考向10 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（重點(diǎn)）-2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微（解析版）

考向10函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

A

1.12022年全國甲卷第6題】6.當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/1(23x)=alnx+X取得最大值一2,則r(2)=

x

A.-1B.--C.-D.1

22

【答案】B

【解析】r(x)=--4-由條件，得，所以。=6=一2,即尸(幻=—2+2，

xxr1^/(\)=a-b=QXX-

991

所以r(2)=—]+萬7=-Q.故選B.

2.【2022年乙卷文科第11題】11.函數(shù)/(x)=cosx+第+I)sin%+1在區(qū)間[0,2羽的最小值、

最大值分別為

A.B.C.--,-+2D.--,-+2

22222222

【答案】D

【解析】r(x)=(x+l)cosx,當(dāng)xc(0,立時(shí)，r(x)>0;當(dāng)X嗚苧時(shí),r(x)<0.當(dāng)

xw考,2兀)時(shí)，尸(x)>0.所以，〃x)極小值=樗)=-4;八幻極大值=展)=>2.又

)(0)=。(2兀)=2,所以八幻…樗)=售;/(%)_=嗎='+2.故選D.

3.【2022年新高考1卷第10題】10.已知函數(shù)〃x)=x3—x+1,則()

A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B./⑶有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心D,直線y=2x是曲線y=『(x)的切

線

【答案】AC

【解析】由題，/'(力=3/一1,令r(x)>。得走或

令ra)<o得一正<》<走,

33

所以/（X）在（一上單調(diào)遞減，在（-8,—,+8）上單調(diào)遞增,

所以x=±立是極值點(diǎn)，故A正確;

3

因-*)=1+孚>0,=1一手>0,/(-2)=-5<0,

所以，函數(shù)/（x）在上有一個(gè)零點(diǎn),

當(dāng)小叵

時(shí)，即函數(shù)/（x）在上無零點(diǎn),

3

綜上所述，函數(shù)"X）有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤;

令/z(x)=x3-x,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,=(-X)3-(-X)=-X3+x=-/z(x),

則h（x）是奇函數(shù)，（0,0）是/z（x）的對稱中心,

將"x）的圖象向上移動一個(gè)單位得到/⑶的圖象,

所以點(diǎn)（0,D是曲線），=/（x）的對稱中心，故C正確;

令/'(x)=3/7=2,可得x=±l,X/(D=/(-1)=1.

當(dāng)切點(diǎn)為（U）時(shí)，切線方程為y=2x-l,當(dāng)切點(diǎn)為（一1,1）時(shí)，切線方程為y=2x+3,

故D錯(cuò)誤.

故選：AC

4.【2022年新高考1卷第12題】12.已知函數(shù)/*)及其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的定義域均為R,記

g(x)=7'(x),若y1|—2x),g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g"=0C./(-1)=/(4)D.

g(-D=g(2)

【答案】BC

【解析】因?yàn)間(2+x)均為偶函數(shù)，

所以/(1一2%)=/(1+2尤)即/[|■一%]=/|+^>g(2+x)=g(2—x),

所以〃3—x)=/(x),g(4-x)=g(x),則f(T)=f(4),故C正確；

3

函數(shù)”x),g(x)的圖象分別關(guān)于直線x=—,X=2對稱，

2

又g(X)=/'(X),且函數(shù)f(x)可導(dǎo),

所以g(￡|=0，g(3—尤)=—g(x),

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=_g(x+l)=g(x),

所以g1一;J=g(；)=O，g(—l)=g(l)=-g(2),故B正確，D錯(cuò)誤；

若函數(shù)/(x)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(x)+C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無法確定fM

的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.

故選：BC.

5.[2022年新高考2卷笫14題】寫出曲線y=In|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程:,

【答案】①.y=-%②.y=--x

ee

【解析】因?yàn)閥=lnW，當(dāng)x＞0時(shí)y=lnx,設(shè)切點(diǎn)為(x(),ln玉J,山了=一，所以

)''1.、氣=一,所以切線方程為y-E/=」-(%-/)，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以

/X。

-lnx0=—(-x0),解得%=e,所以切線方程為＞一—e),即丁=!工；

xoee

當(dāng)尤＜0時(shí)y=ln(—x),設(shè)切點(diǎn)為(小In(—石))，由y'=L所以所以切線

X玉

方程為y—ln(-xj=」-(x—玉)，

x\

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以一In(一芯)=一(一%)，解得％=-e,所以切線方程為

y—1=—(x+e),即,=—x；故答案為：y=—x；y=-x

-eeee

6.【2022年新高考1卷第15題】若曲線y=(x+〃)e、有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則。的取值

范圍是.

