《新編高等數(shù)學(xué)》課件2高等數(shù)學(xué)-第二章 極限與連續(xù)

1數(shù)列的極限2函數(shù)的極限3無窮小與無窮大4極限的運(yùn)算法則5兩個(gè)重要極限6函數(shù)的連續(xù)性第一節(jié)數(shù)列的極限3極限的概念是由于求某些問題的精確解而產(chǎn)生的，我們先介紹古代數(shù)學(xué)家劉徽（魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家），利用圓的內(nèi)接正多邊形來推算圓的面積的方法——割圓術(shù)。設(shè)有一圓，先做內(nèi)接正六邊形，其面積記為A1，再作內(nèi)接正十二邊形，其面積記為A2，再作內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為A3，依次逐漸將邊數(shù)加倍。這樣就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積：這就是一個(gè)數(shù)列?！案钪畯浖?xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。一、數(shù)列的概念A(yù)1，A2，A3，……，An，……4一般地說，按自然數(shù)1，2，3，……編號(hào)依次排列的一列數(shù)稱為一個(gè)無窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列。其中的每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的一個(gè)項(xiàng)，xn，稱為數(shù)列的通項(xiàng)或一般項(xiàng)。通項(xiàng)為xn

的數(shù)列可以簡(jiǎn)記為數(shù)列{xn}。數(shù)列{xn}可以看成自變量為正整數(shù)的函數(shù)：一、數(shù)列的概念x1，x2，x3，……，xn，……在幾何上，數(shù)列{xn}可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x1，x2

，x3，……，

xn

，……5例如，以下都是數(shù)列：一、數(shù)列的概念一般項(xiàng)是一般項(xiàng)是一般項(xiàng)是6對(duì)于數(shù)列，當(dāng)n無限增大時(shí)，它能否無限趨向于一個(gè)常數(shù)，如果能的話，這個(gè)常數(shù)又是什么，如何求出？二、數(shù)列極限的定義割圓術(shù)中的數(shù)列A1，A2，A3，……，

An，……，從其幾何意義上可知，隨著n無限增大，

An

的值也逐漸增大，并且無限的接近圓的面積A。定義

設(shè)有數(shù)列{xn}，如果存在常數(shù)a，當(dāng)n

無限增大時(shí)，xn無限趨近于a

，則稱數(shù)列{xn}以a為極限，或稱數(shù)列{xn}收斂于a

，記作如果這樣的常數(shù)a不存在，則稱數(shù)列{xn}發(fā)散。或（）7二、數(shù)列極限的定義（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）；例2-1觀察下列數(shù)列{xn}的極限：解：（1）；（2）；（3）發(fā)散；（4）；（5）當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列發(fā)散（無限增大）；（6）8為了方便起見，有時(shí)也將當(dāng)n→∞

時(shí)|

xn|

無限增大的情況說成是數(shù)列{xn}趨向于∞，或稱其極限為∞（但這不表示數(shù)列是收斂的），記作二、數(shù)列極限的定義或（）如果當(dāng)n足夠大時(shí)能夠限定xn的正負(fù)，且當(dāng)n→∞

時(shí)|

xn|

無限增大，則可記作或（）例如9下面給出數(shù)列極限的嚴(yán)格定義（ε—N

定義）：二、數(shù)列極限的定義恒成立，則稱數(shù)列{xn}以a為極限，或稱數(shù)列{xn}收斂于a；如果這樣的常數(shù)a

不存在，則稱數(shù)列{xn}發(fā)散。數(shù)列{xn}收斂于a

的幾何意義為：對(duì)于任意給定的ε>0

，當(dāng)n>N時(shí)，所有的點(diǎn)xn

落在（a–ε，a+ε）內(nèi)，數(shù)列中只有有限個(gè)點(diǎn)（至多只有N個(gè)）落在其外。定義

設(shè)有數(shù)列{xn}，如果存在常數(shù)a，使得對(duì)于任意給定的正數(shù)ε

（無論它多么?。偞嬖谡麛?shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，不等式xx2xN+2xN

