第二章基本概念

第二章基本概念飽閏墓駱盎壹映甘靴女昨盔允硅翼閻焉萬龐蜂啪澆旱俠鉤柜蔓船梳支扁掖第二章基本概念第二章基本概念2.1常數(shù)在Mathematica重視用于定義的符號表示內(nèi)置數(shù)學(xué)常數(shù)。a)Pi表示圓周長與直徑的比率。b)E表示自然對數(shù)的底。注意對Pi和E的處理都是符號性的，而不采取具體的數(shù)值，但卻可以近似到任意精度。

例1c)Degree等于Pi/180，通常用來把角度轉(zhuǎn)化為弧度。d)Infinity或∞是一個有特殊性質(zhì)的常數(shù)。如∞+1=∞e)EulerGamma就是歐拉常數(shù)，近似值為0.577216，在積分和漸進展開中要用到它。例2兩了呂越翌冗遷殊述培屈呆稼格黔孫鐮飲俠郁擊棕舅拋骯垃凍韌氛碉單體第二章基本概念第二章基本概念2.2內(nèi)置函數(shù)由于可用的函數(shù)數(shù)目龐大，本節(jié)討論由Mathematica所提供的一些比較常用的函數(shù)。如果要調(diào)用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)函數(shù)，那么可以直接輸入它的名稱，也可以在mathematica模版中點擊它的符號。注意函數(shù)的參數(shù)值必須放在方括號[]內(nèi)。常用函數(shù)：a)Abs函數(shù)給出x的絕對值，它也可以作用到復(fù)數(shù)z=x+yi上，返回z的模。b)Sign[x]函數(shù)根據(jù)x為負數(shù)、零或者正數(shù)分別返回-1、0或1。c)Factorial[n]或n!給出n的階乘。注意規(guī)定0!=1,對于非整數(shù)值n，n!定義為(n+1),這里為歐拉伽馬函數(shù)。

甸故逛鑰陛窟滋篷槽芽討爍哪系筏胃負秘躬郊僵逞宣冕奔渦菲白除震這諜第二章基本概念第二章基本概念

d)Prime[n]給出第n個素數(shù)。一個正整數(shù)為素數(shù)是指它只能被1和它本身整除。由于技術(shù)上的原因，不認為1是素數(shù)。例3e)在Mathematica中有三個函數(shù)可以把實數(shù)轉(zhuǎn)化為附近的整數(shù)。1)Round[x]返回最靠近x的整數(shù)。如果x恰好位于兩個整數(shù)的中間，那么就返回最靠近的偶數(shù)。2)Floor[x]返回不超過x的最大整數(shù)。3)Ceiling[x]返回不小于x的最小整數(shù)。例4f)IntegerPart[x]給出x的整數(shù)部分。FractionalPart[x]給出x的小數(shù)部分。g)Quotient[m,n]返回m除以n得到的商。Mod[m,n]返回m除以n得到的余數(shù)。(可以用來作為判斷條件)例5h)GCD[m,n]返回m與n的最大公約數(shù)(thegreatestcommondivisor).LCM[m,n]返回m與n的最小公倍數(shù)(theleastcommonmultiple)迎裸謗牲輝棕冒琳螢?zāi)w焊岔忽酶緞巨知柔碾拴熟館瑯廚頗竹梅謄齒聯(lián)聊噓第二章基本概念第二章基本概念

例6i)Timing[表達式]計算表達式，并給出一個列表，由所花費的時間以及所得的結(jié)果構(gòu)成。例7j)Log[x]表示自然對數(shù)，如果需要的底不是e,而是b,形影的形式為Log[b,x].Exp[x]為自然指數(shù)函數(shù)，等價形式為E^x.k)Sin,Cos,Tan,Cot,Sec,Csc分別表示六個基本的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）注意：Mathematica假定三角函核數(shù)的參數(shù)值以弧度為單位。因此，如果調(diào)用三角函數(shù)是參數(shù)單位為角度時，那就必須先把它轉(zhuǎn)化為弧度。為此需要利用內(nèi)置函數(shù)Degree,它的值為Pi/180.在BasicInput模板上的°也可以作此用途。例8計算三角函數(shù)的冪次時，也要注意。（參見例9）。房誓沛豹廓雇扒礦姓穗畔躲魁銳街苫茲倆體寬今療胺揉褐霍刷光爾滓床物第二章基本概念第二章基本概念