【答案】(0,+oo)

【解析】易得曲線不過原點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為(毛，(/+a)e"),則切線斜率為：

尸(%)=(%+〃+l)e”.可得切線方程為y-(Xo+〃)e&=(/+〃+1)已"0-%),又切線過原點(diǎn),

可得-(x0+a)e%=-%5+。+1)八，化筒得x；+啄一。=。(※)，又切線有兩條，即※

方程有兩不等實(shí)根，由判別式△=。2+4。〉0,得a<Y,或a>0.

7.[2022年乙卷理科第16題】已知》=尤1和X=X2分別是函數(shù)

/(x)=2優(yōu)—”2(。>0且awl)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，若％</，則a的取值范圍是

【答案】(o3)

【解析】/4)=電'111。一封至少要有兩個(gè)零點(diǎn)％=%和X=%2，我們對其求導(dǎo)，

/(x)=2a*(lnaI-Ie,

(1)若以>1,則/"(x)在R上單調(diào)遞增，此時(shí)若廣(%)=0,則/(無)在(一8,%)上單調(diào)

遞減，在(通,+8)上單調(diào)遞增，此時(shí)若有％=玉和x=%2分別是函數(shù)

/(x)=2ax-ex2(a>。且a豐1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則%>￡，不符合題意。

(2)若0<a<l,則/"(x)在R上單調(diào)遞減，此時(shí)若/”(%)=0,則f(x)在(一8,/)上

單調(diào)遞增，在&,+0。)上單調(diào)遞減，目此時(shí)若有》=石和X=X,分

(Ina)

別是函數(shù)/⑴=2優(yōu)一Q2①>0且owl)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且占<9，則需滿

足/(%())>。,即

—^―>ek>g〃7~~>*=>Ina”">in'=>---InQ>1-In(ina)?,

Ina"(Ina](ina)2(ina)2ln?V7

可解得a>e或0<a<L,由于0<a<l,取交集即得0<a<L。

1.求曲線月'⑴的切線方程的類型及方法

(1)已知切點(diǎn)P(xo,yo),求y=f(x)過點(diǎn)尸的切線方程：求出切線的斜率廣(刈)，由點(diǎn)斜式寫

出方程；

(2)已知切線的斜率為％求y=/(x)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)尸(如刈)，通過方程6廣(xo)解得

xo,再由點(diǎn)斜式寫出方程；

(3)已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn))，求月'(X)的切線方程：設(shè)切點(diǎn)P(xo,yo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線

斜率/'（xo），再由斜率公式求得切線斜率，列方程（組）解得XO,最后由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式

寫出方程.

（4）若曲線的切線與已知直線平行或垂直，求曲線的切線方程時(shí)，先由平行或垂直關(guān)系確

定切線的斜率，再由勺/（向）求出切點(diǎn)坐標(biāo)（xo,州），最后寫出切線方程.

（5）①在點(diǎn)P處的切線即是以P為切點(diǎn)的切線，P一定在曲線上.

②過點(diǎn)P的切線即切線過點(diǎn)P,P不一定是切點(diǎn).因此在求過點(diǎn)尸的切線方程時(shí)，應(yīng)首

先檢驗(yàn)點(diǎn)尸是否在已知曲線上.

2.利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實(shí)質(zhì)上就是判斷或證明不等式

r（x）＞o（尸（x）＜o(jì)）在給定區(qū)間上恒成立.一般步驟為：

（1）求尸（力;

（2）確認(rèn)/㈤在（〃，切內(nèi)的符號；

（3）作出結(jié)論，/（幻＞0時(shí)為增函數(shù)，_f（x）＜0時(shí)為減函數(shù).

注意：研究含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，需注意依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進(jìn)行分類

討論.

3.由函數(shù)/（力的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法

（1）可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上/'（x）20（或

r（x）wo）（r（x）在該區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0）恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)

化為求函數(shù)的最值問題，從而獲得參數(shù)的取值范圍；

（2）可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是/'（x）＞0（或/'（x）＜0）在該區(qū)

間上存在解集，這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成了不等式問題；

（3）若已知/（x）在區(qū)間/上的單調(diào)性，區(qū)間/中含有參數(shù)時(shí)，可先求出/（%）的單調(diào)

區(qū)間，令/是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍.

4.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題時(shí)，一般先由零點(diǎn)的存在性定理說明在所求區(qū)間內(nèi)至少有

一個(gè)零點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷在所給區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，由此求解.

5.求函數(shù)/（x）在他，句上最值的方法

（1）若函數(shù)f（x）在［a,句上單調(diào)遞增或遞減，/5）與一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值.

（2）若函數(shù)/（x）在區(qū)間3,份內(nèi)有極值，先求出函數(shù)/（x）在區(qū)間①，份上的極值，與/（a）、

人力比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.

（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間（a,公上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)時(shí).，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大（或最?。┲迭c(diǎn).

注意：（1）若函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要注意分類討論思想的應(yīng)用.

（2）極值是函數(shù)的“局部概念”，最值是函數(shù)的“整體概念”，函數(shù)的極值不一定是最

值，函數(shù)的最值也不一定是極值.要注意利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖象直觀研究確定.

