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文檔簡介
2021年廣東春季高考數(shù)學模擬試卷(12)
解析版
注:本卷共22小題,滿分150分。
一、單選題(本大題共15小題,每小題6分,滿分90分)
1.已知集合加={削x是等邊三角形},N={Rx是等腰三角形},則下列判斷正確的是。
A.M乎B.M=NC.MeND.M^N
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)集合的基本運算和三角形的性質(zhì)可求得答案.
【詳解】
集合M={x|x是等邊三角形},N={x|x是等腰三角形},
所以MuN.
工
故選:A.
【點睛】
本題考查了集合的基本運算,屬于基礎(chǔ)題.
2.下列函數(shù)中,值域是R且是奇函數(shù)的是()
A.y=j?+lB.y=sinxC.y=x-x3D.y=2x
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)基本函數(shù)的值域及其奇偶性一一分析選項中的函數(shù)即可.
【詳解】
A項中,y=d+l的值域是R,但不是奇函數(shù);
B項中,y=sinx的值域是[-1,1],是奇函數(shù);
C項中,>=x-》3的值域是我,且是奇函數(shù);
D項中,y=2、的值域是(0,+8),不是奇函數(shù).
故選:C.
【點睛】
本題主要考查基本函數(shù)的值域和奇偶性,屬于簡單題.
3.已知coscrsin(乃+a)<0,那么角。是()
A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角
C.第一或第三象限角D.第一或第四象限角
【答案】C
【解析】
【分析】
先根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡,再根據(jù)三角函數(shù)符號確定角所在象限.
【詳解】
因此角a是第一或第三象限角,
故選:C
【點睛】
本題考查誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)符號,考查基本分析判斷能力,屬基礎(chǔ)題.
4.在ABC中,內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是。,b,c且G〃sin8=hsin(5+C)tanC,
則cosC=()
11
A.—B.----C.國.
222~2
【答案】A
【解析】
【分析】
由題意可知、Qasin3=/?sinAtanC,再根據(jù)正弦定理,可得力sinAsinBsinBsinAtanC,
可得tanC=百,由此即可求出角C,進而求出結(jié)果.
【詳解】
在,A3c中,sin(3+C)=sinA
所以力$皿(8+0匕11。=人5也41311。,
所以G〃sin3=/?sinAtanC,
由正弦定理可知,^3sinAsinB=sinBsinAtanC,
又A8e(O,?),
所以tanC=J§,
又?!辏?,"),所以。=g
所以cosC=,
2
故選:A.
【點睛】
本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
5.在邊長為2的正方形ABCD,E為CD的中點,則4£.£C=()
A.--B.—C.-ID.1
22
【答案】D
【解析】
【分析】
建立平面直角坐標系,利用平面向量的坐標運算,可以求得結(jié)果.
【詳解】
以A為坐標原點,建系如圖:
則4(0,0),磯1,2),C(2,2),瓶=(1,2),EC=(1⑼,所以X£.EC=1,故選D.
【點睛】
平面向量運算有兩種方式:坐標運算和基底運算,坐標運算能極大減少運算量,是我們優(yōu)先選用的
方式.
6.已知4、人,C,d均為實數(shù),則下列命題正確的是()
A.若a<b,則ac</?d
cd
B.若ab>0,hc—cid>0,則-----<0
ab
C.若a>b,則。一d>Z?-c
ab
D.若a>b,C>d>0則一>—
【答案】c
【解析】
【分析】
根據(jù)不等式的性質(zhì)對各個選項逐一驗證,即可得到結(jié)果.
【詳解】
若0<a<6,()<c<d,則acchd;故選項A錯誤;
若而>0,bc-ad>0,則幺二也>0,即£一旦>0,故選項B錯誤;
ahab
若a>b,c>d,則一d>-c,所以a-d>b-c,故選項C正確;
若0d>0,則'>』>0;若a>〃>0,則且>2;故選項D錯誤;
acdc
故選:c.
【點睛】
本題主要考查了不等式的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.
7.一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體的體積是()
A.72B.48C.27D.36
【答案】D
【解析】
【分析】
由三視圖知幾何體是一個三棱柱,三棱柱的底面是一個直角三角形,直角邊長分別是4,6cm,三棱
柱的側(cè)棱與底面垂直,且側(cè)棱長是3,利用體積公式得到結(jié)果
【詳解】
由題可得直觀圖為三棱柱,故體積為:V=S〃=4x6x,x3=36,故選D.
