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2023年中考數(shù)學(xué)真題及答案
注意事項(xiàng)
考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng):
1.本試卷共6頁(yè),滿(mǎn)分為150分,考試時(shí)間為120分鐘.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題
卡一并交回.
2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、考試證號(hào)用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答
題卡上指定的位置.
3.答案必須按要求填涂、書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷、草稿紙上答題一律無(wú)效.
一、選擇題(本大題共10小題,每小題3分,共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰
有一項(xiàng)是符合題目要求的,請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上)
1.計(jì)算(-3)x2,正確的結(jié)果是()
A.6B.5C.-5D.-6
2.2023年5月21EI,以“聚力新南通、奮進(jìn)新時(shí)代”為主題的第五屆通商大會(huì)暨全市民
營(yíng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展大會(huì)召開(kāi),40個(gè)重大項(xiàng)目集中簽約,計(jì)劃總投資約41800000000元.將
41800000000用科學(xué)記數(shù)法表示為()
A.4.18x10"B.4.18x10'°C.0.418x10"D.418x10s
3.如圖所示的四個(gè)幾何體中,俯視圖是三角形的是()
1
二棱柱圓柱
四棱錐圓錐
4.如圖,數(shù)軸上A,B,C,D,E五個(gè)點(diǎn)分別表示數(shù)1,2,3,4,5,則表示數(shù)后的
點(diǎn)應(yīng)在()
ABCDE
012345
A.線段A3上B.線段BC上C.線段CD上D.線段DE上
5.如圖,中,ZACB=9O°,頂點(diǎn)A,C分別在直線機(jī)n±.若〃?〃“,Zl=50°,
A.140°B.130°C.120°D.110°
6.若a2-4a-12=0,貝U2a?-8a-8的值為()
A.24B.20C.18D.16
7.如圖,從航拍無(wú)人機(jī)A看一棟樓頂部8的仰角a為30。,看這棟樓底部C的俯角尸為60。,
無(wú)人機(jī)與樓的水平距離為120m,則這棟樓的高度為()
A.140百mB.160\/3mC.180島D.200Gm
8.如圖,四邊形ABQ)是矩形,分別以點(diǎn)5,。為圓心,線段BC,DC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩
弧相交于點(diǎn)E,連接BE,DE,BD.若A3=4,BC=8,則/ABE的正切值為()
E
9.如圖,4?C中,ZC=90°,AC=15,8c=2().點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)沿折線A-C-B運(yùn)動(dòng)
到點(diǎn)8停止,過(guò)點(diǎn)。作。E//W,垂足為E.設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為無(wú),△83E的面積為九
若V與x的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示,則“-6的值為()
AE2535X
10.若實(shí)數(shù)x,y,機(jī)滿(mǎn)足x+y+m=6,3x-y+"?=4,則代數(shù)式-2xy+l的值可以是
二、填空題(本大題共8小題,第11?12題每小題3分,第13?18題每小題4分,共30
分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程,請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上)
11.計(jì)算:3忘-2應(yīng)=.
12.分解因式:a2-ab=.
13.在△4?。中(如圖),點(diǎn)〃、£分別為4?、4。的中點(diǎn),則S△[鹿:S"BC=.
BC
14.某型號(hào)汽車(chē)行駛時(shí)功率一定,行駛速度v(單位:m/s)與所受阻力產(chǎn)(單位:/V)是反
比例函數(shù)關(guān)系,其圖象如圖所示.若該型號(hào)汽車(chē)在某段公路上行駛時(shí)速度為30m/s,則所受
阻力F為.
15.如圖,AB是。的直徑,點(diǎn)C,。在O上.若NZM?=66。,貝lJZAC£>=度.
C
16.勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù),世界上第一次給岀勾股數(shù)公式的
是中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》.現(xiàn)有勾股數(shù)a,b,c,其中。,b均小于c,“=
c=1/n2+1,〃?是大于1的奇數(shù),則人=(用含加的式子表示).
17.已知一次函數(shù)y=x-k,若對(duì)于x<3范圍內(nèi)任意自變量x的值,其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,都小
于2&,則人的取值范圍是.
18.如圖,四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC,8?;ハ啻怪?,AC=4,8r>=6,則AD+8C
的最小值是.
三、解答題(本大題共8小題,共90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字
說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
2x+y=3①
19.(1)解方程組:
3x+y=5②
/£-1__1_
(2)計(jì)算:
cr—2a+1a
20.某校開(kāi)展以''筑夢(mèng)天宮、探秘蒼穹〃為主題的航天知識(shí)競(jìng)賽,賽后在七、八年級(jí)各隨機(jī)抽
取20名學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī),進(jìn)行整理、分析,得出有關(guān)統(tǒng)計(jì)圖表.
抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)圖
人
n年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差
年
u七級(jí)
七年級(jí)82838752.6
卜
年
I級(jí)
八年級(jí)82849165.6
/■\
注:設(shè)競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閤(分),規(guī)定:
9OST01OO為優(yōu)秀;75sx'〈go為良好;
60sx<75為合格;x<60為不合格
\__________________________________/
(1)若該校八年級(jí)共有300名學(xué)生參賽,估計(jì)優(yōu)秀等次的約有人;
(2)你認(rèn)為七、八年級(jí)中哪個(gè)年級(jí)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)更好些?請(qǐng)從兩個(gè)方面說(shuō)明理由.
21.如圖,點(diǎn)D,E分別在A8,AC上,ZADC=ZAEB=90°,BE,CO相交于點(diǎn)。,O3=OC.