6.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題的“兩種”常用方法：

（1）分離參數(shù)法：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)

求該函數(shù)的最值，根據(jù)要求得所求范圍.一般地，）（幻2。恒成立，只需/（無）之。即

可；/（x）4a恒成立，只需/（X）maxW”即可.

（2）函數(shù)思想法：將不等式轉(zhuǎn)化為某含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)

的極值（最值），然后構(gòu)建不等式求解.

易錯(cuò)點(diǎn)1:導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，

對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、

微積分相聯(lián)系.（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).（3）

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題.（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

易錯(cuò)點(diǎn)2:導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極（最）值

求函數(shù)./U）在m，句上的最大值和最小值的步驟

（1）求函數(shù)在3,勿內(nèi)的極值；

（2）求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值_Aa），氏b）；

（3）將函數(shù)/U）的各極值與犬a(chǎn)）,犬公比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值。

易錯(cuò)點(diǎn)3：對“導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)”與“原函數(shù)圖象升降”關(guān)系不清楚

（x）>OoxwAUBU…。/（X）增區(qū)間為4,8和…

1（x）<0oxeCU。U…o/（尤）增區(qū)間為C,。和...

xeW/'（x）>0=>/（x）在區(qū)間。上為增函數(shù)

xem/'（x）<0=>/（x）在區(qū)間。上為減函數(shù)

X€。時(shí)r（x）=0n/（x）在區(qū)間。上為常函數(shù)

討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可化歸為求解導(dǎo)函數(shù)正或負(fù)的相應(yīng)不等式問題的討論.

一、單選題

1.曲線y=xe，+2x-2在x=0處的切線方程是（)

A.3x+y+2=0B.2x+y+2=0

C.2x-y-2=0D.3x-y-2=0

【答案】D

【解析】y=xex+2x-2,則y'=(x+l)e"+2,當(dāng)x=0時(shí)，、=-2,y^=3,

所以切線方程為y—(—2)=3x,即3x-y—2=0.

故選：D.

2.已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),且滿足〃x)=2礦⑴+lnx,則r(1)=()

A.-eB.-1C.1D.e

【答案】B

【解析】由題意，函數(shù)〃x)=2#〈l)+lnx,可得((無)=2-⑴+J

所以/'(1)=2/'(1)+1,則f(l)=T.故選：B.

3.曲線y=xln(2x+5)在x=-2處的切線方程為()

A.4x—y+8=0B.4x+y+8=0

C.3x—y+6=0D.3x+y+6=0

【答案】B

【解析】因?yàn)閥=xln(2x+5),所以y=[xln(2x+5)]=ln(2x+5)+彘p所以九一=

又當(dāng)x=-2時(shí)、y=xlnl=0,故切點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),所以切線方程為4x+y+8=0.

故選：B.

4.函數(shù)f(x)=；x2-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-1,1)B.(0,1)C.(l,4^o)D.(0,2)

【答案】B

【解析】f(x)的定義域?yàn)?。,+8)

解不等式/。)=*_/二(X.J。+1)<0,可得Ovxvl,

XX

故函數(shù)/(x)=gx2-lnx的遞減區(qū)間為(0,1).故選：B.

2

5.已知函數(shù)/(x)=f+2cosx,設(shè)力/")&=/(0.5),c=/(log052),則(

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】/(X)=X2+2COSX,定義域?yàn)镽,

f(-X)=(-X)2+2cos(-x)=x2+2cosx=/(x),所以/(x)是偶函數(shù)，

f'(x)=2x-2sinx,令g(x)=2x-2sinx,則g'(x)=2-2cos尤20,

所以在R上/'(x)單調(diào)遞增，/(0)=0,

即在(0,物)上/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

因?yàn)閏=/(log052)=/(-I)=/(1),20-5>1>0,52,

所以/(2。5)>"1)>〃().52),即a>c>b,

故選：A

6.已知函數(shù)f(x)=；x2+cosx,/'(X)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則/(X)的圖像大致是()

【解析】/(x)=ix2+cosx,則/'(x)=；x-sinx，則函數(shù)/'(X)為奇函數(shù)，排除BD；

-K0,排除A；

故選：C.

7.若函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=；x3對任意的士>々>0,不等式

恒成立，

則整數(shù)機(jī)的最小值為()

A.2B.1C.0D.-1

【答案】A

【解析】因?yàn)間(x)=；》3單調(diào)遞增，占>赴>0,所以g(xJ>g(w)>0,即g區(qū))-g(z)>0,

原不等式恒成立可化為，"g(X|)-機(jī)g(%)>XJOJ-々f。2)恒成立,

即%>%>°時(shí)，〃際(不)一%/。)>加8(X2)-尤2/。2)恒成立，

即函數(shù)人(幻=叫。)-#(力二￡/一xinx在(0,+8)上為增函數(shù)，

所以“(幻=tnx2-Inx-1N0在(0,+00)上恒成立，

、lnx+1人，/、lnx+1..、21nx+1

即nnmN——,令k(x)=——,則nM/xz)=-----；-,

xxx

當(dāng)0<Y<eW時(shí)，Mx)>0,心)單調(diào)遞增，當(dāng)x>?時(shí)，Mx)<0,以X)單調(diào)遞減，故當(dāng)

時(shí)，函數(shù)&*)=皿￥的最大值為

x2

即，恒成立，由meZ知，整數(shù)〃?的最小值為2.

