【大賽決賽】28.1 銳角三角函數(shù)課件 -2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)人教版下冊

第二十七章銳角三角函數(shù)28.1銳角三角函數(shù)湖北省咸寧市第三初級中學(xué)唐先祥28.1銳角三角函數(shù)4課時28.1.1銳角三角函數(shù)定義2課時28.1.2特殊角的三角函數(shù)值1課時28.1.3用計算器求銳角三角函數(shù)值 1課時

教學(xué)內(nèi)容及課時安排（1）利用兩個相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA）；理解銳角三角函數(shù)的概念；知道30°，45°，60°的三角函數(shù)值．（2）會使用計算器求已知銳角的三角函數(shù)值，以及求已知三角函數(shù)值對應(yīng)的銳角．（3）能用銳角三角函數(shù)的定義求銳角三角函數(shù)值，能用相關(guān)知識解決一些簡單的問題．教學(xué)目標(biāo)28.1銳角三角函數(shù)——正弦學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握正弦的定義，會求銳角的正弦值；2.了解同一角的正弦值是不變的，在銳角范圍（大于0度，小于90度）內(nèi)，正弦值與角的度數(shù)之間的變化規(guī)律；3.通過觀察發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)的命名規(guī)則，體會數(shù)學(xué)定義和命名之美；通過探究活動體會到數(shù)學(xué)萬變不離其宗的規(guī)律.創(chuàng)設(shè)情景

ABC“斜而未倒”BC=5.2mAB=54.5m意大利的偉大科學(xué)家伽俐略，曾在斜塔的頂層做過自由落體運動的實驗.．α比薩斜塔傾斜角∠α是多少度？通過本章的學(xué)習(xí)就可以解決這一問題

1.以前我們學(xué)習(xí)了哪些函數(shù)？

在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)．我們今天學(xué)習(xí)一種新的函數(shù)．復(fù)習(xí)提問2.函數(shù)定義是什么？一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)

問題

:為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚水站，對坡面的綠地進行噴灌．現(xiàn)測得斜坡與水平面所成角的度數(shù)是30°，為使出水口的高度為35m，那么需要準(zhǔn)備多長的水管？這個問題可以歸結(jié)為，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半”，即可得AB＝2BC＝70m，也就是說，需要準(zhǔn)備70m長的水管．ABC

分析：提出問題在上面的問題中，如果使出水口的高度為50m，那么需要準(zhǔn)備多長的水管？結(jié)論：在一個直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么不管三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比值都等于?思考ABC50m35mB'C'AB'＝2B'C'

＝2×50＝100(m)

在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:因此

即在直角三角形中，當(dāng)一個銳角等于45°時，不管這個直角三角形的大小如何，這個角的對邊與斜邊的比都等于

如圖，任意畫一個Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，計算∠A的對邊與斜邊的比，你能得出什么結(jié)論？?思考ABC

一般地，當(dāng)∠A取其他一定度數(shù)的銳角時，它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值？歸納猜想

在圖中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'因此

這就是說，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比也是一個固定值．并且直角三角形中一個銳角的度數(shù)越大，它的對邊與斜邊的比值越大。ABCA'B'C'探究

任意畫Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么與有什么關(guān)系．你能解釋一下嗎？即

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦（sine），記作：sinA

即例如，當(dāng)∠A＝30°時，我們有當(dāng)∠A＝45°時，我們有ABCcab對邊斜邊在圖中∠A的對邊記作a∠B的對邊記作b∠C的對邊記作c有關(guān)概念一個角的正弦表示定值、比值、正值。

1.sinA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中∠A的對邊與斜邊的比；對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù).

2.sinA是一個完整的符號，它表示∠A的正弦，記號里習(xí)慣省去角的符號“∠”.sinA不表示“sin”乘以“A”.