+1aa+

a-

10性質(zhì)1（極限的唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的。三、收斂數(shù)列的基本性質(zhì)性質(zhì)2（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列{xn}收斂，則數(shù)列{xn}一定有界。推論

無界數(shù)列一定是發(fā)散的。注意：數(shù)列有界數(shù)列收斂的必要而非充分條件。如數(shù)列{(-1)n+1

}有界，但卻是散數(shù)列。

第二節(jié)函數(shù)的極限12數(shù)列是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)，它的極限只是一種特殊的整標(biāo)函數(shù)的極限。

現(xiàn)在我們討論定義在實(shí)數(shù)集合上的一般的函數(shù)的極限。關(guān)于函數(shù)的極限，我們主要討論兩種情形：（1）自變量x

的絕對(duì)值|x|無限增大或者說趨于無窮大（記作x→∞）時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值

f(x)

的總的變化趨勢(shì)；（2）自變量x

無限接近于有限值x0

或者說趨于有限值x0（記作x→

x0

）時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值f(x)

的總的變化趨勢(shì)；13定義

設(shè)函數(shù)f(x)

的在|x|>M（M

為某一正數(shù)）時(shí)有定義，如果存在常數(shù)A，當(dāng)|x|

無限增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)

無限的接近于A

，則稱A為函數(shù)f(x)

當(dāng)x→∞時(shí)的極限，或簡(jiǎn)稱為f(x)

在無窮大處的極限，記作一、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限考慮函數(shù)，當(dāng)|x|

無限增大時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y

就無限的趨近于0

，我們稱當(dāng)x

趨于無窮大時(shí)，函數(shù)以0

為極限?；颍ǎ┤绻@樣的常數(shù)A

不存在，則稱當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f(x)

沒有極限（或稱極限不存在）。14定義

設(shè)函數(shù)f(x)

的在|x|>M（M為某一正數(shù)）時(shí)有定義，如果存在常數(shù)A，使得對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么小），總存在正整數(shù)X，使得當(dāng)

|x|

>X時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式類似于數(shù)列的極限，也可以給出嚴(yán)格的ε—X

定義：一、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限如果定義中限制

x只取正值或者只取負(fù)值，我們就分別記為或稱為f(x)在正無窮大處或負(fù)無窮大處的極限。則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限。15對(duì)于一些簡(jiǎn)單函數(shù)，通過觀察函數(shù)值或圖形就可以得到函數(shù)當(dāng)

x→∞時(shí)的極限，如：一、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限定義中的

|x|

>X如果改為x

>X（x<–X），就可得到

f(x)在正無窮大處或負(fù)無窮大處的極限。于是容易得到：一般來講，如果（或），則直線

y=A就是函數(shù)y=f(x)的圖像的水平漸近線。16注意：定義不要求f(x)

的在點(diǎn)

x0

有定義，因?yàn)楫?dāng)x→x0時(shí)x≠x0

。二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限定義

設(shè)函數(shù)f(x)

在點(diǎn)

x0

的附近有定義，若存在常數(shù)A，當(dāng)x無限趨向于x0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限的接近于A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0

時(shí)的極限，記作或（）如果這樣的常數(shù)A不存在，則稱當(dāng)x→x0

時(shí)函數(shù)f(x)沒有極限（或稱極限不存在）。上述定義也可以解釋為：只要x與x0足夠接近（即|x–x0|足夠小），就可以使f(x)

與A任意接近（即|f(x)

