【2023小升初】圖形劃分（思維提高）-小升初數(shù)學思維拓展卷

圖形劃分

填空題（共30小題）

1.一個長方形紙片對折后，畫3條直線，然后沿直線剪3次，并展開，則最多長方形紙片

被剪成片。（例如：按如圖的方法剪開后，紙片被分成了4片）。

2.給出一個正方形，請你動手畫一畫，將它分為“個小正方形，那么，通過實驗與思考，

你認為這樣的自然數(shù)n可以取的所有值應該是.

3.在一張正方形紙上畫五條直線，然后剪開，要求每一塊都是三角形，那么最多能剪成

個三角形.

4.在平面上，用邊長為1的單位正方形構成正方形網(wǎng)格，頂點都落在單位正方形的頂點（又

稱為格點）上的簡單多邊形叫做格點多邊形.最簡單的格點多邊形是格點三角形，而除

去三個頂點之外，內(nèi)部或邊上不含格點的格點三角形稱為本原格點三角形，如圖所示的

格點三角形MBM每一個格點多邊形都能夠很容易地劃分為若干個本原格點三角形.那

么，圖中的格點四邊形的面積為,可以劃分為個本原格點三角形.

5.拼圖游戲一直都是小朋友們喜愛的游戲，請你從下面A、8、C三種圖形中只選擇一種圖

形拼成如圖的4X4的格子。你選擇的是種圖形（填“A”、"夕或"C”）。（注意：

只是規(guī)定選一種圖形，但沒有規(guī)定其數(shù)量。）

ABC

6.大正方形內(nèi)有兩個小正方形，這兩個小正方形可以在大正方形內(nèi)任意移動（小正方形的

任何部分都不能移出大正方形，小正方形的邊必須與大正方形的邊平行）.如果這兩個小

正方形的重疊面積最小為9,最大為25,并且三個正方形（一個大正方形和兩個小正方

形）的邊長之和為23,則三個正方形的面積之和為.

7.如圖，6X6的表格被粗線分成了9塊，若某塊中恰有N個格子，則該塊所填數(shù)字恰好為

1~N；且任意相鄰兩個格子（有公共點的兩個小正方形稱為相鄰格子）所填數(shù)字不同，

那么四位數(shù)ABCD是.

8.如圖是一個6X4的網(wǎng)格，每個方格的面積是1?水平線和豎直線的交點稱為格點.適當

選擇4個格點，可以畫出面積是2的長方形或正方形，共可以畫出這樣的長方形或正方

9.有一個等腰梯形的紙片，上底長度為2015,下底長度為2016,用該紙片剪出一些等腰梯

形，要求剪出的梯形的兩個底邊分別在原來梯形的底邊上，剪出的梯形的兩個銳角等于

原來梯形的銳角，則最多可以剪出個同樣的等腰梯形.

10.如圖，用一條線段把一個周長是305?的長方形分割成一個正方形和一個小的長方形.如

果小長方形的周長是16c,“，則原來長方形的面積是crnλ.

11.如圖，一個正方形，與4個等腰直角三角形，恰好拼成一個長方形，如果正方形的面積

是16,那么，長方形的面積是.

12.沿圖中方格紙（每個小格都是正方形）的格線將其剪成三部分，并重新拼成一個正方形

（不重不漏），那么其中面積最大的一塊最多能占格。

13.在空格中填入數(shù)字1-5使得每行、每列和每宮（在數(shù)獨中被粗線分割開的每塊稱為宮）

數(shù)字都不重復，斜線相鄰的數(shù)字也不能相同.那么，第一行從左至右5個數(shù)字依次組成

的五位數(shù)是.

14.把一張邊長為11厘米的正方形紙片，剪成若干邊長小于11的整數(shù)厘米的正方形紙片（不

必全相同，允許重復剪成同一種尺寸，紙片沒有浪費），最少能剪成片.

15.如圖是長方形，將它分成7部分，至少要畫條直線.

16.畫兩條直線將正方形分成四個形狀相同、大小相等的圖形，共有種畫法。

17.IOl條直線最多能把平面分成個部分.

18.把一張16cmX32a”的紙裁去一半，再將其中一張裁去一半…繼續(xù)這樣裁下去，直到得

到一張ICnI義2Cm的紙為止，那么一共需裁次.

19.一個生日蛋糕切3刀，每人吃一塊，最多可供人吃.

20.在一個長方形內(nèi)，任意畫一條直線，長方形被分成兩部分（如圖），如果畫三條互不重

合的直線，那么長方形至少被分成部分，最多被分成部分.

21.如圖，大等邊三角形中放了三個面積都是30平方厘米的小正六邊形.大三角形的面積

是平方厘米.

22.一個角可以將平面分成2部分.3個角最多可以將平面分成個部分.

23.將一個正六邊形切割成三個完全相同的小正六邊形和三個完全相同的菱形.如果大正六

邊形的面積為360平方厘米，那么每個菱形的面積是平方厘米.

24.一個平面被6條直線最多可以分成部分。

25.切一個蛋糕，切1刀最多切成2塊，切2刀最多切成4塊，切3刀最多切成7塊，照這

樣切下去，切5刀最多切成塊.

26.一個等腰直角三角形和一個正方形如圖擺放，①、②、③這三塊的面積分別是2、8、

58,則④、⑤這兩塊的面積差是.

27.一個圓最多可以將平面分成兩部分，兩個圓最多可以將平面分成4部分，10個圓最多

可以將平面分成部分.

28.將一個8X8的紙棋盤沿豎線、橫線（不計邊框共有14條）折疊（不一定對折），最后

成為一個1X1的正方形，再沿對邊中點剪一刀，這張棋盤被剪成張.

