數(shù)列分奇偶、公共項(xiàng)、重新排序、插入項(xiàng)等十一大題型（原卷版）-2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型突破（新高考）

重難點(diǎn)專(zhuān)題27數(shù)列分奇偶、公共項(xiàng)、重新排序、插入項(xiàng)等十一大題

型匯總

Onn

題型1數(shù)列分奇偶之隔項(xiàng)型........................................................1

題型2數(shù)列分奇偶之即+an+1=f(n)型.........................................2

題型3數(shù)列分奇偶之a(chǎn)ncm+1=/(n)型.............................................4

題型4數(shù)列分奇偶之含有(-1)n.................................................4

題型5數(shù)列分奇偶之含有｛a2n｝,｛a2n-1｝型.........................................6

題型6數(shù)列分奇偶之分段數(shù)列型....................................................6

題型7數(shù)列公共項(xiàng)問(wèn)題............................................................8

題型8重新排序問(wèn)題.............................................................10

題型9插入項(xiàng)問(wèn)題...............................................................13

題型10與概率統(tǒng)計(jì)結(jié)合的數(shù)列問(wèn)題................................................16

題型11新定義數(shù)列..............................................................20

題型1數(shù)列分奇偶之隔項(xiàng)型

【例題IX2023?湖南?鉛山縣第一中學(xué)校聯(lián)考三模底數(shù)列｛斯｝中，%=18%=24g+2-

an=-6.

(1)求｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)記數(shù)列｛a"的前n項(xiàng)和為S“，求無(wú)的最大值.

【變式1-1]1.(2023?天津?統(tǒng)考一模)已知數(shù)列｛即｝中,%=1,a2=2,an+2—o.n=

4(nGN*),數(shù)列｛ad的前n項(xiàng)和為％.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式：

(2)若垢=白丁，求數(shù)列｛九｝的前n項(xiàng)和7n；

32n十3九

⑶在(2)的條件下，設(shè)“=前廣,求證：6-需<歷<8-能.

u2"

少n°n+2/=l乙

【變式1-1】2.(2023?四川南充?四川省南充高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛即｝滿足：

nn

%=%,an+2-an<3,an+6-an>91-3,貝!|。2023=()

220233^20233

A.--2--1-2-B.--8--1—2

o2023o2023

C.--8D.-2-

【變式1-1]3.(2020?全國(guó)?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知數(shù)列｛時(shí)｝中,%=1,a2n—a2n-i+

n

(-l)(nGN*),a2n=a2n_2+2時(shí)】+(—1)“(nN2,且neN*),貝(1｛即｝的前20項(xiàng)的和

為

【變式1-114.(2023秋?湖南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知數(shù)列｛an｝滿足的=2g=

22

1，限2=(1+siny)an+2cosy,neN*.

Q)求數(shù)列｛a"的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛%｝滿足Q=3,求證：R+C2+???+0<3.

a2n-i

【變式1-1]5.(2021秋?浙江杭州?高三學(xué)軍中學(xué)?？计谥?已知數(shù)列｛a"的各項(xiàng)均為正

數(shù)，前傾和為%，%=2,g=4,若對(duì)任意的正整數(shù)n，有%+2=，郭]

(4>3日I^r,TL—乙K,,KtzIN

(1)求｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝滿足與=十，求證：瓦+西+…bn<|.

un-1o

【變式1-1]6.(2022秋?江蘇鹽城?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知數(shù)列｛a〃｝滿足%=a2=|，

an

n+2=an+2x3(nGW*),且垢=即+即+式兀eN*).則數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式

為?若垢。=券駕SGN*),則數(shù)列｛0｝的前n項(xiàng)和為

題型2數(shù)列分奇偶之與+an+1=f(n)型

【例題212023春?山東淄博?高三沂源縣第一中學(xué)?？计谥蠬知數(shù)列E｝的前n項(xiàng)和為Sn,

且％=4,an+an+1=4n+2(neN*),則使得Sn<2023成立的n的最大值為()

A.32B.33C.44D.45

【變式2-1]1.(2023春?遼寧鞍山?高三鞍山一中校考期中)已知數(shù)列｛an｝5GN*)的前n

項(xiàng)和為5,若Sn+1+sn=3n2+6n+3,Q1=2.