3.正弦的常見寫法有以下兩種形式：(1)sinA，sin42°，sinβ（省去角的符號）;(2)sin∠DEF，sin∠1（不能省去角的符號）.4.當(dāng)A為銳角時，

0<sinA<1

概念的理解例1：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．解：(1）在Rt△ABC中，因此（2）在Rt△ABC中，因此ABC34

求sinA就是要確定∠A的對邊與斜邊的比；求sinB就是要確定∠B的對邊與斜邊的比ABC135例析自主練習(xí)1.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．ABC35(1)BAC

1(2)2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，求sinA的值．

課堂小結(jié)

1.在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比都是定值．

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA．3.sinA是∠A的函數(shù).28.1銳角三角函數(shù)——余弦﹑正切學(xué)習(xí)目標(biāo)1.認識并理解余弦、正切的概念進而得到銳角三角函數(shù)的概念.(重點)2.能靈活運用銳角三角函數(shù)進行相關(guān)運算.(重點、難點)

1.正弦函數(shù)的定義是什么？下面讓我們一起來探究吧！復(fù)習(xí)提問2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，當(dāng)∠A確定時，∠A的對邊與斜邊的比隨之確定，其他邊之間的比是否隨之確定呢？

在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比值叫做∠A的正弦（sine），記作：sinA

即ABCcab對邊斜邊探索新知

在Rt△ABC中，∠C=90°，當(dāng)銳角A確定時，∠A的對邊與斜邊比隨之確定．此時，其他邊的比是否也隨之變化呢？為什么？猜想1：∠A鄰邊與斜邊的比是定值.猜想2：對邊與鄰邊的比是定值.

ABCDEF探索新知證明：∵∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，∴Rt△ABC∽Rt△DEF.，總結(jié)：在有一個銳角相等的所有直角三角形中，這個銳角的鄰邊與斜邊的比值是一個常數(shù)，這個銳角的對邊與鄰邊的比值也是一個常數(shù)，與直角三角形的大小無關(guān)．∴有關(guān)概念如圖：在Rt△ABC中，∠C＝90°

我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA,即

我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函數(shù).3.當(dāng)A為銳角時，

0<sinA<1，0＜cosB＜1，

tanA>0

概念的理解

1.對于銳角A的每一個確定的值，sinA、cosA、tanA都有唯一的確定的值與它對應(yīng)，所以sinA、cosA、tanA都是A的函數(shù)。2.sinA、cosA、tanA都沒有單位，它們表示一個比，一個比值

例2

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝

，求cosA、tanB的值．解：∵又ABC6例析1.分別求出下列直角三角形中兩個銳角的正弦值、余弦值和正切值．自主練習(xí)ABC1312ABC23(1)(2)

2.在Rt△ABC中，如果各邊長都擴大2倍，那么銳角A的正弦值、余弦值和正切值有什么變化？1.分別求出下列直角三角形中兩個銳角的正弦值、余弦值和正切值．自主練習(xí)答案解：由勾股定理ABC13122.在Rt△ABC中，如果各邊長都擴大2倍，那么銳角A的正弦值、余弦值和正切值有什么變化？ABC則擴大2倍后三邊分別為2a、2b、2cABC自主練習(xí)答案

解：設(shè)各邊長分別為a、b、c，∠A的三個三角函數(shù)分別為=acsinA=在Rt△ABC中=bccosA==abtanA=1、sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形)。2、sinA、cosA、tanA是一個比值（數(shù)值）。3、sinA、cosA、tanA的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長無關(guān)。定義中應(yīng)該注意的幾個問題:

課堂小結(jié)28.1銳角三角函數(shù)——特殊角的三角函數(shù)值學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟記30°，45°，60°的三角函數(shù)值(重點)2.能靈活運用30°，45°，60°的三角函數(shù)值進行相關(guān)運算.(重點、難點)

AB

C∠A的對邊∠A的鄰邊∠A的對邊∠A的鄰邊tanAcosA∠A的鄰邊∠A的對邊斜邊sinA斜邊斜邊回顧銳角三角函數(shù)如圖?思考兩塊三角尺中有幾個不同的銳角？分別求出這幾個銳角的正弦值、余弦值和正切值．學(xué).科.網(wǎng)設(shè)30°所對的直角邊長為a，那么斜邊長為2a另一條直角邊長＝30°60°45°45°30°設(shè)兩條直角邊長為a，則斜邊長＝60°45°30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：銳角a三角函數(shù)30°45°60°sinacosatana仔細觀察,說說你發(fā)現(xiàn)這張表有哪些規(guī)律?學(xué).科.網(wǎng)例3求下列各式的值：（1）cos260°＋sin260°（2）解:（1）cos260°＋sin260°學(xué).科.網(wǎng)＝1（2）＝0例析