求證:Z1=Z2.
小虎同學(xué)的證明過(guò)程如下:
證明:VZADC=ZAEB=900,
:.NDOB+ZB=ZEOC+ZC=90°.
"?ZDOB=ZEOC,
:.ZB=ZC.第一步
又。4=04,OB=OC,
:.△A5O絲第二步
,N1=N2第三步
(1)小虎同學(xué)的證明過(guò)程中,第步出現(xiàn)錯(cuò)誤;
(2)請(qǐng)寫(xiě)出正確的證明過(guò)程.
22.有同型號(hào)的A,8兩把鎖和同型號(hào)的。,分,c三把鑰匙,其中。鑰匙只能打開(kāi)A鎖,b
鑰匙只能打開(kāi)5鎖,c鑰匙不能打開(kāi)這兩把鎖.
(1)從三把鑰匙中隨機(jī)取出一把鑰匙,取出。鑰匙的概率等于;
(2)從兩把鎖中隨機(jī)取出一把鎖,從三把鑰匙中隨機(jī)取出一把鑰匙,求取出的鑰匙恰好能打
開(kāi)取出的鎖的概率.
23.如圖,等腰三角形。45的頂角厶。8=120。,O和底邊相切于點(diǎn)C,并與兩腰。4,
分別相交于。,E兩點(diǎn),連接8,CE.
(1)求證:四邊形ODCE是菱形;
(2)若(。的半徑為2,求圖中陰影部分的面積.
24.為推進(jìn)全民健身設(shè)施建設(shè),某體育中心準(zhǔn)備改擴(kuò)建一塊運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地.現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程
隊(duì)參與施工,具體信息如下:
信息一
工程隊(duì)每天施工面積(單位:m2)每天施工費(fèi)用(單位:元)
甲x+3003600
乙X2200
信息二
甲工程隊(duì)施工1800m2所需天數(shù)與乙工程隊(duì)施工12000?所需天數(shù)相等.
(1)求X的值;
(2)該工程計(jì)劃先由甲工程隊(duì)單獨(dú)施工若干天,再由乙工程隊(duì)單獨(dú)繼續(xù)施工,兩隊(duì)共施工22
天,且完成的施工面積不少于15000m2.該段時(shí)間內(nèi)體育中心至少需要支付多少施工費(fèi)用?
25.正方形ABCQ中,點(diǎn)£在邊BC,8上運(yùn)動(dòng)(不與正方形頂點(diǎn)重合).作射線AE,將
射線AE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,交射線CO于點(diǎn)尸.
圖1圖2圖3
(1)如圖,點(diǎn)E在邊8c上,BE=DF,則圖中與線段AE相等的線段是;
(2)過(guò)點(diǎn)E作以7人AF,垂足為G,連接。G,求NGOC的度數(shù);
FG
(3)在(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)尸在邊。延長(zhǎng)線上且。歹=OG時(shí),求工方的值.
26.定義:平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P(“,S,點(diǎn)。(C,d),若c=ka,d=-kb,其中k為
常數(shù),且&N0,則稱(chēng)點(diǎn)。是點(diǎn)P的“上級(jí)變換點(diǎn)”.例如,點(diǎn)(<6)是點(diǎn)(2,3)的“一2級(jí)變
換點(diǎn)”.
(1)函數(shù)y=的圖象上是否存在點(diǎn)(1,2)的“%級(jí)變換點(diǎn)”?若存在,求出出的值:若不存
在,說(shuō)明理由;
⑵點(diǎn)4,;一2)與其“女級(jí)變換點(diǎn)”B分別在直線4,4上,在4,4上分別取點(diǎn)(小X),
(病,丫2).若kw-2,求證:yi-y2>2;
⑶關(guān)于x的二次函數(shù)>=加-4/吠-5”打“)的圖象上恰有兩個(gè)點(diǎn),這兩個(gè)點(diǎn)的“1級(jí)變換
點(diǎn)”都在直線y=-x+5上,求〃的取值范圍.
1.D
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解.
【詳解】解:(-3)x2=-6,
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的乘法,熟練掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵.
2.B
【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值較大的數(shù)時(shí),一般形式為axlO",其中〃為整
數(shù).
【詳解】解:41800000000=4.18x101°.
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法,科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式,其中
”為整數(shù).確定〃的值時(shí),要看把原來(lái)的數(shù),變成。時(shí),小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位,”的絕對(duì)值
與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值210時(shí),〃是正數(shù):當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí),〃是
負(fù)數(shù),確定。與"的值是解題的關(guān)鍵.
3.A
【分析】根據(jù)俯視圖是從上邊看到的圖形即可得到答案.
【詳解】三棱柱的俯視圖是三角形,故選項(xiàng)A符合題意;
圓柱的俯視圖是圓,故選項(xiàng)B不符合題意;
四棱錐的俯視圖四邊形中間有一個(gè)點(diǎn),故選項(xiàng)C不符合題意;
圓錐的俯視圖是圓中間有一點(diǎn),故選項(xiàng)D不符合題意.
故選:A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖,熟記常見(jiàn)幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵.
4.C
【分析】根據(jù)囪<可<J広判斷即可.
【詳解】而<屈,
3<V10<4,
由于數(shù)軸上A,B,C,D,E五個(gè)點(diǎn)分別表示數(shù)1,2,3,4,5,
J而的點(diǎn)應(yīng)在線段8上,
故選:c.