故選：A

8.已知函數(shù)"司=加'_三工，若有且僅有兩個(gè)正整數(shù)，使得f(x)<0成立，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是()

91

豆’旨

c「2rl.齒）

C-L5e3,3eJ

【答案】C

【解析】由/(尤)<。且x>0,得a(x+2)(工，設(shè)g(x)=三，/z(x)=?(x+2),

exe

g，(x)=生三，已知函數(shù)g(x)在(0,2)匕單調(diào)遞增，在(2,+?>)匕單調(diào)遞減，

e

函數(shù)/7。)=〃。+2)的圖象過點(diǎn)(-2,0),-2^⑴7=-1,麥2⑵太二不1，若2(3太)=不9，結(jié)合

1—(—2)3e2—(—2)e3—(—2)5e

二、填空題

9.己知拋物線』=0(。>0)在x=l處的切線過點(diǎn)(2,1),則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

【答案】fo,1

【解析】由題意得：由*2=町可得)，=上1/,求導(dǎo)可得>'=7上》,故切線斜率為?4

aaa

故切線方程為y-±i=v7(x-l)

aa

又因?yàn)樵撉芯€過點(diǎn)(2,I),所以解得。=2

拋物線方程為V=2y,焦點(diǎn)坐標(biāo)為

故答案為：(o，；)

10.已知〃x)=(x+l)e'，函數(shù)〃x)的圖象在x=0處的切線方程為.

【答案】2x-y+l=O

【解析】由〃x)=(x+l)e'得/'(x)=e、+(x+l)e、，所以在x=0處的切線的斜率為

/,(O)=eo+(O+l)e°=2,

又/(())=【，故切點(diǎn)坐標(biāo)(0,1),所以所求的切線方程為y-l=2x,即2x-y+l=0,

故答案為：2x-y+l=0.

11.若函數(shù)/(x)=H-e>有兩個(gè)零點(diǎn)，則女的取值范圍為.

【答案】(e,M)

【解析】因?yàn)?(x)=履-e”有兩個(gè)零點(diǎn)，即丘-靖=0有兩個(gè)零點(diǎn)=：1=；Y有兩個(gè)解，即y

ke

=；與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令g(x)=?(xeR),則g'(x)=L；，

keee

所以當(dāng)時(shí)，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，g<x)<0,g(x)單調(diào)遞

減；

所以g(x)max=g6=g，又因當(dāng)X<。時(shí)，g(X)=￡<0,

當(dāng)x>0時(shí)，g(x)=W>0,當(dāng)x=0時(shí)，g(x)=±=0

要使y=:與尸三的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以即左的取值范圍為(e,+?)).

故答案為：(％+°0).

2

12.關(guān)于函數(shù)/(刈=1+;-有下列4個(gè)結(jié)論：

1+e

①函數(shù)/(力的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)中心對稱；②函數(shù)八“無零點(diǎn)；

③曲線y=/(x)的切線斜率的取值范圍為④曲線y=/(x)的切線都不過點(diǎn)

(0,0)

其中錯(cuò)誤結(jié)論為.

【答案】②③

7O9OP*

【解析】由已知：/(x)+f(-x)=x+-----X+----=----7+---7=2,故①正確；

1+e1+e1+e1+e

22-2

由/(0)=l>0,/(-2)=-2+-_-<-2+2=0(或/(—2)=-2+;~~=-~7<0)知函數(shù)

1+e1+er1+e

/(x)在(-2,0)內(nèi)有零點(diǎn)，故②不正確;

2ev2

由‘")=1-環(huán)了=l-e'+er+5且e'+eTN2當(dāng)且僅當(dāng)x=0取等號知:尸(力的值域?yàn)?/p>

川，故③錯(cuò)誤；

若曲線y=/(x)存在過點(diǎn)(0,0)的切線，設(shè)切點(diǎn)為(〃?,”，〃))，則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義與斜率公

2

式得：1__次，=_1±￡L,化簡得：(加+l)e〃'+l=o,令且(幻=*+1心+1,貝1]

(l+e〃'ym

g<x)=(x+2)e',當(dāng)x<-2時(shí)，g'(x)<0，當(dāng)/>-2時(shí)，g'(x)>0,故

ga)mm=g(-2)=l-e-2>0,所以函數(shù)g(x)無零點(diǎn)，因此方程無實(shí)數(shù)解，假設(shè)不成立，故④

正確.