例4、(1)如圖，在Rt△ABC中，∠C=900，AB=,BC=,求∠A的度數(shù)。(2)如圖,已知圓錐的高AO等于圓錐的底面半徑OB的倍,求α.學(xué).科.網(wǎng)(1)(2)例析解：(1)在圖中，∴∠A=45°∵(2)在圖中，∴α=60°∵tanα=1.求下列各式的值：(1)1-2sin30°cos30°(2)3tan30°-tan45°+2sin60°(3)(cos230°+sin230°)×tan60°自主練習(xí)

自主練習(xí)答案1.求下列各式的值：(1)1-2sin30°cos30°(2)3tan30°-tan45°+2sin60°(3)(cos230°+sin230°)×tan60°解：(1)原式(3)原式(2)原式自主練習(xí)答案

解：如圖，∵tanB=∴∠B=60°∴∠A=90°-∠B=30°28.1銳角三角函數(shù)——用計算器求銳角三角函數(shù)值及銳角學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會使用科學(xué)計算器求銳角的三角函數(shù)值.(重點)2.會根據(jù)銳角的三角函數(shù)值，借助科學(xué)計算器求銳角的大小.

(重點)3.熟練運用計算器解決銳角三角函數(shù)中的問題.(難點)導(dǎo)入新課

復(fù)習(xí)

銳角a三角函數(shù)30°45°60°sinacosatana1填寫下表：

通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道當(dāng)銳角A是30°、45°、60°等特殊角時，可以求得這些特殊角的銳角三角函數(shù)值；如果銳角A不是這些特殊角，怎樣得到它的銳角三角函數(shù)值呢？思考講授新課用計算器求銳角的三角函數(shù)值或角的度數(shù)例1(1)用計算器求sin18°的值；解：第一步：按計算器鍵；sin第二步：輸入角度值18；屏幕顯示結(jié)果sin18°=0.309016994.不同計算器操作的步驟可能不同哦！典例精析(2)用計算器求tan30°36′的值；解：方法①：第二步：輸入角度值30.6(因為30°36′=30.6°)；屏幕顯示答案：0.591398351.第一步：按計算器鍵；tan屏幕顯示答案：0.591398351.方法②：第一步：按計算器鍵；tan第二步：輸入角度值30，分值36(使用鍵)；D.M′S(3)已知sinA=0.5018，用計算器求∠A的度數(shù).第二步：然后輸入函數(shù)值0.5018；屏幕顯示答案：30.11915867°(按實際需要進行精確).解：第一步：按計算器鍵；2ndFsin－1還可以利用鍵，進一步得到∠A=30°07′08.97″(這說明銳角A精確到1′的結(jié)果為30°7′，精確到1″的結(jié)果為30°7′9″).2ndFD.M′S利用計算器探索三角函數(shù)的性質(zhì)例2

通過計算(可用計算器)，比較下列各對數(shù)的大小，并提出你的猜想：①sin30°___2sin15°cos15°；

②sin36°____2sin18°cos18°；③sin45°____2sin22.5°cos22.5°；④sin60°____2sin30°cos30°；⑤sin80°____2sin40°cos40°.猜想：(1)已知0°＜α＜45°，則sin2α___2sinαcosα.======(2)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，請利用面積方法驗證(1)中的結(jié)論．證明：∵S△ABC

=AB·sin2α·AC

=sin2α，

S△ABC=×2ABsinα·ACcosα=sinα·cosα，∴sin2α＝2sinαcosα.自主練習(xí)1.用計算器求下列各式的值(精確到0.0001)：(1)sin47°；(2)sin12°30′；(3)cos25°18′；(4)sin18°＋cos55°－tan59°.答案：(1)0.7314(2)0.2164(3)0.9041(4)－0.78172.已知下列銳角三角函數(shù)值，用計算器求銳角∠A，∠B的度數(shù)(結(jié)果精確