【點(diǎn)睛】本題考查無(wú)理數(shù)的估算,熟練掌握無(wú)理數(shù)的估算的方法是解題的關(guān)鍵.
5.A
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出N3的度數(shù),再由44cB=90。得出N4的度數(shù),根據(jù)補(bǔ)角
的定義即可得出結(jié)論.
【詳解】解:如圖,
.m〃n,Z1=50°,
/.Z3=Zl=50°,
ZACB=90°,
.?.Z4=ZACB-Z3=90°-50°=40°,
.\Z2=180°-Z4=l80°-40。=140。,
故選A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì),解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì):兩直線平行,
內(nèi)錯(cuò)角相等.
6.D
【分析】根據(jù)巒一4〃-12=0得至IJ片一夂7=12,再將整體代入2/_8a—8中求值.
【詳解】解:4a—12=0,
得a2-4a=12,
2片—&/-8變形為2(/—4。)-8,
原式=2x12—8=16.
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值,將2/-8a-8變形為2(/—%)-8是解題的關(guān)鍵.
7.B
【分析】過(guò)點(diǎn)A作垂足為。,根據(jù)題意可得AO=120m,然后分別在RtaAE)和
□△AC£>中,利用銳角三角函數(shù)的定義求出B。,CO的長(zhǎng),最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)
算即可解答.
【詳解】解:過(guò)點(diǎn)A作AD1BC,垂足為D,
根據(jù)題意可得AO=120m,
在RtZkABO中,Zfi4D=30°,
BD=ADtan30°=120x—=40百m,
3
在RtZVlCD中,NCW=60。,
CD=AD-tan60°=120Gm,
BC=BD+CD=160鬲.
故則這棟樓的高度為1606m.
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,銳角三角函數(shù)的定義,根據(jù)題目的已知條件作出
正確的輔助線是解題的關(guān)鍵.
8.C
【分析】設(shè)BE,4)交于點(diǎn)F,根據(jù)矩形的性質(zhì)以及以點(diǎn)8,。為圓心,線段8C,OC長(zhǎng)
為半徑畫(huà)弧得到BDE絲」8OC(SSS),FB=FD,設(shè)所=x,故BF=DF=BE-EF=8-x,
在RtE/Z>中求出x的值,從而得到,AB尸gsEOF(SSS),從而得到=即可
求得答案.
【詳解】解:設(shè)BE,A。交于點(diǎn)尸,
由題意得8E=8C=8,OE=OC=A8=4,
?.BDE絲BDC(SSS),
:.ZEBD=/CBD,
四邊形4BCD是矩形,
,\AD//BC9
:.ZADB=/CBD,
:.ZADB=/EBD,
:.FB=FD,
設(shè)所=x,
故BF=DF=BE-EF=8-x,
在Rt一石五。中,ED2+EF1=FD2,
即16+f=(8-工)2,
解得x=3,
:.EF=3,DF=BF=5,
AF=AD-DF=8-5=3,
:.ABF&EDF,
:.ZABE=ZADE,
【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),以及正切值的求法,本題中
得到=是解題的關(guān)鍵.
9.B
【分析】根據(jù)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為%,在圖中表示出來(lái),設(shè)AE=z,3E=25-z,在直角三
角形中,找到等量關(guān)系,求出未知數(shù)的值,得到△應(yīng)出的值.
【詳解】解:當(dāng)犬=10時(shí),由題意可知,
AD=10,CD=5,
在RtACDB中,由勾股定理得BD2=CD2+BC2=52+202=425,
設(shè)4E=z,8E=25-z,
2
BE=(z-25-=z2_50z+625,
在R3ADE中,由勾股定理得£)爐=">2-4爐=100-z2,
在RtADEB中,由勾股定理得8庁=DE2+BE2,
即425=100-z2+z2-50z+625,
解得z=6,
:.DE=6,BE=19,
.".a=SBDE=19x8=76,
當(dāng)x=25時(shí),由題意可知,CD=BD=W,
設(shè)BE-q,AE—25—q,
AE2=(25-q)2=625-50q+q2,
在RtACDA中,由勾股定理得AD2=AC-+CD2=152+102=325,
在RSBDE中由勾股定理得。庁=BD?-8爐=100-,
RtVDEA中,由勾股定理得AD2=DE2+AE2,
即325=100-/+625-50g+d,
解得4=8,
DE-6,
?"=Sw%=;x6x8=24,
a—b=76—24=52.
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理,根據(jù)勾股定理列出等式是解題的關(guān)鍵,運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的
思想解題.
10.D
2
【分析】聯(lián)立方程組,解得/,設(shè)卬=-2“+1,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),即可求
1-m
x+y+機(jī)=6
【詳解】解:依題意,
3x-y+〃?=4
解得:
設(shè)卬=-2xy+1
----------F1=---------h61Tl---
22
33
???卬有最大值,最大值為
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),解二元一次方程組,熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題
的關(guān)鍵.
11.72
【分析】直接進(jìn)行同類(lèi)二次根式的合并即可.
【詳解】解:3^-272=72.
故答案為:6
12.a(a-b).
【詳解】解:a2-ah(a-b).
故答案為a(a-b).
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解-提公因式法.
13.1:4##丄##0.25
【分析】根據(jù)題意得出虛是△血的中位線,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出以BC,
D序三BC,證出△力*相似比為1:2,再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平
方得到答案.
