應用數(shù)理統(tǒng)計（基于MATLAB實現(xiàn)）教案 李建輝 第3-6章 假設檢驗-隨機過程

《應用數(shù)理統(tǒng)計》教案教案首頁教學單元第3章學時10教學題目假設檢驗教學環(huán)境設計與組織安排課堂教學主要以板書為主，多媒體課件為輔教學目標及達成度價值塑造通過假設檢驗過程可能發(fā)生的兩類錯誤及其原理，使學生明白事物一般都具有兩面性，認識事物要從對立統(tǒng)一的角度來看待事物的發(fā)展變化，同時要有嚴謹求實的工作態(tài)度，解決科學問題要從多角度綜合考慮、相互印證，確保邏輯嚴密、不出差錯。知識傳授個、兩個正態(tài)總體的參數(shù)假設檢驗，會確定最小樣本量。能力培養(yǎng)通過本章的學習，培養(yǎng)學生根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對總體參數(shù)進行假工程管理等問題中涉及的參數(shù)和非參數(shù)檢驗問題等。教學重點難點重點：假設檢驗的基本概念、正態(tài)總體均值及均值之差的假設檢驗、總體方差及總體方差之比的假設檢驗、分布擬合檢驗．難點：假設檢驗的基本概念的理解，正態(tài)總體總體方差比的假設檢驗、分布擬合檢驗．教學方法手段媒介理論講授+板書+多媒體+啟發(fā)誘導+問題驅動+課后實驗教學模式模式：線上+線下混合式平臺：學堂云平臺工具：雨課堂、MATLAB軟件教學設計【課程進程安排】【課前準備】通過學堂云平臺進行“預習指導”和“課前測試”。了解學情有助于增進要求學生進行獨立完學堂云在線答題一、問題的提出

第三章 假設檢驗§3.1假設檢驗的原理與步驟

【設計意圖】往會遇到產品質量合【問題導向】雨課堂課前發(fā)布引例：為了更直觀地了解假設檢驗所研究的問題，先看下面幾個例子：引例1 在車床正常生產的情況下，某種鑄件的重量服從正態(tài)分布??(50.929（g：42.0 52.0 54.0 55.0 55.5 56.5 57.0 57.5 65.0問該車床是否正常工作？=56引例2 假設兩清的干燥間以時）服從態(tài)布并現(xiàn)分別從兩種清漆中抽取9個樣品，其干燥時間如下：第一??：6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0第二??：5.4 5.0 6.2 6.2 6.7 5.3 5.6 5.1 6.0問兩種清漆的干燥時間有無顯著差異？此問題則可以轉化為判斷命題“??(??)=??(??)”是否成立。每公里裂縫數(shù)012345678公里數(shù)24198371632102引例3 施工檢某際公上要補裂時發(fā)，每公里裂縫數(shù)012345678公里數(shù)24198371632102問該省際公路上每公里裂縫數(shù)是否服從泊松分布？

需要使用一些統(tǒng)計推斷方法，利用樣本數(shù)據(jù)對產品質量進行檢驗。這些的問題都屬于假設檢驗的范疇，本章主要介紹假設檢驗的原理、方法與過程。【課程思政】通過工程數(shù)據(jù)分析引例，增強學生的專業(yè)歸屬感。引導學生培養(yǎng)自我實現(xiàn)的精神追求，培養(yǎng)“匠心精神”，立志高遠，努力奮斗。將所學知識用于社會服務。此問題則可以轉化為判斷命題“??～??(??)”是否成立。以上三個問題均是判斷某一命題是否成立，而給出的命題則是對總體分布或者分布中的某些參數(shù)提出的一種假設，這就需要根據(jù)樣本觀察值經過一些計算得到結論，即所提假設是否成立。010??=51應為“??≠561??0??=561??≠??>56或??<56(oales：??=??0， ??≠??0(neales：??≥??0， ??<??0或??≤??0， ??>??0二、授課內容1.假設檢驗的基本原理1若以，分別表示當天所生產的鑄件重量X的期望和標準差。則??～??(??0.92)56kg。??=56。當原假設成立時，??～??(??,0.92)。接下來，使用樣觀察值進行統(tǒng)計計算，

重要概念的講授：對假設檢驗概念建立證法是根據(jù)問題的假假設檢驗則是根據(jù)假設來確定檢驗統(tǒng)計量來說要借助與統(tǒng)計量H0當H??～??(??,0.92?～??(5,.92?經過

【學生討論】為何在檢驗統(tǒng)計量落入拒絕域時，就拒絕原0標準化后形成的統(tǒng)計量

??=

???0.9√??

～??(0,1)

?? 假設？與反證法又有著什么關系？??0<??<2，使得??{|??|>????}=??2例如當??=0.05時，由附表可得????=??0.025=1.96，則2??{|??|>1.96}=0.05H0|??|1.965%。稱在引例1中上式可表示為0.9??{|????56|>1.96}=0.05。0.9√90.9??||??0.9√9W發(fā)??=落在??H0H0（如圖。把{|??|>1.96}{|??|≤1.96}?，F(xiàn)進行一次抽樣后得到的樣本均值???的觀測值

知識運用能力的訓練：從一般模型到具體的使用，如何確定每一個參數(shù)，如何對標模型的每一個步驟？數(shù)學思想方法：反證法???=

1(42.0+52.0+?+65.0)≈54.949而統(tǒng)計量??相應的觀測值u為|??|=|

?560.9√9

|=|

54.94?560.9√9

|=3.53>1.96一般地，常把??=0.05時拒絕??0稱為是顯著的，而把在??=0.01時拒絕??0稱為是高度顯著的?！緦嶋H案例】案例——試劑假陽問題從實際情況看，任何的檢驗方法使犯錯誤的可能性不存在。理想的試劑應【思政融入】（1）愛國意識：此次疫情大家共同經歷的種種讓學生認識到中國的智慧

【課程思政】（1）愛國意識（2）科學務實精神（3）責任意識（4）哲學原理在現(xiàn)實中應用。（2）（3）（4）通過理論結合實際，學生理解了假設檢驗的兩類錯誤，同時，融入思政元素，告訴同學們事有輕重緩急，在處理問題時要抓住問題的主要矛盾，和矛盾的主要方面。假設檢驗的基本步驟（1）建立假設。根據(jù)實際問題提出原假設??0及備選假設??1。（3）確定臨界值：其本質就是確定拒絕域??。

觀察和思考：檢驗統(tǒng)計量的選擇應注意什么問題？??=0001或00??????。這里需要注意的是備選假設和原假設不總是對立的，但總是互不相容的。兩類錯誤W，因而H0被拒絕了，稱這類錯誤為第一類錯誤或“棄真”錯誤。犯第一類錯誤的概率用式子表示為??{??∈??|??0成立}=??。H0WH0犯第二類錯誤的概率記為判斷真實情況接受H0拒絕H0H0成立判斷正確第一類錯誤（棄真）H1成立第二類錯誤（取偽）判斷正確??{??∈判斷真實情況接受H0拒絕H0H0成立判斷正確第一類錯誤（棄真）H1成立第二類錯誤（取偽）判斷正確

【課程思政】是一個人難能可貴的涵之一就是能夠對知科學態(tài)度對待所學的知識。有意識地培養(yǎng)學生的生更好地理解知識的【推薦閱讀】三、小結：假設檢驗的原理與步驟。四、作業(yè)：1（2）認真閱讀“拓展閱讀”文章；（3）MATLAB1。