2
【點睛】
本題考查由三視圖還原幾何體并且求幾何體的體積,本題解題的關(guān)鍵是看出所給的幾何體的形狀和
長度,熟練應(yīng)用體積公式,本題是一個基礎(chǔ)題.
8.下列命題正確的是()
A.一直線與平面平行,則它與平面內(nèi)任一直線平行
B.一直線與平面平行,則平面內(nèi)有且只有一條直線與已知直線平行
C.一直線與平面平行,則平面內(nèi)有無數(shù)直線與已知直線平行,它們在平面內(nèi)彼此平行
D.一直線與平面平行,則平面內(nèi)任意直線都與已知直線異面
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】
一直線與平面平行,則它與平面內(nèi)任一直線平行或異面,故A不正確;
一直線與平面平行,則平面內(nèi)有無數(shù)條直線與已知直線平行,故B不正確;
一直線與平面平行,則平面內(nèi)有無數(shù)直線與已知直線平行,它們在平面內(nèi)彼此平行,故C正確;
一直線與平面平行,則平面內(nèi)任意直線都與已知直線平行或異面,故D不正確.
故選:C.
【點睛】
本題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系及其運用,是基礎(chǔ)題.解題時要認真審題,仔細解答.
9.如圖,8是線段AC上一點,分別以為直徑作半圓,AC=6,AB=2,在整個
圖形中隨機取一點,則此點取自圖中陰影部分的概率是()
【答案】C
【解析】
【分析】
由題,先求出兩個白色小半圓的概率,再利用概率之和為1,求得陰影部分的概率即可.
【詳解】
萬x『萬x22
■7+74
可得概率為P=1一一--
冗乂3-9
2
故選C
【點睛】
本題主要考查了幾何概型中面枳型,會求得面積是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.
10.如圖是某學校舉行的運動會上七位評委為某體操項目打出的分數(shù)的莖葉圖,去掉一個最高分和一
個最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為()
A.B.C.D.85,4
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)所給的莖葉圖,看出七個數(shù)據(jù),根據(jù)分數(shù)處理方法,去掉一個最高分93和一個最低分79后,
把剩下的五個數(shù)字求出平均數(shù)和方差.
【詳解】
由莖葉圖知,去掉一個最高分93和一個最低分79后,
1,o84+84+86+84+87
所剩數(shù)據(jù)84,84,86,84,87的平均數(shù)為-------------------=85:
方差為([(84-85)2+(84—85『+(86一85『+(84-85『+(87—85)[=[.
故答案為C
【點睛】
莖葉圖、平均數(shù)和方差屬于統(tǒng)計部分的基礎(chǔ)知識,也是高考的新增內(nèi)容,考生應(yīng)引起足夠的重視,
確保檢拿這部分的分數(shù).
11.已知圓。:/+丁2一2%—3=0,直線/:y=丘+1與圓C交于A,B兩點,當弦長最短時
人的值為()
A.IB.y/2C.-ID.-72
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)直線的方程,判定直線過定點E(0,l),根據(jù)圓的方程求得圓心坐標C(l,0),利用圓的弦的性質(zhì)
判定直線/與CE垂直時弦長最短,利用兩點間距離公式求得CE的斜率,進而利用兩直線垂直
的條件求得上的值.
【詳解】
據(jù)題意直線/:y="+1恒過定點£(0,1),圓心。(1,0),
當直線/與CE垂直時,弦長|同同最短,
此時kcE=—1,二%=1.
故選A.
【點睛】
本題考查圓的弦長最值問題,涉及直線過定點,兩直線的垂直關(guān)系,屬基礎(chǔ)題.
12.若圓G:/+y?=1與圓C2:x?+),-6x-8y+加=0外切,則”?=().
A.21B.9C.-21D.-9
【答案】B
【解析】
【分析】
化為圓的一般式方程為標準方程,求出圓心和半徑,由兩圓心間的距離等于半徑和列式,即可求解
答案.
