初中數(shù)學(xué)勾股定理典型練習(xí)題(附答案)

初中數(shù)學(xué)勾股定理練習(xí)題(附答案)

［例1］若AABC三邊長(zhǎng)滿(mǎn)足下列條件，判斷^ABC是不是直角三

角形？若是，請(qǐng)說(shuō)明哪個(gè)教角是直角.

(1)BC=1,AB=1fAC=1;

(2)AABC中，NA,NB,NC所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=n2-

1,b=2n,c=n2+l(n>1)

【例2］如果MBC的三邊分別為a、b、c,且滿(mǎn)足

a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷AABC的形狀。

［例3］如圖,AACB和AECD都是等腰直角三角形，zACB=z

ECD=90°,D為AB邊上一點(diǎn)。

(1)求證:AACE^ABCD;(2)若AD=5,BD=12,求DE的長(zhǎng)。

A

E,

CB

【例4】觀察下列等式：32+42=52”2+122=132;

72+242=252;92+402=412…按照這樣的規(guī)律，第七個(gè)等式是:

【例5】如圖,已知在正方形ABCD中,F為DC的中點(diǎn),E為CB的四

等分點(diǎn)且CB=4CE.求證：AF±FE.

【例6】如圖，已知SBC中/C=90°,D為AB的中點(diǎn),E、F分別在

AC、BC上，且DE±DF.求證:AE2+BF2=EF2.

課堂同步練習(xí)

一、選擇題：

1、若線段a,b,c組成Rf,則它們的比可能為（）

A.2:3:4B.3:4:6C.5:12:

13D.4:6:7

2、AABC中NA、NB、NC的對(duì)邊分別是a、b、c,下列命題中的

假命題是（）

A.如果NC-NB=NA，貝必ABC是直角三角形

B.如果c2=b2-a?,則AABC是直角三角形，且4=90°

C如果（c+a）（c-a）=b2,則3BC是直角三角形

D.如果NA:ZB:ZC=5:2:3,則^ABC是直角三角形

3、AABC的三邊為a、b、c,且（a+b）（a-b）=c2,則（）

入△ABC是銳角三角形B.c邊的對(duì)角是直角

C.AABC是鈍角三角形D.a邊的對(duì)角是直角

4、下列命題中，其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（）

①RfABC中，已知兩邊長(zhǎng)分別為3和4,則第三邊長(zhǎng)為5;②有

一個(gè)內(nèi)角與其他兩個(gè)內(nèi)角的和相等的三角形是直角三角形；③三角

形的三邊分別為a,b,c,若a2+c2=b2,貝吐C=90°;④在SBC

中,NA:NB:NC=1:5:6,則AABC是直角三角形.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3

個(gè)D.4個(gè)

5、如圖，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH

四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形的線段是（）

A.CD、EF、GHB.AB、CD、GHCAB、EF、

GHD.AB、CD、EF

6、如圖,四邊形ABCD中,zB=zD=90°,zA=45°,AB=3,

CD=1,貝!|BC的長(zhǎng)為（）

A

A.3B.2C.i+MD.3-亞

7、如圖，有一塊地ABCD,已知AD=4米，CD=3米/

ADC=90°,AB=13米BC=12米，則這塊地面積為（）

A.60米2B.48米2C.30米2D.24米2

8、在AABC中,zC=90°,c2=2b2,則兩直角邊a,b的關(guān)系是

）

A.a<bB.a>b

C.A=bD.以上三種情況都有可能

9、已知a,b,c為SBC的三邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足a2c2--

b4,判斷SBC的形狀（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

10、已知：在AABC中，NA、NB、NC的對(duì)邊分別是a、b、c,

滿(mǎn)足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.試判斷AABC的形狀

（）o

A.直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角形D.鈍角

三角形

11、如圖，在5x5的正方形網(wǎng)格中，以AB為邊畫(huà)直角△ABC,使

點(diǎn)C在格點(diǎn)上，滿(mǎn)足這樣條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)（）

A.6B.7C.8D.9

12、如圖尸是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA,PB,PC,以BP為

邊作NPBQ=60°,且BQ=BP,連結(jié)CQ.若PA:PB:PC=3:4:5,連結(jié)

PQ,試判斷Apac的形狀()

A.直角三角形B.等腰三角形C.銳角三角

形D.鈍角三角形

二、填空題：

13、有四個(gè)三角形，分別滿(mǎn)足下列條件：

(1)一個(gè)內(nèi)角等于另外兩個(gè)內(nèi)角之和；

(2)三個(gè)內(nèi)角之比為3:4:5;

(3)三邊之比為5:12:13;

(4)三邊長(zhǎng)分別為7、24、25.

其中直角三角形有個(gè).

14、在AABC中，a、b、c分別是NA、NB、NC的對(duì)邊，

①若a2+b2>c2,則NC為;

②若a2+b2=c2,貝!!NC為;

③若a2+b2<c2,則NC為.