工程應用科研論文推薦閱讀：年第43卷第期1期發(fā)表的題目驗的地鐵工程監(jiān)測數(shù)【課程思政】鼓勵學生在本領域積理統(tǒng)計模型與方法為一、問題的提出

§3.2 單個正態(tài)總體的假設檢驗

【課程思政】解決問題時，要有合理的方法和科學的依據(jù)?！締栴}導向】雨課堂發(fā)布題目，引導學生思考，引出本節(jié)內容。提問：引例中問題該如何解決，如何建模？848

【學生討論】該問題如何思考和解決？引導學生充分討論。出每一杯茶的正確制作方式。用排列組合的方法分析該問題。50%。htps\hw.ouom/287_93【課程思政】二、授課內容單個正態(tài)總體的假設檢驗

【課程思政】思政元素融入點：社會主義核心價值觀家國情懷數(shù)學家與數(shù)學精神驗數(shù)學期望，已知期望和未知期望檢驗方差等幾種情況。單個正態(tài)總體期望的檢驗0（1）總體方差2已知，檢驗H0:000??～??(??，其中22??2????)X??=??0，??1??≠??0。0當??0成立時，構造如下形式的檢驗統(tǒng)計量??????0??=

??0√??

～??(0,1)給定顯著性水平??，由??{|??|>????}=??查附表得到u2（如圖）2故拒絕域W為??????????????}|??|????}。2 2 2

【學生思考】如何選取檢驗統(tǒng)計量，依據(jù)是什么？拒絕域何如確定？大概率事件是什么？1,2,,n代入統(tǒng)計量U到的U的觀測值u與2u2WH0（H0u2受域WH0（H0U以上檢驗法中，拒絕域表示為??小于一個給定數(shù)?????或大于另一個給定數(shù)2u2的所有數(shù)的集合，稱為雙側檢驗。1??～5：3.25 3.27 3.24 3.26 3.24如果總體方差沒有變化，能否認為這批礦砂中鎳的質量分數(shù)仍為3.25（取0.05）？解：設礦砂中鎳的質量分數(shù)為X，則??～??(3.25,0.012)。需檢驗假設H0:03.25，H1:3.25

工程數(shù)據(jù)分析案例引導學生從專業(yè)的角度看待問題。由題可知，???=3.252，對于給定的??=0.05，查附表知????=??0.025=1.96，則2|??|=|??????0|=|3.252?3.25|≈0.4472<1.96??0√??

0.01√5

在總體方差已知的情況下，檢驗總體的均值所以不能拒絕原假設H0，認為這批礦砂中鎳的質量分數(shù)仍為3.25。1H03.25H13.25。經證明，在給定的相同檢驗水平下，對假設H0:0，H1:0和假設H0:0，H1:0的檢驗方法是一致的。因此，該問題中的檢驗假設可改為H0:3.25，H1:3.25

U往往遇到方差未知的假設檢驗中的檢驗統(tǒng)計量與區(qū)間估計中的發(fā)現(xiàn)兩者之間的對應0 nUX0 n

作為檢驗統(tǒng)計量，給定顯著性水平，由

關系。PU，查附表得到u（，故拒絕域W為WUu，查附表知u0.05u0.95入檢驗統(tǒng)計量可得

這種假設檢驗稱為左側檢驗，右側檢驗原理與左側類似，包括后面要介紹的方差未知時，0 nux0 n

均值的單側檢驗，以及總體方差的單側檢驗，原理均類似。5所以不能拒絕原假設H50（2）總體方差2未知，檢驗假設H0:0001 2設總體X N,2其中22未X,X01 2

, ,X

是來自于總n體X的一個樣本，現(xiàn)在要檢驗假設：H0:0，H1:0。n由于樣本方差??2=1

∑??

(??是總體方差2H???1成立時，構造統(tǒng)計量如下

??=1??=

?????0??√??

0～??(???1)給定顯著性水平，由??{|??|>????(???1)}=??查附表得到????(???1)，故拒2 2絕域W為??={|??|>????(???1)}={|??|≤????(???1)}。2 2若進行一次試驗，將樣本觀察值(??1,??2,?,????)代入統(tǒng)計量??，將計算的??的觀測值t與????(???1)進行比較，若|??|>????(???1)，落入拒絕域??，拒絕原假設2 2H0|??|≤????(?????2例2如果一個矩形的寬度與長度的比為1(√5?1)≈0.618，這樣的矩形稱2為黃金矩形。這種尺寸的矩形會使人從視覺效果上感覺良好?，F(xiàn)代的建筑構建、200.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.6280.668 0.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933設這一工廠生產的矩形的寬度與長度的比值總體服從正態(tài)分布??(??,??2)，其中和2??=0.05度之比的均值為黃金比？解：設該廠生產的矩形寬度與長度的比值為??，則??～??(0.618,??2)。需檢驗假設??0:??=0.618，??1:??≠0.618經計算，???=0.6605，??=0.0925，對于給定的??=0.05，查附表知????(19)=2

【課程思政】黃金分割是數(shù)學與藝術、建筑、設計等學科完美結合的典型案例，設計師可以利用黃金分割在美術、音樂和建筑設計進行創(chuàng)作，體現(xiàn)人們對美的追求，以及生在自己的學習和研??0.025(19)=2.0930，則|??|=|??????0|=|0.6605?0.618|=2.0545<2.0930??√??

0.0925√200??=06

【課程思政】告訴學生“科學無處不在”，只要堅持不懈努力，一定能取得成功。單個正態(tài)總體方差的檢驗（1）0H

:22，H:220 0 1 0NN0,

2

已X1,X2, ,Xn是來于總0XH0

:22，H:22。0 0 1 0當H0成立時，構造統(tǒng)計量?? ??1

?????02

【學生討論】??2=

??2

∑(????

???0)2=∑(

)～??2(??)0??=1

??=1

在介紹方差的檢驗時，給定顯著性水平和自由度n2????{[??2<??2??(??)]∪[??2>??2(??)]}??1?2 2

n2

驗和區(qū)間估計的區(qū)別和聯(lián)系是什么？222

(??)}+??{??2>??2(??)}=??+??=??1???2

??2 2 22

n2

n為雙側臨界值，故拒絕域為??={??2<??2??(??)或1?21?22??2>??2(??)}={??2(??)<??2<??2(??)}22?? 1? ??2 2 2若進一試樣觀察值x,x, ,x代統(tǒng)量2將算的1 2 n222

n或22

n，1/2/20 0落入拒絕域W1/2/20 0驗法。（2）0H

:22，H:220 0 1 0這種情形留給學生課后研究，寫出模型的主要過程。培養(yǎng)學生的自學能力進和研究能力，326??=0.37。已知合金中鈦的百分含量服從正態(tài)分布。在??=0.05顯著性水平下檢驗該批合金中鈦百分含量的方差是否合格？解：設X為合金中鈦百分含量，且??～??(??,??2)。設??0:??2=??2=0.35，??1:??2≠??20 0根據(jù)已知條件，未知，用2檢驗法。當??=0.05，??=51?1=50時，查2分布的臨界值表知??2 (25)=13.120，??2 (25)=40.4640.975則(???1)??2??2= =0??20

0.025(26?1)×0.03720.352

=27.9388因為13.120<27.9388<40.464，落入接受域，所以不能拒絕原假設??0，即該批合金中鈦百分含量的方差是合格的?！就卣归喿x】026卷第4三、小結：

【課程思政】中假設檢驗方法和模型在工程管理方面的四、作業(yè)：1（2）認真閱讀“拓展閱讀”文章；（3）MATLAB§3.3 一、問題的提出引例1. 用老料新料分生同種器件各一樣作疲勞壽試，得據(jù)下（位?。涸牧?0 110 150 65 90 210 270新材料60 150 220 310 380 350 250 450 110 175二、授課內容1.兩個正態(tài)總體均值差的檢驗??～??(1,??2)??～??(2,??2,(1,2,?,??(1,2,?,??是分別

【問題導向】以電子元器件的壽命態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗問題。上節(jié)主要討論了單個正態(tài)總體的每個參數(shù)1 2的假設檢驗問題?；赬和Y的兩個簡單隨機樣本，且相互獨立.記=1∑????和=????=1??