29.由四個邊長為1的正方形拼成如圖所示的左右對稱圖形，以圖中正方形的14個頂點為

頂點可得到許多不同的三角形，那么，在這些三角形中，面積為1的三角形共有

個.（面積為1的三角形的三條邊中，至少有一條邊是水平或垂直的）

30.用剪刀沿如圖小方格邊界把4X4正方形格紙剪開成形狀、大小都相同的兩部分，共有

種不同的剪法.（兩次剪出的圖形的形狀、大小都相同，視為一種剪法）

二.解答題（共30小題）

31.數(shù)一數(shù)，在圖1中的不同位置可以畫出多少個圖2所示的圖形？（方向可以旋轉(zhuǎn)）

32.把任意三角形分成三個小三角形，使它們的面積的比是2：3：5.

33.如圖，九個小長方形組成一個大長方形，按圖中編號，則1號長方形的面積恰好是1

平方厘米，2號恰好是2平方厘米，3號恰好是3平方厘米，4號恰好是4平方厘米，5

號恰好是5平方厘米，6號的面積是多少平方厘米？

______2_±

54__

63

34.如圖是一個由36塊1義1的小正方形組成的圖形.

（1）能不能將這個圖形剪成三塊后拼成一個6X6的正方形？并說明理由.

（2）能不能將這個圖形剪成18個2X1的長方形？并說明理由.

35.將圖分割成大小形狀相似的兩塊，這兩塊圖形可拼成一個正方形.用粗線條在原圖上畫

出分割線，不必畫拼合成的正方形.

36.從網(wǎng)格第一行中的任意一個正方形開始，創(chuàng)建一條穿出網(wǎng)格最后一行中的任意一個正方

形的路徑，路徑穿過的每個數(shù)都必須是3的倍數(shù)，且路徑只能在水平或垂直方向延伸。

請在圖中畫直線作答。

Il42807348&1

~23452433898

77192569TT92

-

2915^18218085

783644312238

68,1267^7825"12

37.圖中由10個相同的小正方形組成，請用三種方法把它分割成兩個大小相等、形狀相同

的部分（沿圖中的線分割）.

38.請將如圖所示的正方形分成兩塊，使得這兩塊的形狀和大小都相同.并且每一塊中都含

有A、B、C、D、E五個字母，在圖中用斜線或不同色筆區(qū)分.

39.如圖是由16個小正方形組成的圖形，沿虛線把該圖形分成兩部分，這兩部分剛好拼成

一個大正方形，請用實線把圖形分成兩部分.

r-τ-^l-----Γ-^?

Illll

<IIII

I-----1------1------1------<-----1------1

iIIIIII

（IIIIII

I-----1------1------1-----1------1------1

Illltll

■IIIIII

40.如圖中是由三個等邊三角形組成的一個等腰梯形,請你把它分成四個形狀相同面積相等

的圖形.

zV?

41.如圖，把一個等邊三角形分成大小相等，形狀相同的四個小三角形.

42.按照相等距離畫出九條水平線和九條豎直線，形成有81個“結(jié)”（“結(jié)”就是兩條線的

相交點）的網(wǎng)（如圖所示）。問：能在這張網(wǎng)上畫出13個字母嗎（每個“廠’占據(jù)

5個“結(jié)”，圖2給出“丁’的畫法演示）？如果能，請在圖1中畫出來；如果不能，請

43.（1）圖1正方形中有哪幾種圖形？各有幾個？

（2）把圖2分成大小相等，形狀相等的五個圖形，請在原圖上畫出來.

44.如圖，把圖形分成大小、形狀都相同的三部分，并且每部分都帶有一塊蛋糕，請你在圖

中畫出分割線。

45.如圖，ABC。是正方形，兩只螞蟻P、。同時從點C出發(fā)，速度均為0.25CD/秒，P沿

著射線CQ運動（射線就是指螞蟻到達點。后還會沿著CD方向繼續(xù)爬出去），Q沿著射

線CB運動.運動2秒后，AQPC與正方形4BC。重疊部分的面積為100平方厘米.那

么，運動5秒后，AQPC與正方形ABC。重疊部分的面積是多少？

46.如圖正方形的邊長是2米，在其四個角落各放一盆花，若想把正方形面積擴大為原來的

2倍，又不移動花的位置，使得花在正方形的邊上，可能嗎？請在原圖上畫出示意圖.

47.將邊長是7的大正方形分割為邊長分別是1,或2,或3的小正方形，其中至少有多少

個邊長是1的正方形？在圖中畫出你的分割方法.答：至少有個邊長是1的正方

形.

48.如圖，圓形靶紙上有兩個彈孔，一個在內(nèi)圈，一個在外圈，請將這張靶紙剪成兩部分,

使得這兩部分的形狀大小完全相同，并且各有一個彈孔.（請在圖上劃出剪線即可）

49.圖1是一個5X5的數(shù)字方陣，正中一個小正方形被挖去.請將它劃分成8個部分，每

個部分的形狀是圖2中的一種，并且每個部分中的三個數(shù)字和相等.請在圖1中用粗線

表示出劃分的方法.

50.把如圖分割成形狀、大小完全一樣的8個部分.請在圖中畫出你的分法.

分成三個三角形，使它們的面積比為1：2：3.

52.將圖分割成兩部分，兩部分恰好能拼成一個正方形.

（1）若圖中每個小正方形的邊長是1，拼成的正方形的邊長是多少？

（2）用粗線表示分割的路線.