(1)記b=與+與+1判斷｛%｝是否為等差數(shù)列，若是，給出證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑵記n的前項(xiàng)和為",求”.

cn=(-l)+%-｛%｝n

【變式2-1】2.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知｛an｝是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿足的=

0,a2=3,an+1-an=(a71T+2)(an_2+2)

⑴求

a3；

證明

(2)=an_2+2,n=3,4,5,…；

(3)求｛an｝的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn.

【變式全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)圮知在數(shù)列中時(shí)】,

2-l]3.(2022??｛an｝1aL3fln+1+an=3-2

n&N*.

求數(shù)列｛冊(cè)｝的前項(xiàng)和；

(1)nSn

(2)若1<r<s且r,s€N*,是否存在直線，，使得當(dāng)?shù)?與，成等差數(shù)列時(shí)，點(diǎn)列(2「，2，)

在，上?若存在，求該直線的方程并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式2-1]4.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知%是數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和，%=1,

①M(fèi)i6N*,即+即+i=4n；②數(shù)列｛料為等差數(shù)列，且｛曰｝的前3項(xiàng)和為&從以上兩個(gè)條件

中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并求解：

⑴求即；

(2)設(shè)砥=嚴(yán)&9,求數(shù)列｛匕｝的前n項(xiàng)和

<anan+l)

【變式2-1]5.(2023秋?廣東珠海?高三珠海市第二中學(xué)校考階段練習(xí))已知數(shù)列｛即｝滿

足n是常數(shù)).

=1,a”+an+i=4?2(nCN)(4

⑴若4=0，證明｛斯｝是等比數(shù)列；

(2)若4*0,且｛即｝是等比數(shù)列，求；I的值以及數(shù)列｛(-l)n|og2a3n.l｝的前幾項(xiàng)和Sn.

【變式2-1]6.(2023秋?廣東廣州?高三廣州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))在數(shù)列｛斯｝中，

n

已知an+i+an=3?2,%=1.

Q)求證：｛an-2。｝是等比數(shù)列.

(2)求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn.

題型3數(shù)列分奇偶之a(chǎn)nan+i=f(n)型

【例題3](2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為Sn,%=2,20,

anan+l—4S”.

Q)求a”；

(2)設(shè)%=(-1)"-(3^-1),數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為T(mén)n,若vkeN,,都有Bk-i<a<72k成

立，求實(shí)數(shù)屁勺范圍.

【變式3-1]1.(2022秋?湖南衡陽(yáng)?高三衡陽(yáng)市一中校考階段練習(xí))已知數(shù)列｛an｝滿足

anan+l=2"1,且%—1.

(1)求數(shù)列｛a"的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)b=『品=，求證：1WS”<6.

a2n

【變式3-1]2.(2023秋?山東德州?高三德州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))數(shù)列｛a"滿足

anan+i—16Tl,a】=2(nGN*).

(1)求｛即｝的通項(xiàng)公式；

fan,應(yīng)為奇數(shù)

(2)設(shè)勾=,求數(shù)列｛%｝的前2n項(xiàng)和S2.

(垢_1+n,n為偶數(shù)rl

【變式3-1]3.(2023秋?江蘇?高三校聯(lián)考階段練習(xí))記多是數(shù)列｛說(shuō)的前幾項(xiàng)和，已知的=

l,an*0,且與即+1=4Sn+l,nGN.

