小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)-巧用最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)(一)

巧用最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)(一)小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)目錄巧用最大公因數(shù)1巧用最小公倍數(shù)2巧用分解質(zhì)因數(shù)4綜合練習(xí)3一、怎樣求解最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)？1.分解質(zhì)因數(shù)法：把每個(gè)數(shù)分解成幾個(gè)質(zhì)因數(shù)相乘的積的過(guò)程。各數(shù)中的全部公有質(zhì)因數(shù)提取出來(lái)連乘，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。最小公倍數(shù)等于它們所有的質(zhì)因數(shù)的乘積（如果有幾個(gè)質(zhì)因數(shù)相同，則比較兩數(shù)中哪個(gè)數(shù)有該質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)較多，乘較多的次數(shù)）。2.短除法：從兩個(gè)數(shù)公有的最小質(zhì)因數(shù)開始除起，一直除下去，直到除得的商互質(zhì)為止。把所有的質(zhì)因數(shù)連乘起來(lái)，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。把所有的質(zhì)因數(shù)，以及最后的商依次相乘，所得的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。二、怎樣分辨最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)的應(yīng)用題？1.首先要理解最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的真正含義。2.其次是抓住題目中的關(guān)鍵句，特別是問題。要求的數(shù)量若是處于小數(shù)（除數(shù)、商、因數(shù)）的地位。因?yàn)檫@部分較小的數(shù)往往是較大數(shù)的因數(shù)，所以所求的數(shù)也就是處于因數(shù)的地位。所以，如果題目出現(xiàn)求共有的（或者公共的/相同的等）最大量（最長(zhǎng)量/最重量/最高量等等）時(shí)，該應(yīng)用題往往求的是最大公因數(shù)或公因數(shù)。要求的數(shù)量若是處于大數(shù)（被除數(shù)、積）的地位。因?yàn)檫@部分較大的數(shù)往往是較小數(shù)的倍數(shù)，所以所求的數(shù)也就是處于倍數(shù)的地位。所以，如果題目出現(xiàn)求共有的（或者公共的/相同的）最小量（最短量/最輕量/最矮量等等）時(shí)，該應(yīng)用題往往求的是最小公倍數(shù)。比如：題目中的問題問到“這個(gè)數(shù)最小是多少?”、“至少再過(guò)多少時(shí)間又同時(shí)發(fā)車?”一般求的就是它們的最小公倍數(shù)或是公倍數(shù)。3.如果沒有這些關(guān)鍵詞，那么多加練習(xí)，也不難做出來(lái)。1.一個(gè)數(shù)除200余4，除300余6，除500余10，這個(gè)數(shù)最大是多少？巧用最大公因數(shù)1解析根據(jù)題目要求，要求的數(shù)量若是處于小數(shù)（除數(shù)）的地位，所以求的是公因數(shù)或是最大公因數(shù)。一個(gè)數(shù)除200余4。200-4=196196除以這數(shù)沒有余數(shù)。一個(gè)數(shù)除300余6。300-6=294294除以這數(shù)沒有余數(shù)。一個(gè)數(shù)除500余10。500-10=490490除以這數(shù)沒有余數(shù)。這數(shù)是196、294和490的公因數(shù)。獲得196、294和490的最大公因數(shù)。