53.在3X3方格中（如圖），畫一條直線最多可穿過幾個方格？（請畫圖表示）

54.如圖是某個圖形的14,你能畫出這個圖嗎？至少想出兩種方案，并保留作圖痕跡.

55.有一塊花格布，如圖.請你把它沿格線剪成四塊，然后制成一大一小兩個正方形的坐墊,

相鄰小格的圖案不同.在圖上用粗線畫出分割線.

□O□o□

互互亙

□□

□亙□五□

□F□

"□"o^o^B

56.將下圖中的正方形分割成形狀和大小一樣的四塊，并且每一塊恰好都有四種不同的圖

案.在圖中用不同的色筆把它們區(qū)分開.

57.把卡紙上6X6的方格沿格線剪成4塊形狀相同，大小相等的圖形，使得每一塊上都有

“新”、“年”、“好”三個字.

（1）將剪下的4塊圖形分開粘貼在下面的答題區(qū)內(nèi).

答題區(qū):

求每塊圖形的周長.

58.如圖，有9只小猴住在同一個正方形臥室中.現(xiàn)在，小猴們都想單獨住.猴媽媽只要再

砌兩個正方形墻，就能讓每只小猴都單獨住了.你知道怎么砌嗎？請直接畫在圖中.

59.［構造平行四邊形］.如圖，圖中的三條橫線互相平行，三條斜線也互相平行，怎樣畫一

條直線，把這個圖形分成面積相等的兩部分呢？

60.某城市準備舉行書畫展覽，為了保證展品安全，展覽的保衛(wèi)部門準備安排保安員值班.情

況如下：

①展覽大廳是長方形，內(nèi)設均勻分布的3義4個長方形展區(qū)，如圖1所示.在展廳中，展

覽的書畫被掛在每個展區(qū)的外墻上，參觀者在通道上瀏覽書畫.

②保安員站在固定的位置上，不允許轉(zhuǎn)身，只能監(jiān)視他的左右兩側(cè)和正前方，形如一個

aTn形的區(qū)域.

③展品的安全意味著每一個展區(qū)的四面外墻都在保安員的監(jiān)視范圍內(nèi).對于如圖所示的

展示中，最少需要幾個保安員能使展品安全？為什么？并在圖中標明這些保安員的位置

（如圖2,要在A處安排一個保安員，就在A處畫一個“T”字）.

展區(qū)展區(qū)展區(qū)展區(qū)

蓬踵

圖1

I展區(qū)I展區(qū)展區(qū)展區(qū)

踵

I展區(qū)Ir?s

A

I展區(qū)Ir?g

圖2

圖形劃分

參考答案與試題解析

一.填空題（共30小題）

1.一個長方形紙片對折后，畫3條直線，然后沿直線剪3次，并展開，則最多長方形紙片

被剪成13片。（例如：按如圖的方法剪開后，紙片被分成了4片）。

【分析】一個長方形紙片對折后，變成相連的兩層，每層最多被分成7份，上下層最少

有2塊連接在一起，所以最多長方形紙片被剪成14-1=13片；據(jù)此解答即可。

答：最多長方形紙片被剪成13片。

故答案為：13。

【點評】圖形的劃分要結(jié)合原圖的特征，和劃分的要求添加合適的線段。

2.給出一個正方形，請你動手畫一畫，將它分為“個小正方形，那么，通過實驗與思考，

你認為這樣的自然數(shù)〃可以取的所有值應該是非零自然數(shù)的平方.

【分析】由于正方形的邊長相等，面積等于邊長的平方，要實現(xiàn)將其剖分成〃個正方形，

自然數(shù)n應該是非零自然數(shù)的平方.

【解答】解：因為大正方形的邊長分成相等份的邊長，均可以得到正方形，則這樣的自

然數(shù)n可以取的所有值應該是非零自然數(shù)的平方，

故答案為非零自然數(shù)的平方.

【點評】完成本題可實際操作一下，只需要每次均分一個小正方形，依次推出即可.

3.在一張正方形紙上畫五條直線，然后剪開，要求每一塊都是三角形，那么最多能剪成」

個三角形.

【分析】在一張正方形紙上畫五條直線，然后剪開，要求每一塊都是三角形，要使剪成

的三角形的個數(shù)最多，就需要這些直線有盡量多的交點；據(jù)此解答即可.

【解答】解：根據(jù)分析畫圖如下：

故答案為：11.

【點評】本題考查了圖形的劃分，要結(jié)合圖形的特征和三角形的特點解答.

4.在平面上，用邊長為1的單位正方形構成正方形網(wǎng)格，頂點都落在單位正方形的頂點（又

稱為格點）上的簡單多邊形叫做格點多邊形.最簡單的格點多邊形是格點三角形，而除

去三個頂點之外，內(nèi)部或邊上不含格點的格點三角形稱為本原格點三角形，如圖所示的

格點三角形MBM每一個格點多邊形都能夠很容易地劃分為若干個本原格點三角形.那

么，圖中的格點四邊形的面積為7.5,可以劃分為15個本原格點三角形.

【分析】根據(jù)皮克公式：設格點多邊形的面積是S,該多邊形各邊上的格點個數(shù)為。個,

內(nèi)部格點個數(shù)為6個，則S=12α+”1,即可求出圖中的格點四邊形的面積.

【解答】解：皮克公式：5=12α+Z?-1

圖中的格點四邊形中，各邊上的格點數(shù)a=5,內(nèi)部的格點數(shù)6=6,所以格點四邊形的面

積是：

12×5+6-1=7.5

根據(jù)題意，本原格點三角形內(nèi)部沒有格點，那么S=12X3+O-1=O.5,所以7.5÷0.5=

15（個）,

故答案為7.5,15.