⑴記bn=a2n,求數(shù)列｛b｝的通項(xiàng)公式；

(2)求S2o.

n

題型4數(shù)列分奇偶之含有(-1)

【例題4】(2023江西鷹潭二模)已知等差數(shù)列｛an｝滿足-.^=1,^=5,數(shù)列｛%｝的前

n項(xiàng)和sn滿足Sn=2bn-l(nGN-),則數(shù)列｛(-l)%n%｝的前n項(xiàng)和7n=.

【變式4-1]1.(2023春浙江杭州?高三杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谥?已知數(shù)列5｝的

前n項(xiàng)和%=.金,若存在正整數(shù)n,使得(p-an)(p-an_x)<0成立，則實(shí)數(shù)p

的取值范圍是.

【變式4-1】2.(2023春?河南南陽(yáng)?高三校聯(lián)考期中冶E數(shù)列&｝中，%=3,an+1=4an-

6.

(1)求｛即｝的通項(xiàng)公式.

⑵設(shè)%=4。+(~iytan,若｛%｝是遞增數(shù)列，求t的取值范圍.

【變式4-1】3.(2023春?山東日照?高三統(tǒng)考期中)在數(shù)列｛5｝中，的=0,即=2冊(cè)_1+

2n+2(nGN,,n>2).

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為Sn，且數(shù)列｛與｝滿足%=an+2，若不等式(-l)”<Sn+2n+2

對(duì)一切71eN*恒成立，求4的取值范圍.

【變式4-1】4.(2023?湖南永州統(tǒng)考三模)記正項(xiàng)數(shù)列Q｝的前n項(xiàng)積為7；，且工=1-白

anln

⑴證明：數(shù)列｛〃｝是等差數(shù)列；

⑵記勾=(一1尸?普里，求數(shù)列｛b｝的前2“項(xiàng)和S2n.

biOi+i

【變式4-1】5.(2023春?浙江杭州?高三杭州四中?？计谥?數(shù)列5｝滿足臼=1e=2,

a…[1+筆++[1-筆邛…

(1)求a3、a4，并求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛a"的前2023項(xiàng)的和52023；

(3)設(shè)砥=乎，7；=瓦+&+…+匕,證明：當(dāng)n>6時(shí)，|〃一2|<；.

a2nn

題型5數(shù)列分奇偶之含有｛回2團(tuán)｝，｛4-小型

【例題5](2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)｛%｝滿足瓦=1,回2創(chuàng)=020.1+1，020+1=

2020-1,060,則因2023=()

10122022

A.21012B.2-1C.22022口.2-1

【變式5-1]1,(2023秋訶北邯鄲?高二統(tǒng)考期末底數(shù)列偏｝中,03=64，且團(tuán)典+1=2蝴+2.

⑴證明：｛%｝，｛%-1｝都是等比數(shù)列；

(2)求｛匹｝的通項(xiàng)公式;

(3)若戛=時(shí)3%la工+13,求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)的2和t冉J+1,并比較占與高的大?。?/p>

(2嗎,團(tuán)是偶數(shù)

【變式5-1】2.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列岷｝滿足瓦=3，且%+i=\.

(%-1,團(tuán)是奇數(shù)

(1)設(shè)晚=0204-1320T，證明:他-3｝是等比數(shù)列；

(2)設(shè)數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為冤,求使得不等式叱>2022成立的n的最小值.

【變式5-1]3.(2023?云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知等差數(shù)列｛即｝的公差不為零，其前幾項(xiàng)

和為土，且a2是由和的等比中項(xiàng)，且a2n=2an+l(nGN,).

Q)求數(shù)列｛a"的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛%｝滿足的瓦+a2b2+…+砥=(2n-3)?2"i+6，求和：7“=a1bn+

a2bn-i+-+即-/2+anbt.