【詳解】???點(diǎn)以£分別為46、4C的中點(diǎn)
...如是△48C的中位線
:.DEBC,D吟BC
:.XADEsXABC,相似比為:DE'.B(=\:2
:.S^ADE:S^ABOV:22=1:4
故答案為:1:4
【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵在于利用三角形的中位線平行于第三邊,且等于第三邊的一半這一
性質(zhì),證出三角形相似,以及相似比為1:2,在利用相似三角形的性質(zhì):相似三角形的面
積比等于相似比的平方,解出本題.
14.2500
【分析】根據(jù)題意得知函數(shù)成反比例函數(shù),由圖中數(shù)據(jù)可以求出反比例函數(shù)的解析式,再將
v=30m/s代入求的值.
P
【詳解】解:設(shè)功率為尸,由題可知「=~,即^=—,將f=375ON,V=20m/s代入解得
F
P=75000,
75000
即反比例函數(shù)為:丫=’7「,
將u=30m/s代入,
得尸=2500,
故答案為:2500.
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù),熟練掌握將自變量代入解析式求得函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.
15.24
【分析】連接8C,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角,同弧所對(duì)的圓周角相等,可得NACB=90。,
NDCB=NDAB=66。,進(jìn)而即可求解.
【詳解】解:如圖所示,連接BC,
c
:.ZACS=90°,
BD=BD,NDAB=66°,
NDCB=NDAB=66°,
:.ZACD=ZACB-ZDCB=90°-66°=24°,
故答案為:24.
【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角,同弧所對(duì)的圓周角相等,熟練掌握?qǐng)A周角定
理的推論是解題的關(guān)鍵.
16.m
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì),直角邊小于斜邊得到“,〃為直角邊,c為斜邊,根據(jù)勾
股定理即可得到6的值.
【詳解】解:由于現(xiàn)有勾股數(shù)a,b,c,其中。,b均小于c,
a,分為直角邊,c為斜邊,
:.a2+b2-C>
???(^2-^)2+^2=(1^2+^)2>
得至lj丄61-—m2+—+/?2=—m4+—m2+—,
424424
及=m2,
:.b=±m(xù)f
〃?是大于1的奇數(shù),
:.b=m.
故答案為:.
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用,分清楚。,人為直角邊,C為斜邊是解題的關(guān)鍵.
17.k>\
【分析】根據(jù)題意和一次函數(shù)的性質(zhì)可得到3-々<23然后求解即可.
【詳解】解:一次函數(shù)y=x-3
y隨x的增大而增大,
對(duì)于x<3范圍內(nèi)任意自變量x的值,其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y都小于2k,
3-k<2k,
解得—1.
故答案為:k>\.
【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì),明確題意,列出正確的不等式是解題的關(guān)鍵.
18.25/13
【分析】設(shè)AC的交點(diǎn)為。,4?,8仁8,%的中點(diǎn)分別是產(chǎn),。,尺5,連接
PQ,QR,RS,SP,OQ,OS,QS,先證AZ)+3C=2(OS+O。),由此得當(dāng)OS+O。最小時(shí),
AO+3C最小,再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得OQ+OSNQS,再證四邊形PQRS是矩形,
且尸。=2,SP=3,根據(jù)勾股定理的OS=至,進(jìn)而求得">+861的最小值.
【詳解】解:設(shè)AC8。的交點(diǎn)為。,43,8。9。,以的中點(diǎn)分別是2,。,/?,5,連接
PQ,QR,RS,SP,OQ,OS,QS,
QAC,3。互相垂直,
AOD和工8OC為直角三角形,且ARBC分別為斜邊,
:.AD=2OS,BC=2OQ,
AD+BC=2(OS+OQ),
.??當(dāng)OS+OQ最小時(shí),AO+8C最小,再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得OQ+OSNQS,
???當(dāng)點(diǎn)。在線段QS上時(shí),OQ+OS最小,最小值為線段QS的長(zhǎng),
P,Q分別為的中點(diǎn),
??.PQ是ABC的中位線,
:.PQ^^AC=2,PQ//AC,
同理QR=gBO=3,QR〃B。,
RS=-AC=2,RS//AC,
2
SP=-BD=3,SP//BD,
2
PQ//AC//RS,QR//BD//SP,
.,?四邊形PQRS是平行四邊形,
AC丄BD,PQ//AC,SP//BD,
PQISP,
...四邊形尸QRS是矩形,
在Rt一尸QS中,PQ=2,SP=3,
QS=《PQ?+SP2=V13,
0。+os的最小值為舊,
AD+BC的最小值為2萬(wàn).
故答案為:2用.
【點(diǎn)睛】此題只要考查了矩形的判定和性質(zhì),三角形的性質(zhì),三角形的中位線定理,線段的
性質(zhì),勾股定理等,熟練掌握矩形的判定和性質(zhì),三角形的中位線定理,理解直角三角形斜
邊上的中線等于斜邊的一半,兩點(diǎn)之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵.
[x=2
19.(1)\?;(2)1
【分析】(1)運(yùn)用加消元法解二元一次方程;
(2)先進(jìn)行分式的乘法運(yùn)算,再計(jì)算減法得到結(jié)果.
【詳解】(1)解:②-①,得x=2
把x=2代入①,得y=-l
fx=2,
??.這個(gè)方程組的解為,
(y=-i.
,一,a2a—\1a1a—\
(2)解:原式=;~---------=-----------=--=1.
(口一1)aa-la-\a-\
【點(diǎn)睛】本題主要考查解二元一次方程組和分式的混合運(yùn)算,熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解
題的關(guān)鍵.
