請(qǐng)其他同學(xué)想一想,還有什么要補(bǔ)充的嗎?

生3:他畫(huà)的不全面。我們所碰到的等腰三角形其實(shí)還應(yīng)該有等腰直角三角形和頂角為鈍角的等腰三角形。

師:等腰三角形中第一種分類(lèi)的情形就像剛才在沒(méi)有圖形的前提下讓你畫(huà)等腰三角形,你應(yīng)該按頂角的情況來(lái)分析,這就是分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)。下面請(qǐng)思考這一道題。

(題目:你能經(jīng)過(guò)等腰三角形一個(gè)頂點(diǎn)畫(huà)一條直線(xiàn),把這個(gè)等腰三角形分成兩個(gè)小的等腰三角形嗎?如果你覺(jué)得能,請(qǐng)畫(huà)出圖形,并標(biāo)好度數(shù)。)

(學(xué)生思考,討論,并開(kāi)始在草稿紙上畫(huà)圖,分析。幾個(gè)學(xué)生舉手。)

生4:老師,根據(jù)您剛才的講法,我認(rèn)為本題應(yīng)該有三種可能。一種是把頂角為銳角的等腰三角形進(jìn)行分割;第二種是把頂角為直角的等腰三角形分割;還有一種是把頂角為鈍角的等腰三角形進(jìn)行分割。

(師表?yè)P(yáng)了他。并請(qǐng)這位學(xué)生上黑板畫(huà)圖。)

師:你能說(shuō)出你標(biāo)的度數(shù)的依據(jù)嗎?

生4:我是這樣想的(如圖1):設(shè)∠A=x,那么由圖和題意可知x+2x+2x=180°,解得x=36°。這是第一種。

至于第二種應(yīng)該包含在第三種里,若BD=AD=DC,設(shè)∠B=x。由題可知x+x+2x=180°,解得x=45°,此即為第二種。若AD=BD,CD=AC時(shí),設(shè)∠B=x,則x+3x+x=180°,解得x=36°,即為第三種情形。

師:這位同學(xué)真是肯動(dòng)腦筋,分析得相當(dāng)透徹、清楚,只是還有不同意見(jiàn)或補(bǔ)充的嗎?

(同學(xué)們認(rèn)真思考,但沒(méi)有人能回答出。)

師:其實(shí)在第一種情形時(shí)他應(yīng)考慮全面,剛才這位同學(xué)想到的是AD=BD,BD=BC的情形,有沒(méi)有AD=BD=CD的情況呢?

生5:沒(méi)有。這樣∠C=∠DBC=∠ABC是不可能的。

師:那有沒(méi)有可能AD=BD或CD=BC呢?請(qǐng)看圖4:

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則可得:x+3x+3x=180。

7x=180。

x=180/7。

若能解得出x,則說(shuō)明這種情形可能嗎?

生6:可能。

師:那么請(qǐng)你小結(jié)剛才這道題目的種種可能,并理解這種分類(lèi)解題的依據(jù)。(學(xué)生自我理解小結(jié),老師黑板上板書(shū)等腰三角形中第一種可能分類(lèi)的問(wèn)題和分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)。)

師:哪位同學(xué)還能列舉出等腰三角形其他的可能分類(lèi)的問(wèn)題?

生7:有這樣一種問(wèn)題要分類(lèi),如:等腰三角形中已知兩邊,求周長(zhǎng)的時(shí)候要考慮兩邊為腰還是為底的可能。

(老師表?yè)P(yáng)并板書(shū)等腰三角形可能分類(lèi)的問(wèn)題和按邊分的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。)

生8:還有的時(shí)候,如:等腰三角形中已知一個(gè)角為50°,求另外兩個(gè)角,這也要分類(lèi)討論。因?yàn)?0°的角可能為底角也可能為頂角。

(老師板書(shū)等腰三角形中的第三種可能分類(lèi)的問(wèn)題和按角分的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。)

師:還有嗎?

生9:老師,你看這幾個(gè)題型屬不屬于剛才碰到的分類(lèi)情形?有這樣一題說(shuō):等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為40°,求頂角的度數(shù)。還有比如說(shuō)等腰三角形一個(gè)角是另一個(gè)角的兩倍,求底角的度數(shù)。

師:同學(xué)們考慮考慮,討論一下,幫助他解決這個(gè)問(wèn)題。

(學(xué)生開(kāi)始思考,討論,一學(xué)生舉手。)

生10:我認(rèn)為均屬于剛才的第一種情形,圖形不清楚,則要按頂角的可能性分析。

(其他學(xué)生紛紛贊同,并很快求出兩題的答案。)

師:現(xiàn)在我給大家看一題你們看看該怎么思考?

已知平面直角坐標(biāo)系中A(4,0),B(0,3),在x軸上找一點(diǎn)C使三角形ABC為等腰三角形,請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)。(如圖5)

師:圖形不具體,但又與第一種情形有些區(qū)別,在這種情況下點(diǎn)A點(diǎn)B點(diǎn)C都有可能成為等腰三角形頂角的頂點(diǎn),請(qǐng)大家課后認(rèn)真思考,并整理筆記,小結(jié)好等腰三角形中可能幾種的分類(lèi)情況。

過(guò)程反思:這是一節(jié)對(duì)學(xué)生思維能力要求較高的一課,同時(shí)要求學(xué)生有很好的前期知識(shí)儲(chǔ)備,掌握和熟練知識(shí)運(yùn)用能力。在授課的過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)時(shí)