2024七年級數學上冊專題01 有理數章末重難點題型（舉一反三）

2024七年級數學專題01有理數章末重難點題型（舉一反三）【考點1科學記數法及近似數】【方法點撥】（1）科學記數法的表示形式為a×10n的形式，解決此類問題只需確定a與n的值，其中1≤|a|＜10，n為整數位數減1，如若數帶單位可先將其還原；（2）一般地，一個近似數四舍五入到哪一位，就說這個數近似到哪一位，也叫做精確到哪一位，但有一個易錯點需注意，如2.019×105很多同學錯誤的認為這個數是精確到千分位，解決此類問題需將這個數還原成整數201900，這時能確定這個9應在百位上，因此這個數精確到百位.【例1】（2018?浉河區(qū)校級期中）2018年河南省全年生產總值48055.86億元，數據“48055.86億”用科學記數法表示為（）A．4.805586×104 B．0.4805586×105 C．4.805586×1012 D．4.805586×1013【變式1-1】（2018秋?沭陽縣期末）某種鯨魚的體重約為1.36×105kg，關于這個近似數，下列說法正確的是（）A．它精確到百位 B．它精確到0.01 C．它精確到千分位 D．它精確到千位【變式1-2】（2018?涼州區(qū)校級期中）綠水青山就是金山銀山，為了創(chuàng)造良好的生態(tài)生活環(huán)境，我省2017年一季度清理垃圾約1.16×107方，數字1.16×107表示（）A．1.16億 B．116萬 C．1160萬 D．11.6億【變式1-3】近似數3.5的準確值a的取值范圍是（）A．3.45≤a≤3.55 B．3.4＜a＜3.6 C．3.45≤a＜3.55 D．3.45＜a≤3.55【考點2表示相反意義的量】【方法點撥】解決此類問題關鍵是明確正負數在題目中的實際意義從而進一步求解.【例2】（2018秋?襄州區(qū)期中）一箱蘋果的重量標識為“10±0.25”千克，則下列每箱蘋果重量中合格的是（）A．9.70千克 B．10.30千克 C．9.60千克 D．10.21千克【變式2-1】（2018秋?睢寧縣期中）某糧店出售4種品牌的面粉，袋上分別標有質量為（20±0.1）kg、（20±0.2）kg、（20±0.3）kg、（20±0.4）kg，這種合格面粉最多相差（）A．0.4kg B．0.5kg C．0.6kg D．0.8kg【變式2-2】（2018秋?慈溪市期中）213路公交車從起點開始經過A，B，C，D四站到達終點，各站上下車人數如下（上車為正，下車為負）例如（7，﹣4）表示該站上車7人，下車4人．現(xiàn)在起點站有15人，A（4，﹣8），B（6，﹣5），C（7，﹣3），D（1，﹣4）．車上乘客最多時有（）名．A．13 B．14 C．15 D．16【變式2-3】（2018秋?封開縣期中）如圖，檢測4個足球，其中超過標準質量的克數記為正數，不足標準質量的克數記為負數．從輕重的角度看，最接近標準的是（）A．﹣3.5 B．+2.5 C．﹣0.6 D．+0.7【考點3有理數相關概念】【方法點撥】解決此類問題需理解并熟記有理數相關概念，如①整數和分數統(tǒng)稱為有理數；②正有理數、0和負有理數亦可稱為有理數；③只有符號不同的兩個數叫做互為相反數；④在數軸上原點的兩旁，離開原點距離相等的兩個點所表示的數，叫做互為相反數；⑤數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值；⑥一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0.【例3】（2018秋?江城區(qū)期中）下列說法中正確的是（）A．正數和負數統(tǒng)稱為有理數 B．有理數是指整數、分數、正有理數、負有理數和0五類 C．一個有理數不是整數，就是分數 D．整數包括正整數和負整數【變式3-1】（2018秋?