2×7×7=98這個(gè)數(shù)最大是98。2.一張長(zhǎng)方形的紙，長(zhǎng)64厘米，寬52厘米，要把這些紙裁成面積相等的小正方形的紙而沒有剩余，且使邊長(zhǎng)最長(zhǎng)，問可裁成幾個(gè)？解析一張長(zhǎng)方形的紙，長(zhǎng)64厘米，寬52厘米。根據(jù)題目要求，出現(xiàn)了“最長(zhǎng)”，所以要求的是最大公因數(shù)或公因數(shù)。把這些紙裁成面積相等的小正方形的紙而沒有剩余，且使邊長(zhǎng)最長(zhǎng)。最大公因數(shù)：2×2=4裁成的小正方形邊長(zhǎng)最長(zhǎng)是4厘米。正方形邊長(zhǎng)必須是64和52的公因數(shù)，才能裁剪沒有剩余。要使邊長(zhǎng)最長(zhǎng)，邊長(zhǎng)是64和52的最大公因數(shù)。獲得64和52的最大公因數(shù)。長(zhǎng)方形的紙寬52厘米。裁成的小正方形邊長(zhǎng)最長(zhǎng)是4厘米。52÷4=13(個(gè))從長(zhǎng)方形紙的短邊裁剪，一列可以裁剪13個(gè)。長(zhǎng)方形紙每行可以裁剪16個(gè)，每列可以裁剪13個(gè)面積相等的小正方形。16×13=208(個(gè))可裁成208個(gè)。長(zhǎng)方形的紙長(zhǎng)64厘米。裁成的小正方形邊長(zhǎng)最長(zhǎng)是4厘米。64÷4=16(個(gè))從長(zhǎng)方形紙的長(zhǎng)邊裁剪，一行可以裁剪16個(gè)。3.有三根鋼管，其中第一根的長(zhǎng)度是第二根的1.2倍，是第三根的一半，第三根比第二根長(zhǎng)280厘米，現(xiàn)在把這三根鋼管截成盡可能長(zhǎng)而又相等的小段，問可以截成多少段？解析第一根第三根第二根280第一根的長(zhǎng)度是第二根的1.2倍，是第三根的一半。1.2×2=2.4第三根的長(zhǎng)度是第二根的2.4倍。第三根比第二根長(zhǎng)280厘米。280÷(2.4-1)=200(厘米)第二根的長(zhǎng)度是200厘米。第一根的長(zhǎng)度是第二根的1.2倍。第二根的長(zhǎng)度是200厘米。200×1.2=240(厘米)第一根的長(zhǎng)度是240厘米。第一根的長(zhǎng)度是第三根的一半。240×2=480(厘米)第三根的長(zhǎng)度是480厘米?，F(xiàn)在把這三根鋼管截成盡可能長(zhǎng)而又相等的小段。求這三根鋼管長(zhǎng)度的最大公因數(shù)。最大公因數(shù)：2×2×2×5=40現(xiàn)在把這三根鋼管截成40厘米的小段。第一根的長(zhǎng)度是240厘米。第二根的長(zhǎng)度是200厘米。240÷40=6(段)第一根截成6段。6+5+12=23(段)現(xiàn)在把這三根鋼管截成40厘米的小段。第三根的長(zhǎng)度是480厘米。200÷40=5(段)第二根截成5段。480÷40=12(段)第三根截成12段。可以截成23段。4.小明有一塊長(zhǎng)72厘米，寬60厘米，高48厘米的長(zhǎng)方體木料，王師傅把它鋸成同樣大小的正方體木塊，木塊的體積最大，不能有剩余，算一算，可以據(jù)成多少塊？解析獲得72、60和48的最大公因數(shù)。一塊長(zhǎng)72厘米，寬60厘米，高48厘米的長(zhǎng)方體木料，鋸成同樣大小的正方體木塊。正方形木塊的棱長(zhǎng)必須是72、60和48的因數(shù)，才能在鋸?fù)隂]有剩余。要使木塊的體積最大，棱長(zhǎng)就必須最長(zhǎng)。最大公因數(shù)：2×2×3=12正方形木塊的棱長(zhǎng)是12厘米。一塊長(zhǎng)72厘米，寬60厘米，高48厘米的長(zhǎng)方體木料，鋸成棱長(zhǎng)12厘米正方體木塊。72÷12=6(個(gè))60÷12=5(個(gè))48÷12=4(個(gè))6×5×4=120可以據(jù)成120塊。5.把37支鋼筆和38本書，平均獎(jiǎng)給幾個(gè)學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生，結(jié)果鋼筆多出一支，書還缺2本，最多有幾個(gè)學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀的同學(xué)？