題型6數(shù)列分奇偶之分段數(shù)列型

對(duì)于通項(xiàng)公式分奇、偶不同的數(shù)列｛an｝求S,時(shí)，我們可以分別求出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的

和，也可以把a(bǔ)2k-l+a2k看作一項(xiàng)，求出S2k,再求S2k-l=S2k-a2k

【例題6】（2023?浙江寧波?統(tǒng)考二模）任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1;

若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈"1

-4T2-1".這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想"（又稱(chēng)"角谷猜想”等）.如取正整數(shù)日=6,

根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6->3T10T5T6->8T4T2T,共需經(jīng)過(guò)8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱(chēng)

為8步"雹程"）.猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列｛廝滿足瓦=團(tuán)（m為正整數(shù)），叫+i=

7,當(dāng)％為偶數(shù)’若團(tuán)6=2,則m所有可能取值的集合為.

3%+1,當(dāng)晚為奇數(shù).

【變式6-1]1.（天津市十二區(qū)重點(diǎn)學(xué)校2023屆高三下學(xué)期畢業(yè)班聯(lián)考（二）數(shù)學(xué)試題）

已知數(shù)列｛%｝滿足：2%+1=%+0B+2（V0GN*），正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足蹺+i=團(tuán)團(tuán)?%+2（V團(tuán)GN"）,

且2回1=回1=2,回4=回2，回5=4回3.

Q）求偏｝,｛冉｝的通項(xiàng)公式;

團(tuán)2?-1,團(tuán)為奇數(shù)

（2）已知％=，求：2慧1%；

(3/-2)%-2，團(tuán)為偶數(shù)

(00+1)(03+2+1)

（3）求證:看+/]+…+[<：.

【變式6-1]2.（山東省濟(jì)寧市2023屆高三二模擬數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列｛%｝的前01頁(yè)和為

團(tuán)酊團(tuán)+00+1=20g（0>2,0G0*）,且為=1,05=15.

Q）求數(shù)列幽3｝的通項(xiàng)公式；

f00,0為奇數(shù)

（2）若觀=',求數(shù)列｛%｝的前2回項(xiàng)和叱團(tuán).

（2—,團(tuán)為偶數(shù)

【變式6-1]3.（天津市部分區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題）已知圓｝為等差數(shù)列，數(shù)列偏｝

滿足%+1=2%（回€0*）,且比+瓦=4,團(tuán)2=4,回3=5.

（1）求低｝和例｝的通項(xiàng)公式；

樂(lè)，團(tuán)為奇數(shù)

⑵若%=%，求數(shù)列偏｝的前2甌麗；

善，團(tuán)為偶數(shù)

0

（）

Z團(tuán)=1期-^J跪=<2^4060*.

【變式6-1]4.（河北省承德市2023屆高三下學(xué)期4月高考模擬數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列｛%｝

3%+3,0為奇數(shù),

滿足必1=3,00+1

9%+2,0為偶數(shù).

⑴證明：數(shù)列畫(huà)3.1｝為等差數(shù)列；

（2）若將數(shù)列｛%｝中滿足%=%的項(xiàng)％,%（回豐回）稱(chēng)為數(shù)列｛%｝中的相同項(xiàng)，將數(shù)列｛團(tuán)上的前

40項(xiàng)中所有的相同項(xiàng)都剔除，求數(shù)列｛%｝的前40項(xiàng)中余下項(xiàng)的和.

【變式6-1]5.（2023秋?安徽宣城?高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列｛%｝滿足，％+i=

件+2，回=2回一1,國(guó)6團(tuán)*一2今日_0

I3E^-2,0=20,0ei3*，□:1-2,之肌一

⑴寫(xiě)出比，團(tuán)2，并求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵記為=求偈｝的前項(xiàng)和.

log300,10

【變式6-1]6.（2023?山東荷澤?統(tǒng)考二模）已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝滿足%-%+[=

16日,0GN*.