–A|任意小）。17點(diǎn)a稱為這個(gè)鄰域的中心，δ

稱為這個(gè)鄰域的半徑。并且可以看出，U(a，δ

)也就是以點(diǎn)

a為中心，長(zhǎng)度為2δ

的開區(qū)間(a–δ，a+δ

)。二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限定義

設(shè)a與δ

是兩個(gè)實(shí)數(shù)，數(shù)集{x

||x–a|<δ}稱為點(diǎn)a

的

δ

鄰域，記作U(a，δ

)，即為了闡述函數(shù)的局部性態(tài)，還經(jīng)常用到鄰域的概念，它表示某點(diǎn)附近的所有點(diǎn)的集合。aa–δa+δxaa–δa+δx18二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限

U(a，δ

)表示與點(diǎn)

a的距離小于δ

的點(diǎn)的全體。有時(shí)用到的鄰域需要把中心去掉，將U(a，δ

)的中心a去掉后，稱為點(diǎn)a

的去心δ

鄰域，記作由此，也可以給出函數(shù)在一點(diǎn)處極限的嚴(yán)格的ε—δ

定義：定義

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0

的某去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，使得對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么小），總存在正整數(shù)δ，使得當(dāng)

0<|x–x0

|

<δ

時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0

時(shí)的極限。19二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限其幾何意義為：對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ

，當(dāng)x落在x0

的去心δ

鄰域內(nèi)時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖形完全落在以為y=A中心線，寬為2ε

的帶狀區(qū)域內(nèi)。例2-2對(duì)于一些簡(jiǎn)單的函數(shù)，可以根據(jù)觀察判斷出它的極限：y=f(x)A+

AA–

yx

x0–

x0

x0

+

O（1）（C為常數(shù)）；（2）；（3）（4）20前面給出的x→

x0

時(shí)函數(shù)f(x)的極限，自變量x是從左右兩側(cè)趨近于的，但有時(shí)我們只能或只需考慮x是僅從左側(cè)趨近于x0（即x<

x0

）的情形，或是僅從右側(cè)趨近于x0（即x>

x0

）的情形，為此，通常將類似可以定義右極限為三、單側(cè)極限

x<

x0

時(shí)，x→

x0

時(shí)的情況記作

x>

x0

時(shí)，x→

x0

時(shí)的情況記作定義

設(shè)函數(shù)f(x)

在點(diǎn)

x0

的左側(cè)附近有定義，若存在常數(shù)A，使得當(dāng)x從左側(cè)無限趨向于x0時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限的接近于A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x趨于x0

時(shí)的左極限，記作21左極限與右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限。右極限為三、單側(cè)極限定理

當(dāng)x→x0時(shí)函數(shù)f(x)以A為極限的充分必要條件是f(x)在點(diǎn)x0處的左、右極限存在且都等于

A，即例2-3設(shè)，求1Oxy解左極限為所以22因此；又由于三、單側(cè)極限例2-4設(shè)，討論x→0

時(shí)及x→1

時(shí)f(x)的極限。解由于，所以x→1

時(shí)f(x)的極限不存在，或稱不存在。23性質(zhì)1（函數(shù)極限的唯一性）如果存在，則極限唯一。性質(zhì)2（有極限函數(shù)的局部有界性）如果存在，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0

的某個(gè)鄰域內(nèi)有界，即存在常數(shù)M，使得在點(diǎn)x0

的某個(gè)鄰域內(nèi)有第三節(jié)無窮小與無窮大25一、無窮小無窮小的概念在極限的研究中有及其重要的作用。定義在自變量x的某個(gè)變化過程中，若函數(shù)

f(x)的極限為零，則稱f(x)在該變化過程中為無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮小。例2-5因?yàn)椋院瘮?shù)是當(dāng)x→∞時(shí)的無窮小。例2-6因?yàn)?，所以函?shù)(x–

1)是當(dāng)x→1

時(shí)的無窮小。例2-7因?yàn)椋院瘮?shù)sinx

是當(dāng)x→0

時(shí)的無窮小。注意：不要把無窮小與絕對(duì)值很小的數(shù)混為一談，無窮小是一個(gè)以0為極限的函數(shù)，能作為無窮小的常數(shù)只有0，其它任何常數(shù)，無論其絕對(duì)值多么小，也不是無窮小。26一、無窮小下面定理說明了無窮小與函數(shù)極限的密切關(guān)系：由無窮小的定義，不難理解無窮小的下列性質(zhì)：性質(zhì)1