常熟市期中）下列各數：，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，，其中有理數的個數是（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式3-2】下列說法正確的是（）A．正數與負數互為相反數 B．符號不同的兩個數互為相反數 C．數軸上原點兩旁的兩個點所表示的數是互為相反數 D．任何一個有理數都有它的相反數【變式3-3】（2018秋?東臺市期中）下列說法正確的是（）A．絕對值等于3的數是﹣3 B．絕對值不大于2的數有±2，±1，0 C．若|a|＝﹣a，則a≤0 D．一個數的絕對值一定大于這個數的相反數【考點4利用數軸判斷符號】【方法點撥】解決此類問題需由數軸得知字母所表示的數的正負性，再根據有理數加、減、乘、除、乘方、絕對值的意義以及數軸上右邊點的數總比左邊的數大判斷即可.【例4】（2018秋?宿松縣期末）有理數a，b在數軸上的表示如圖所示，則下列結論中：①ab＜0，②﹣a＞﹣b，③a+b＜0，④a﹣b＜0，⑤a＜|b|，正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式4-1】（2018秋?西城區(qū)期末）如圖，數軸上A，B兩點對應的數分別是a和b，對于以下四個式子：①2a﹣b；②a+b；③|b|﹣|a|：④，其中值為負數的是（）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【變式4-2】（2018秋?九龍坡區(qū)校級期中）如圖，數軸上A、B兩點分別對應有理數a、b，則下列結論：①ab＜0；②a+b＞0；③a﹣b＞1；④a2﹣b2＜0，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式4-3】（2018秋?黃陂區(qū)期中）有理數a、b、c在數軸上對應的點的位置，如圖所示：①abc＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；④|a|＜1﹣bc，以上四個結論正確的有（）個．A．4 B．3 C．2 D．1【考點5絕對值及偶次乘方的非負性】【方法點撥】直接利用絕對值及偶次乘方的非負數的性質分別得出字母的值，進而得出答案．【例5】（2019春?瑞安市期中）若|x+2|+（x+3y+1）2＝0，則yx的值為．【變式5-1】（2018秋?蔡甸區(qū)期末）若（x﹣2）2與|x+2y|互為相反數，則y﹣x＝．【變式5-2】（2018秋?濱湖區(qū)校級月考）當x時，2﹣（x+3）2有最大值．【變式5-3】（2018秋?江南區(qū)校級月考）當x＝時，﹣10+|x﹣1|有最小值，最小值為．【考點6利用相反數、倒數、絕對值定義求值】【方法點撥】解決此類問題需熟知兩個互為相反數的數和為0，兩個互為倒數的數乘積為1，值得注意的是已知一個數的絕對值為非0的數，那么這個數應該有兩個，此時應注意分類討論，結果往往有兩個.【例6】（2018秋?富順縣期中）若a，b互為相反數，c，d互為倒數，m的絕對值為4．（1）直接寫出a+b，cd，m的值；（2）求m+cd+的值．【變式6-1】（2019春?白塔區(qū)校級月考）已知a，b互為相反數，c，d互為倒數，m的絕對值等于3，求m2+（cd+a+b）×m+（cd）2018的值．【變式6-2】（2018秋?臨洮縣月考）若a、b互為相反數，c、d互為倒數，p的絕對值等于2，則關于x的方程（a+b）x2+3cd?x﹣p2＝0的解是多少？【變式6-3】（2018秋?湖里區(qū)校級月考）已知：有理數m所表示的點與﹣1表示的點距離4個單位，a，b互為相反數，且都不為零，c，d互為倒數．求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值．