20.(1)90
(2)答案不唯一,見(jiàn)解析
【分析】(1)求出優(yōu)秀等次的頻率,再求出總?cè)藬?shù),用樣本估計(jì)總體;
(2)根據(jù)平均數(shù),中位數(shù),眾數(shù),方差進(jìn)行評(píng)價(jià).
【詳解】⑴解:2乂300=90,
故答案為:90;
(2)解:答案不唯一,如:七年級(jí)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)更好些.
理由:七、八年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)相同,而七年級(jí)學(xué)生成績(jī)的方差小,成績(jī)更
穩(wěn)定;
七、八年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)相同,而七年級(jí)學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀及良好占比更高.
八年級(jí)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)更好些.
理由:七、八年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)相同,而八年級(jí)學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)高于七年
級(jí);
七、八年級(jí)抽取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)相同,而八年級(jí)學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)高于七年級(jí).
【點(diǎn)睛】本題考查方差、中位數(shù)、眾數(shù)、條形圖、用樣本估計(jì)總體,解答本題的關(guān)鍵是明確
題意,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.
21.⑴二
(2)見(jiàn)解析
【分析】(1)根據(jù)證明過(guò)程即可求解.
(2)利用全等三角形的判定及性質(zhì)即可求證結(jié)論.
【詳解】(1)解:則小虎同學(xué)的證明過(guò)程中,第二步出現(xiàn)錯(cuò)誤,
故答案為:二.
(2)證明:VZADC=ZAEB=90°,
:.^BDC=ZCEB=9(f,
在.ZJO8和△EOC中,
ZBDO=ZCEO
-NDOB=NEOC,
OB=OC
/.DOB=.EOC(AAS)f
OD=OE,
在R470和RjAEO中,
jOA=OA
[OD=OEf
:.RtADOsRtAEO(HL),
Z1=Z2.
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì),熟練掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
22.⑴;
⑵P(M)=g
【分析】(1)直接由概率公式求解即可;
(2)畫(huà)樹(shù)狀圖求概率即可求解.
【詳解】(1)解:共有三把鑰匙,取出c鑰匙的概率等于g;
故答案為:g-
(2)解:據(jù)題意,可以畫(huà)岀如下的樹(shù)狀圖:
開(kāi)始
鎖ZB
鑰匙abcabc
由樹(shù)狀圖知,所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有6種,這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.
其中取岀的鑰匙恰好能打開(kāi)取出的鎖(記為事件M)的結(jié)果有2種.
尸(M)=H
oJ
【點(diǎn)睛】本題考查的是根據(jù)概率公式求概率,用樹(shù)狀圖法求概率.樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺
漏的列岀所有可能的結(jié)果,適合兩步或兩步以上完成的事件;解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)
還是不放回試驗(yàn).用到的知識(shí)點(diǎn)為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.
23.(1)見(jiàn)解析
⑵“影=9一26
【分析】(1)連接。C,根據(jù)切線的性質(zhì)可得如丄43,然后利用等腰三角形的三線合一性
質(zhì)可得ZAOC=Z?OC=60。,從而可得.ODC和AOCE都是等邊三角形,最后利用等邊三角
形的性質(zhì)可得OD=CD=CE=OE,即可解答;
(2)連接£>£交OC于點(diǎn)F,利用菱形的性質(zhì)可得OF=1,DE=2DF,ZOFD=90P,然后
在Rt^ODF中,利用勾股定理求出。尸的長(zhǎng),從而求出OE的長(zhǎng),最后根據(jù)圖中陰影部分的
面積=扇形ODE的面積-菱形ODCE的面積,進(jìn)行計(jì)算即可解答.
。和底邊A3相切于點(diǎn)C,
:.OCA.AB,
OA=OB,ZAOB=120。,
ZAOC=ZBOC=-ZAOB=60°,
2
OD=OC,OC=OE,
ODC和XOCE都是等邊三角形,
\OD=OC=DC,OC=OE=CE,
:.OD=CD=CE=OE,
四邊形ODCE是菱形;
(2)解:連接。E交OC于點(diǎn)F,
四邊形QDCE是菱形,
:.OF=-OC=l,DE=2DF,ZOFD=90P,
2
在RtO3F中,0D=2,
DF=\IOD2-OF2=>/22-l2=6,
:.DE=2DF=2后,
,圖中陰影部分的面積=扇形ODE的面積一菱形ODCE的面積
="-丄*2x2百
32
,圖中陰影部分的面積為手-2技
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算,等腰三角形的性質(zhì),菱形的判定與性質(zhì),
根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.
24.(l)x的值為600
(2)該段時(shí)間內(nèi)體育中心至少需要支付施工費(fèi)用56800元
【分析】(1)根據(jù)題意甲工程隊(duì)施工18000?所需天數(shù)與乙工程隊(duì)施工12001升所需天數(shù)相等
列出分式方程解方程即可;
(2)設(shè)甲工程隊(duì)先單獨(dú)施工。天,體育中心共支付施工費(fèi)用w?元,根據(jù)先由甲工程隊(duì)單獨(dú)
施工若干天,再由乙工程隊(duì)單獨(dú)繼續(xù)施工,兩隊(duì)共施工22天,且完成的施工面積不少于
15000?列出不等式即可得到答案.
【詳解】(1)解:由題意列方程,得」鳴=幽.
x+300x
方程兩邊乘x(x+300),得1800x=1200x(x+300).
解得x=6(X).
檢驗(yàn):當(dāng)x=600時(shí),X(X+300)H0.
所以,原分式方程的解為x=600.