同樣的思維邏輯和步驟，本節(jié)將討論如何檢1∑??

??分別為兩個簡單隨機樣本的樣本均值,??2=1

∑??

(????)2，??2=????=1??

1 ???1

??=1 ??

2 驗兩個正態(tài)總體均值和方差的差異性，等價1∑??

(???)2???1

??=1??

H0:12；H1:12H0:12；H1:12H0:12；H1:12

（3.3.1）（3.3.2）（3.3.3）

于兩個正態(tài)變量均值差和方差比的假設檢驗。問題的關鍵依然是正確提出檢驗假設，選擇恰當?shù)臋z驗統(tǒng)計量，然后根據(jù)檢驗統(tǒng)計量的概率分布求出原假設的拒絕域。下面各?。?）方差22已知

節(jié)分別講述不同情況1 2的具體假設檢驗方法。檢驗12的關系等價于檢驗???20的關系，由兩個正態(tài)總體的樣本??2????和的獨立性，易得???2的點估計?～2 2??(?????,+??。1 21 2?? ??采用u檢驗方法，構造統(tǒng)計量

?????????=

【課程思政】變通、創(chuàng)新+√??2 ??2+1 2?? ??在??1=??2時，??～??(0,1)。對于給定的顯著性水平，由??{|??|≥????}=??查標2準正態(tài)分布的臨界值表得到u2。檢驗的拒絕域取決于備擇假設。

從參數(shù)估計到假設檢..1W為WU

2

（3.3.4）..2W為WUu

（3.3.5）..3W為WUu1

（3.3.6）

從一般模型到具體的1 12 21X,YN,2，N,284h601295h1230h，能否認為在1 12 2

iH0:12；1:12（ii）選擇統(tǒng)計量1295?1230|??|=| |=3.94√842+96260 60（iii）對于給定的顯著性水平??=0.05，查附表得????=1.96，而|??|>????，落入2 2拒絕域，故拒絕原假設H0，認為兩廠生產的燈泡壽命有顯著差異?！緦W生討論】1 2（2）方差222，且1 2與前面類似，檢驗與的關系等價于檢驗與0的關系，由于2未1 2 1 2知，故兩樣本均值之差XY的概率分布無法求解，由于樣本方差S2是總體方2 2差2的無偏估計，利用??2=(???1)??1+(???1)??2代替??2。??+???2因此構造統(tǒng)計量

?????????= ??√1+1?? ??在12時，??～??(??+???2)。對于給定的顯著性水平，由??{|??|>????(??+???2)}=??查t分布的臨界值表得到????(??+???2)。檢驗的拒絕域取決2 2于取決于備擇假設。..1W為??={|??|≥????(??+???2)} （3.3.7）2..2W為??={??≥????(??+??2)} （3.3.8）..3W為??={??≤????(??+??2)} （3.3.9）2：原材料40 110 150 65 90 210 270新材料60 150 220 310 380 350 250 450 110 175(顯著性水平0.1)?解：將原始數(shù)據(jù)取對數(shù)可得原材料 1.602 2.041 2.176 1.813 1.954 2.322 2.431新材料 1.778 2.176 2.342 2.491 2.580 2.544 2.398 2.653 2.0412.243

【引例回頭看】由題設知m7，n10，0.1。則???=2.0484，???=2.3246，??2=0.0835，??2=0.0736??2=由此便可計算出

11 2???1)??2+(???11 2=??+???2

20.501+0.6637+10?2

=0.0776??? 2.0484?2.3246??= = =?2.01??√1+1

√0.0776√1+1?? ?? 7 10??=0.??(??+???2)=.5(5)=173。2|??|=2.01>2.兩個正態(tài)總體方差比的檢驗??～??(1,??2)??～??(2,??2,(1,2,?,??(1,2,?,??是分別

【課程思政】1 2 ??=1??X和Y的兩個簡單隨機樣本，且相互獨立.記=1∑????和=??=1????

差比”？注意在平時的學習和1∑??

??分別為兩個簡單隨機樣本的樣本均值,??2=1

∑??

(??

??)2，??2=

研究中養(yǎng)成良好的思????=1??

1 ???1

??=1 ??

2維習慣，勤于思考。1∑??

(???)2???1

??=1??0 1 21 1 2H:20 1 21 1 2

:22

（3.3.10）0 1 21 1 2H:20 1 21 1 2

:22

（3.3.11）0 1 2H:20 1 2

:221 1 1 1 2

（3.3.12）檢驗2與2的關系等價于檢驗1與1的關系，這里只討論總體期望,1 2 2 1 22未知的情況。1,2已知的情況，感興趣的讀者可自行完成。由于樣本方差S2是總體方差2的無偏估計，樣本方差S2是總體方差21 1 2 2的無估計??2= 1

∑??1(??

??)2??2=1

∑??2

(???檢驗統(tǒng)計量

1 ??1?1

??=1 ??

??=

2112??22

??2?1

??=1??0 1 0 1 2

:22成立條下，F(xiàn) Fmn1對于定顯性水平，查F分布的臨界值表得F2m1,n1。檢驗的拒絕域取決于取決于備擇假設。..0，檢驗的拒絕域W為WF2mn1F2mn

（3.3.13）..1，檢驗的拒絕域W為WFm1,n

（3.3.14）..2，檢驗的拒絕域W為WFm1,n

（3.3.15）例3在例2中，問原材料與新材料的疲勞壽命的方差是否相等。0 10 1 2

:22，H

:22，1 1 1 1 2m7 n10 且 ， ，S20.0835，S20.073667，F(xiàn) 11.1335S1 2 2S2取0.05，則0.025，查找F分布的臨界值表得2F2m1,n1F0.025(6,9)4.321

n1,m1=F

(9,6)F12

m1,n1

2 0.025F mn1=F

(6,9)1

0.18122

5.52(6,9F(6,9.H0材料與新材料的疲勞壽命的方差相等。【推薦拓展】工程項目案例：三、小結：（1）兩個正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗（2）模型及其應用四、作業(yè)：

【課程思政】工程背景的數(shù)據(jù)分析案例可增強學生專業(yè)引導學生將數(shù)理統(tǒng)計的理論與方法應用于解決工程數(shù)據(jù)分析問1（2）認真閱讀“推薦閱讀”公眾號文章；（3）MATLAB一、問題的提出

3.4

注釋及備注【課程思政】很多問題解決時候都引例（工程數(shù)據(jù)分析案例）（ka甲廠：2050 1980 1970 2040 2010 2000 1900 1990乙廠：2070 1980 1950 2080 2040 1960 2020試根據(jù)以上信息分析兩種水泥的壓力強度是否服從正態(tài)分布。二、授課內容（.Pao在90??2檢驗法和lgoov1????擬合檢驗（1）不含未知參數(shù)的總體分布的檢驗設X為總其布為F(x)且知(x)為一類型體的分函，X1,X2, ,Xn為來于體X的個本我要驗假設??0:??(??)=??(??)≠（3.4.1）其中設F0(x)不含未知參數(shù)。若總體X是離散型隨機變量，則原假設??0:??{??=??}=????,??=1,2,?，其中PXk為隨機變量X的分布律，pk為某一已知類型總體的分布律.X??(??)=??(??)X.