【考點7利用絕對值、乘方的性質求值】【方法點撥】解決此類問題需熟知一個數的絕對值或乘方是一個正數，那么這個數應該有兩個，需注意進行分類討論，另外會熟練運用絕對值的意義：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.包括逆向用法.【例7】（2018秋?江陰市校級月考）若實數a，b滿足a2＝16，|b|＝6，且a﹣b＜0，求a+b的值．【變式7-1】（2018秋?孝南區(qū)月考）已知|a|＝8，b2＝36，若|a﹣b|＝b﹣a，求a+b的值．【變式7-2】（2018秋?江岸區(qū)期中）已知|x+4|＝5，（1﹣y）2＝9，且x﹣y＜0，求2x+y的值．【變式7-3】（2018秋?泰興市校級月考）若|a|＝2，|b|＝3，|c|＝6，|a+b|＝﹣（a+b），|b+c|＝b+c．計算a+b﹣c的值．【考點8有理數混合運算】【方法點撥】解決此類問題需熟練掌握有理數混合運算的先后順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里，值得注意有些題可能會運用運算律進行簡便運算.【例8】（2019春?黃州區(qū)校級月考）計算：（1）（2）【變式8-1】（2018秋?寶應縣期末）計算：（1）（2）【變式8-2】（2019春?沙坪壩區(qū)校級月考）計算：（1）．（2）．【變式8-3】（2018秋?渝中區(qū)校級期末）有理數的計算：（1）（2）【考點9有理數混合運算的應用】【方法點撥】對于應用題理解題意是解決此類題型的關鍵.【例9】（2018秋?新疆期末）某工廠一周計劃每日生產自行車100輛，由于工人實行輪休，每日上班人數不一定相等，實際每日生產量與計劃量相比情況如下表（以計劃量為標準，增加的車輛數記為正數，減少的車輛數記為負數）：星期一二三四五六日增減/輛﹣1+3﹣2+4+7﹣5﹣10（1）生產量最多的一天比生產量最少的一天多生產多少輛？（2）本周總生產量是多少？比原計劃增加了還是減少了？增減數為多少？【變式9-1】（2018秋?康巴什校級月考）根據實驗測定：高度每增加1千米，氣溫大約變化量為﹣6℃，某登山運動員攀登2km后，（1）氣溫有什么變化？（2）過一會后運動員在攀登途中發(fā)回信息，報告他所在高度的氣溫為﹣15℃，如果當時地面溫度為3℃，求此時該登山運動員攀登了少千米？【變式9-2】（2018秋?雁塔區(qū)校級期末）快遞配送員王叔叔一直在一條南北走向的街道上送快遞，如果規(guī)定向北為正，向南為負，某天他從出發(fā)點開始所行走的路程記錄為（長度單位：千米）：+3，﹣4，+2．+3．﹣1，﹣1，﹣3（1）這天送完最后一個快遞時，王叔叔在出發(fā)點的什么方向，距離是多少？（2）如果王叔叔送完快遞后，需立即返回出發(fā)點，那么他這天送快遞（含返回）共耗油多少升（已知每千米耗油0.2升）？【變式9-3】小明是“環(huán)保小衛(wèi)士”，課后他經常關心環(huán)境天氣的變化，最近他了解到上周白天的平均氣溫，如下表（+表示比前一天升了，﹣表示比前一天下降了．單位：℃）星期一二三四五六七氣溫變化+1.1﹣0.3+0.2+0.4+1+1.4﹣0.3已知上周周日平均氣溫是16.9℃，回答下列問題：（1）這一周哪天的℃平均氣溫最高是多少？（2）計算這一周每天的平均氣溫？（3）小明了解到本地的平均氣溫同期歷史最高氣溫是17.2℃，最低氣溫是4.2℃，用一句話概括本地的氣溫變化．【考點10有關數軸的探究題】【方法點撥】解決此類問題數形結合思想是關鍵.【例10】（2018秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓，有一個公共點與數軸上的原點重合，兩圓在數軸上做無滑動的滾動，小圓的運動速度為每秒π個單位，大圓的運動速度為每秒2π個單位，（1）若小圓不動，大圓沿數軸來回滾動，規(guī)定大圓向右滾動的時間記為正數，向左滾動時間即為負數，依次滾動的情況錄如下（單位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6①第次滾動后，大圓與數軸的公共點到原點的距離最遠；②當大圓結束運動時，大圓運動的路程共有多少？