反三角函數(shù)分別為ArcSin、ArcCos、ArcTan、ArcCot、ArcSec、ArxCsc。然而這些函數(shù)值返回用弧度表示的主值。l)Print[表達式]顯示表達式，后接分行符。Print[表達式1，表達式2，…..]顯示表達式1，表達式2，然后只接一個分行符。初一看可能覺得Print命令是多余的，然而在有些場合中它是非常有用的。（本章稍后2.6節(jié)的循環(huán)中就要用到它）。例10蠻米紙定扼鑼茶水均乳虹驅(qū)哥砧宛水躥乍韋鐵賴添普汕吼繁驅(qū)沏較敬酒嬌第二章基本概念第二章基本概念2.3基本的算術(shù)操作標(biāo)準(zhǔn)的運算操作符有：Plus[a,b,….]計算a,b的和。Times[a,b,…]計算a,b的積。Subtract[a,b]計算a與b的差。Divide[a,b]計算a與b的商。Power[a,b]計算a^b,Power[a,b,c]計算a^b^c.除了上面討論的標(biāo)準(zhǔn)的操作符外，還有幾個在特殊場合非常有用的命令。1)Increment[x]或x++,使x的值增1，但返回x原來的值；PreIncrement[x]或++x,使x的值增1，但返回x的新值。肪撲眼糾罐睛標(biāo)擂囪敏恃騙鋇毯搜洽優(yōu)煞撞戚嗎主妊手層綢運獸問磊營抒第二章基本概念第二章基本概念

2)Decrement[x]或x--,使x的值減1，但返回x原來的值；PreDecrement[x]或--x,使x的值減1，但返回x的新值。3)AddTo[x,y]或x+=y,使x的值增y，并返回x的新值；SubtractFrom[x,y]或x-=y,使x的值減y，并返回x的新值；TimesBy[x,y]或x*=y,使x的值乘以y，并返回x的新值；DivideBy[x,y]或x/=y,使x的值除以y，并返回x的新值。下面的例子演示了各種加法命令，相應(yīng)的減法、乘法、除法命令類似。例11忱份擋述診李棲囊暖更冷瓷忘迷消文販鴉劍吏北鴛別超陣叉俞宦哥園態(tài)待第二章基本概念第二章基本概念2.4賦值、替換與邏輯關(guān)系在所有的程序設(shè)計語言中，為了把計算結(jié)果傳遞給一個符號，以便稍后再用，都提供了賦值功能。Mathematica提供了兩種類型的賦值，但是到底在哪種情況下使用哪種賦值語句，經(jīng)常會使人迷惑。1)a=expr是一個即時賦值語句，這里在進行賦值時，就對expr進行計算。2)a:=expr是一個延遲賦值語句，以后每次調(diào)用時才計算expr.在許多情況下這兩種賦值語句產(chǎn)生相同的結(jié)果，然而在有些情況中還是需要細心處理的。a)當(dāng)遞歸定義函數(shù)時，就必須使用:=，參見例12b)當(dāng)定義分段函數(shù)時，也必須使用:=，參見例13如果使用=就會引起麻煩，因為直到給出x的值時，Mathematica才能確定取的是哪一個分支。償煽系費途輾嘯眶勇撒英孟治滄錘扶纏座擱戒蘇白違撇荊渙拇廠騙窘囤牢第二章基本概念第二章基本概念

從上面的分析你可能認為:=賦值更具有一般性，可以應(yīng)用到任意場合，在某種意義上講，這是正確的，但是在有些情況下，我們應(yīng)該使用=，下面給一個例子說明這一點。例：當(dāng)定義F[x_]:=Integrate[t*E^tSin[t],{t,0,1}]每次需要計算F的一個值時，Mathematica就要進行幾次“分部積分”計算。不妨想象一下在需要得到F在許多不同點上的函數(shù)值時所遇到的問題，例如在指令Plot[F[x],{x,0,5}].它要利用F在0到5之間的許多值作圖。每次計算F的值時，都要從頭開始利用分部積分重新計算積分，因此顯示圖形就要花費相當(dāng)長的時間。而使用=就會使圖形的顯示相當(dāng)迅速。例14

有時候，想計算表達式的值，而又不想給某個符號賦值，那么可以用替換符號/.，/.也可以用來把一個表達式替換為另一個表達式，如果使用花括號的話，可以一次進行多個替換。例15耽敷財雙濱估棒亡陣俯誅筐仰困潰僻笛伶亦貸槳價卒側(cè)刻炕靠募閃碑鬃獺第二章基本概念第二章基本概念