要假設數(shù)據(jù)服從正態(tài)假設的合理性如何保要的要給出科學的檢驗過程。思考和體會：數(shù)檢驗的最大區(qū)別是什么？??2??2擬合優(yōu)度檢驗法就是設法確定一個能刻畫觀測數(shù)據(jù),??2,?,????與理論分布0(x)擬合程度不高，應拒絕H0，否則接受H0。將隨機試驗的全體結果分為r個互斥的事件,, ,。在原假設H0成??(????)==1,2,n出現(xiàn)的頻數(shù)nk稱為實際頻數(shù)nk實際頻率pnk

n k n的，但如果原假設H0成立，且試驗的次數(shù)又甚多時，這種差異不應太大，即(pnk)2不會太大。因此可利用(p)2或(np

n)2k n k n k k確定拒絕域。基于這種思想，皮爾遜于1900年提出了檢驗統(tǒng)計量??=∑2 ??=∑??=1

(???????????)2??????

（3.4.2）

【課程思政】其中：nk為實際頻數(shù)；pk為理論概率；n為試驗次數(shù)。her于24nH0

數(shù)學家與數(shù)學家精神????2=∑??=1

(???????????)2??????

～??2(???1)rXr1Xrnkkpkk。3.1，當樣本容量n（..2????={??2>??2(???1)} （3.4.3）??其中為顯著性水平。注意：在使用皮爾遜2檢驗法時，要求n50，以及每個理論頻數(shù)5(kr2擬合檢驗的基本步驟如下：（i）提出原假設：??0:??(??)=??0(??)其中設F0(x)不含未知參數(shù)。若總體X是離散型隨機變量，則原假設??0:??{??=????????1,2,PXkXpkXH0:f(xf0(x，??(??)Xf0(x)度函數(shù)。（ii）將總體X分為r組互不相交的小區(qū)間（一般7≤??≤14：?∞,1,(1,2),?,(???1,+∞)，使得每個區(qū)間k1,k內樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)kn5，kr。k計出樣數(shù)落第k組個到際數(shù)nk,r。H0pk。????=??{?????1<??≤????}=??(????)???(?????1)????（v）計算統(tǒng)計量的值。在給定顯著性水平，由??{??2>??2(???1)}=??，通過查找??2分布的臨界值表得??2(???1)，判斷其是否落入拒絕域??={??2>????????2(???1)}中，進而確定接受或者拒絕原假設。??

注意表達方式先模型，后數(shù)據(jù)例1開獎機中有編號為1,2,3,4的四種獎球，在過去已經開出的100個號1,2,3,436272215（??=0.05）？解：開獎機開出的號碼可以看作一個總體，問題相當于要檢驗假設????： 。??～??(??=??)=,??=1,2,3,40 4作分點0.5<1.5<2.5<3.5<4.5，把??的取值范圍分成下列4個區(qū)間(???0.5,??+0.5],??=1,2,3,4。??0為真時，落在各區(qū)間中的概率為????

=??{???0.5<??≤??+0.5}=??{??=??}=,??=1,2,3,4。141

區(qū)間(0.5,1.5](1.5,2.5](2.5,3.5]區(qū)間(0.5,1.5](1.5,2.5](2.5,3.5](3.5,4.5]頻數(shù)nk36272215頻率pk14141414??2=

??1∑????=1

2?????=??????

1100

362×[ +1/4

272+1/4

222+1/4

1521/4

]?100=9.36?? 0.05對顯性??=0.05，查2分布，??2(???1)=??2 (3)=?? 0.05

注意：卡方檢驗為右側檢驗。??2??2=9.36>7.815，拒??： 。??～??(??=??)=,??=1,2,3,40 4所以，這臺開獎機開出各種號碼的概率并不相等。（2）含有未知參數(shù)的總體分布的檢驗m)設??為一總體，其分布函數(shù)為??(??,??1,??2,?????)，且未知，F(xiàn)0(x,1,m)為某一已知類型總體的分布函數(shù)，X1,X2, ,Xn為來自于總體X的一個樣本，們檢假設??0:??(??,??1,??2,?????)=??0(??,??1,??2,?????)??1:??(??,??1,??2,?????)≠??0(??,??1,??2,?????)其中設??0(??)含有??個未知參數(shù)??1,??2,?????。此類情況可按如下步驟進行檢驗：1,2,?,??1,2,???1,2,???。（ii）F(x,1,2,

m)中用?代替????(??=1,2,???)，則??(??,??1,??2,?????)i??(??,1,2,???。iii計算pk??(??,1,2,???pk

含有未知參數(shù)的總體?k(k,,

。

分布的檢驗，首先要利用極大似然估計方法（iv）計算統(tǒng)計量

2??2(????????????)

進行參數(shù)估計，對應的卡方分布自由度變小。??2=∑??=1

～??2(??????1)（v）對給定的顯著性水平，得拒絕域????={??2>??2(??????1)}??例2為檢驗棉紗的拉力強度（單位：kg）??是否服從正態(tài)分布，從一批棉紗中隨機抽取300條進行拉力試驗，結果如下：????????????????10.64181.625320.78291.762530.929101.901941.0625112.041651.2037122.18361.3453132.38171.48560問：紗拉強??是在顯性??=0.05下服正分布？解：述題檢假設H：X N(,2)。步如：0（i）將觀測值xi分成13組：(??0,??1],(??1,??2],?,(??11,??12],(??12,??13]。這里??0=?∞=0.64,??2=0.78=2.18=+∞。但是這樣分組后，前兩組和最后兩組的n?。（ii）計算理論頻數(shù)nk。這里??(??)是正態(tài)分布??(??,??2)的分布函數(shù)，含有兩??=1 ??個未知數(shù)??和??2，分別用他們的最大似然估計?=?,?2=1??(????)??=1 ????????都??=141,?2=0262。（iii）計算??1,??2,???300中落在每個區(qū)間的實際頻數(shù)nk，如下分組表：