此時兩圓與數軸重合的點之間的距離是多少？（結果保留π）（2）若兩圓同時在數軸上各自沿著某一方向連續(xù)滾動，滾動一段時間后兩圓與數軸重合的點之間相距9π，求此時兩圓與數軸重合的點所表示的數．【練10-1】（2018秋?江岸區(qū)校級月考）如圖，數軸上A，B兩點對應的數分別﹣4，8．有一動點P從點A出發(fā)第一次向左運動1個單位長度；然后在新的位置第二次運動，向右運動2個單位長度；在此位置第三次運動，向左運動3個單位長度，…按照如此規(guī)律不斷地左右運動（1）當運動到第2018次時，求點P所對應的有理數．（2）點P會不會在某次運動時恰好到達某一個位置，使點P到點B的距離是點P到點A的距離的3倍？若可能請求出此時點P的位置，若不可能請說明理由．【練10-2】（2018秋?淮陰區(qū)期中）已知在紙面上有一數軸（如圖1），折疊紙面．（1）若1表示的點與﹣1表示的點重合，則﹣4表示的點與表示的點重合；（2）若﹣2表示的點與8表示的點重合，回答以下問題：①16表示的點與表示的點重合；②如圖2，若數軸上A、B兩點之間的距離為2018（A在B的左側），且A、B兩點經折疊后重合，則A、B兩點表示的數分別是、．（3）如圖3，若m和n表示的點C和點D經折疊后重合，（m＞n＞0），現(xiàn)數軸上P、Q兩點之間的距離為a（P在Q的左側），且P、Q兩點經折疊后重合，求P、Q兩點表示的數分別是多少？（用含m，n，a的代數式表示）【練10-3】（2018秋?海淀區(qū)校級期中）下面材料：已知點A、B在數軸上分別表示有理數a、b，A、B兩點之間的距離表示為|AB|．當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|當A、B兩點都不在原點時，（1）如圖2，點A、B都在原點的右邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|（2）如圖3，點A、B都在原點的左邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|（3）如圖4，點A、B在原點的兩邊，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|綜上，數軸上A、B兩點的距離|AB|＝|a﹣b|回答下列問題：（1）數軸上表示﹣2和﹣5兩點之間的距離是；（2）數軸上表示x和﹣1的兩點A、B之間的距離是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x為；（3）當代數式|x+1|+|x﹣2|取最小值時，相應的x的取值范圍是．專題02整式的加減章末重難點題型匯編【舉一反三】【考點1代數式書寫規(guī)范】【方法點撥】代數式書寫規(guī)范：①數和字母相乘，可省略乘號，并把數字寫在字母的前面；②字母和字母相乘，乘號可以省略不寫或用“·”表示.一般情況下，按26個字母的順序從左到右來寫；③后面帶單位的相加或相減的式子要用括號括起來；④除法運算寫成分數形式，即除號改為分數線；⑤帶分數與字母相乘時，帶分數要寫成假分數的形式；⑥當“1”與任何字母相乘時,“1”省略不寫；當“-1”乘以字母時，只要在那個字母前加上“-”號.【例1】（2019秋?錦江區(qū)校級期中）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥千克；其中，不符合代數式書寫要求的有A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【變式1-1】（2018秋?