【點評】本題考查皮克公式的靈活運用.

5.拼圖游戲一直都是小朋友們喜愛的游戲，請你從下面A、&C三種圖形中只選擇一種圖

形拼成如圖的4X4的格子。你選擇的是8種圖形（填“A”、"B”或"C"）。（注意:

只是規(guī)定選一種圖形，但沒有規(guī)定其數(shù)量。）

ABC

【分析】大正方形里有16個小方格，A里有3個小方格，拼不出16個，排除；B和C

都是4個小方格，但C拼不出邊長為4的正方形；據(jù)此畫圖解答即可。

【解答】解：A.有3個小方格，16÷3=5……1,不能拼出16個格子組成的正方形，排

除答案；

A能夠拼成4X4的大正方形，如下圖：

C.有4個小方格，但用它拼正方形時，大正方形的4個頂點所在位置中，右上和左下要

空缺，不能拼出16個格子組成的正方形，排除答案。

故答案為：Bo

【點評】解答本題的關鍵是根據(jù)大正方形的邊長是4個小方格，用畫圖的方式直觀找出

答案。

6.大正方形內(nèi)有兩個小正方形，這兩個小正方形可以在大正方形內(nèi)任意移動（小正方形的

任何部分都不能移出大正方形，小正方形的邊必須與大正方形的邊平行）.如果這兩個小

正方形的重疊面積最小為9,最大為25,并且三個正方形（一個大正方形和兩個小正方

形）的邊長之和為23,則三個正方形的面積之和為189.

【分析】利用兩個小正方形的重疊面積最大為25,可得最小正方形的面積為25.設另一

個小正方形的邊長為X,則大正方形的邊長為x+5-3=x+2,根據(jù)三個正方形（一個大正

方形和兩個小正方形）的邊長之和為23,建立方程，可得三個正方形（一個大正方形和

兩個小正方形）的邊長，即可求出三個正方形的面積之和.

【解答】解：兩個小正方形的重疊面積最大為25,可得最小正方形的面積為25,邊長為

5.

大正方形內(nèi)有兩個小正方形，則設另一個小正方形的邊長為X,則大正方形的邊長為x+5

-3=x+2,所以根據(jù)三種邊長的和得出5+x+x+2=23,

解得X=8,

所以三個正方形的面積的和為52+82+102=189,

故答案為189.

【點評】本題考查圖形劃分，考查最大與最小問題，考查學生分析解決問題的能力，正

確求出三個正方形（一個大正方形和兩個小正方形）的邊長是關鍵.

7.如圖，6X6的表格被粗線分成了9塊，若某塊中恰有N個格子，則該塊所填數(shù)字恰好為

1~M且任意相鄰兩個格子（有公共點的兩個小正方形稱為相鄰格子）所填數(shù)字不同,

那么四位數(shù)ABCD是4252.

【分析】按題意，首先可以確定是只有一個方格的位置”處，只能填1；而B所在的那

塊只有2個方格，只能填1和2,而B與1相鄰，故只能填2；A處只能填3或4,而B

下面的三個方格只能填1、2、3,A處只能填4,因為E處的方格只能填1,而/處只能

填3,則C處填5,。處填2.

【解答】解：根據(jù)分析，首先可以確定是只有一個方格的位置H處，只能填1;

而2所在的那塊只有2個方格，只能填1和2,而B與1相鄰，故只能填2；

4處只能填3或4,而B下面的三個方格只能填1、2、3,4處只能填4,

因為E處的方格只能填1,而/處只能填3,則C處填5,。處填2.

填法如下圖：

故答案是：4252.

【點評】本題考查圖形劃分，突破點是：根據(jù)每個區(qū)域數(shù)字的特征，判斷每個方格的數(shù)

字.

8.如圖是一個6X4的網(wǎng)格，每個方格的面積是1.水平線和豎直線的交點稱為格點.適當

選擇4個格點，可以畫出面積是2的長方形或正方形，共可以畫出這樣的長方形或正方

形53個.

【分析】所畫的圖形共有下面這樣的三種圖形，分別算出各有多少個就行.

圖1圖2圖3

圖1長方形共有6X(4-2+1)=18(個)

圖2長方形共有(6-2+1)X4=20(個)

圖3正方形共有(6-2+1)×(4-2+1)=15(個)

一共有20+18+15=53(個)

故填53.

【點評】此題采用的策略是分類計數(shù)，在計數(shù)的時候要注意圖形左右移動和上下移動的

規(guī)律.

9.有一個等腰梯形的紙片，上底長度為2015,下底長度為2016,用該紙片剪出一些等腰梯

形，要求剪出的梯形的兩個底邊分別在原來梯形的底邊上，剪出的梯形的兩個銳角等于

原來梯形的銳角，則最多可以剪出4029個同樣的等腰梯形.

【分析】由于等腰梯形的紙片，上底長度為2015,下底長度為2016,它們上下底的長度

相差1，要求剪出的梯形的兩個底邊分別在原來梯形的底邊上，剪出的梯形的兩個銳角等

于原來梯形的銳角，則剪出的梯形的下底長度約大于2016-2015=1,依此即可求解.

【解答】解：(2015-1)×2+l

=2014X2+1

=4028+1

=4029（個）

答：最多可以剪出4029個同樣的等腰梯形.

故答案為：4029.

【點評】考查了圖形劃分，本題理解剪出的梯形的下底長度約大于2016-2015=1是解

題的關鍵.

10.如圖，用一條線段把一個周長是30c∕n的長方形分割成一個正方形和一個小的長方形.如

果小長方形的周長是16°〃，則原來長方形的面積是56a??.