解析把37支鋼筆平均獎(jiǎng)給幾個(gè)學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生，結(jié)果鋼筆多出一支。37-1=36(支)36支鋼筆正好平均分配。把38本書，平均獎(jiǎng)給幾個(gè)學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生，結(jié)果書還缺2本。38+2=40(本)40本書正好平均分配。36和40除以優(yōu)秀學(xué)生的個(gè)數(shù)沒有余數(shù)。獲得36和40的最大公因數(shù)。最大公因數(shù)是4。最多有4個(gè)學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀的同學(xué)。優(yōu)秀學(xué)生的個(gè)數(shù)是36和40的共因數(shù)。要使優(yōu)秀學(xué)生的個(gè)數(shù)最多。6.某市有一個(gè)三角形公園，三條邊長(zhǎng)分別為498米，612米和528米，計(jì)劃在公園周圍每隔若干米種植一棵樟樹，并且每?jī)煽弥g的距離最遠(yuǎn)，每?jī)煽脴湎喔舳噙h(yuǎn)？至少要種植多少棵樹？獲得三條邊長(zhǎng)498、612、528的最大公因數(shù)。在公園周圍種植樟樹，每?jī)煽弥g的距離最遠(yuǎn)。三角形公園，三邊長(zhǎng)分別為498米，612米和528米。解析2×3=6三角形公園每條邊種植樟樹，每?jī)煽弥g的距離最遠(yuǎn)是6米。每?jī)煽弥g的距離最遠(yuǎn)，植樹棵樹最少。每條邊可以看作是只一端植樹的問題。498米的邊長(zhǎng)，每隔6米值一棵樹。498÷6=83(間隔)一端植樹的情況中，間隔和棵樹同樣多。498米的邊長(zhǎng)共植樹83棵。612米的邊長(zhǎng)，每隔6米值一棵樹。612÷6=102(間隔)612米的邊長(zhǎng)共植樹102棵。528米的邊長(zhǎng)，每隔6米值一棵樹。528÷6=88(間隔)528米的邊長(zhǎng)共植樹88棵。88+102+83=273(棵)至少要種植273棵樹。1.有一批機(jī)器零件，每12個(gè)放一盒，就多出11個(gè)；每18個(gè)放一盒，就少1個(gè)；每15個(gè)放一盒，就有7盒各多出2個(gè)；這些零件總數(shù)在300至400之間。這批零件共有多少個(gè)？巧用最小公倍數(shù)2每12個(gè)放一盒，就多出11個(gè)。每15個(gè)放一盒，就有7盒各多出2個(gè)。每18個(gè)放一盒，就少1個(gè)。7×2=14(個(gè))每15個(gè)放一盒，就多出14個(gè)。若再放一盒就少一個(gè)。零件個(gè)數(shù)是12的倍數(shù)少一個(gè)。零件個(gè)數(shù)是18的倍數(shù)少一個(gè)。若再放一盒就少一個(gè)。零件個(gè)數(shù)是15的倍數(shù)少一個(gè)。根據(jù)題目要求，要求的數(shù)量若是處于大數(shù)（被除數(shù)）的地位，所以求的是最小公倍數(shù)或是公倍數(shù)。解析這批零件的總數(shù)就是12、18、15共同的倍數(shù)少一個(gè)。先來(lái)獲得12、18、15的最小公倍數(shù)。最小公倍數(shù):3×4×5×6=360360-1=359(個(gè))這些零件總數(shù)在300至400之間.這批零件共有359個(gè)。這批零件的總數(shù)和就是12、18、15共同的倍數(shù)少一個(gè)。2.有一籃雞蛋，兩個(gè)兩個(gè)去數(shù)，余1個(gè)；三個(gè)三個(gè)去數(shù)，余2個(gè)；四個(gè)四個(gè)去數(shù)，余3個(gè)，這籃雞蛋至少有多少個(gè)？解析有一籃雞蛋，兩個(gè)兩個(gè)去數(shù)，余1個(gè)。也就是這籃雞蛋，兩個(gè)兩個(gè)去數(shù)，最后一次數(shù)的時(shí)候少1個(gè)。有一籃雞蛋，三個(gè)三個(gè)去數(shù)，余2個(gè)。也就是這籃雞蛋，三個(gè)三個(gè)去數(shù)，最后一次數(shù)的時(shí)候少1個(gè)。有一籃雞蛋，四個(gè)四個(gè)去數(shù)，余3個(gè)。