有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小。性質(zhì)2

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。性質(zhì)3

有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小。推論

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。定理在自變量x的某個(gè)變化過程中，函數(shù)

f(x)有極限A的充分必要條件為：f(x)可以表示為A與一個(gè)同一變化過程中的無窮小

的和，即27一、無窮小注意：無窮多個(gè)無窮小的代數(shù)和不一定是無窮??；兩個(gè)無窮小的商不一定是無窮小。例2-8求極限解：由于，，所以例2-9求極限解：由于，，所以28二、無窮小的比較兩個(gè)無窮小的和、差、積仍是無窮小，但無窮小的商就不易確定了。可見兩個(gè)無窮小的商，可以是無窮小，可以是無窮大，也可以是常數(shù)或極限為常數(shù)的變量，這是因?yàn)闊o窮小在趨于零的過程中快慢不同。例如，當(dāng)x→0

時(shí)，x，2x，x2，x3，x

+x2都是無窮小，而此時(shí)為了比較無窮小，我們引入無窮小的階的概念。29二、無窮小的比較定義

設(shè)及是自變量同一變化過程中的無窮小，且，則

（1）如果，則稱是比高階的無窮小，記作；

（2）如果，則稱是比低階的無窮??；

（3）如果，則稱與是同階的無窮?。?/p>

（4）如果，則稱與是等價(jià)無窮小，記作。顯然，等價(jià)無窮小是同階無窮小的特殊情形。30二、無窮小的比較由定義可見，當(dāng)x→0

時(shí)，x2是x的高階無窮小，即x2=o(x)

，而x2是x3的低階無窮小，x與2x是同階無窮小。關(guān)于等價(jià)無窮小，有下面定理：定理

在自變量同一變化過程中，如果，，且存在，則證31二、無窮小的比較求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可以用等價(jià)無窮小來代替；在求分式的極限時(shí)，分子及分母中的無窮小因子也可以用等價(jià)無窮小來代替。如果用來代替的無窮小選取適當(dāng)?shù)脑?，可以使?jì)算簡(jiǎn)化。在后面的極限計(jì)算中我們會(huì)遇到利用等價(jià)無窮小代換來求極限的例子。需要注意的是，當(dāng)分子或分母是若干項(xiàng)的和或差時(shí)，一般不能對(duì)其中某一項(xiàng)作等價(jià)無窮小的代換。32三、無窮大（1）limf(x)=∞并不表示f(x)有極限，無窮大“∞”不是數(shù)，只是一個(gè)符號(hào)；

（2）無窮大是無界函數(shù)，但是無界函數(shù)不一定是無窮大；

（3）無窮大是一個(gè)絕對(duì)值無限大的變量，任何絕對(duì)值很大的常數(shù)都不是無窮大。定義在自變量x的某個(gè)變化過程中，若函數(shù)