【分析】由大長方形到小長方形周長減少了：30-16=14（厘米），相當于減少了兩條正

方形的邊長，所以正方形的邊長是：14÷2=7（厘米），也就是原來長方形的寬是7厘米；

那么原來長方形的長為：16+2-7+7=8（厘米），面積是：8×7=56CZM2.

【解答】解：根據(jù)分析可得，

30-16=14（厘米）,

正方形的邊長：14÷2=7（厘米），

原來長方形長：16÷2-7+7=8（厘米），

面積：8×7=56（平方厘米）；

答：原來長方形的面積是56tτ√.

故答案為：56.

【點評】本題是比較復雜的求面積問題，關鍵是利用類似“差不變”原理求得正方形的

邊長也就是原來長方形的寬.

11.如圖，一個正方形，與4個等腰直角三角形，恰好拼成一個長方形，如果正方形的面積

是16,那么，長方形的面積是192.

【分析】圖中的三角形都是等腰直角三角形，所以將圖形分割，利用正方形的面積是16,

可得結(jié)論.

【解答】解：圖中的三角形都是等腰直角三角形，所以將圖形分割，如圖所示，

由于正方形的面積是16,所以長方形的面積是16+4X（4×6×2）=192,

故答案為192.

【點評】本題考查圖形劃分，考查學生的動手能力，正確分割圖形是關鍵.

12.沿圖中方格紙（每個小格都是正方形）的格線將其剪成三部分，并重新拼成一個正方形

（不重不漏），那么其中面積最大的一塊最多能占30格。

【分析】正方形共有36格，將其剪成三部分，并重新拼成一個正方形（不重不漏），36

=6X6,那么正方形的邊長是6格，據(jù)此橫向最少切掉2格，縱向最少切掉4格，據(jù)此

求出最大一塊即可。

【解答】解：正方形共有36格，橫向最少切掉2格，縱向最少切掉4格；

那么其中面積最大的一塊最多能占：36-2-4=30格。

【點評】完成這樣的圖形劃分，需要考慮圖形劃分后各部分的形狀、大小以及它們之間

的位置關系。

13.在空格中填入數(shù)字1-5使得每行、每列和每宮（在數(shù)獨中被粗線分割開的每塊稱為宮）

數(shù)字都不重復，斜線相鄰的數(shù)字也不能相同.那么，第一行從左至右5個數(shù)字依次組成

廚的五位數(shù)是53124.

【分析】按題意，L、，與4相鄰，故不能為4,第二列中只有能是0為4；L、H處只

能是1和5,由于4與5在一條斜線上，故不能為5,所以L為5,H為1；而尸與5同

歹U,故不能為5,而E、F與1、2同行，只能是3和5,故F為3,E為5；在第一宮中，

D為4,A、B只能是1和5,因8與5相鄰，故6不能是5,故8是1,A是5；在第一

行中，只剩下C必為4.

【解答】解：根據(jù)分析，L、”與4斜線相鄰，故不能為4,第二列中只有能是。為4；

L、H處只能是1和5,由于4與5在一條斜線上，故不能為5,所以L為5,4為1；

而尸與5同列，故不能為5,而E、尸與1、2同行，只能是3和5,故尸為3,E為5；

在第一宮中，。為4,A、B只能是1和5,因B與5相鄰，故8不能是5,故B是1,A

是5；

在第一行中，只剩下C必為4.

綜上，第一行從左至右5個數(shù)字依次組成的五位數(shù)是：53124.

故答案是：53124.

【點評】本題考查圖形劃分，突破點是：根據(jù)每行每列的數(shù)字不能重復，可以推測出第

一行的數(shù)字.

14.把一張邊長為11厘米的正方形紙片，剪成若干邊長小于11的整數(shù)厘米的正方形紙片（不

必全相同，允許重復剪成同一種尺寸，紙片沒有浪費），最少能剪成11片.

【分析】可以將整個邊長為11厘米的正方形紙片分割成邊長為1厘米的小正方形，然后

再分，11厘米若分成兩個邊長一樣的正方形，則無法保證邊長為整數(shù)，故只能一個是6

厘米，另一個為5厘米，故可以分成一個6厘米的正方形，兩個邊長為5厘米的正方形，

剩下的再細分，直至分完.

【解答】解：根據(jù)分析，如圖；11厘米若分成兩個邊長一樣的正方形，則無法保證邊長

為整數(shù)，

故只能一個是6厘米，另一個為5厘米，故可以分成一個6厘米的正方形，兩個邊長為5

厘米的正方形，

剩下的還至少可以分成三個邊長為3的正方形，最后剩下中間的8個小方格,

再分，至少可以分成一個邊長為2的小正方形，和4個邊長為1的小正方形.

綜上，共可以分成：1+2+3+1+4=11個正方形.

故答案是：11?

【點評】本題考查圖形劃分，突破點是：將圖形先劃分成面積較大的正方形，然后再分,

最后即可求得正方形的最少個數(shù).

15.如圖是長方形，將它分成7部分，至少要畫3條直線.

【分析】兩條直線把正方形分成4部分，第三條直線與前兩條直線相交多出3部分，共

分成7部分；第四條直線與前3條直線相交，又多出4部分.共11部分，第五條直線與

前4條直線相交，又多出5部分，如下圖所示.

【解答】解：1+1+2+3=7

答：在一個長方形上畫上3條直線，最多能把長方形分成7部分.

【點評】此題考查了圖形的拆拼.使直線間相互交叉，交點越多，則分割的空間越多.每

多第幾條直線，就加幾個部分.