【詳解】
由圓G:/+y2=i,得到圓心坐標G(°,。),半徑為4=1,
由圓。2:/+/一6*-8》+加=0,得到圓心坐標。2(3,4),半徑為與=125—加,
圓心G與圓G外切,所以在而+1,
解得〃2=9,故選B.
【點睛】
本題主要考查了兩圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,其中解答中熟記兩圓的位置關(guān)系的合理應(yīng)用,列出相應(yīng)的
方程求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于基礎(chǔ)題.
f2V+1xw0
13.已知函數(shù)/(力=\~八,若=貝!|a=O
2x+log3o,x>0''
A.3B.9C.27D.81
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出/(-1)=9,在代入/(x)=2x+logs”,解方程求出a.
【詳解】
3
解:由已知/(-1)=2-1+1=5,
3
??/(/(-l))=/(-)=3+log3a=5,
解得:a=9,
故選:B.
【點睛】
本題考查已知分段函數(shù)的函數(shù)值求參數(shù)的值,是基礎(chǔ)題.
14.已知“X)是R上的奇函數(shù),且滿足〃x+4)=/(x),當xe(O,2)時,〃x)=2d,則
〃7)=()
A.-2B.2C.4D.-4
【答案】A
【解析】試題分析:由/(x)滿足/(x+4)=/(x),所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù),且函數(shù)
“X)在R上是奇函數(shù),當xe(O,2)時,/(力=2%2,則〃7)=〃7-8)=/(-1)=一〃1)=一2.
考點:函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.
15.公元前四世紀,畢達哥拉斯學派對數(shù)和形的關(guān)系進行了研究.他們借助幾何圖形(或格點)來表
示數(shù),稱為形數(shù).形數(shù)是聯(lián)系算數(shù)和幾何的紐帶.圖為五角形數(shù)的前4個,則第10個五角形數(shù)為()
A.120B.145C.270D.285
【答案】B
【解析】
【分析】
記第"個五角形數(shù)為%,由題意知:4=4,。3一。2=7,。4一。3=16”可得
4一。,1=3(〃-1)+1,根據(jù)累加法,即可求得答案.
【詳解】
記第〃個五角形數(shù)為凡,
由題意知:4=1,生_《=4,%一生=7,4—。3=10…
可得a“一=3(〃-1)+1,
由累加法得a,=◎〃”,
a1?!?45.
故選:B.
【點睛】
本題主要考查了根據(jù)累加法其數(shù)列通項公式,解題關(guān)鍵是掌握數(shù)列基礎(chǔ)知識,考查了分析能力和計
算能力,屬于中檔題.
二、填空題
16.某單位對員工編號為1到60的60名員工進行常規(guī)檢查,每次采取系統(tǒng)抽樣方法從中抽取5名
員工.若某次抽取的編號分別為X,17,y,Z,53,貝Ijx+y+z=.
【答案】75
【解析】
【分析】
由X,17,y,Z,53成等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求解.
【詳解】
53-17
由系統(tǒng)抽樣可得公差為二j—=12,得x=5,y=29,z=41,所以x+y+z=75.
【點睛】
本題考查系統(tǒng)抽樣,解題關(guān)鍵是掌握系統(tǒng)抽樣的性質(zhì):系統(tǒng)抽樣中樣本數(shù)據(jù)成等差數(shù)列.
17.已知高為8的圓柱內(nèi)接于一個直徑為1()的球內(nèi),則該圓柱的體積為.
【答案】72"
【解析】
?.?圓柱的高為8,它的兩個底面的圓周在直徑為10的同一個球的球面上,
,該圓柱底面圓周半徑『752-42=3,
該圓柱的體積:V-Sh-rex32x8=72TT-
18.若不等式也2-4x—l<0對一切實數(shù)X都成立,則實數(shù)我的取值范圍是.
【答案】-43
【解析】
【分析】
對不等式的最高次項的系數(shù)進行分類討論進行求解即可.
【詳解】
當左=0時,原不等式變?yōu)橐?<0,顯然對一切實數(shù)x都成立;
當我時,要想不等式h?—h—1<0對一切實數(shù)x都成立,則滿足:
k<0且△=(—%y+4左<0,解得T<k<0,綜上所述:實數(shù)A的取值范圍是-4<左40.
【點睛】
本題考查了已知不等式恒成立求參數(shù)問題.考查了分類討論思想.