f(x)的絕對(duì)值無限增大，則稱f(x)在該變化過程中為無窮大量，簡(jiǎn)稱無窮大，可以記作limf(x)=∞。例如，當(dāng)x→0

時(shí)，

，cotx

都是無窮大；當(dāng)x→0+

時(shí)，

，lnx

都是無窮大；當(dāng)x→+∞

時(shí)，x3，ex

，lnx

都是無窮大。注意33三、無窮大定義如果（或），則直線x=x0是函數(shù)y=

f(x)的圖像的鉛直漸近線。例2-10因?yàn)?，所以直線x=1是曲線的鉛直漸近線。無窮大與無窮小有如下關(guān)系：定理

在自變量的同一變化過程中，如果f(x)為無窮大，則為無窮??；反之，如果f(x)為無窮小且f(x)≠0，則為無窮大。例2-11當(dāng)x→0

時(shí)，x3是無窮小，而是無窮大。例2-12當(dāng)x→∞

時(shí)，x

+1是無窮大，而是無窮小。第四節(jié)極限的運(yùn)算法則35一、極限的四則運(yùn)算在下面的討論中，極限過程的自變量的趨向沒有標(biāo)出，表示對(duì)任何一個(gè)自變量的變化過程都成立，只要在同一問題中自變量的趨向相同即可。并且這些運(yùn)算法則對(duì)于數(shù)列的極限也是同樣適用的。注意：定理中的（1）（2）都可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形，但不可應(yīng)用到無窮多個(gè)數(shù)列的情形。定理

如果，，則

（1）

（2）

（3）當(dāng)B≠0時(shí)，36一、極限的四則運(yùn)算由（2）可得下面推論：下面計(jì)算一些函數(shù)的極限。推論如果limf(x)存在，c為常數(shù)，n為正整數(shù)，則

（1）

（2）例2-13求解37一、極限的四則運(yùn)算由上例可以看出，求多項(xiàng)式函數(shù)當(dāng)x→x0時(shí)的極限，只要用x0

代替函數(shù)中的x即可（代入法），即例2-14求解38一、極限的四則運(yùn)算例2-15求解這里分母的極限不為零，于是可見，求有理分式函數(shù)（其中P(x)，Q(x)都是多項(xiàng)式函數(shù)）當(dāng)x→x0時(shí)的極限，如果Q(x0)≠0，也只需用x0

代替函數(shù)中的x即可（代入法），即39一、極限的四則運(yùn)算例2-16求解這里分母的極限不為零，于是例2-17求解x→3時(shí)，分子分母的極限都為零，不能分別取極限再求商，注意到分子分母都具有公因子x–3，而x→3

時(shí)x≠3，可以消去公因子后再求極限，于是注意：對(duì)于這種Q(x0)=0且P(x0)=0的有理分式函數(shù)，在求當(dāng)x→x0時(shí)的極限時(shí)，分子分母一定都具有公因子x–x0，由于當(dāng)x→x0時(shí)x≠x0，所以分子分母可以消去不為零的公因子后再求極限。40例2-18求解一、極限的四則運(yùn)算41一、極限的四則運(yùn)算例2-19求解當(dāng)x→1

時(shí)，分母的極限為零，分子的極限為3，不能用商的極限運(yùn)算法則，但由于于是由無窮小與無窮大的關(guān)系可得42一、極限的四則運(yùn)算例2-20求解注意：對(duì)于Q(x0)=0且P(x0)≠0的有理分式函數(shù)，求當(dāng)x→x0時(shí)的極限時(shí)，可以先求其倒數(shù)的極限，再利用無窮小與無窮大的關(guān)系得到結(jié)果。再來看一些當(dāng)x→∞時(shí)有理分式函數(shù)的極限。43一、極限的四則運(yùn)算例2-21求解由于分子分母的極限都是∞，所以不能用商的極限運(yùn)算法則。做適當(dāng)變形，即分子分母同時(shí)除以它們的最高次冪x3，然后取極限，得44一、極限的四則運(yùn)算例2-22求解分子、分母同時(shí)除以x3，然后取極限，得45一、極限的四則運(yùn)算例2-23求解由上例，以及無窮小與無窮大的關(guān)系可得一般地，對(duì)于當(dāng)x→∞時(shí)有理分式函數(shù)的極限，當(dāng)a0≠0，b0≠0，m，n為非負(fù)整數(shù)時(shí)有以下結(jié)論：46二、復(fù)合函數(shù)求極限對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)和有理分式函數(shù)f(x)，只要f(x)在點(diǎn)x0處有定義，則當(dāng)x→x0時(shí)f(x)的極限值就是f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值。這里我們指出，一切基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)處都具有這樣的性質(zhì)，即如果f(x)是基本初等函數(shù)，定義域?yàn)镈，而x∈D，則例如，f(x)=sinx是基本初等函數(shù)，而點(diǎn)在它的定義域內(nèi)，所以下面給出一個(gè)復(fù)合函數(shù)求極限的定理。47二、復(fù)合函數(shù)求極限定理