（1）求數(shù)列｛觀｝的通項(xiàng)公式；

（即,團(tuán)為奇數(shù)

⑵設(shè)四=1,附+1=1,求數(shù)列｛%｝的前2n項(xiàng)和降

一&+同團(tuán)為偶數(shù)

題型7數(shù)列公共項(xiàng)問(wèn)題

[方法總結(jié)]數(shù)列中的公共項(xiàng)問(wèn)題是對(duì)兩個(gè)數(shù)列合成一個(gè)新數(shù)列進(jìn)行研究，而數(shù)列中的奇、

偶項(xiàng)問(wèn)題是對(duì)一個(gè)數(shù)列分成兩個(gè)新數(shù)列進(jìn)行研究，都是要充分利用新數(shù)列的特征（等差、等

比或其他特征）求解原數(shù)列問(wèn)題

【例題7]（2023春?河北石家莊?高三石家莊市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列偏｝，四｝的

通項(xiàng)公式分別為%=3回-1和%=40-3（0e日*）,設(shè)這兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)構(gòu)成集合A,則

集合團(tuán)n｛0|0<2023,0eN*｝中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.167B.168C.169D.170

【變式7-1】1.（2021春?河北衡水?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛氏｝的

前13項(xiàng)和為附，且%=猊=-20

（1）求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

（2）已知數(shù)列｛冤｝是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，若數(shù)列｛%｝與｛為｝的公共項(xiàng)為第,

記團(tuán)由小到大構(gòu)成數(shù)列幽3｝,求｛%｝的前團(tuán)項(xiàng)和%.

【變式7-1]2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列偏｝中,團(tuán)1=1且%，而2，回7-4成

等比數(shù)列、數(shù)列｛冉｝的前n項(xiàng)和為題,滿足3%-2冉=1.

（1）求數(shù)列｛詼｝,｛甌｝的通項(xiàng)公式；

（2）將數(shù)列囑｝,｛4｝的公共項(xiàng)鬼，隈…，強(qiáng)按原來(lái)的順序組成新的數(shù)列，試求數(shù)列陞｝的

通項(xiàng)公式，并求該數(shù)列的前n項(xiàng)和即

【變式7-1]3.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）記版為公I(xiàn)：匕不為1的等比數(shù)列?的前畋和，

團(tuán)5—團(tuán)4=-802+8國(guó)1,0g=21.

Q）求偏｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)01a=1嗎匾，若由偏｝與偏｝的公共項(xiàng)從小到大組成數(shù)列｛%｝,求數(shù)列均｝的前團(tuán)項(xiàng)和嗎.

【變式7-1]4.（2022秋安徽阜陽(yáng)?高三安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)

歹!1｛匹｝的前0項(xiàng)和為%,且因5=2團(tuán)4+11,05=01+03+3.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列｛%｝由｛甌｝與｛4｝的公共項(xiàng)按從小到大的順序排列而成，求數(shù)列｛冉｝落在區(qū)間

（0,2022）內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù).

【變式7-1]5.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列傀｝的前01頁(yè)的和為%且滿足%=2%-

2B,數(shù)列他｝是兩個(gè)等差數(shù)列L4,7,10,…與4,9,14,19,…的公共項(xiàng)組成的新數(shù)列.求出數(shù)列偏｝,

｛%｝的通項(xiàng)公式；

【變式7-1】6（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）B知冤為數(shù)列｛冤｝的前0項(xiàng)和目%>0鼠+2%=

4%+3,0g=020-1,%=30.

（1）求｛匹｝的通項(xiàng)公式；

（2）將數(shù)列｛%｝與｛%｝的所有公共項(xiàng)按從小到大的順序組成新數(shù)列｛為｝，求｛4｝的前10項(xiàng)的和.

【變式7-1]7.（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且S4=

S5=-20.

（1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式;

（2）已知數(shù)列｛bn｝是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，若數(shù)列｛an｝與｛bn｝的公共項(xiàng)為am,

記m由小到大構(gòu)成數(shù)列｛cn｝,求｛cn｝的前n項(xiàng)和Tn.