綜上，錯(cuò)誤結(jié)論為：②③.

故答案為：②③.

-?、單選題

1.（2022?海南?？?二模）在核酸檢測時(shí)，為了讓標(biāo)本中。M4的數(shù)量達(dá)到核酸探針能檢測

到的閾值，通常采用PCR技術(shù)對。M4進(jìn)行快速復(fù)制擴(kuò)增數(shù)量.在此過程中，0M4的數(shù)量X,,

（單位：〃g/〃L）與PCR擴(kuò)增次數(shù)”滿足X“=X°xl.6",其中X。為OVA的初始數(shù)量.已

知某待測標(biāo)本中DNA的初始數(shù)量為/〃L,核酸探針能檢測到的DNA數(shù)量最低值為

10〃g/〃L,則應(yīng)對該標(biāo)本進(jìn)行PCR擴(kuò)增的次數(shù)至少為（）（參考數(shù)據(jù)：lgl.6a0.20,

In1.6?0.47）

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【解析】由題意知X°=0.1,Xn=10,令10=0.1x1.6"，得16=100,取以10為底的對數(shù)

2

得〃lgl.6=2,所以〃=[77=10.

1g1.6

故選：B.

2.（2022?全國?模擬預(yù)測（理））血氧飽和度是血液中被氧結(jié)合的氧合血紅蛋白的容量占全

部可結(jié)合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).正

常人體的血氧飽和度一般不低于95%,在95%以下為供氧不足.當(dāng)人體長時(shí)間處于高原、

高空或深海環(huán)境中，容易引發(fā)血氧飽和度降低，產(chǎn)生缺氧癥狀，此時(shí)就需要增加氧氣吸入

量.在環(huán)境模擬實(shí)驗(yàn)室的某段時(shí)間內(nèi)，可以用指數(shù)模型：S（/）=SoeK'描述血氧飽和度SQ）（單

位：%）隨給氧時(shí)間f（單位：時(shí)）的變化規(guī)律，其中S。為初始血氧飽和度，K為參數(shù).已

知'=57,給氧1小時(shí)后，血氧飽和度為76.若使得血氧飽和度達(dá)到正常值，則給氧時(shí)間

至少還需要（）（結(jié)果精確到0.1,加3句.1,ln4=1.4,In5?1.6）

A.0.4小時(shí)B.0.5小時(shí)C.0.6小時(shí)D.0.7小時(shí)

【答案】D

【解析】設(shè)使得血氧飽和度達(dá)到正常值，給氧時(shí)間至少還需要好1小時(shí)，

由題意可得57砂=76，57/，=95,兩邊同時(shí)取自然對數(shù)并整理，

764955

得K=In——=In—=In4—In3,A"/=In—=In—=In5—In3,

573573

貝心=粵"，手，則給氧時(shí)間至少還需要Q7小時(shí)

In4-ln31.4-1.1

故選：D

3.(2022?全國?模擬預(yù)測(理))已知函數(shù)

35

/(x)=c'+c>+1c>+lc>++1cy++4c：x"a,”為正奇數(shù))，r(x)是/⑴

DDKfl

的導(dǎo)函數(shù)，則/'(l)+/(0)=()

A.2"B.2"T

C.2"+lD.2"-'+1

【答案】D

【解析】因?yàn)?(x)=c：+c*+(ck+2c：x5++；C%*++-C>",

35kn

所以〃o)=C=i,

所以/'(x)=c：+ck+cy+.+cy-'++cyT,

則〃i)=c：+C+C++C++c：,

其中c：+c：+c：++C++C：=2"T,

所以r(l)=2"T,所以r⑴+/(O)=2"T+l；故選：D

4.(2022?江蘇蘇州?模擬預(yù)測)若x,ye(0,+oo),x+Inx=e''+siny,則()

A.ln(%-y)<0B.ln(y-x)>0C.x<e'D.y<lnx

【答案】C

【解析】設(shè)/(x)=x—sinx,x>0,則/'(x)=l—cosx20(不恒為零)，

故〃力在(0,e)上為增函數(shù)，故〃x)>〃0)=0,

所以x>sinx,故y>siny在(0,+oo)上恒成立,

所以x+Inx<e，+y=ev+Inev,

但g(x)=x+lnx為(0,+oo)上為增函數(shù)，故x<e>'即Inxcy,

所以C成立，D錯(cuò)誤.

取1=6,考慮1+e=e'+siny的解，

若y2e+1,則e'Ne*'>5>e+221+e-siny,矛盾，

故y<e+l即y-x<l,此時(shí)ln(y-x)<0,故B錯(cuò)誤.

取y=l,考?慮x+lnx=e+sinl,

若x42,則x+lnx42+ln2<3<e+1<e+sinl,矛盾，

2

故x>2,此時(shí)此時(shí)ln(x-y)>0,故A錯(cuò)誤，故選：C.