16.畫兩條直線將正方形分成四個形狀相同、大小相等的圖形，共有無數(shù)種畫法。

【分析】連接兩條對角線找到正方形的中心，由于正方形是中心對稱圖形，所以只要畫

過中心且相互垂直的兩條直線，即可將正方形分成四個形狀相同、大小相等的圖形，所

以共有無數(shù)種畫法。

由于正方形是中心對稱圖形，所以只要畫過中心且相互垂直的兩條直線，即可將正方形

分成四個形狀相同、大小相等的圖形，共有無數(shù)種畫法。

故答案為：無數(shù)。

【點評】完成這樣的圖形劃分，需要考慮圖形劃分后各部分的形狀、大小以及它們之間

的位置關系。

17.IOl條直線最多能把平面分成5152個部分.

【分析】如圖所示，1條直線最多將平面分成2個部分；2條直線最多將平面分成4個部

分；3條直線最多將平面分成7個部分；現(xiàn)在添上第4條直線.它與前面的3條直線最多

有3個交點，這3個交點將第4條直線分成4段，其中每一段將原來所在平面部分一分

為二，所以4條直線最多將平面分成7+4=11個部分，由此可得規(guī)律：2+2+3+4+…+〃=

=1+5151

=5152（個）

故答案為：5152.

【點評】此題主要考查了數(shù)形結(jié)合的思想，可利用規(guī)律解答：一般地，〃條直線最多將平

面分成1+"（n+l）÷2.

18.把一張16c∕nX32cm的紙裁去一半，再將其中一張裁去一半…繼續(xù)這樣裁下去，直到得

到一張lα"X2c加的紙為止，那么一共需裁8次.

【分析】根據(jù)圖形的拆拼（切拼）方法可知，每次裁去一半，紙的一條邊是原來的一半，

依此計算即可求解.

【解答】解：因為16÷2÷2÷2÷2=1（厘米），32÷2÷2÷2÷2≈2（厘米），

所以一共需要裁4+4=8（次）.

答：一共需要裁8次.

故答案為：8.

【點評】此題屬于操作題，做題時最好是先結(jié)合實物進行分割，進行觀察，然后得出答

案.

19.一個生日蛋糕切3刀，每人吃一塊，最多可供8人吃.

【分析】先縱切2兩刀，成十字狀，然后再橫切一刀.

【解答】解：按如圖所示的切法去切西瓜：

因此一個西瓜切三刀，最多可切8塊.

故答案為：8.

【點評】本題關鍵是想到最后一刀運用橫切的方法.

20.在一個長方形內(nèi)，任意畫一條直線，長方形被分成兩部分（如圖），如果畫三條互不重

合的直線，那么長方形至少被分成4部分,最多被分成7部分.

【分析】三條線不重合，不相交時，把長方形分成的部分最少；三條線不重合，但在長

方形內(nèi)兩兩相交，有3個交點，把長方形分成的部分最多，如下圖所示，因此得解.

【解答】解：由分析可得：

【點評】認真分析題意，找出規(guī)律是解決此題的關鍵，線的交點越多，圖形被分的部分

越多.

21.如圖，大等邊三角形中放了三個面積都是30平方厘米的小正六邊形.大三角形的面積

是135平方厘米.

【分析】如圖，可以把大等邊三角形分成頂角是120度的等腰三角形，則每個正六邊形

可以分成6個，所以大三角形一共分成了27個這樣的小三角形，據(jù)此根據(jù)正六邊形的面

積求出一個小三角形的面積，再乘27即可解答問題.

【解答】解：根據(jù)題干分析可得：30÷6X27=135（平方厘米），

答：大三角形的面積是135平方厘米.

故答案為：135.

【點評】解答此題的關鍵是利用圖形的特征，把大三角形劃分出27個完全相同的小三角

形.

22.一個角可以將平面分成2部分.3個角最多可以將平面分成16個部分.

【分析】先作一個角A,再作角B使B的每邊都與A的兩邊相交，這時平面已被分為7

部分；再作一個角C,使C的每邊都與圖中已有的4條邊相交，這樣就把平面分為了16

部分，據(jù)此即可解答.

【解答】解：根據(jù)題干分析畫圖如下：

答：3個角最多可以把平面分成16部分.

故答案為：16.

【點評】此題考查圖形的劃分，采用畫圖法分析即可解答.

23.將一個正六邊形切割成三個完全相同的小正六邊形和三個完全相同的菱形.如果大正六

邊形的面積為360平方厘米，那么每個菱形的面積是30平方厘米.

【分析】觀察圖形可知，每個小正六邊形都可以劃分為3個相同的菱形，則這個大正六

邊形即可以劃分出3X3+3=12個完全相同的菱形,據(jù)此利用大正六邊形的面積除以12,

就是每個菱形的面積.

【解答】解：360÷12=30（平方厘米）,

答：每個菱形的面積是30平方厘米.

故答案為：30.

【點評】根據(jù)題干，將小正六邊形劃分成3個完全相同的菱形，把大正六邊形的面積轉(zhuǎn)

化到12個完全相同的菱形中，是解決本題的關鍵.

24.一個平面被6條直線最多可以分成22部分。

【分析】根據(jù)一條直線、兩條直線、三條直線的情況可總結(jié)出規(guī)律，從而可得出答案。

【解答】解：由圖可知，

（1）有一條直線時，最多分成2部分；

（2）有兩條直線時，最多分成2+2=4部分；

（3）有三條直線時，最多分成1+1+2+3=7部分；

（4）設直線條數(shù)有〃條，分成的平面最多有機個，有以下規(guī)律:

m—l+l+???+(n-1)+∕ι=n(∏+1)2+1

則畫6條直線最多可將平面分成6×72+1=22部分。

故答案為：22。

【點評】本題考查直線與平面的關系，有一定難度，注意培養(yǎng)由特殊到一般再到特殊的

探究意識。

25.切一個蛋糕，切1刀最多切成2塊，切2刀最多切成4塊，切3刀最多切成7塊，照這

樣切下去，切5刀最多切成16塊.

