《應用數(shù)理統(tǒng)計》 課件 李建輝 CH4 回歸分析、CH5 方差分析

應用數(shù)理統(tǒng)計第四章回歸分析CH4回歸分析目錄contents2024/4/191一元線性回歸2多元線性回歸3非線性回歸1前言2024/4/19十九世紀，英國生物學家兼統(tǒng)計學家高爾頓研究父親身高與成年兒子的身高發(fā)現(xiàn)：子代的平均高度有向中心回歸的意思，使得一段時間內(nèi)人的身高相對穩(wěn)定。之后回歸分析的思想滲透到了各個領域中。背景英國科學家弗朗西斯·高爾頓爵士（SirFrancisGalton）在研究父代與子代的平均身高的因果關系時，首次提出了“回歸（Regression）”一詞。然而，隨著時間的推移，回歸分析稱為被人們用來表示變量間關系的統(tǒng)計模型。2024/4/19線性回歸非線性回歸回歸分析多元回歸一元回歸引例2024/4/19【問題導向】雨課堂課前發(fā)布問題，課前發(fā)布閱讀文章《建筑鋼結(jié)構(gòu)進展》2023年第25卷第4期（北大核心、CSCD）“偏心鋼梁-鋼管混凝土柱內(nèi)加強環(huán)式節(jié)點受力性能分析”引例2024/4/19【問題導向】雨課堂課前發(fā)布問題，課前發(fā)布閱讀文章《建筑鋼結(jié)構(gòu)進展》2023年第25卷第4期（北大核心、CSCD）“偏心鋼梁-鋼管混凝土柱內(nèi)加強環(huán)式節(jié)點受力性能分析”2確定性關系與非確定性關系2024/4/19

3回歸分析簡介2024/4/19研究隨機變量與一個或多個可控變量之間相關關系的統(tǒng)計方法稱回歸分析.

通過試驗和觀測去尋找隱藏在變量間相關關系是回歸分析的主要任務.回歸分析一元回歸分析(一個可控變量)多元回歸分析(多個可控變量)相關關系中，自變量稱為可控變量，因變量稱為不可控變量4回歸分析簡介2024/4/19

（2）判別所建立的數(shù)學模型是否有效（假設檢驗）.（3）利用所見數(shù)學關系進行預測和控制(應用).引例1：一元回歸2024/4/19例1一種用于食品包裝的可降解材料的制備過程中要受到其導熱性（W/mK）的影響，而導熱性與其密度（g/cm2）具有一定的關系，通過試驗測得數(shù)據(jù)如表1所示。導熱性

0.04800.05250.05400.05350.05700.0610密度

0.17500.22000.22500.22600.25000.2765表1

導熱性與密度數(shù)據(jù)根據(jù)數(shù)據(jù)可得到散點圖如圖1所示。

圖4.1.1

導熱性與密度散點圖PART

1一元線性回歸一元線性回歸簡介2024/4/191.定義

稱為一元（正態(tài)）線性回歸模型

一元線性回歸的數(shù)學模型介紹2024/4/19

圖2

直線關系示意圖

最小二乘法介紹2024/4/19

圖4

散點圖與擬合直線示意圖

最小二乘法介紹2024/4/19

最小二乘法介紹2024/4/19

最小二乘法介紹2024/4/19并根據(jù)數(shù)據(jù)計算得到預測值及殘差，如表2所示。變量數(shù)值0.17500.04800.04740.00060.22000.05250.0532-0.00070.22500.05400.05390.00010.22600.05350.0540-0.00050.25000.05700.0571-0.00010.27650.06100.06050.0005合計1.370.3260.32602024/4/19

作答主觀題10分擬合優(yōu)度2024/4/19

標準誤差的估計2024/4/19

標準誤差的估計2024/4/19

顯著性檢驗2024/4/19

顯著性檢驗2024/4/19

顯著性檢驗2024/4/19

數(shù)學家許寶騄2024/4/19【視頻推薦】視頻：許寶騄一個把生命托付給數(shù)學王國的數(shù)學家/video/BV1N5411o7ce/PART

2多元線性回歸引例2：多元回歸2024/4/19

78.572666074.31291552104.3115682087.5113184895.6752633109.61155922102.735417672.5170224893.12321824115.9215242683.91482434113.31140912109.410668122.1模型

多元線性回歸模型2.1模型例2．某省年消費基金、國民收入使用額和平均人口數(shù)資料如下表，試配合適當?shù)幕貧w模型并進行各種檢驗。若該省某年國民收入使用額為670億元，平均人口數(shù)為5800萬人，當顯著性水平為5%時，試估計該年的消費基金為多少。

多元線性回歸2.2MATLAB實現(xiàn)線性回歸（1）多元線性回歸regress（）【命令】[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,

alpha)【解釋】b為回歸系數(shù)的估計值（第一個為常數(shù)項）bint為回歸系數(shù)的區(qū)間估計r為殘差，rint殘差的置信區(qū)間stats用于檢驗回歸模型的統(tǒng)計量，有四個值：相關系數(shù)r2，F(xiàn)值，F(xiàn)對應的概率p，殘差的方差前兩個越大越好，后兩個越小越好alpha為顯著性水平(默認值0.05，即執(zhí)行水平為95%)2.2MATLAB實現(xiàn)線性回歸

yx_1x_2x_3x_478.572666074.31291552104.3115682087.5113184895.6752633109.61155922102.735417672.5170224893.12321824115.9215242683.91482434113.31140912109.410668122.2MATLAB實現(xiàn)線性回歸