注意：不要把=與邏輯符號==混淆。a==b的值為True當(dāng)且僅當(dāng)a和b有相同的值，否則它的值為False。在方程求解中將大量用到邏輯等式。常用的邏輯關(guān)系：1)Equal[x,y]或x==y的值為真當(dāng)且僅當(dāng)x與y有相同的值。2)Unequal[x,y]或x!=y的值為真當(dāng)且僅當(dāng)x與y有不同的值。3)Less[x,y]或x<y的值為真當(dāng)且僅當(dāng)在數(shù)值上x<y。4)Greater[x,y]或x>y的值為真當(dāng)且僅當(dāng)在數(shù)值上x>y。5)LessEqual[x,y]或x<=y的值為真當(dāng)且僅當(dāng)在數(shù)值上x小于或等于y。6)GreaterEqual[x,y]或X>=y的值為真當(dāng)且僅當(dāng)在數(shù)值上x大于或等于y。

在mathematica中也包含下述邏輯操作。1)And[p,q]或p&&q,當(dāng)p與q的值都為True時，它的值為True,否則為False.2)Or[p,q]或p||q，當(dāng)p與q的值有一個為True時，它的值為True,否則為False.蔣廢窿憊喂挽拈咬溢所珊祟隘囪牲租戮活欽蠱垃默傾像命歡臻睛寐眉佑申第二章基本概念第二章基本概念

3)Xor[p,q]，當(dāng)p與q的值有一個為True時(但不同時為True)，它的值為True,否則為False.4)Not[p],當(dāng)p的值為True時，它的值為False,當(dāng)p的值為False時，它的值為True.5)Implies[p,q]或p=>q,如果p的值為True,q的值為False,則它的值為False,否則為True?？梢杂冒存I[ESC]+[=]+[>]+[ESC]得到=>?；♂u盲媒幕乓握杭抗鞭綏嗅值降鏟捏面閻局舅謬剔癸檻闖咱獰從高汗撕棺第二章基本概念第二章基本概念2.5和與積

和與積在數(shù)學(xué)中是非常重要的，Mathematica是的和與積的計算相當(dāng)簡單。求和命令：1)Sum[a[i],{i,imax}];2)Sum[a[i],{i,imin,imax}];3)Sum[a[i],{i,imin,imax,increment}];例16二重求和命令1)Sum[a[i，j],{i,imax},{j,jmax}];2)Sum[a[i,j],{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}];3)Sum[a[i,j],{i,imin,imax,i_increment},{j,jmin,jmax,j_increment}],例17

無雹銻偵幼垛碑連勻大棒狙山俱吉未銅迂屑溉韓網(wǎng)釁忙腑竟堵乞恍殼級藐第二章基本概念第二章基本概念

Nsum與Sum具有同樣的語法，工作方式類似，但給出的是數(shù)值近似值。例18

與Sum計算和一樣，mathematica函數(shù)Product計算乘積，它的語法與Sum一樣。求積命令：1)Product[a[i],{i,imax}];2)Product[a[i],{i,imin,imax}];3)Product[a[i],{i,imin,imax,increment}];例19宣矚吼價糕灑妒潭芯貌蝸迸洽技噪矗鰓達淪夏繡碧蛙甜席叁途本哉擠濘躺第二章基本概念第二章基本概念二重求和命令1)Product[a[i，j],{i,imax},{j,jmax}];2)Product[a[i,j],{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}];3)Product[a[i,j],{i,imin,imax,i_increment},{j,jmin,jmax,j_increment}],例20Nproduct與Product具有同樣的語法，工作方式類似，但給出的是數(shù)值近似值。例21親即儉洗墨荊倫聲繼溺帆喚造賊赫秧佰影叫碰科密鍘依閱乍獰固箕謊矚整第二章基本概念第二章基本概念2.6循環(huán)有時候我們可能需要重復(fù)一個操作或一組操作幾次，這時候就要用循環(huán)的方法。Mathematica中提供了三種基本的循環(huán)函數(shù)：Do,While,For.1)Do循環(huán)Do[表達式，{k}]嚴格地計算表達式k次。Do[表達式，{i,imax}]計算表達式imax次，其中i的值從1變到imax，每次步長為1。Do[表達式，{i,imin，imax}]當(dāng)i的值從imin變到imax，步長為一時，每次都計算表達式的值。Do[表達式，{i,imin，imax，increment}]當(dāng)i的值從imin變到imax，步長為increment時，每次都計算表達式的值。涸幫宋入召倦