設(shè)函數(shù)u=

φ(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限等于a，即，而函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u=a

處有定義且，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在且等于f(a)，即定理表明，滿足定理?xiàng)l件的情況下，函數(shù)符號(hào)可以和極限符號(hào)交換次序。例2-24求解48二、復(fù)合函數(shù)求極限例2-25求解例2-26求解49二、復(fù)合函數(shù)求極限注意：在求一些無理分式函數(shù)的極限時(shí)，如果分子分母都是趨于零的，可以通過先進(jìn)行有理化，再約去公因子的方法求極限。例2-27求解50二、復(fù)合函數(shù)求極限例2-28求解雖然此題不是無理分式，但由于相減的兩項(xiàng)都是趨于無窮的，因此也需要用有理化的方法來做。51二、復(fù)合函數(shù)求極限例2-29求解此題相減的兩項(xiàng)都是趨于無窮大的，因此需要通分后再計(jì)算。第五節(jié)兩個(gè)重要極限53一、準(zhǔn)則Ⅰ和第一個(gè)重要極限準(zhǔn)則I

設(shè)在變量的某一變化過程中，對(duì)于函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)，有g(shù)(x)≤f(x)≤h(x)且limg(x)=

limh(x)=A，則lim

f(x)=A。這個(gè)準(zhǔn)則對(duì)于數(shù)列的極限也是同樣適用的。利用這個(gè)準(zhǔn)則，可以證下列重要極限：54一、準(zhǔn)則Ⅰ和第一個(gè)重要極限證明：如圖2-6，設(shè)單位圓O，圓心角∠AOB=x，過A點(diǎn)作圓的切線，與OB的延長(zhǎng)線交于D點(diǎn)，再作BC⊥OA，于是可得：，，這里（

）

顯然：

?AOB的面積<扇形AOB的面積<?AOD的面積而?AOB的面積扇形AOB的面積?AOD的面積55一、準(zhǔn)則Ⅰ和第一個(gè)重要極限從而有（），即（）兩邊同時(shí)除以sinx，得，于是由于cosx與都是偶函數(shù)，則上式當(dāng)時(shí)也成立。（）因?yàn)?，，所以由?zhǔn)則I56一、準(zhǔn)則Ⅰ和第一個(gè)重要極限對(duì)于第一個(gè)重要極限，其一般形式為：（方框□代表同一變量）例2-30求解例2-31求解57例2-32求解例2-33求解一、準(zhǔn)則Ⅰ和第一個(gè)重要極限58例2-34求解利用變量代換，令x=sint，則當(dāng)x→0

時(shí)t→0，且arcsinx=t，于是類似的，也可以得到由第一個(gè)重要極限，以及上面幾個(gè)例子，我們得到了一些常用的等價(jià)無窮?。阂?、準(zhǔn)則Ⅰ和第一個(gè)重要極限（x→0）（x→0）（x→0）（x→0）（x→0）59例2-35求解由于當(dāng)x→0

時(shí)，sin3x~3x，tan5x~5x，所以例2-36求解由于當(dāng)x→0

時(shí)，sinx~x，arctanx~x，所以一、準(zhǔn)則Ⅰ和第一個(gè)重要極限60二、準(zhǔn)則Ⅱ和第二個(gè)重要極限如果數(shù)列{xn}滿足x1≤x2≤…≤xn≤xn+1

≤…，則稱數(shù)列{xn}是單調(diào)增加數(shù)列；如果數(shù)列{xn}滿足x1≥x2≥…≥xn

≥xn+1

≥…，則稱數(shù)列{xn}是單調(diào)減少數(shù)列。單調(diào)增加數(shù)列和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。準(zhǔn)則II