15、已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是12,16,20,則這個(gè)三角形

的面積為

16、如圖，D為MBC的邊BC上一點(diǎn)，已知AB=13,AD=12,

AC=15,BD=5,貝?。軧C的長(zhǎng)為.

17、已知a、b、c是AABC的三邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足關(guān)系式77不了

+|a-b|=O,則AABC的形狀為

18、如圖,AB=5,AC=3,BC邊上的中線AD=2,貝！］SBC的面

積為

19、如圖，由四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成一個(gè)大正方形，連接小

正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得到AABC,貝（hABC中BC邊上的高

20、如圖，AABC是邊長(zhǎng)6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從

A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上均速移動(dòng)，它們的速度分別

為當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)停止

Vp=2cm/s,VQ=lcm/s,PBPQ

運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts,則當(dāng)t=s時(shí),WBQ為直角

三、簡(jiǎn)答題：

21、如圖，有一塊地，已知AD=4m,CD=3m/

ADC=90°,AB=13m,BC=12m.求這塊地的面積。

22、如圖,是一塊四邊形綠地的示意圖，其中AB長(zhǎng)為24米,BC長(zhǎng)

15米,CD長(zhǎng)為20米,DA長(zhǎng)7米,4=90°.求綠地ABCD的面積.

B

23、已知AABC三邊長(zhǎng)a,b,c滿(mǎn)足a2+b2+c2-12a-16b-

20c+200=0,請(qǐng)判斷AABC的形狀并說(shuō)明理由.

24、已知:△ABC的三邊分別為m2-n2,2mn,m2+n2（m,n為正整

數(shù)且m>n）,判斷3BC是否為直角三角形.

25、如圖,已知一塊四邊形草地ABCD,其中NA=45°/B=N

D=90°,AB=20m,CD=10m,求這塊草地的面積.

26、在甲村至乙村的公路有一塊山地正在開(kāi)發(fā)，現(xiàn)有一C處需要爆

破.已知點(diǎn)C與公路上的?？空続的距離為300米，與公路上的

另一?？空綛的距離為400米，且CA_LCB,如圖所示.為了安全

起見(jiàn)，爆破點(diǎn)C周?chē)霃?50米范圍內(nèi)不得進(jìn)入，問(wèn)在進(jìn)行爆破

時(shí)，公路AB段是否有危險(xiǎn)而需要暫時(shí)封鎖？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)

明.

勾股定理逆定理同步測(cè)試題

1、下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（）

A.6,8,10B.5,12,13C.1,2,3D.9,12,15

2、五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為7,15,20,24,25,現(xiàn)將他們擺

成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（）

3、三角形的三邊長(zhǎng)為a,b,c,且滿(mǎn)足（a+b）2=c2+2ab,則這

個(gè)三角形是（）

A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角

三角形

4、若AABC的三邊a、b、c,滿(mǎn)足（a-b）（a2+b2-c2）=0,

則38（：是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角

三角形D.等腰直角三角形

5、下列說(shuō)法中，不正確的是（）

A.三個(gè)角的度數(shù)之比為1:3:4的三角形是直角三角形B.三個(gè)

角的度數(shù)之比為3:4:5的三角形是直角三角形

C.三邊長(zhǎng)度之比為3:4:5的三角形是直角三角形D.三邊

長(zhǎng)度之比為5:12:13的三角形是直角三角形

6、有長(zhǎng)度為9cm、12cm、15cm、36cm、39cm的五根木棒，可

搭成（首尾連接）直角三角形的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3

個(gè)D.4個(gè)

7、有下列判斷:①△ABC中，*?-=-，則AABC不直角三角形；

②SBC是直角三角形，一「=9。，則1+0③3BC中，

廠「=,貝！]^ABC是直角三角形；④若AABC是直角三角形，貝!]

（a+b）（a-6）=ca,正確的有（）

A、4個(gè)B、3個(gè)C、2

個(gè)D、1個(gè)

8、如圖,矩形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在數(shù)軸上，若以點(diǎn)

A為圓心，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)M,則點(diǎn)M表

示的數(shù)為（）

-1012MA

9、如圖，有一塊地，已知AD=4米,CD=3米,NADC=90°,AB=13

米,BC=12米很!J這塊地的面積為（）

A.24平方米B.26平方米C.28平方

米D.30平方米

10、在下列條件中：①在SBC中,NA:NB:NC=L2:3;②三角形三

邊長(zhǎng)分別為32,42,52;③在△ABC中，三邊a,b,c滿(mǎn)足（a+亡

）（a-b）=c2;④三角形三邊長(zhǎng)分別為m-l,2m,m+l（m為大于

整數(shù)）,能確定AABC是直角三角形的條件有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3

個(gè)D.4分

U、在AABC中，如果(a+b)(a-b)=c2,那么n

=90°.