答:x的值為600.
(2)解:設(shè)甲工程隊(duì)先單獨(dú)施工。天,體育中心共支付施工費(fèi)用卬元.
貝ijw=36(X)a+2200(22-a)=14(X)a+484(X).
(600+300)a+600(22-a)>15000,
a>6.
1400>0,
卬隨。的增大而增大.
...當(dāng)a=6時(shí),卬取得最小值,最小值為56800.
答:該段時(shí)間內(nèi)體育中心至少需要支付施工費(fèi)用56800元.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用,一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用,熟
練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.
25.(1)AF
(2)NGDC的度數(shù)為45?;?35。
⑶6-1
【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和已知條件得到A5EW.AD產(chǎn),即可得到答案;
(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上時(shí),過(guò)點(diǎn)G作GM丄AD,垂足為延長(zhǎng)MG交3C于點(diǎn)N,證明
△AMG四△GNE,得到AM=GN,推出M心為等腰直角三角形,得到答案;
當(dāng)點(diǎn)E在邊上時(shí),過(guò)點(diǎn)G作GN丄£>F,垂足為N,延長(zhǎng)NG交84延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,則
四邊形ADMW是矩形,同理得到△AMG四△GNE,得到NDG為等腰直角三角形得到答案;
(3)由平行的性質(zhì)得到分線段成比例MM=/一1?
AGND
【詳解】(1)AF.
正方形ABCD,
??.AB=AD,/B=ND=90°,
BE=DF,
ABE^ADF,
:.AE=AF.
(2)解:①當(dāng)點(diǎn)E在邊8c上時(shí)(如圖),
過(guò)點(diǎn)G作GM丄A。,垂足為M,延長(zhǎng)MG交BC于點(diǎn)N.
??.ZAMG=ZDMG=ZGNE=90°,
四邊形COMN是矩形.
Z2+Z3=90°.
A
EGAF9ZEAF=45°,
,Z2+Zl=90°,
△AEG為等腰直角三角形,AG=EG.
Z1=Z3.
???4AMG"AGNE.
???AM=GN.
AM+MD=GN+MG,
??.MD=MG.
??..MDG為等腰直角三角形,Z4=45°.
ZG£)C=45°.
AMD
BENC
②當(dāng)點(diǎn)E在邊CO上時(shí)(如圖),
過(guò)點(diǎn)G作GN丄。尸,垂足為N,延長(zhǎng)NG交胡延長(zhǎng)線于點(diǎn)則四邊形ADNM是矩形,
同理,AAMG纟AGNE.
GN=AM=DN.
???一M9G為等腰直角三角形,Zl=45°.
ZGDC=180o-45°=135°.
綜上,NGDC的度數(shù)為45°或135°.
(3)解:當(dāng)點(diǎn)P在邊CQ延長(zhǎng)線上時(shí),點(diǎn)E在邊C£>上(如圖),
設(shè)GN=DN=a,則。G=伝.
DF=DG=y/2a.
:.FN=DF-DN=(近-,a.
GN//AD,
:.里=%=應(yīng)-1.
AGND
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),平行線的性質(zhì),熟練掌握平行線的分線段成
比例以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
26.(1)存在,k=±5/2
⑵見(jiàn)解析
⑶〃的取值范圍為且雇工丄
【分析】(1)根據(jù)“上級(jí)變換點(diǎn)”定義求解即可;
(2)求出點(diǎn)8的坐標(biāo)為(払-;公+2”,得到直線乙,4的解析式分別為y=;x-2和
y=-^x+2k,根據(jù)ZV-2進(jìn)行證明.
(3)由題意得,二次函數(shù)^=加-4疚-5〃(x“)的圖象上的點(diǎn)的“1級(jí)變換點(diǎn)”都在函數(shù)
^=一旅+4必+5”(彳20)的圖象上,得到函數(shù)產(chǎn)-病+4m+5〃的圖象與直線y=-x+5必
有公共點(diǎn).分當(dāng)〃>00寸和當(dāng)〃<0,xNO時(shí)分類(lèi)討論即可.
【詳解】(1)解:函數(shù)y=-g的圖象上存在點(diǎn)(1,2)的“火級(jí)變換點(diǎn)”
根據(jù)“&級(jí)變換點(diǎn)”定義,點(diǎn)(1,2)的“女級(jí)變換點(diǎn)”為化-24),
把點(diǎn)仏24)代入y=—中,
得女?(—2氏)=-4,解得人=±&.
(2)證明:點(diǎn)8為點(diǎn)A,5-2)的“女級(jí)變換點(diǎn)”,
點(diǎn)B的坐標(biāo)為+.
??.直線4,厶的解析式分別為y=;x-2和y=-gx+2h
1
當(dāng)工=療時(shí),yi-y2--m—2—^——m~+2k^=m~~2k—2.
k<-2,
-2k-2>2.
m2>0,
/.m2-2k-2>2.
(3)解:由題意得,二次函數(shù)〉=加-4依-5〃(》20)的圖象上的點(diǎn)的
“1級(jí)變換點(diǎn)”都在函數(shù)》=-加+4m+5〃(%“)的圖象上.
由—nx2+4nx+5n=—x+5,整理得/IX'—(4〃+l)X+5—5〃-0.
△=[—(4〃+1)丁—4n(5—5/?)=36n2-12/7+1=(6n—l)->0,
函數(shù));=-/優(yōu)2+4/U+5”的圖象與直線y=-x+5必有公共點(diǎn).