廣陵區(qū)校級期中）下列代數式的書寫格式正確的是A． B． C． D．【變式1-2】（2019秋?灤縣期中）下列式子中，符合代數式書寫格式的有①；②；③；④天；⑤A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式1-3】（2019秋?宜賓縣期中）在下列的代數式的寫法中，表示正確的一個是A．“負的平方”記作 B．“與的積”記作 C．“的3倍”記作 D．“除以的商”記作【考點2同類項及合并同類項】【方法點撥】（1）同類項的判別方法：抓住“兩個相同”：一是所含的字母要完全相同，二是相同字母的指數要相同，這兩個條件缺一不可；（2）合并同類項的法則：同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母和字母的指數不變.【例2】（2018秋?徐州期中）下列各組中的兩個項不屬于同類項的是A．和 B．和 C．和 D．和【變式2-1】（2018秋?海淀區(qū)校級期中）下列計算正確的是A． B． C． D．【變式2-2】（2019秋?荔灣區(qū)期中）若單項式與的差仍是單項式，則A．5 B． C．1 D．4【變式2-3】（2019秋?全椒縣期中）一個五次六項式加上一個六次七項式合并同類項后一定是A．十一次十三項式 B．六次十三項式 C．六次七項式 D．六次整式【考點3列代數式】【方法點撥】列代數式：①要抓住關鍵詞語，明確它們的意義以及它們之間的關系；②理清語句層次明確運算順序；③牢記一些概念和公式．【例3】（2019秋?羅湖區(qū)期末）某商品原價為元，由于供不應求，先提價進行銷售，后因供應逐步充足，價格又一次性降價，則最后的實際售價為A．元 B．元 C．元 D．元【變式3-1】（2019秋?嘉興期末）已知一個兩位數，個位數字為，十位數字比個位數字大，若將十位數字和個位數字對調，得到一個新的兩位數，則原兩位數與新兩位數之差為A． B． C． D．【變式3-2】（2018秋?洪山區(qū)期中）某部門組織調運一批物資從地到地，一運送物資車從地出發(fā)，出發(fā)第一小時內按原計劃的60千米小時勻速行駛，一小時后以原來速度的1.5倍勻速行駛，并比原計劃提前20分鐘到達目的地．設地到地距離為千米，則根據題意得原計劃規(guī)定的時間為A． B． C． D．【變式3-3】（2019?長豐縣期中）如圖1是2019年4月份的日歷，現(xiàn)用一長方形在日歷表中任意框出4個數（如圖，下列表示，，，之間關系的式子中不正確的是A． B． C． D．【考點4單項式與多項式概念】【方法點撥】解題關鍵：①單項式中的數字因數稱為這個單項式的系數；②一個單項式中,所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數；③多項式里次數最高項的次數就是多項式的次數.【例4】（2019秋?柯橋區(qū)期中）單項式的系數是，次數是；是次多項式．【變式4-1】（2018秋?沙坪壩區(qū)校級期中）若是關于、的五次單項式，則．【變式4-2】（2019秋?臨川區(qū)校級期中）多項式是關于、的四次三項式，則的值為．【變式4-3】（2018秋?萊陽市期中）當時，多項式中不含項．【考點5整式加減情景題】【例5】（2019春?沂源縣期中）老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程，隨后用手掌捂住了如圖所示的一個二次三項式，形式如圖：（1）求所捂的二次三項式；（2）若，求所捂二次三項式的值．【變式5-1】（2018秋?高郵市期中）小聰在做題目：化簡發(fā)現(xiàn)的系數“”被污染了，看不清楚．（1）小聰自己想了個“”表示的數，得到答案為，求：小聰想的“”所表示的數；（2）老師看到了說：“你想錯了，該題化簡的結果是常數．”請通過計算說明原題中“”所表示的數．【變式5-2】（2018秋?