12、若三角形三邊分別為6,8,10,那么它最長(zhǎng)邊上的中線長(zhǎng)

13、某住宅小區(qū)有一塊草坪如圖4所示，已知AB=3米，BC=4

米，CD=12米,

DA=13米，且AB_LBC,這塊草坪的面積是。

14、若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為1、a、

8（其中a為正整數(shù)），則以a-2、a、a+2為邊

的三角形面積為.

15、在AABC中，若其三條邊的長(zhǎng)度分別為9、12、15,則以?xún)煞?/p>

這樣的三角形所拼成的長(zhǎng)方形的面積是_______.

、如圖,oo為

16RtSBCt|ifzACB=90,zABC=60,BC=2cm,DBC

的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)E以lcm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A-B-A的方

向運(yùn)動(dòng)，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連接DE,當(dāng)ABDE是直角三角形

時(shí),t的值

17、如圖,一塊地，已知AD=4m,CD=3m/

ADC=90°,AB=13m,BC=：L2m.求這塊地的面積。

18、如圖，已知NADC=90。，AD=8,CD=6,AB=26,

BC=24.

(1)證明：△ABC是直角三角形.(2)請(qǐng)求圖中陰影部分的面

積.

19、如圖，在^ABC中,NABC=45°,CD_LAB,BE_LAC,垂足分別為

D、E.F為BC中點(diǎn),BE與DF.DC分別交于點(diǎn)G,H,zABE=N

CBE.(1)求證：BH=AC;(2)求證:BG2-GE2=EA2.

20、已知a、b、c為^ABC的三邊，且滿(mǎn)足a2c2-b2c2=a"b4,試

判斷AABC的形狀.

解:/a2c2-b2c2=a4-b4,(i)

.(2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).②

.c2=a2+b2.③

△ABC是直角三角形.

問(wèn)：

(1)在上述解題過(guò)程中，從哪一步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤？請(qǐng)寫(xiě)出該步的代

(2)錯(cuò)誤的原因?yàn)?/p>

(3)本題正確的解題過(guò)程：

例題答案詳解

【例1】解：(1)?.(,)2+12=冷(1)2,，BC2+AC2=AB2..??

△ABC是直角三角形；

(2)v(n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+l=(n2+l)2,..

2

a+b2=c2,是直角三角形.

【例2】解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得：a2-

6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

222

?.(a-3)+(b-4)+(c-5)=0o

222

「(a-3)>0,(b-4)>0,(c-5)>0o..a=3,b=4,c=5o

...32+42=52,..a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得A

ABC是直角三角形。

【例3】①通過(guò)SAS證明全等②13

【例4】152+1122+1132.

【例5】提示:連結(jié)AE,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4a，計(jì)算得出AF,

EF,AE的長(zhǎng)，由AF2+EF2=AE2得結(jié)論.

【例6］提示:延長(zhǎng)FD到M使DM=DF,連結(jié)AM,EM.

課堂同步參考答案

1、C2、B3、D4、B5、C6、D7、D8、C9、

D10、A11、C12、A

13、答案為3.

14、①銳角；②直角；③鈍角.

15、96

16、14

17、等腰直角三角形

18、6.提示：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,連結(jié)BE,可得^ABE

為RS.

19、歲

cc3^x12

20、建石

21、24

22、【解答】解：連接BD.如圖所示：

vzC=90°,BC=15米，CD=20米，.?.BD=7BC2+CD2=7152+202

=25（米）;

在SBD中,vBD=25米,AB=24米,DA=7米,

242+72=252,gpAB2+BD2=AD2,

」.△ABD是直角三角形..S四邊形ABCD=SAABD+SABCD=/B?BD+4

BC-CD=^x24x7+^xl5x20=84+150=234（平方米）;

即綠地ABCD的面積為234平方米.

、直角三角形

23a=6,b=8,c=10f

24、證明：（w2+（2w?）J=w*-+?*+4WJM

=掰4+%?/+/

=（MJ+?3）3

所以AABC是直角三角形.

25、150m2.提示：延長(zhǎng)BC,AD交于E.

26、解：公路AB需要暫時(shí)封鎖.理由如下：如圖，過(guò)C作CD_L

AB于D.

因?yàn)锽C=400米，AC=300米，NACB=90°,所以根據(jù)勾股定理

有AB=500米.

因?yàn)镾AABC=^AB.CD=^BC-AC所以CD=240米.

由于240米＜250米，故有危險(xiǎn)，因此AB段公路需要暫時(shí)封鎖.

同步測(cè)試題參考答案

1、C2、C3、C4、C5、B6、B7、C8、C

9、A10、B

U、90°.

12、5.

13、36

14、8提示:7<a<9,/.a=8.

15、1