思辨思維：數(shù)據(jù)=模型+誤差現(xiàn)實的角度看合理解??????????????????????????????00.500.00120.00000.00000.50.6410.00380.00380.99620.640.7820.01270.02531.97470.780.9230.03350.10052.89950.780.9290.07130.64138.35870.921.06250.12203.049121.95091.061.20370.16796.214130.78591.201.34530.18619.861043.13901.341.48560.16589.286146.71391.481.62530.11896.301546.69851.621.76250.06861.714523.28551.761.90190.03180.604618.39541.902.04160.01190.190015.81002.042.1830.00410.01232.98772.182.3810.00050.00050.9995????????2（iv）計算統(tǒng)量??2=∑?? =90.6523，又??=10,??=2，故自??=1 ?????由度10?2?1=表得??2 (7)=18.48<故絕假設即0.01認為棉紗拉力強渡不服從正態(tài)分布。2017389設檢驗．【課程思政】引導學生思考，從數(shù)據(jù)到模型，從模型到結果，從結果到結論，體現(xiàn)了一種科學思維方法和解決問題的范式。鼓勵學生在自己專業(yè)領域進行努力探索。三、小結：（1）分布擬合的假設檢驗（2）模型及其應用四、作業(yè)：1（2）MATLAB教案首頁教學單元第4章學時10教學題目回歸分析與方差分析教學環(huán)境設計與組織安排課堂教學主要以板書為主，多媒體課件為輔教學目標及達成度價值塑造通過相關領域的中國數(shù)學家與數(shù)學家精神的介紹，培養(yǎng)學生的科學精神；通過工程項目數(shù)據(jù)分析教學案例的實施培養(yǎng)學生的專業(yè)歸屬感和對本課程學習興趣；通過回歸分析結果的檢驗（擬合優(yōu)度、回歸方程檢驗、回歸系數(shù)檢驗）使學生體會嚴謹認真的科學態(tài)度和科學思維方式。知識傳授通過本章的教學使學生能夠對雙變量或多變量進行方差分析性檢驗；掌握回歸模型的評價、控制與預測。能力培養(yǎng)通過本章的學習，培養(yǎng)學生根據(jù)樣本數(shù)據(jù)使用回歸分析和方差分析模型與方法進行工程數(shù)據(jù)分析的能力，尤其是使用回歸分析研究工程技術問題中關于變量原理之間相關關系的能下基礎。教學重點難點重點：假設檢驗的基本概念、正態(tài)總體均值及均值之差的假設檢驗、總體方差及總體方差之比的假設檢驗、分布擬合檢驗．難點：假設檢驗的基本概念的理解，正態(tài)總體總體方差比的假設檢驗、分布擬合檢驗．教學方法手段媒介理論講授+板書+多媒體+啟發(fā)誘導+問題驅動+課后實驗教學模式模式：線上+線下混合式平臺：學堂云平臺工具：雨課堂、MATLAB軟件教學設計【課程進程安排】【課前準備】通過學堂云平臺進行“預習指導”和“課前測試”。了解學情有助于增進要求學生進行獨立完學堂云在線答題一、問題的提出

第四章 方差分析與回歸分析§4.1假設檢驗的原理與步驟

【設計意圖】往會遇到產品質量合【問題導向】雨課堂課前發(fā)布問題，課前發(fā)布，課后作答，線上提交。二、授課內容§.1方差分析表1鋁合金板的厚度機器I機器II機器III0.2360.2570.2580.2380.2530.2640.2480.2550.2590.2450.2540.2670.2430.2610.262

需要使用一些統(tǒng)計推斷方法，利用樣本數(shù)據(jù)對產品質量進行檢驗。此類問題屬于方差分析的范疇，本次課主要介紹方差分析的方法與過程。【引導學生思考】如果不是所有的因素著？哪些因素的作用復雜的形式交錯在一起的？定義1檢驗多個總體均值是否相等（通常通過分析數(shù)據(jù)的誤差判斷各總體均值是否相等）的統(tǒng)計方法，稱為方差分析。定義2在差析所檢驗對稱因素因子??????表示。定義3因子A的同態(tài)水平??1、??2、 、????表。定義4在一項試驗的過程中，只有一個因素水平在改變的試驗稱為單因素試驗。處理單因素試驗的統(tǒng)計推斷方法稱為單因素方差分析。定義5有多個因素水平在改變的試驗稱為多因素試驗，相應的統(tǒng)計推斷方法稱為多因素方差分析。例如，在例1中，試驗的指標是薄板的厚度，機器為因素，不同的三臺機器就是這個因素的三個不同的水平。顯然該例子中除機器這一因素外，其他條件都相同，這是單因素試驗。單因素試驗方差分析的數(shù)學模型下面給出單因素試驗方差分析的一般模型。設因素??有??個水平，記為??1,??2,?,????，在水平????(??=1,2,?,??)下考察的指標看成一個總體，故有??個總體，假設：??(1)每一個總體均為正態(tài)總體，記為??(????,??2)(??=1,2,?,??)；??(2)各總體的方差相同，記為??2=??2=?=??2=??2；

【注意】方差分析方法使用的背景和問題形式?！緦W生討論】引例中的什么指標對這是兩個基本的問題，對于學生理解和使用方差分析有著重要作用。1 2 ??Xij都相方差分析的任務是檢驗因素的水平變化對響應變量平均值是否有顯著影響，即要對如下假設進行檢驗??0:??1=??2=?=????備擇假設為??1:??1,??2,?,????不全相等若??的??????A??的????????顯著通過樣本觀測值之間的差異體現(xiàn)。設第i個水平下，第??次試驗結果為??????，總體獲得????個試驗結果????1,????2,?,????????，其中??=1,2,?,??，??=1,2,?????。故總試驗次數(shù)為??=??1+??2+?+????。在水平????下的試驗結果??????與該水平下的指標均值????一般總是存在差距的，該差距主要來源于隨機誤差??????和可能存在的????之間的差異。于是有ij(??=1,2,?,??;??=1,2,????) （1）式（1）數(shù)據(jù)結構式因子方差分析的統(tǒng)計模型：??????=????+??????,(??=1,2,?,??,??=1,2,?????)

知識運用能力的訓練：從一般模型到具體的使用，如何確定每一個參數(shù)，如何對標模型的每一個步驟？??{??????

～?????? ??(0,??2) （2）為了更好地描述數(shù)據(jù)，需引入如下式子：??=1∑??

????????=1和

????=???????,(??=1,2,??) （4）式（3）????總均值。式（4）為第i個水平均值????與總均值的差，稱為因素A的第i個水平的主效應。故應。故∑??=1

????????=0且????=??+????,(??=1,2,?,??)，這表明第i個水平均值是由總均值與該水平的效應疊加而成的，從而（2）可以改寫為??????=??+????+??????,(??=1,2,?,??,??=1,2,?????)∑{??∑{??=1

????????=0，

（5）檢驗假設問題等價于

??????～??(0,??2)備擇假設

??0:??1=??2=?=????=0,??1:至少有一個i不為零統(tǒng)計分析方差分析時，需要分析數(shù)據(jù)之間差異的來源。首先，因素在同一水平下，樣本各觀察值之間的差異，這種差異可以看成是隨機因素的影響造成的，或是由抽樣的隨機性所造成的，稱為隨機誤差。其次，因素的不同水平之間觀察值存在的差異，這種差異可能是由于抽樣的隨機性所造成的，也可能是由于試驗本身所造成的，稱為系統(tǒng)誤差。將引起誤差的兩個原因用另外兩個量表示出來，即為方差分析中常用的平方和分解法。離差平方和分解樣本觀測值之間的差異的大小可以通過總偏差平方和表示，記為???????? ????2??????=∑∑(??????????)??=1??=1其中?? ???? ??1 1= ∑∑??????= ∑??????????? ??

【引導學生思考】（1）三者之間的關系體現(xiàn)了什么？（2）平方和的分解如何推導？??=1??=1 ??=1由隨機誤差引起的數(shù)據(jù)間的差異用組內偏差平方和表示，記為??????，??????2??

=1∑????