【分析】當切1刀時，塊數(shù)為1+1=2塊;

當切2刀時，塊數(shù)為1+1+2=4塊；

當切3刀時，塊數(shù)為1+1+2+3=7塊；

當切4刀時，塊數(shù)為1+1+2+3+4=11塊；

當切5刀時，塊數(shù)為1+1+2+3+4+5=16塊;

繼而可得出切n刀時所得的蛋糕塊數(shù).

【解答】解：當切1刀時，塊數(shù)為1+1=2塊;

當切2刀時，塊數(shù)為1+1+2=4塊：

當切3刀時，塊數(shù)為1+1+2+3=7塊；

當切〃刀時，塊數(shù)=1+(1+2+3—+/?)=ι+n(n+l)2.

則切5刀時，塊數(shù)為1+5X62=16塊；

故答案為：16.

【點評】本題考查截一個幾何體的規(guī)律性問題的應用；得到分成的最多平面數(shù)的規(guī)律:

切〃刀時，塊數(shù)=1+(1+2+3…+”)=ι+n(n+l)2是解決本題的難點.

26.一個等腰直角三角形和一個正方形如圖擺放，①、②、③這三塊的面積分別是2、8、

58,則④、⑤這兩塊的面積差是8.

【分析】由一個等腰直角三角形和一個正方形組成可知：①、②是等腰直角三角形，知

面積可求得直角邊，由此求得由①+③的寬，又可求①+③的面積(2+58),進一步求出①

+③的長(也是正方形的邊長).正方形的面積減去(①+③)求得⑤，再進一步求出等腰

三角形的直角邊(正方形的邊長+②直角邊)，可得面積.用等腰直角三角形面積減去②

③面積即可得④面積.⑤-④即可.

【解答】解：①的面積是2,則其直角邊長為2,②的面積是8,則其直角邊長為4

①+③=2+58=60,因為③+①的寬為①直角邊+②直角邊=6,所以長為60÷6=10

由此可知正方形邊長為10

⑤的面積為：10X10-(2+58)=40

等腰三角形邊長為10+4=14

④的面積為：12x14X14-58-8=32

所以⑤-④為：40-32=8.

故答案為：8.

【點評】此題主要抓住正方形和等腰三角形的性質(zhì)，靈活利用面積與等邊的關系解決問

題.

27.一個圓最多可以將平面分成兩部分，兩個圓最多可以將平面分成4部分，10個圓最多

可以將平面分成92部分.

【分析】一個圓把平面分成圓里和圓外兩部分，兩個圓有1個交匯部分，lX2+2=4部

分;三個圓兩兩相交且不重合交點，有1+2=3個交匯部分,把平面分成3X2+2=8部分；

四個圓兩兩相交，且不重合交點，有1+2+3=6個交匯部分，把平面分成6X2+2=14部

分；…10個圓兩兩相交且不重合交點，有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45個交匯部分，把圓

分成45X2+2=92部分；因此得解.

【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,

45X2+2=92；

答：IO個圓最多可以將平面分成92部分.

故答案為：92.

【點評】和10條直線最多的交點數(shù)有些相似，讓10個圓兩兩相交，且無重合點，分的

部分就最多，認真作圖，即可得解.還可以直接根據(jù)〃個X邊形把面的劃分區(qū)域的公式

解答：2+〃（?-1）Xl（圓看作1邊形）.

28.將一個8X8的紙棋盤沿豎線、橫線（不計邊框共有14條）折疊（不一定對折），最后

成為一個1X1的正方形，再沿對邊中點剪一刀，這張棋盤被剪成張.

【分析】如果將8X8的紙盤成為一個4X4的正方形，再剪的話，是（2+1）個；如果將

8X8的紙盤成為一個2x2的正方形，再剪的話，是（3+2）個；如果將8X8的紙盤成為

一個Ixl的正方形，再剪的話，應該是（6+3）個，故答案是9張.

【解答】解：6+3=9（個）

答：這張棋盤被剪成9張.

故答案為：9.

【點評】此題的關鍵是通過實踐操作，找到規(guī)律，問題就能得到解決.

29.由四個邊長為1的正方形拼成如圖所示的左右對稱圖形，以圖中正方形的14個頂點為

頂點可得到許多不同的三角形，那么，在這些三角形中，面積為1的三角形共有44

個.（面積為1的三角形的三條邊中，至少有一條邊是水平或垂直的）

【分析】分別討論三角形的底邊和高的長度底為2,高為1的三角形的面積是1,底為1

高為2的三角形的面積是1,據(jù)此依次尋找所以符合題意的三角形即可解答.

【解答】解：如圖所示：

面積為1的三角形共有：7X2+2X4+3X2+4X4=14+8+6+16=44（個）

答：面積為1的三角形共有44個.

故答案為：44.

【點評】此題考查了三角形的面積公式的靈活應用，要注意提示中：面積為1的三角形

的三條邊中，至少有一條邊是水平或垂直的這一條件.

30.用剪刀沿如圖小方格邊界把4X4正方形格紙剪開成形狀、大小都相同的兩部分，共有

L種不同的剪法.（兩次剪出的圖形的形狀、大小都相同，視為一種剪法）

【分析】因為必須剪成形狀、大小都相同的兩部分，所以剪刀必定通過正方形的中心,

即得到的兩部分在原圖為中心對稱，由此找出所以的情況即可求解.