二、多選題

5.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)f（x）=alnx+x,g（x）=sinx,若6（x）=.f（x）—g（x）,

則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)a=-l時(shí)，“X）有2個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)〃=0時(shí)，/（尤）恒在g（x）的上方

C.若Mx）在（0,也）上單調(diào)遞增，則

D.若人（同在（0,2萬）有2個(gè)極值點(diǎn)，則-gwg

【答案】BC

【解析】對于選項(xiàng)A,當(dāng)a=—1時(shí)，〃x）=-lnx+x,則f'（x）=-/+l,當(dāng)x?0,l）時(shí)，

/'（x）＜0,當(dāng)x?l,田）時(shí),r（x）＞0,所以〃x）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞

增，所以/（x）的最小值為/⑴=1，即f（x）沒有零點(diǎn)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B,當(dāng)〃=0時(shí)，/?（%）=/（x）-1g（x）=x-sinx,貝ij〃（x）=l-cosx^O,所以"（x）在

（0,+8）上單調(diào)遞增，且力（力＞0,BP/（x）＞g（x）,所以B選項(xiàng)正確;

對于選項(xiàng)C,易知"（X）=2+l-cosx（x＞。），當(dāng)時(shí),因?yàn)椋ィ?,1-8SXN0,則/zr（x）＞0,

所以Mx）在（0,+8）上單調(diào)遞增，符合要求；當(dāng)”0時(shí)，則當(dāng)xe（o,-?時(shí)，?＜-2,此

時(shí)〃（力＜-2+1-3%=—。+儂力40,所以/1（X）在（0,-|）上單調(diào)遞減，不符合要求，所

以C選項(xiàng)正確；

對于選項(xiàng)D,當(dāng)OWaW；時(shí)，/f（x）=￡+l-cosxZO在（0,2兀）上恒成立，所以函數(shù)處外在

（0,2兀）單調(diào)遞增，所以函數(shù)〃（外在（0,2兀）不存在極值點(diǎn)，

行-；4a＜0時(shí)，/?x）=E+l-cosxNO在［兀,2兀）上恒成立，所以函數(shù)〃（x）在［兀,2兀）單調(diào)遞

增，所以函數(shù)Mx）在［兀,2兀）不存在極值點(diǎn)，xw（O,可時(shí)"（x）=/+l-cosx單調(diào)遞增，即函

數(shù)〃（力在（0,可至多存在個(gè)極值點(diǎn)，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.

6.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知/（x）=3xlnx-（2x-l）"則（）

A./（x）的定義域是g,+8）

B.若直線'=相和/(x)的圖像有交點(diǎn)，則機(jī)w1-8,一|ln2

?7/b

Cr.In—<-------1

63

D.ln|>-(2>/2-l)

【答案】AC

x＞01/、1

【解析】A：c，、八=xNq，所以f（X）的定義域?yàn)閺S,+8），故A正確:

lx—12U22

B：:(x)=3(lnx+l_j2xT),設(shè)g(x)=lInx+1_，2x-1,

,nil11_>/2x-1—x

貝以(力—

有g(shù)'（x）40在上恒成立，故g（x）在七,+8）上單調(diào)遞減,

且g（l）=0,所以當(dāng)xeg,l）時(shí)/'（x）＞0,當(dāng)xe（l,+8）時(shí)/'（x）＜0,

則人幻在七1）上單調(diào)遞增，在（1，??）上單調(diào)遞減，

所以〃X）M=/（1）=T，若直線丫="與f（x）的圖像有交點(diǎn)，則加4—1,故B錯(cuò)誤;

C：由B中的分析，g（￡|＜g（l）,代入得］「＜型一1,故C正確；

D：由B中的分析，代入得夜一1,故D錯(cuò)誤.

故選：AC

三、填空題

7.（2022?山東?煙臺二中模擬預(yù)測）請寫出一個(gè)定義在R上的函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱,

無最小值，且最大值為2.其解析式可以為/"）=.

【答案】一一+2或（一/+2,~W+2等）（答案不唯一）

【解析】根據(jù)題中的條件可知函數(shù)是偶函數(shù)，最大值為2,所以/（工）=-/+2滿足題中的條

件，再如〃力=-/+2,再如〃x）=TM+2等等（答案不唯一）.

故答案為：-/+2或（--+2,-W+2等）（答案不唯一）.

8.（2022?河北邯鄲?二模）已知點(diǎn)P為曲線y=?上的動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).當(dāng)最小

時(shí)，直線。尸恰好與曲線y=Hnx相切，則實(shí)數(shù)“=_.