也就是這籃雞蛋，四個(gè)四個(gè)去數(shù)，最后一次數(shù)的時(shí)候少1個(gè)。這籃雞蛋的個(gè)數(shù)是2、3和4的倍數(shù)少1個(gè)。獲得2、3和4的最小倍數(shù)。12-1=11(個(gè))一籃雞蛋，兩個(gè)兩個(gè)數(shù)，三個(gè)三個(gè)數(shù)，四個(gè)四個(gè)數(shù)，最后一次數(shù)的時(shí)候少1個(gè)。2、3和4的最小倍數(shù)12。2和4的最小倍數(shù)是4。3和4的最小倍數(shù)是12。12和4的最小倍數(shù)是12。要使這籃雞蛋的個(gè)數(shù)最少。這籃雞蛋至少有11個(gè)。這類盈虧問題，考慮的都是總數(shù)。根據(jù)題目要求，要求的數(shù)量是處于大數(shù)（被除數(shù)）的地位，所以求的是最小公倍數(shù)或是公倍數(shù)。先將幾種分法多出的或少的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成相等，然后求幾種分法的最小公倍數(shù)，由最小公倍數(shù)加上或減去個(gè)數(shù)就是總數(shù)。3.小明有一塊正方形布料，既可以剪成邊長(zhǎng)8dm的方巾，又可以剪成邊長(zhǎng)6dm的方巾，都沒有剩余。這塊正方形布料的邊長(zhǎng)至少是多少分米？解析獲得6和8的最小公倍數(shù)。一塊正方形布料剪成邊長(zhǎng)8dm的方巾沒有剩余。這塊正方形布料的邊長(zhǎng)至少是24dm。最小公倍數(shù)是：2×3×4=24這塊正方形布料的邊長(zhǎng)肯定是6和8的整數(shù)倍，裁剪才能沒有剩余。一塊正方形布料，剪成邊長(zhǎng)6dm的方巾沒有剩余。要使這塊正方形布料的邊長(zhǎng)最少。4.公路上一排電線桿，共25根。每相鄰兩根間的距離原來(lái)都是45米，現(xiàn)在要改成60米，可以有幾根不需要移動(dòng)？公路上一排電線桿。每相鄰兩根間的距離原來(lái)都是45米，現(xiàn)在要改成60米。當(dāng)兩次的位置重合的時(shí)候，電線桿是不需要移動(dòng)的。當(dāng)這個(gè)位置既是45的倍數(shù)，又是60的倍數(shù)時(shí)，電線桿就不需要移動(dòng)的。獲得45、60的最小公倍數(shù)。最小公倍數(shù)：5×3×3×4=180電線桿每?jī)筛g的距離是180米不需要移動(dòng)。解析公路上一排電線桿，共25根。電線桿每相鄰兩根間的距離是180米。1080÷180=6(間隔)6+1=7(根)在這條馬路上兩頭電線桿不用移動(dòng)，中間還有5根電線桿不用移動(dòng)。可以有7根電線桿不需要移動(dòng)。兩端植樹的問題中樹的棵樹比間隔多一個(gè)。這段公路共有間隔：25-1=24(間隔)每相鄰兩根間的距離原來(lái)都是45米。45×(25-1)=1080(米)這段公路長(zhǎng)1080米。5.有一個(gè)電子表，每走9分鐘亮一次燈，每到整點(diǎn)響一次鈴，中午12點(diǎn)整，電子表既響鈴又亮燈，請(qǐng)問下一次既響鈴又亮燈的是幾點(diǎn)鐘？解析電子表，每到整點(diǎn)響一次鈴。電子表，每走9分鐘亮一次燈。電子表，每60分鐘響一次鈴。9分鐘和60分鐘的倍數(shù)時(shí)間就是電子表既響鈴又亮燈時(shí)候。9、60的最小公倍數(shù)就是下次既響鈴又亮燈的時(shí)間間隔。最小公倍數(shù)：3×3×20=180下次既響鈴又亮燈的是180分鐘之后。180÷60=3(小時(shí))中午12點(diǎn)整，電子表既響鈴又亮燈。12+3=15(時(shí))每隔3小時(shí)既響鈴又亮燈一次。下一次既響鈴又亮燈的是15時(shí)，也下午就是3時(shí)。6.小紅一家去參觀博物館，小紅的媽媽工作4天休息1天，小紅的爸爸工作2天休息1天，小紅星期六和星期日休息。小紅、媽媽和爸爸在2號(hào)同時(shí)休息。他們要在下一次同時(shí)休息的那一天去參觀博物館，那么幾號(hào)去參觀博物館？日一二三四五六123456789101112131415161718192021222324252627282930解析爸爸媽媽在上一次休息后，第15天一起休息。小紅的媽媽工作4天休息1天。小紅的爸爸工作2天休息1天。3和5的公倍數(shù)是整數(shù)個(gè)周期，周期的最后一天爸爸媽媽都休息。