由y=-nx2+4nr+5〃=一〃(x-5)(x+l)得該公共點(diǎn)為(5,0).
91
①當(dāng)〃>0時(shí),由(6〃一1),工0得〃w(.
又5〃<5得〃W1,
??0<門(mén)工1且〃工1,
②當(dāng)〃<0,時(shí),兩圖象僅有一個(gè)公共點(diǎn),不合題意,舍去.
綜上,,的取值范圍為0<〃41且〃。二.
【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次不等式,根據(jù)題意理解新定義是解題的關(guān)鍵.
2023年中考數(shù)學(xué)真題及答案
一、選擇題(本大題共8小題,每小題2分,共16分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只
有一項(xiàng)是正確的)
1.計(jì)算/+巒的結(jié)果是()
若代數(shù)式號(hào)的值是。,則實(shí)數(shù)x的值是(
某運(yùn)動(dòng)會(huì)頒獎(jiǎng)臺(tái)如圖所示,它的主視圖是(
主視方向
4.下列實(shí)數(shù)中,其相反數(shù)比本身大的是()
A.-2023B.0C.-^―D.2023
2023
5.2022年10月31日,搭載空間站夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙的長(zhǎng)征五號(hào)8遙四運(yùn)載火箭,在我國(guó)文昌航
天發(fā)射場(chǎng)發(fā)射成功.長(zhǎng)征五號(hào)6運(yùn)載火箭可提供1078t起飛推力.已知It起飛推力約等于
10000N,則長(zhǎng)征五號(hào)〃運(yùn)載火箭可提供的起飛推力約為()
A.1.078X105NB.1.078X106NC.1.078X107ND.1.078X108N
6.在平面直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,1),則點(diǎn)一關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為()
A.(—2,—1)B.(2,-1)C.(—2,1)D.(2,1)
7.小明按照以下步驟畫(huà)線段的三等分點(diǎn):
畫(huà)法圖形
1.以4為端點(diǎn)畫(huà)一條射線;X
2.用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長(zhǎng)線段4GCD、DE,連接跳■:
3.過(guò)點(diǎn)C、〃分別畫(huà)虎的平行線,交線段仍于點(diǎn)以N,M、”就是
線段的三等分點(diǎn).AKO統(tǒng)B
這一畫(huà)圖過(guò)程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是()
A.兩直線平行,同位角相等
B.兩條平行線之間的距離處處相等
C.垂直于同一條直線的兩條直線平行
D.兩條直線被一組平行線所截,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例
8.折返跑是一種跑步的形式.如圖,在一定距離的兩個(gè)標(biāo)志物①、②之間,從①開(kāi)始,沿
直線跑至②處,用手碰到②后立即轉(zhuǎn)身沿直線跑至①處,用手碰到①后繼續(xù)轉(zhuǎn)身跑至②處,
循環(huán)進(jìn)行,全程無(wú)需繞過(guò)標(biāo)志物.小華練習(xí)了一次2x50m的折返跑,用時(shí)18s在整個(gè)過(guò)程中,
他的速度大小r(m/s)隨時(shí)間t(s)變化的圖像可能是()
二、填空題(本大題共10小題,每小題2分,共20分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程,請(qǐng)把答案直
接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上)
9.9的算術(shù)平方根是.
10.分解因式:/尸4尸.
11.計(jì)算:(由-1)0+2-|=.
12.若矩形的面積是io,相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為x、則y與x的函數(shù)表達(dá)式為.
13.若圓柱的底面半徑和高均為。,則它的體積是(用含。的代數(shù)式表示).
14.如圖,飛鏢游戲板中每一塊小正方形的面積相等.任意投擲飛鏢1次且擊中游戲板,則
擊中陰影部分的概率是.
AO1
15.如圖,在RtAABC中,ZA=90°,點(diǎn),在邊四上,連接切.若BD=CD,—
DL)3
則tan8=
16.如圖,AO是<O的直徑,是。的內(nèi)接三角形.若ND4C=NABC,AC=4,
則O的直徑4)=
17.如圖,小紅家購(gòu)置了一臺(tái)圓形自動(dòng)掃地機(jī),放置在屋子角落(書(shū)柜、衣柜與地面均無(wú)縫
隙).在沒(méi)有障礙物阻擋的前提下,掃地機(jī)能自動(dòng)從底座脫離后打掃全屋地面?若這臺(tái)掃地
機(jī)能從角落自由進(jìn)出,則圖中的x至少為(精確到個(gè)位,參考數(shù)據(jù):歷=4.58).
18.如圖,在Rt/VIBC中,ZBAC=90°,AB=AC^4,。是4C延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),CD=2.M
是邊加'上的一點(diǎn)(點(diǎn)M與點(diǎn)8、C不重合),以CD、CV為鄰邊作:CMND.連接AN并取AN
的中點(diǎn)戶(hù),連接PM,則PM的取值范圍是.
三、解答題(本大題共10小題,共84分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,如無(wú)特殊說(shuō)明,
解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程)
19.先化簡(jiǎn),再求值:(X+1)2-2(X+1),其中x=夜.
4x-8<0,
20.解不等式組1+x,,把解集在數(shù)軸上表示出來(lái),并寫(xiě)出整數(shù)解.