【變式7-1】8（2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知數(shù)列｛2%｝是公比為4的等比數(shù)列，且滿足回2,

04，團(tuán)7成等比數(shù)列，為為數(shù)列｛%｝的前0項(xiàng)和，且即是1和4的等差中項(xiàng)，若數(shù)列｛為｝是由數(shù)列

膽a｝中的項(xiàng)依次剔除與｛%｝的公共項(xiàng)剩下的部分組成,求數(shù)列｛%｝的前100項(xiàng)和.

題型8重新排序問(wèn)題

【例題8]（2023?湖南?鉛山縣第一中學(xué)校聯(lián)考二模股正項(xiàng)數(shù)列｛跖｝的前回項(xiàng)和為%，且4%=

夠+2%—8.

Q）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）能否從｛冤｝中選出以為為首項(xiàng)，以原次序組成的等比數(shù)列強(qiáng)，限…，鬼，…,（比=1）.若能,

請(qǐng)找出使得公比最小的一組，寫(xiě)出此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出數(shù)列｛%｝的前團(tuán)項(xiàng)和朋；

若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式8-1]1.（2023?江西?高三校聯(lián)考期中）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛即｝的前日項(xiàng)和為%，且礫=蜀+

200-8，從｛颶｝中選出以以為首項(xiàng)，以原次序組成等比數(shù)列%x，叫z，…，，…，(團(tuán)=1).記

｛強(qiáng)｝是其中公比最小的原次序組成等比數(shù)列，則%=()

A.20-2B.20+2C.20-1D.2B+1

【變式8-1]2.(2022春?廣東韶關(guān)?高三樂(lè)昌一中?？茧A段練習(xí))已知al,a2，…，a是

由n(nwN*)個(gè)整數(shù)1,2，…，n按任意次序排列而成的數(shù)列，數(shù)列｛b｝滿足b=n+l-a

(k=l,2,,n).

⑴當(dāng)n=3時(shí)，寫(xiě)出數(shù)列｛a｝和｛b｝，使得a2=3b2;

⑵證明：當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),不存在滿足a=b(k=l,2，…，n)的數(shù)列｛a｝;

⑶若cl,c2，…，c是1,2，…，n按從大到小的順序排列而成的數(shù)列，寫(xiě)出c(k=l,2，…，

n),并用含n的式子表示cl+2c2+...+nc.

(參考：12+22+...+n2=in(n+1)(2n+l))

6

【變式8-1]3(2019春?浙江?高三校聯(lián)考階段練習(xí)H知數(shù)列例｝滿足現(xiàn)+i-叱=—,

0GN*且=一；.

(I)求數(shù)列｛冉｝的通項(xiàng)公式”；

C(8-1

(口)設(shè)”=(團(tuán)一團(tuán)為正整數(shù))，是否存在正整數(shù)回使戛，冤按某種次序

^)3--(，0B+1,+2

排列后成等比數(shù)列，若存在回，團(tuán)的值；若不存在，說(shuō)明理由.

【變式8-1]4.(2021?上海黃浦?統(tǒng)考一模)已知趴，02，…，取是由團(tuán)(0e0*)個(gè)整數(shù)1，

2，…，回按任意次序排列而成的數(shù)列，數(shù)列｛%｝滿足觀=回+1-%(團(tuán)=1,2,A，…，

廝是1,2,,團(tuán)按從大到小的I順序排列而成的數(shù)列，記冤=回】+2團(tuán)2+…+網(wǎng).

(1)證明：當(dāng)回為正偶數(shù)時(shí)，不存在滿足%=%(回=1,2，…，團(tuán))的數(shù)列｛與｝.

(2)寫(xiě)出%(0=1,2,…,回)，并用含團(tuán)的式子表示％.

(3)利用。一回1)2+(2一回2)2+“?+(回一%)220,證明：回1+2叱+…+0%回國(guó)+

6

1)(20+1)及瓦+2嗎+-+000>%.(參考：I2+22+…+砂=10(0+1)(20+1).)