2.2MATLAB實現(xiàn)線性回歸

2.2MATLAB實現(xiàn)線性回歸PART

3非線性回歸3.1可線性化的非線性回歸模型3.2非線性回歸自變量與因變量之間存在非線性關系，如：在Matlab中使用函數(shù)：nlinfit(x',y',v,b0)x和y分別為自變量和因變量v為回歸表達式b0為回歸系數(shù)的初值3.2非線性回歸使用次數(shù)增大容積16.4228.239.5849.559.769.771089.9399.991010.491110.591210.061310.81410.61510.91610.76例3.2.1一種容器隨著使用次數(shù)x變化，其容積y會發(fā)生變化，且滿足，數(shù)據(jù)見表。試問使用次數(shù)為17,18,19,20時，增大容積的數(shù)值分別為多少？

PART

3關鍵問題——誤差分析3誤差分析2024/4/19絕對誤差：相對誤差：最大誤差：平均相對誤差：

平均誤差：均方跟誤差：推薦閱讀2024/4/19【推薦閱讀】科研論文：《航空發(fā)動機》2023第49第1期PART

4利用回歸方程進行預測和控制引例（工程數(shù)據(jù)分析案例）2024/4/19

利用回歸方程進行預測和控制2024/4/19

利用回歸方程進行預測和控制2024/4/19

利用回歸方程進行預測和控制2024/4/19clcclearally=[33.0,31.0,34.9,36.5,36.1,39.0,30.1,31.2,35.7,31.9,37.3,33.8,37.7];x=[3.1,4.5,3.4,2.5,2.2,1.2,5.3,4.8,2.4,3.5,1.3,3.0,1.8];n=length(x);X=[ones(n,1)x'];[B,BINT,R,RINT,STATS]=regress(y',X)figurercoplot(R,RINT)set(gca,'linewidth',0.75,'fontsize',20);mdl=fitlm(x,y)x0=3.2;y0hat=B(1)+xi*B(2)利用回歸方程進行預測和控制2024/4/19例2

利用表1的數(shù)據(jù)計算當耐壓強度為3.2時各種混凝土混合料和輔料的內(nèi)部平均滲透性的置信度為95%的置信區(qū)間。

推薦閱讀2024/4/19【推薦閱讀】科研論文謝謝!應用數(shù)理統(tǒng)計應用數(shù)理統(tǒng)計第5章方差分析前言在實際工作中經(jīng)常碰到多個正態(tài)總體均值的比較問題，處理這類問題通常采用的方法就是Fisher于20世紀20年代創(chuàng)立的方差分析(analysisofvariance)方法，該方法通過對實驗數(shù)據(jù)的分析，建立數(shù)學模型，是鑒別各因素效應的一種有效方法。PART

1單因素方差分析5.1.1問題的提出例5.1.1設有三臺機器，用來生產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄板。取樣，測量薄板的厚度精確至千分之一厘米。結(jié)果如下表所示?？疾旄髋_機器所生產(chǎn)的薄板的厚度有無顯著的差異。5.1.2方差分析的數(shù)學模型5.1.2方差分析的數(shù)學模型2.模型5.1.3

假設檢驗的拒絕域方差分析表5.1.4

方差分析的軟件實現(xiàn)1.相關概念單因素方差分析是比較兩組或多組數(shù)據(jù)的均值（同方差），返回原假設均值相等的概率?！久睢縖p,table]=anova1(X)注：（1）數(shù)據(jù)按照列輸入（每個水平下的數(shù)據(jù)為一列，各列數(shù)據(jù)個數(shù)可以不同）（2）P值越小各水平的差異越顯著5.1.4

方差分析的軟件實現(xiàn)2.【說明】anova1函數(shù)產(chǎn)生兩副圖：①

方差分析表；②盒圖方差分析表中有6列：第1列（Source）顯示：X中數(shù)據(jù)的可變性來源；第2列（SS）每一列的平方和；第3列（df）顯示：與每一種可變性來源有關的自由度；第4列（MS）顯示：比值SS/df；第5列（F）顯示：F統(tǒng)計量數(shù)值，是MS的比率；第6列（p值）顯示：從累積分布中得到的概率，當F值增大時，p值減小。5.1.4

方差分析的軟件實現(xiàn)例5.4.2設在例5.1.1中符合方差分析模型的條件.5.1.4

方差分析的軟件實現(xiàn)

5.1.4

方差分析的軟件實現(xiàn)得方差分析表如下：5.1.4

方差分析的軟件實現(xiàn)

5.1.4

方差分析的軟件實現(xiàn)例5.4.2(實現(xiàn))X=[0.2360.2570.2580.2380.253 0.2640.2480.255 0.2590.2450.254 0.2670.2430.261 0.262];>>[p,table_1,stats]=anova1(X)運行結(jié)果：p=1.3431e-05例5.4.25.1.4

方差分析的軟件實現(xiàn)某種型號化油器的原喉管結(jié)構(gòu)油耗較大，為節(jié)約能源，設想了兩種改進方案以降低油耗指標—比油耗?，F(xiàn)對用各種結(jié)構(gòu)的喉管制造的化油器分別測得如下表所示：

5.1.4

方差分析的軟件實現(xiàn)

5.1.4

方差分析的軟件實現(xiàn)5.1.4

方差分析的軟件實現(xiàn)得方差分析表如下：

5.1.4

方差分析的軟件實現(xiàn)例5.4.2