19.設(shè)偶函數(shù)f(x)對任意x6R,都有/(%+3)=-六,且當x6[—3,-2]時,/(%)=4%,貝!!
/(2018)=.
【答案】-8
【解析】
由條件可得/(X+6)=/(x),函數(shù)的周期為6,/(2018)=/(6X336+2)=/(2),/(2)=/(-2)=
—8>故填:-8.
【點睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì),注意涉及周期性,屬于基礎(chǔ)題型,在函數(shù)中會有一些比較抽象的
式子,有關(guān)于周期的,對稱的,很多同學不太理解,重點說說這些抽象的式子,周期的有f(x+T)=
f(x),函數(shù)的周期為r,/(x-a)=f(x-b),周期為|a-b|,或是有關(guān)半周期的式子f(x+7)=
一/0)=六=一白,這些都說明半周期為7,或是已知f(x)=f(x+l)-f(x+2),我們可以再得到
/(%+1)=/(x+2)-f(x+3),兩式相結(jié)合,也可以得到/'(x)=-f(x+3),函數(shù)的半周期為3等式
子,學習時不要弄混.
三、解答題
20.如圖,學校規(guī)劃建一個面積為300m2的矩形場地,里面分成兩個部分,分別作為鉛球和實心球
的投擲區(qū),并且在場地的左側(cè),右側(cè),中間和前側(cè)各設(shè)計一條寬2m的通道,問:這個場地的長,
寬各為多少時,投擲區(qū)面積最大,最大面積是多少?
【答案】長為30〃?,寬為10加時,投擲區(qū)面積最大為192mt
【解析】
【分析】
設(shè)場地的長為x,寬為投擲區(qū)域面積為S,則孫=300(x>0,y>0),S=(x-6)(y—2)展
開后利用基本不等式即可求最值.
【詳解】
設(shè)場地的長為%,寬為丫,投擲區(qū)域面積為S,
則xy=3(X)(%>0,y>0),
W312-2x2“-3y=312—4j3x300=312-4x30=192,
孫=300x=30
當且僅當《,八時等號成立,
y=10
所以這個場地的長為30,〃,寬為10機時,投擲區(qū)面積最大,最大面積是192m2.
【點睛】
本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用,利用基本不等式求最值解決實際問題.
21.已知正三棱柱ABC-A4G的邊長均為26,E,P分別是線段AG和的中點.
(1)求證:E尸〃平面ABC
(2)求三棱錐C-ABE的體積.
【答案】(1)證明見解析;(2)3.
【解析】
【分析】
(1)取AC的中點為G,證明EEBG為平行四邊形,得EF//GB,從而得證線面平行;
(2)由E為AG的中點,得E到底面A8C的距離是G到底面ABC的距離的一半,這樣換底計算
體積%即可得.
【詳解】
證明;(1)取AC的中點為G,連結(jié)GE,GB,
在△ACG中,EG為中位線,所以EG〃Cq,EG=gcq,
乂因為CCJ/BB],CC,=BB],尸為的中點,
所以EG//BF,EG=BF,
所以£F8G為平行四邊形,
所以EF//GB.乂EF?平面ABC,G5u平面ABC,
所以EF〃平面ABC.
(2)因為%-48£=”-楨「因為E為A£的中點,
所以£到底面ABC的距離是C,到底面ABC的距離的一半,
即三棱錐E-A6C的高〃==6,
乂,A8C的面積為S=^x(2&『=36,
所以*BE//C=F=;X3GXG=3.
【點睛】
本題考查證明線面平行,考查棱錐的體積,掌握線面平行判定定理是證明線面平行的關(guān)鍵,求三棱
錐體枳時,注意尋找高易得的面為底面進行計算,俗稱換底法.
22.據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計,2019年底全國已開通5G基站13萬個,部分省市的政府工作報告將“推進5G
通信網(wǎng)絡(luò)建設(shè)”列入2020年的重點工作,今年一月份全國共建基站3萬個.
(1)如果從2月份起,以后的每個月比上一個月多建設(shè)2000個,那么,今年底全國共有基站多少
萬個.(精確到萬個)
(2)如果計劃今年新建基站60萬個,到2022年底全國至少需要800萬個,并且,今后新建的數(shù)量
每年比上一年以等比遞增,問2021年和2022年至少各建
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