【答案】-e

【解析】設(shè)P(x,Jnx),所以［0P|=Jd+(1)2.(lnx)2,

設(shè)g(x)=f+(：L,g，(x)=2x+(%2(lnx)」=士配，

exx

i722

當(dāng)x>—時(shí)，Inx>—1—Inx>--,2x2>—,所以g'(x)>(),g(x)單調(diào)遞增，

eee~e~

I222

當(dāng)0<xv一時(shí)Inx<—1=>——Inx<——,2x~<—y,

efe~e-e~

所以g'*)vO,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)》=，時(shí)，函數(shù)g(x)有最小值，即|。"有最小值，所以「上,-3，

eee

此時(shí)直線OP的方程為y=-X,設(shè)直線y=-X與曲線y=alnx相切丁點(diǎn)(Xo，alnx。),

,,aa,

由y==-=—=T=Xo=-a,顯然（為,。1%）在直線y=—x上，

Xx（）

則alnx°=-Xo，因此有“l(fā)n（-a）=ana=-e,故答案為：-e

9.己知函數(shù)八X）-3+Mnx（aeR）.若函數(shù)〃x）在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是.

【答案】（°，：）

【解析】由于函數(shù)不單調(diào)，則函數(shù)在定義域內(nèi)有極值點(diǎn)，,（"）-e-I+7°,°

令函數(shù)。（幻=3?*9（*）=9，所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，D上單調(diào)遞增，

在區(qū)間（1?+8）上單調(diào)遞減，5（0）=0,乂*＞。時(shí)，Q（X）＞o,g0）=之所

以aw（0,；）,

10.（2022?上海?模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)/（x）滿足/（x）=/（Wj,定義域?yàn)镺=[0,"o）,值域

為A,若集合｛引y=f（x）,xe[0,a]｝可取得A中所有值，則參數(shù)〃的取值范圍為.

【答案】[小，+8）,

【解析】令》=—[■得，x=——^或x=—--（舍去-）；

x+122

「1I%/5-1廠

當(dāng)x…叵1時(shí)，77?必]故對任意工.上口，

2--------1-12

2

都存在%e[0,叵=，工=與，故/（x）=/（x。），

2x+1

故人={丫及=/*),xe［O,,而當(dāng)Q,x<曰」時(shí)，77T>6-1J2,

2

故當(dāng)A={)，|y=/(x),*e［0,0}時(shí)?，參數(shù)。的最小值為避二1,

2

故參數(shù)。的取值范圍為［號，+8),故答案為：［與1,+8).

四、解答題

11.(2022.全國,模擬預(yù)測(理))對于區(qū)間上",〃］,卜7?,〃)，(m,n),其中">加，

統(tǒng)一將"一機(jī)稱為這四類區(qū)間的長度.已知函數(shù)f(x)=e'+x2-5(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴當(dāng)a=e+2時(shí)，求/(x)在區(qū)間［L2］上的值域的區(qū)間長度；

⑵若“X)在區(qū)間［L2］上單調(diào)遞增，那么xe［0,3］時(shí)，〃x)值域的區(qū)間的長度是否存在最小

值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴(e-1)?；(2)存在,最小值為e?-3e+4

【解析】(1)當(dāng)"=?+2時(shí)，函數(shù)/(力=6,+_?-(e+2)x,xe［l,2］,

r(x)=e*+2x-(e+2),

??"'(x)是增函數(shù),

???r(x)"(i)=o,

.?./(x)=e2+f—(e+2)x在區(qū)間［1,2］是增函數(shù)，

函數(shù)y(x)在區(qū)間［1,2］上的值域?yàn)椴?1),/(2)］=［-1看-2e］,

二值域區(qū)間的長度為e2-2e+l=(e-l)2.

⑵V函數(shù)“X)在區(qū)間［L2］上單調(diào)遞增，.?.在區(qū)間［1,2］上((x)N0,即e+2x-a>0,

,aWe+2.

①若a41,則/'(0)=1-a0,且f'(x)遞增.

在區(qū)間［0,3］上r(x)W0,從而在［0,3］上遞增，.?.函數(shù)的值域?yàn)椋?(0),”3)］,

n-m=/(3)-/(0)=(e3+9-3a)-l=e3+8-3a,

"?a<\,m=e3+8-3a2e、+5.

②若a=e+2,則/”)=e+2-a=0,且/'(x)遞增.

...在區(qū)間［0,1］上/'(x)40；在區(qū)間［1,3］上/'(%)>0,

在區(qū)間［0』上遞減,在區(qū)間［L3］上遞增,

?j=/(l)=e+l-a=-l,7z=max^/(0),/(3)}=1l,e3-3-3ej=e3-3-3e,

?*'n—m=e3—3e+4-

③若lvove+2,則r(0)=l—a<0,r(l)=e+2—〃>0,且/'(x)遞增.