??。

??????=∑∑(?????????????)??=1??=1?? ??????=1

????由于組間差異除了隨機誤差外，還反映了效應間的差異，因此由效應不同引起的數(shù)據(jù)差異可用組間偏差平方和表示，記為??????，????????=∑????(??????????)2??=1定理1（平方和分解定理）在一個因素方差分析模型中，平方和有如下恒等式：??????=??????+??????偏差平方和的大小與自由度有關，一般來說，數(shù)據(jù)越多，其偏差平方和越大。因此要對組間偏差平方和??????與組內偏差平方和??????之間進行比較，必須考慮自由度的影響。故采用????????=(???1)??????(?????)作為的統(tǒng)量為出拒域引如定：定理2 在單因方析模中（1）??????～??2(?????)；??2（2）當??成立時，??????～??2(???1)，且??????與??????相互獨立。

觀察和思考：檢驗統(tǒng)計量的選擇應注意什么問題？為何選擇F統(tǒng)計量？0 ??22F???1和?????F分??????????{(???1)<??}=1???,即??{??≥??}=??.?????? ?? ??(?????)????<??≥微，只能認為影響不顯著。通常將上述計算過程列成一張表格，稱為方差分析表：方差來源平方和自由度均方差??值因子A（組間）????????=∑????(?????????)2??=1???1??????(???1)??????(???1)??=??????(?????)誤差（組內）??????2??????=∑∑(????????????)??=1??=1???????????(?????)總和??????=??????+?????????1實際計算時，可通過下列公式計算????

?? ?????????=∑??????,??=∑∑??????,??????

??=1

??=1??=1??????=∑∑???????=????=??

??????

,??????=∑??=1

2????????

??2??

,??????=?????????????注意：根據(jù)需要，可以對數(shù)據(jù)??????作線性變換，令??????=??(?????????),其中??,??為適當?shù)某?shù)且??≠0,使得??????變得簡單。易證利用??????進行方差分析與利用??????進行方差分析所得結果相同。例2 設在例5.1.1中方差析型條，驗假（著水平??=00??0:??1=??2=??3，??1:??1,??2,??3不全相等。例3 某種號油原喉結油較，節(jié)約源設了種改進案降油指—比耗現(xiàn)用種構的管造化器分別測得如下表所示：方案比油耗1原結構231.0232.8227.6228.3224.7225.5229.3230.3??2：改進方案I222.8224.5218.5220.2??3：改進方案II224.3226.1221.4223.6試問：在顯著性水平??=0.01下進行方差分析，判斷喉管的結構對比油耗的影響是否有顯著差異。【推薦閱讀】公眾號文章：作為一名質量工程師，必須掌握的數(shù)據(jù)分析：方差分析。三、小結：方差分析的原理與步驟。四、作業(yè)：1（2）認真閱讀“拓展閱讀”公眾號文章；（3）MATLAB一、問題的提出

§4.2一元線性回歸

【課程思政】告訴學生解決問題時，要有合理的方法和科2023年第25卷第4期（北大核心、CSCD）“偏心鋼梁-鋼管混凝土柱內加強環(huán)式節(jié)點受力性能分析”節(jié)選其中的回歸分析內容作為本次課課前的閱讀內容。二、授課內容1.一元線性回歸的數(shù)學模型??和??????=+表示直線在??表示直線的斜率，或??1??1

學的依據(jù)。用科研論文的閱讀和實現(xiàn)，訓練學生科研意識和發(fā)現(xiàn)問題的能力。知識背景：家兼統(tǒng)計學家高爾頓研究父親身高與成年兒子的身高發(fā)現(xiàn)：子代的平均高度有向一段時間內人的身高析的思想滲透到了各個領域中。圖1直線關系示意圖當散點圖中的點不完全位于一條線上時，如圖1所示，此時必須將統(tǒng)計思想引入變量間關系的研究中?！緦W生討論】組織學生討論：在散點圖中可發(fā)現(xiàn)什么，有設么信息？【概念提出】回歸和以往學習的數(shù)學模型有所不同，主要體現(xiàn)在：確定性關系(????非確定性關系,,基于以上觀點，假設因變量??是一個與自變量??相關的隨機變量，建立如式（1）所示的線性回歸模型，作為變量之間關系的一種嘗試性表示。??=++?? （1）其中，隨機擾動項??~??(0,??2)。稱式（1）表示的回歸模型為總體回歸模型。對于自變量??和因變量??的容量為??的觀測值??1,??2,?,????和??1,??2,?,????，有=++????，??=1,2,?? （2）其中，??????=1,2,??(0,??2)樣本回歸模型體回歸模型和樣本回歸模型不做區(qū)別?！咀⒁狻吭诖烁嬖V學生總體回歸方程和樣本回歸方程的本質上無區(qū)別，因此，我們也會看到在科研論文中一般不區(qū)分總體回歸方程和樣本回歸方程。yyx1??(??|??)=0+1??,??(??|??)=??2加之??~??(0,??2)，所以在給定x的條件下，??的條件分布為??(??0+??1??,??2)。

【學生討論】該問題如何思考和解決？引導學生充分討論?！菊n程思政】殘差的正態(tài)性是一個滿足則不能使用該方總體回歸方程和樣本回歸方程有何區(qū)別？圖2因變量關于自變量的條件分布如圖2顯示因變量??在輸入不同變量x的條件概率密度函數(shù)圖像。最小二乘法??1??2????和??2??(????????)，??=1,2,??和??關于??的一條最佳直線的擬合。而最小二乘法是擬合最佳直線的一種簡單而且有效的方法，下面介紹基于一元線性回歸模型的最小二乘法。??=+??1??3xi處，??的預測值為+??1????yyi???0???1????，也就是圖3上點(0,????)到直線??=??0+??1??的豎直距離。圖3散點圖與擬合直線示意圖為了一分數(shù)與合直的系0和1分01的估，則擬直的程?=0+11， （3）考慮??個的異，給任意點擬直的直距，

【課程思政】中國統(tǒng)計學的代表人物：許寶騄新中國成立后，許寶騄等統(tǒng)計學領域內的頂級科學家毅然放棄在國外的優(yōu)厚待遇，將祖國的發(fā)展和興旺作為畢生目標與使命，在國內建立統(tǒng)計學生組織，培養(yǎng)統(tǒng)計學科學人才，對中國統(tǒng)計學不遺余力地進行探索和推廣。這些先進事跡可以讓同學們感受到老一輩科學家對祖國的濃厚感情和對新中國建設的責任感，從而引導同學們將科技興國作為己任，培養(yǎng)學生的愛國情懷，增強學生的民族使命感與責任感。????

=?????=???0?1?? （4）式（4）(????,????)0和1?? ??????(??0,??1)=∑???2=∑(???????0???1????)2????=1 ??=10和10和1??(0,1??(0,1)=??????(0,1)??0,??1若將殘差平方和Q(001Q(001

【學生思考】最小二乘法能夠改變??????(??0,=?2∑(??

???

?????)=0

????0????(??0,

????=1??

0 1??

什么需要殘差平方和最??？{

=?2∑????(????????1????)=0??=1

（5）并進一步化簡得到?? ??????0+(∑????)??1=∑??????=1??

??=1?? ????(∑????)+(∑??2)=∑??????????{??=1

??=1

??=1該方組為規(guī)程。假設,x2, ,xn不相，正方程的數(shù)行列式不為零，故方程組有唯一解，進而解得0和1的最小二乘估計為??1(??????1={

??=∑??(????????)2為了計算方便，可簡寫為

??=10=??1?1{

=??????