-----<x+\
3
1012
21.為合理安排進(jìn)、離校時(shí)間,學(xué)校調(diào)查小組對(duì)某一天八年級(jí)學(xué)生上學(xué)、放學(xué)途中的用時(shí)情
況進(jìn)行了調(diào)查.本次調(diào)查在八年級(jí)隨機(jī)抽取了20名學(xué)生,建立以上學(xué)途中用時(shí)為橫坐標(biāo)、
放學(xué)途中用時(shí)為縱坐標(biāo)的平面直角坐標(biāo)系,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果畫(huà)出相應(yīng)的點(diǎn),如圖所示:
收7?中剛W/mm,
3s
30
10
<?51015201s川35上,途中用N/mtn
(1)根據(jù)圖中信息,下列說(shuō)法中正確的是(寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號(hào)):
①這20名學(xué)生上學(xué)途中用時(shí)都沒(méi)有超過(guò)30min;
②這20名學(xué)生上學(xué)途中用時(shí)在20min以?xún)?nèi)的人數(shù)超過(guò)一半;
③這20名學(xué)生放學(xué)途中用時(shí)最短為5min:
④這20名學(xué)生放學(xué)途中用時(shí)的中位數(shù)為15min.
(2)己知該校八年級(jí)共有.400名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)八年級(jí)學(xué)生上學(xué)途中用時(shí)超過(guò)25min的人數(shù);
(3)調(diào)查小組發(fā)現(xiàn),圖中的點(diǎn)大致分布在一條直線附近.請(qǐng)直接寫(xiě)出這條直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表
達(dá)式并說(shuō)明實(shí)際意義.
22.在5張相同的小紙條上,分別寫(xiě)有:①及;②返;③1;④乘法;⑤加法.將這5張
小紙條做成5支簽,①、②、③放在不透明的盒子A中攪勻,④、⑤放在不透明的盒子8中
攪勻.
(1)從盒子A中任意抽出1支簽,抽到無(wú)理數(shù)的概率是一;
(2)先從盒子A中任意抽出2支簽,再?gòu)暮凶覤中任意抽出1支簽,求抽到的2個(gè)實(shí)數(shù)進(jìn)行相
應(yīng)的運(yùn)算后結(jié)果是無(wú)理數(shù)的概率.
23.如圖,B、E、C、/是直線/上的四點(diǎn),AB=DE,AC=DF,BE=CF.
(1)求證:AABC當(dāng)ADEF;
(2)點(diǎn)尸、。分別是"ABC、/>E尸的內(nèi)心.
①用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)。(保留作圖痕跡,不要求寫(xiě)作法);
②連接PQ,則PQ與BE的關(guān)系是.
24.如圖,在打印圖片之前,為確定打印區(qū)域,需設(shè)置紙張大小和頁(yè)邊距(紙張的邊線到打
印區(qū)域的距離),上、下,左、右頁(yè)邊距分別為“cm、bcm.ccm、dem.若紙張大小為
16cmxlOcm,考慮到整體的美觀性,要求各頁(yè)邊距相等并使打印區(qū)域的面積占紙張的70%,
則需如何設(shè)置頁(yè)邊距?
con
?H______________
~7------------------------1
actn
11..............
打印區(qū)域
nr
Ibcm
MM
dCfD
25.在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)〉=h+〃的圖像與反比例函數(shù))=一的圖像相交于點(diǎn)
x
4(2,4)、鳳4,〃).。是y軸上的一點(diǎn),連接C4、CB.
(1)求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的表達(dá)式:
(2)若厶ABC的面積是6,求點(diǎn)C的坐標(biāo).
26.對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)四邊形,若存在點(diǎn)。,使得該四邊形的一條對(duì)角線繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一定角
度后能與另一條對(duì)角線重合,則稱(chēng)該四邊形為“可旋四邊形”,點(diǎn)。是該四邊形的一個(gè)“旋
點(diǎn)”.例如,在矩形MNP。中,對(duì)角線MP、NQ相交于點(diǎn)T,則點(diǎn)T是矩形MNPQ的一個(gè)
“旋點(diǎn)”.
(1)若菱形ABCQ為“可旋四邊形”,其面積是4,則菱形ABCD的邊長(zhǎng)是;
(2)如圖1,四邊形為“可旋四邊形",邊A8的中點(diǎn)。是四邊形的一個(gè)“旋
點(diǎn)”.求NACB的度數(shù);
(3)如圖2,在四邊形458中,AC=BD,AO與8C不平行.四邊形ABCD是否為“可旋
四邊形”?請(qǐng)說(shuō)明理由.
27.如圖,二次函數(shù)y=g/+公-4的圖像與“軸相交于點(diǎn)A(-2,0)、B,其頂點(diǎn)是C.
⑴b=;
(2)〃是第三象限拋物線上的一點(diǎn),連接切,tanNAOO=g;將原拋物線向左平移,使得平
移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)。,過(guò)點(diǎn)(4,0)作x軸的垂線丄已知在/的左側(cè),平移前后的兩條拋物
線都下降,求左的取值范圍;
(3)將原拋物線平移,平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱(chēng)軸相交于點(diǎn)0,且其頂點(diǎn)卩落在原
拋物線上,連接戶(hù)C、QC、PQ.已知aPCQ是直角三角形,求點(diǎn)。的坐標(biāo).
28.如圖1,小麗借助幾何軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)探究:第一步,畫(huà)出矩形ABCO和矩形EFG”,點(diǎn)
E、尸在邊上(EFvAB),且點(diǎn)C、D、G、H在直線A3的同側(cè);第二步,設(shè)置
蕓=",97=〃,矩形能在邊A3上左右滑動(dòng);第三步,畫(huà)出邊防的中點(diǎn)。,射線
ADEH
OH與射線AO
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