???在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在x=r,使得r(r)=e'+2/—。=0,

當(dāng)無目?？缮?r(x)<o,在區(qū)間3］上,r(x)>o,

???〃力在區(qū)間［0,4上遞減,在區(qū)間1,3］上遞增

m=/(r)=e/+t2-at,n=max|/(0),/(3)|=^l,e3+9-3^|,

V1<^<e+2,/.7?=max{/(0),/(3)}=1l,e3+9-3tz|=e3+9-3tz,

/.n-m=/(3)-/(/)=(e3+9-3々)-便+Z2-at^=-er-t2+at-3a+e3+9,

)?隱零點(diǎn)/滿足：e，+2r-a=0,；?消?？傻?

n-m=Y-/2+tzr-36z+e3+9=(r-4)ez+r2-6r4-e3+9,

,不妨記力。)=。-4)e'+/-6E+63+9,re(0,1),

???〃(。=(/-3)3+2-6=?—3乂^+2)<0,

/z(r)=(r-4)e/+t2-6r+e3+9,/?0,l)遞減，.?.〃(/)￡(〃(1),〃(0))=13-3?+4看+5),

?二〃(%)>熊一3e+4,n-m>e3-3e+4.

綜上，當(dāng)。(1時(shí)，n-/w>e34-5;

當(dāng)。=e+2時(shí)，"一〃2=e，—3e+4；

當(dāng)lva<e+2時(shí)，/I—/n>e3-3e4-4?

e3+5>e3-3e+4,

:.當(dāng)a=e+2時(shí),〃一“取得最小值斯-3匕+4,

，函數(shù)/(力在x?0,3］的值域區(qū)間的長度的最小值為e'-3e+4.

12.(2022?上海?華師大二附中模擬預(yù)測)已知定義域?yàn)?。的函?shù)y=/(x).當(dāng)〃時(shí)，若

g(x)J3-/⑷(xe。，X^a)是增函數(shù)，則稱〃x)是一個(gè)“7(a)函數(shù)”.

X—C1

(1)判斷函數(shù)y=2/+x+2(xeR)是否為7⑴函數(shù)，并說明理由；

(2)若定義域?yàn)椋?,+8)的7(0)函數(shù)y=s(x)滿足s(0)=0,解關(guān)于2的不等式s(22)<2s⑵；

(3)設(shè)P是滿足下列條件的定義域?yàn)镽的函數(shù)y=w(x)組成的集合：①對任意〃eR,W(x)都

是T?函數(shù);②W(0)=W⑵=2,W(-1)=W(3)=3.若W(x)2，"對一切W(x)eP和所有xeR成

立，求實(shí)數(shù)加的最大值.

【答案】⑴是，理由見解析(2)(0,1)(3)加=1

【解析】⑴是，理由：由題，g(x)=(2x、x+2H2x『+l+2)=2x+3(xeR,.1)為增

v'x-1

函數(shù)，

故y=2d+x+2(xeR)是T⑴函數(shù).

(2)因?yàn)閥=s(x)是7(0)函數(shù)，且s(0)=0,所以g(x)=斗是[0,+8)上的增函數(shù)，

因?yàn)閟(24)有意義，所以420,顯然，2=0時(shí)不等式不成立，下設(shè)2>0,

此時(shí)5(22)<汨(2)等價(jià)于史&〈型，

222

由g(x)的單調(diào)性得,22<2,即所求不等式的解集為(0,1).

⑶由題意，W(x)是7(。)函數(shù)，故)，=也？二是增函數(shù)，從而當(dāng)x<0時(shí)，

卬(X)-2<W(2)-2=O,即W(X)>2；而W(x)是T(2)函數(shù)，故丫=絲處2是增函數(shù)，從而

當(dāng)x>2時(shí)，卬(力-2>四2k2=0,即w(x)>2,

x-20-2

當(dāng)0<x<2時(shí)，同理可得，卬(I-2>W上上且可生2VW(3)匚=[,故卬")>2-"且

x-1X-23-2

W(x)>x9W(x)>max{x,2-x)=l+|x-l|>l.

因此，當(dāng)機(jī)￡1時(shí)，對一切xcR成立.

下證，任意機(jī)>1均不滿足要求，由條件②知，m<2.

另一方面，對任意“e(l，2],定義函數(shù)%(力=午卜-『+"竺|xT|+寫，容易驗(yàn)證條

件②成立.

對條件①，任取〃eR，有%("-%(嘰S(x+“_2)+7-3MWTH“T,

x-u44x-u

注意至i」y=x+“-2是增函數(shù)，

而對當(dāng)"<1時(shí)，/?(x)=L2-2u,;當(dāng)M2時(shí)，

X-U1----------,%>1

、X-u

,2?-2?

-1----------X<]

〃(x)=,x-u',均單調(diào)不減.

nn.M-l7-3M八

因?yàn)槎?^—>0,

所以條件①成立.從而小(x)eP.此時(shí)，%⑴=等<M,

故機(jī)<M,從而m=1為所求最大值.

真題練

一、選擇題

1.(2021年高考全國乙卷理科)設(shè)a00,若x=a為函數(shù)/(x)=a(x—a)2(x—。)的極大

值點(diǎn)，貝I")

Aa<bB.a>bC.ah<a~^>-