， （6）其中，

0=??1??? ??1 1???=??∑????，???=??∑??????=1 ??=1???? 2

?? ?? 22 1????=∑(???????=1

=∑??????=1

? (∑??)????=1??????=∑??(????????)(????????)=∑??(????????)????。??=1 ??=1將式）（3?=0+1??，也稱??關??的驗歸程，圖稱回直。例2 利用例1中數(shù)計算驗歸程。解利用表1中數(shù)據(jù)計算得到?? ??1 1???=??∑????=0.2288，???=??∑????=0.0545??=1 ??=1???? 2

?? ?? 22 1????=∑(???????=1

=∑??????=1

? (∑??)????=1

=0.0057?? ????????=∑(????????)(????????)==∑(????????)????=7.35×10?4??=1因此

???

??=1??????= =0.1285{1 故，經驗回歸方程為

0=??1?=0049???=0.0249+0.1285??

根據(jù)引理的數(shù)據(jù)計算回歸方程，讓學生感受使用最小二乘法確定并根據(jù)數(shù)據(jù)計算得到預測值及殘差，如表2所示。變量 變量 ?? ?? ????0.17500.04800.04740.00060.22000.05250.0532-07數(shù)值0.22500.05400.05390.00010.22600.05350.0540-050.25000.05700.0571-010.27650.06100.06050.0005合計1.370.3260.3260

生對回歸分析有一個初步的認識。??=1【學生討論】表中結果：∑????=1

=0，且∑??

????=∑??

????=1??=1??=1??=1最小二乘估計的性質（1）線性性質根據(jù)式（6）有

1=

??(?????∑??(????????)20{

??=1??1=??∑??=1

?1

??1??∑??????=1??0和1均是隨機變量yi0和1

無偏性是描述最小二乘估計的結果與其真實的接近程度，也是對參數(shù)估計結果的評價。（2）無偏性00

1和?無偏性，由于1??(????)=??(??|??=????)=??0+??1????，再根據(jù)式（7）可得??(1)=

??(????????)??(????)=

??(?????+??1????)

=

??(?????

=??1∑??(????????)2

∑??(????????)2

∑??(????????)2??=1??

??=1?? ??

??=1????(???(?)= ?∑??(??)???(??)∑??

1= ∑(??

+????)???

1∑??

=??0 ??

????=1

1??

????=1

?? 0??=1

1??

1??

?? 0??=1010和1??(?)=??(0+1??)=0+1??=??(??)這說明預測值???是??(????)的無偏估計。（3）殘差的分解記總離差平方和為??????=??????=∑??(????????)2，??=1表示因變量的觀測值yi相對于其均值y的偏離程度。?? ????????=(????)2=[(?????)+(????)]2??=1 ??=1?? ?? ??=(?????)2+(????)2+2(?????)????)??=1

??=1

??=10和1??(?????)(????)=0??=1所以?? ????????=(?????)2+(????2??=1 ??=1擬合優(yōu)度分析。如圖所示，在每個觀測點處有????=(????)+(???) （4..）（4.2.1）（4.1.8）

擬合優(yōu)度的意義：從圖可以直觀地看到，擬合優(yōu)度的大小取決于回歸平方和SSR在總體平方和中占的比例，比例越大說明擬合效果越好。為??????

??

(????)2??2=

??????

= ??=1 ∑??(????????)2也可寫作

??????

??=1??

(?????)2??2=1?

??????

=1?

??=1 ∑??(????????)2??=1顯然，判定系數(shù)??2的取值范圍為[0,1]，??2越接近1擬合效果越好；反之，??20??2????2=??2。標準誤差的估計??2?????????22和??2?2=?????????2因此，標準誤差??的估計量為

=√

??????

標準誤差的估計：???2例3 計算例2的方和殘平和回平方，定數(shù)相關系的方標誤的估值。解 總平方和為

殘差的性質殘差平方和為

????????=??????=∑(????????)2=9.5833×10?5??=1回歸平方和為

????????=(?????)2=1.38×10?6??=1判定系數(shù)為相關系數(shù)的平方為標準誤差的估計值為

??????=(????)2=9.44×1?5??=1??2=??????=0.9857????????2=??????=0.9857?????????=√

??????

=5.8520×10?4???2顯著性檢驗（1）回歸方程的檢驗回歸方程的檢驗是檢驗因變量和自變量之間的線性關系是否顯著，換句話說就是檢驗因變量??和自變量??之間的關系是否可以用回歸方程來表示，又稱為FF1??0：??1=0；??0：??1≠0第2步：構造檢驗統(tǒng)計量????????= 1 ～??(1,?????????(???2)第3步：得到檢驗結論??時，臨界值為???2)，拒絕域為???2∞)。根據(jù)假設檢驗原????>???2)????（2）回歸系數(shù)的檢驗回歸系數(shù)的檢驗是根據(jù)回歸系數(shù)的抽樣分布檢驗回歸系數(shù)顯著性的方法，又稱為t檢驗。下面給出t檢驗的步驟。第1步：建立統(tǒng)計假設??0：??1=0；??1：??1≠0。第2步：構造檢驗統(tǒng)計量

【課程思政】計算結果要經過顯著以及自變量x對因變量y嚴格按照檢驗方法執(zhí)1??=???～??(???2)√???????4223該問題為雙側檢驗，當給定顯著性水平為??時，臨界值為????(???2)，拒絕域2為??????2),???????2)??滿足|??|>?????2)2 2 2時，拒絕原假設，認為自變量??對因變量??具有顯著的影響，反之則反。例4 在顯性平為0.05用例4.2.1中關結別驗歸方程回系的著。解 （1）F第1步：建立統(tǒng)計假設??0：??1=0；??0：??1≠0。??????第2步：構造檢驗統(tǒng)計量??=1～??(1,4)433=275.8412>7.7086=??0.05(1,4)，因此拒絕??0，認為回歸方程是顯著的。（2）t檢驗1=≠0。第2??=?1～??(4)√??????33??=16.6085>2.7764=??0.025(4)，因此拒絕??0，認為自變量??對因變量??具有顯著的影響?！疽曨l推薦】視頻：許寶騄一個把生命托付給數(shù)學王國的數(shù)學家\h/video/BV1N5411o7ce/【推薦閱讀】三、小結：（1）一元線性回歸分析的數(shù)學模型（2）最下二乘法的原理及結果四、作業(yè)：1（2）認真閱讀“推薦閱讀”科研論文，啟發(fā)學生的科研思路；（3）MATLAB

【課程思政】用愛國數(shù)學家許寶騄的數(shù)學家精神感染學生，培養(yǎng)愛國情懷。中假設檢驗方法和模型在工程管理方面的一、問題的提出

§4.3

【問題導向】水泥在凝固時所釋放的熱量與水泥中的下列4中化學成分的關引例：多個變量之間線性關系的研究。二、授課內容1多元線性回歸的參數(shù)估計設隨機變量??與自變量有??(??>1)個自變量??1,??2,?,????的線性回歸模型為??=+++?+?????????? （4.1）??????~??(0??2)。設(????1,????2,?,??????,????),??=1,2,?,??為樣本觀測值，同一元線性回歸模型參數(shù)估計方法一樣，采用最小二乘法估計回歸系數(shù)??0,??1,?,????，即通過誤差平方和?? ??