如果無窮數(shù)列{xn}單調(diào)且有界，則數(shù)列必收斂。前面曾經(jīng)講過，收斂數(shù)列必有界，但有界數(shù)列不一定收斂，現(xiàn)在由準(zhǔn)則II說明：如果數(shù)列有界并且是單調(diào)的，就一定收斂。利用這個(gè)準(zhǔn)則，可以證明下列重要極限：61二、準(zhǔn)則Ⅱ和第二個(gè)重要極限考慮數(shù)列的情形，設(shè)，由下表可以看出，xn是單調(diào)增加的，且越來越接近某一常數(shù)：可以證明無窮數(shù)列{xn}是單調(diào)增加且有界的（小于3），所以是存在的，這個(gè)極限是無理數(shù)，通常用記號(hào)e

來表示，即1210100100010000100000……22.252.593742.704812.716922.718142.71827……62二、準(zhǔn)則Ⅱ和第二個(gè)重要極限無理數(shù)e的值為2.71828182845904523536…，以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)?？梢宰C明，當(dāng)x趨向于+∞或–∞時(shí)，函數(shù)的極限都存在且都等于e，所以利用變量代換，令，則當(dāng)x→∞時(shí)，z→0，于是可得63二、準(zhǔn)則Ⅱ和第二個(gè)重要極限對(duì)于第二個(gè)重要極限，其一般形式為：例2-37求解（三角?代表同一變量）64二、準(zhǔn)則Ⅱ和第二個(gè)重要極限例2-38求解65二、準(zhǔn)則Ⅱ和第二個(gè)重要極限例2-39求解66二、準(zhǔn)則Ⅱ和第二個(gè)重要極限例2-40求解67二、準(zhǔn)則Ⅱ和第二個(gè)重要極限例2-41求解例2-42求解令

u=ex–1，即x=ln(1+u)，則當(dāng)x→0

時(shí)，u→0，于是由上面兩例，我們又得到了常用的等價(jià)無窮小：ln(1+x)~x（x→0），ex–1~x

（x→0）68三、冪指函數(shù)的極限形如f(x)g(x)（其中f(x)>0）的函數(shù)叫做冪指函數(shù)。第二個(gè)重要極限就是冪指函數(shù)的極限。冪指函數(shù)的極限的一般計(jì)算方法為：在自變量同一變化過程中，如果limf(x)=A>0，limg(x)=B，則69三、冪指函數(shù)的極限例2-43求解70三、冪指函數(shù)的極限例2-44求解71三、冪指函數(shù)的極限例2-45求解第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性73一、函數(shù)連續(xù)性的概念自然界中有許多現(xiàn)象都是連續(xù)變化的，如氣溫的變化，行星的運(yùn)動(dòng)，植物的生長(zhǎng)等，都是連續(xù)變化的。這種現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性，高等數(shù)學(xué)中所討論的主要是連續(xù)變化的量。我們先引入改變量的概念，設(shè)變量u從初值u1

改變到終值u2，終值與初值的差u2

–u1就叫做變量u的改變量（也叫增量），記作注意：?u是一個(gè)整體記號(hào)，是變量u的改變量，它可以是正的，也可以是負(fù)的。但自變量的改變量不能為零。下面討論函數(shù)的連續(xù)性。74一、函數(shù)連續(xù)性的概念定義

設(shè)函數(shù)y=

f(x)

在點(diǎn)

x0

的某鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量?x=x–x0趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)的增量?y=f(x0+?x)

–f(x0)也趨于零，即則稱函數(shù)y=

f(x)

在點(diǎn)

x0

處連續(xù)。如果記x=x0+?x，則f(x0+?x)

=f(x)，而?x→0等價(jià)于x→x0，?y→0（即f(x)

–f(x0)→0）等價(jià)于f(x)

→

f(x0)

，因此函數(shù)y=

f(x)