6

【變式8-1]5.(2021?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知比,02，…，冤是由團(tuán)(0G0*)個(gè)整數(shù)1,

2,,團(tuán)按任意次序排列而成的數(shù)列，數(shù)列｛%｝滿足冤=回+1-廝(團(tuán)=1,2,-.0).

(1)當(dāng)團(tuán)=3時(shí)，寫(xiě)出數(shù)列｛詼｝和｛冉｝，使得團(tuán)2=302.

(2)證明：當(dāng)回為正偶數(shù)時(shí)，不存在滿足4=%(0=12…，回)的數(shù)列膽g｝.

(3)若瓦鳥(niǎo)，…鳥(niǎo)是1,2,…周按從大到小的順序排列而成的數(shù)列,寫(xiě)出%(團(tuán)=1,2，…,團(tuán))，

并用含團(tuán)的式子表小瓦+202+…+03團(tuán).

(參考：12+22+-+02=-0(0+1)(20+1).)

6

【變式8-1]6.(2020?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))數(shù)列限｝的前0項(xiàng)和為團(tuán)且滿足瓦=1,2啊+i=

2%+團(tuán)(團(tuán)為常數(shù)，回=1,2,3,…).

(1)求朋;

(2)若數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)目的值；

(3)是否存在實(shí)數(shù)0,使得數(shù)列｛為滿足：可以從中取出無(wú)限多項(xiàng)并按原來(lái)的先后次序排成

一個(gè)等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式8-1J7.(2023?江西?高三統(tǒng)考期中)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｛崛｝的前n項(xiàng)和為%,且4%=圖+

200-8.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)能否從｛4｝中選出以瓦為首項(xiàng)，以原次序組成等比數(shù)列即…，團(tuán)陶，…，(瓦=1).若能，

請(qǐng)找出使得公比最小的一組，寫(xiě)出此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式8-1]8.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))若數(shù)列偏｝中存在三項(xiàng)，按一定次序排列構(gòu)成

等比數(shù)列，則稱(chēng)｛冉｝為"等比源數(shù)列".

⑴已知數(shù)列偏｝為4,3,1,2,數(shù)列｛/為1,2,6,24,分別判斷｛匹｝，｛匹｝是否為"等

比源數(shù)列”，并說(shuō)明理由；

(2)已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=2底】+1,判斷｛%｝是否為"等比源數(shù)列"，并說(shuō)明理由；

(3)已知數(shù)列｛為｝為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，且比,0,%eZ(團(tuán)eN*),求證：啕為"等比源

數(shù)列”.

題型9插入項(xiàng)問(wèn)題

【例題9](2023?全國(guó)?學(xué)軍中學(xué)校聯(lián)考二模)設(shè)數(shù)列｛為｝滿足&+1=3%-20B_2(0>2),回1=

1,02=2.

(1)求數(shù)列咽a｝的通項(xiàng)公式；

(2)在數(shù)列｛%｝的任意即與%+i項(xiàng)之間,都插入團(tuán)(團(tuán)GN*)個(gè)相同的數(shù)(-1)0回，組成數(shù)列｛團(tuán)也｝,

記數(shù)列｛%｝的前回項(xiàng)的和為％,求回27的值.

【變式9-1]1.(天津市和平區(qū)2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題)已知等比數(shù)列｛%｝的前日項(xiàng)和為

團(tuán)加團(tuán)出+1=回用+2(團(tuán)G0).

Q)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)在“與％+】之間插入團(tuán)個(gè)數(shù)，使這回+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)等差數(shù)列，記插入的這團(tuán)個(gè)數(shù)之和為％,

若不等式(-1)巡<2-m對(duì)一切回e回*恒成立，求實(shí)數(shù)團(tuán)的取值范圍；

⑶記%=看，求證：鬻+督+…+1<71(06日)

log20p]W12V?2)

【變式9-1]2.(福建省2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期質(zhì)優(yōu)生"筑夢(mèng)”聯(lián)考數(shù)學(xué)試題)數(shù)列

｛?。那盎仨?xiàng)和為%比=2,比=4且當(dāng)團(tuán)>2時(shí)，3/T，200,00+1+2a成等差數(shù)列.