系問題。響因變量的因素往往變量與多個自變量的線性回歸模型就是多多元線性回歸的參數(shù)等內容。????(??0,??1,?,????)=∑??2=∑[?????(??0+??1????1+??2????2+?+??????????)]2????=1 ??=1的最小值得到對應的參數(shù)估計結果。采用多元函數(shù)求極值的方法，對??(??0,??1,?,????)分別關于??0,??1,?,????求一階偏導數(shù)并令其為零，得到方程組??????(??0,?,????)=?2∑(??

???

?????

?????

???????

)=0????0

????=1??

0 1??1

2??2

??????????(??0,?,????)????

=?2∑????1(????????????????????)=01 ??=1?????(??,??,?,??) ??01 ??

=?2∑??(??

????????

?????

+??????

)=0{

???? ??=1

0 1??1

2??2

??????經過進一步化簡得到正規(guī)方程組?? ?? ?? ??+∑????1+∑????2+?+∑??????=∑

【課程思政】??=1??

??=1?? ??2

??=1

??=1?? ??

變通、創(chuàng)新從多元線性回歸到一??0∑????1+??1∑????1+??2∑????1????2+?+????∑????1??????=∑????1??????=1???

??=1??

??=1??

??=1??

??=1??

元線性回歸；從一維問題到多維問題。????∑??????+∑??????????1+∑??????????2+?+∑??2????

=∑??????????

變得是什么，不變的是{ ??=1

??=1

??=1

??=1

??=1

（4.3）

什么？是否可以類比？解式.）0,1,?,??0,1,?,???=0+11+22+?+????。 （4.）為方便起見，可以將多元線性回歸模型表示為矩陣形式，令1 ?

??1

1??=

1 ??21 ??22 ? ??2??)，??=

?? 2)，? 2??=2)，? 2(? ? ? ?1 ????1 ????2 ? ??0

0

(?????

?????=( )??=(1，?=1??=( )式（4.1）可變?yōu)?/p>

?????

???)

???????=????+??,??~??(??,??2????)式（4.3）表示的正規(guī)方程組可變?yōu)????????=??????XTX可逆，記(XTc

)C，則參數(shù)向量B的最小二乘估計為=???????? （4.6）那么，式（4.3）表示的回歸方程可變?yōu)?=??? （47）下面加明給多線性歸小乘計性質。性質1 的機量??的個線變。性質2 ?的無估即??(?)=。性質3 ??(?)=??2。性質4 ??????(?,)=0。性質5 ??~??(??,??2?????(,??2，??????~??2(??????1。?? ??2矩陣形式不僅簡潔方便，而且為多元線性回歸的顯著性檢驗和軟件實現(xiàn)打下了基礎。2.擬合優(yōu)度與顯著性檢驗（1）擬合優(yōu)度n和自變量個數(shù)k

【注意】對于回歸模型來說要對結果進行嚴格的檢驗。擬合優(yōu)度的檢驗不能再按照一元線性回歸的計算方法來計算，是由于自變量個數(shù)的變化引起的變化。稱之為調整的判定系數(shù)，計算公式為??2=1? ???1

(1???2)?? ??????1其中，??2表示4.2節(jié)介紹的判定系數(shù)，在多元線性回歸中稱之為多重判定系數(shù)。（2）標準誤差的估計多元線性回歸的殘差的方差??2的估計值通過??????除以??????1得到，減少??+1??+1??+1??2的估計量為因此，標準誤差的估計量為

?2= ????????????1???=√

????????????1（3）回歸方程的檢驗F第1步：建立統(tǒng)計假設??0：??1=??2=?=????=0；??1：??1,??2,?,????不全為0。第2步：構造檢驗統(tǒng)計量????????= ?? ～??(???????1)。(??????1)第3步：得到檢驗結論當給定顯著性水平為??時，臨界值為????(??,??????1)，拒絕域為(????(??,??????1),+∞)。根據(jù)假設檢驗原理，當統(tǒng)計量F滿足??>????(??,??????1)時，拒絕原假設，認為回歸方程是顯著的，可以用回歸方程來表示因變量y和自變量x之間的關系，反之則反。（4）回歸系數(shù)的檢驗t第1步：建立統(tǒng)計假設，對于每一個回歸系數(shù)????，??=0,1,?,??，有??0：????=0；??0：????≠0。第2步：構造檢驗統(tǒng)計量????

=???～??(??????1，??=01,?,??√???????423該問題為雙側檢驗，當給定顯著性水平為??時，臨界值為????(??????1)，拒2絕域為(?????(??????1),????(??????1))2??T

2t2(nk1)時，拒絕原假設，認為自變量xi對因變量y具有顯著的影響，反之則反。例1（Cag41：CaAl3（）2：CaSi2（）3：CaAle3%）4：CaSi2（）

【引例回頭看】多個變量的回歸模型。實驗測得數(shù)據(jù)如表4.1所示。表4.1熱量與物質濃度數(shù)據(jù)yx_1x_2x_3x_478.572666074.31291552104.3115682087.5113184895.6752633109.61155922102.735417672.5170224893.12321824115.9215242683.91482434113.31140912109.41066812試求??對??1，??2，??3，??4的回歸方程，計算調整的判定系數(shù)，并進行回歸方程和回歸系數(shù)的顯著性檢驗。解 （1）歸程根式=(??????)?1??????=(111.61831.1767?0.0539?0.2233?0.6480)??因此，回歸方程?=???=111.1+671?0.032?0.233?0.604。（2）多重判定系數(shù)調整的判定系數(shù)為

??2=??????=0.986????????2=1? ???1

(1???2)=0.979??（3）F檢驗

??????1??=138.663.39=.5(40（4）t檢驗??=???～??(8，??=01,?4，臨界值為??

(81.8595,各回歸系

【課程思政】?? √??????

0.025

科學思維方式數(shù)的顯著性檢驗結果見下表。

尊重計算結果參數(shù)?iciiTip值顯著性常數(shù)項111.624.515924.71776×-9顯著x11.17670.209045.62890.000493顯著x200320.05271510290.33629不顯著x302370.1839312390.25941不顯著x406770.0436381.4941×-7顯著??1和??4對????2和??3??1MATLABclcclearally=[78.5,74.3,104.3,87.5,95.6,109.6,102.7,72.5,93.1,115.9,83.9,113.3,109.4]';x1=[7,1,11,11,7,11,3,1,2,21,1,11,10]';x2=[26,29,56,31,52,55,54,70,32,52,48,40,66]';x3=[6,15,8,8,6,9,17,22,18,4,24,9,8]';x4=[60,52,20,48,33,22,6,48,24,26,34,12,12]';n=length(y)';X=[ones(n,1)x1x2x3x4];=x=[x1x2x3x4];mdl=fitlm(x,y)運行結果：B=111.61831.1767-0.0539-0.2233-0.6480STATS=0.9858138.96260.00004.8346mdl=線性回歸模型:y~1+x1+x2+x3+x4估計系數(shù):

【課程思政】工程背景的數(shù)據(jù)分析案例可增強學生專業(yè)引導學生將數(shù)理統(tǒng)計的理論與方法應用于解決工程數(shù)據(jù)分析問軟件實現(xiàn)有助于學生將本課程視stte E tat palue---------------------------------------------------Intercept111.624.515924.7172e-x11.17670.209045.62890.00049338x20.05390.052715-90.33629x3-30.18393-90.25941x4-00.043638-9e-觀測值數(shù)目:13，誤差自由度:8均方根誤差:2.2R方:0.986，調整R方0.979F統(tǒng)計量(常量模型):139，p值=