在點(diǎn)

x0

處連續(xù)的定義也可敘述如下：或75一、函數(shù)連續(xù)性的概念則稱函數(shù)y=

f(x)

在點(diǎn)

x0

處連續(xù)。定義

設(shè)函數(shù)y=

f(x)

在點(diǎn)

x0

的某鄰域內(nèi)有定義，若函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0

時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值，即由定義可知，函數(shù)f(x)

在點(diǎn)

x0

處連續(xù)則f(x)

在點(diǎn)

x0

處必有極限，但f(x)

在點(diǎn)

x0

處有極限時(shí)不一定在點(diǎn)

x0

處連續(xù)，甚至f(x)

在點(diǎn)

x0

處可能沒有定義。相應(yīng)于函數(shù)左、右極限的概念，給出函數(shù)左、右連續(xù)的概念。76一、函數(shù)連續(xù)性的概念則稱函數(shù)y=

f(x)

在點(diǎn)

x0

處左（右）連續(xù)。如果函數(shù)f(x)

在點(diǎn)

x0處及其左（右）側(cè)附近有定義，且滿足顯然可見，函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的充要條件為函數(shù)在該點(diǎn)既是左連續(xù)的，又是右連續(xù)的。在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，叫做該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。如果區(qū)間包括端點(diǎn)，則函數(shù)在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)，在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線。77一、函數(shù)連續(xù)性的概念現(xiàn)在此結(jié)論可以表述為：在前面我們?cè)赋?，基本初等函?shù)f(x)

在其定義域內(nèi)的任何一點(diǎn)

x0處都滿足基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的每點(diǎn)處都是連續(xù)的。也就是說，基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。如果函數(shù)在一點(diǎn)不連續(xù)，那么該點(diǎn)也叫做間斷點(diǎn)。定義

如果函數(shù)f(x)

在點(diǎn)

x0不連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0間斷。相應(yīng)的點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)。78一、函數(shù)連續(xù)性的概念由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的概念可知，設(shè)函數(shù)f(x)

在點(diǎn)

x0的某鄰域內(nèi)（至多除了點(diǎn)x0本身）有定義，如果f(x)

在點(diǎn)

x0處有下列情形之一，則點(diǎn)x0是f(x)的一個(gè)間斷點(diǎn)。（1）在點(diǎn)

x0處沒有定義，即f(x0)不存在；通常把f(x)

在點(diǎn)

x0的左、右極限都存在的間斷點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn)，除第一類間斷點(diǎn)以外的間斷點(diǎn)稱為第二類間斷點(diǎn)。（2）不存在；（3）在點(diǎn)

x0處有定義，且存在，但是。79二、初等函數(shù)的連續(xù)性根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義及極限的四則運(yùn)算，容易知道：定理設(shè)函數(shù)f(x)

與g(x)在點(diǎn)

x0處連續(xù)，則，在點(diǎn)

x0處有（1）f(x)±g(x)在點(diǎn)

x0處連續(xù)；（2）f(x)·g(x)在點(diǎn)

x0處連續(xù)；（3）

當(dāng)g(x0)≠0

時(shí)，在點(diǎn)

x0處連續(xù)；另外，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的定義及復(fù)合函數(shù)求極限的法則，也可以得到：定理

設(shè)函數(shù)u=φ(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù)，且

φ(x0)=u0，而函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u=u0處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]在點(diǎn)x=x0處也是連續(xù)的。80二、初等函數(shù)的連續(xù)性最后，我們也指出：?jiǎn)握{(diào)增加（減少）的連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)增加（減少）且連續(xù)的。前面已經(jīng)指出，基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的，現(xiàn)在又給出了連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，因此可以得到重要結(jié)論：

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。有了初等函數(shù)的連續(xù)性，當(dāng)我們求初等函數(shù)在其定義域內(nèi)某點(diǎn)的極限時(shí)，只需求函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可。81二、初等函數(shù)的連續(xù)性例2-46設(shè)