M――卜...卜_-T

【解答］解：一中的粗實線是剪刀必須通過的兩條邊，然后就可以得到如下6

種不同的情況.

答：共有6種不同的剪法.

故答案為：6.

【點評】此題是考查圖形的拆分，可利用中心對稱的原理經(jīng)過畫圖求得答案.

二.解答題（共30小題）

31.數(shù)一數(shù)，在圖1中的不同位置可以畫出多少個圖2所示的圖形？（方向可以旋轉(zhuǎn)）

【分析】圖1共有12個小正方形，圖2中有3個小正方形，12÷3=4,所以在圖1中的

不同位置最多可以畫出4個圖2所示的圖形.

【解答】解：根據(jù)分析畫圖如下（方向可以旋轉(zhuǎn)），

【點評】本題考查了圖形的劃分問題，這種類型的題目，耍結(jié)合單位圖形的形狀和要劃

分的圖形的形狀，利用相似和旋轉(zhuǎn)進行分析.

32.把任意三角形分成三個小三角形，使它們的面積的比是2：3：5

【分析】本題考查圖形劃分.

【解答】解：如圖,

任意一個三角形把一條邊分成2：3：5三段，

然后與頂點連接，根據(jù)底邊在同一直線的三角形，高相等，面積比等于底邊比,

可以得到三個三角形的面積比是2：3：5.

【點評】本題難度較低，作圖細答即可.

33.如圖，九個小長方形組成一個大長方形，按圖中編號，則1號長方形的面積恰好是1

平方厘米，2號恰好是2平方厘米，3號恰好是3平方厘米，4號恰好是4平方厘米，5

號恰好是5平方厘米，6號的面積是多少平方厘米？

1211

54__

6∣3

【分析】如圖所示：1號長方形的面積恰好是1平方厘米，ABXFG=I;

2號恰好是2平方厘米，ABXEF=2；

3號恰好是3平方厘米，CDXFG=3；

4號恰好是4平方厘米，BCXEF=4；

5號恰好是5平方厘米，βC×DE=5;

1

5T

6T

【解答】解：則6號的面積是：

CD×DE,

=(CD×FG)×(AB×EF)×(BC×DE)(FGXAB)X(BC×EF)

=3×2×51×4

=7.5(平方厘米).

答：6號的面積是多少7.5平方厘米.

【點評】此題考查了圖形劃分.標上字母，思路清晰，找到各邊間的關系，是解決此題

的關鍵.

34.如圖是一個由36塊1X1的小正方形組成的圖形.

(1)能不能將這個圖形剪成三塊后拼成一個6X6的正方形？并說明理由.

(2)能不能將這個圖形剪成18個2義1的長方形？并說明理由.

【分析】(1)6X6的正方形，使得每一邊有6個正方形即可；

(2)將圖形黑白相間染色，圖中有黑格17個，白格19個，而2X1的長方形應當覆蓋

黑格、白格各18個，故不能將這個圖形剪成18個2X1的長方形.

【解答】解：(1)能，將最下方的兩個正方形剪成1塊，再將最左邊的5個正方形剪成1

塊，然后第1塊放在右邊最下方，第2塊放在右邊即可.

（2）將圖形黑白相間染色，圖中有黑格17個，白格19個，而2X1的長方形應當覆蓋

黑格、白格各18個，故不能將這個圖形剪成18個2義1的長方形.

【點評】本題考查圖形劃分，考查染色問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔

題.

35.將圖分割成大小形狀相似的兩塊，這兩塊圖形可拼成一個正方形.用粗線條在原圖上畫

出分割線，不必畫拼合成的正方形.

【分析】由題意正方形的面積為16,推出正方形的邊長為4,由此即可解決問題.

【解答】解：因為正方形的面積為16,推出正方形的邊長為4.

分割線如圖所示，①與②相似，①放入③位置即可.

【點評】本題考查圖形的劃分，解題的關鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題求出正方形

的邊長是關鍵.

36.從網(wǎng)格第一行中的任意一個正方形開始，創(chuàng)建一條穿出網(wǎng)格最后一行中的任意一個正方

形的路徑，路徑穿過的每個數(shù)都必須是3的倍數(shù)，且路徑只能在水平或垂直方向延伸。

請在圖中畫直線作答。

Il42807348&1

~23452433898

77192569TT92

-

2915^18218085

783644312238

68,1267^7825"12

37.圖中由10個相同的小正方形組成，請用三種方法把它分割成兩個大小相等、形狀相同

的部分（沿圖中的線分割）.

【分析】本題考查圖形的分割.

【解答】解：如圖所示：

【點評】本題主要考查學生的動手能力，從中心點出發(fā)考慮如何分割.

38.請將如圖所示的正方形分成兩塊，使得這兩塊的形狀和大小都相同.并且每一塊中都含

有A、B、C、D、E五個字母，在圖中用斜線或不同色筆區(qū)分.

【分析】首先畫出兩條對角線，作為對照，然后按照要求把正方形平分，使每一部分都

有一個ABCDE五個字母,最后的一定要數(shù)一數(shù)是否滿足一邊都有18個方格；即可得解.

【解答】解：如圖，可以滿足題意.

【點評】多種方法可以沿著網(wǎng)格線把6X6的正方形分割成形狀完全相同的兩部分，并且

每一部分都恰好含有字母A，B,C,D,E各一個；鍛煉了學生的兒何直觀和抽象思維能

力.

39.