徐聞縣期中）小剛在計算一個多項式減去多項式的差時，因一時疏忽忘了對兩個多項式用括號括起來，因此減式后面兩項沒有變號，結果得到的差是．（1）求這個多項式；（2）求出這兩個多項式運算的正確結果；（3）當時，求（2）中結果的值．【變式5-3】（2018秋?新洲區(qū)期中）已知含字母，的代數式是：．（1）化簡這個代數式．（2）小明取，互為倒數的一對數值代入化簡的代數式中，恰好計算得代數式的值等于0．那么小明所取的字母的值等于多少？（3）聰明的小智從化簡的代數式中發(fā)現(xiàn)，只要字母取一個固定的數，無論字母取何數，代數式的值恒為一個不變的數，那么小智所取的字母的值是多少呢？【考點6整式加減化簡求值】【方法點撥】整式加減化簡求值的一般步驟：①去括號、合并同類項.；②代入求值.【例6】（2018秋?蒙陰縣期中）先化簡，再求值：，其中，．【變式6-1】（2018秋?朝陽區(qū)期中）先化簡，再求值：已知，求的值．【變式6-2】（2018秋?金堂縣期中）已知，，先求，并求當，時，的值．【變式6-3】（2018秋?杭州期中）化簡求值：已知整式與整式的差不含和項，試求的值．【考點7代數式求值—整體代入法】【方法點撥】整體代入的思想是把聯(lián)系緊密的幾個量作為一個整體來看的數學思想，運用這種方法，有時可使復雜問題簡單化.【例7】（2019秋?錫山區(qū)校級期中）化簡與求值：（1）若，則代數式的值為；（2）若，則代數式的值為；（3）若，請仿照以上求代數式值的方法求出的值．【變式7-1】（2019秋?余姚市期末）已知：，求的值．【變式7-2】（2019秋?崇川區(qū)期末）已知當，時，，求當，時，式子的值．【變式7-3】（2018秋?慈利縣期中）先閱讀下面例題的解答過程，再解答后面的問題．例：已知代數式的值為2，求的值．解：由得，所以．問題：（1）已知代數式的值為6，求的值；（2）已知代數式的值為，求的值．【考點8代數式求值—賦值法】【方法點撥】解決此類問題通常需要去特殊值將其代入等式中，能夠得到所求代數式的形式，從而知道代數式的值.【例8】（2018秋?江都區(qū)期中）已知，求：（1）的值；（2）的值．【變式8-1】（2018秋?蓮湖區(qū)期中）已知，對于任意的的值都成立，求下列各式的值：（1）；（2）．【變式8-2】（2019秋?楊浦區(qū)校級月考）已知，則的值為多少？【變式8-3】（2019秋?諸暨市校級期中）已知對于任意的都成立．求：（1）的值（2）的值（3）的值．【考點9代數式求值—面積問題】【例9】（2018秋?淮陰區(qū)期中）如圖所示（1）用代數式表示長方形中陰影部分的面積；（2）當，時，求其陰影部分的面積．（其中取【變式9-1】（2018秋?鹽都區(qū)期中）如圖，長方形的長為，寬為．現(xiàn)以長方形的四個頂點為圓心，寬的一半為半徑在四個角上分別畫出四分之一圓．（1）用含，的代數式表示圖中陰影部分的面積；（2）當，時，求圖中陰影部分的面積．取【變式9-2】（2018秋?玄武區(qū)期中）如圖所示是一個長方形，陰影部分的面積為（單位：．根據圖中尺寸，解答下列問題：（1）用含的代數式表示陰影部分的面積；（2）若，求的值．【變式9-3】（2018秋?甘井子區(qū)期中）如圖（圖中單位長度：求：（1）陰影部分面積（用含的代數式表示）；（2）當求陰影部分的面積取3.14，結果精確到．【考點10代數式求值—方案設計問題】【例10】（2018秋?南安市期末）福建省教育廳日前發(fā)布文件，從2019年開始，體育成績將按一定的原始分計入中考總分．某校為適應新的中考要求，決定為體育組添置一批體育器材．學校準備在網上訂購一批某品牌足球和跳繩，在查閱天貓網店后發(fā)現(xiàn)足球每個定價150元，跳繩每條定價30元．現(xiàn)有、兩家網店均提供包郵服務，并提出了各自的優(yōu)惠方案．網店：買一個足球送一條跳繩；網店：足球和跳繩都按定價的付款．已知