⑴計(jì)算03，%，猜想數(shù)列俄｝的通項(xiàng)公式并加以證明；

(2)在冉和冤+】之間插入回個(gè)數(shù),使這團(tuán)+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為為的等差數(shù)列，在數(shù)列｛踞｝中

是否存在3項(xiàng)%甌%(其中團(tuán),回力成等差數(shù)列)成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式9-1]3.（2023春?遼寧錦州?高三校考期中）記即為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛跖｝的

前n項(xiàng)和，回3=14,且03，302,即成等差數(shù)列.

（1）求｛匹｝的通項(xiàng)公式；

⑵在“和跟+】之間插入n個(gè)數(shù)使得這（回+2）個(gè)數(shù)依次組成公差為“的等差數(shù)列求數(shù)列身

的前n項(xiàng)和

【變式9-1]4.（2023春?山東荷澤?高三統(tǒng)考期末）已知等比數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為弱，且

團(tuán)出+1—2團(tuán)團(tuán)+2（0GN）.

Q）求數(shù)列幽3｝的通項(xiàng)公式；

（2）如圖,

團(tuán)1，團(tuán)n，團(tuán)2

團(tuán)2,團(tuán)21,團(tuán)22,回3

團(tuán)3,團(tuán)31,團(tuán)32,團(tuán)33,團(tuán)4

團(tuán)加％1，團(tuán)團(tuán)2,…，回豳，團(tuán)13+1

數(shù)陣的第回（團(tuán)eN*）行是%與4+1之間插入n個(gè)數(shù)組島2,…,%,由這團(tuán)+2個(gè)數(shù)所組成,且這

0+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，記團(tuán)8|—團(tuán)11+2021+3團(tuán)31+…+03）81+011+2022+3團(tuán)33+…+團(tuán)團(tuán)能＜

求即

【變式9-1]5.（2023春浙江杭州?高三浙江大學(xué)附屬中學(xué)期中）已知數(shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和

為%,且|團(tuán)團(tuán)+1=00.

Q）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）在國(guó)和%+】之間插入n個(gè)數(shù)使得這（團(tuán)+2）數(shù)依次組成公差為%的等差數(shù)列求數(shù)列圖的

前n項(xiàng)和%.

【變式9-1】6.（2023春?云南玉溪?高三云南省校考階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列

｛甌｝滿足，因1=2,且2+i—00+100+00+1—20g+200.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵在生與生+】之間插入n個(gè)數(shù)，使這回+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為%的等差數(shù)列，若%=白+

團(tuán)

5+…+W'求證：14%<3.

團(tuán)2的3

【變式9-1】7(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)風(fēng)為數(shù)列偈｝的前n項(xiàng)和,已知%=3/.

⑴證明：%=3-2回；

(2)保持?jǐn)?shù)列｛甌｝中各項(xiàng)先后順序不變，在冤與比+】之間插入數(shù)列｛(團(tuán)+1).20｝的前k項(xiàng)，使

它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列：瓦，2?2】，附，2?2】，3?22,回3,2?2】，3?22,4?23,

04，…，求這個(gè)新數(shù)列的前50項(xiàng)和.

【變式9-1】8.(2023春?上海?高三校聯(lián)考階段練習(xí))在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插

入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱(chēng)為該數(shù)列的一次"和擴(kuò)充".如數(shù)列1,

2第1次"和擴(kuò)充"后得到數(shù)列1,3,2,第2次"和擴(kuò)充"后得到數(shù)列1,4,3,5,2.

設(shè)數(shù)歹Ua,b,c經(jīng)過(guò)第n次"和擴(kuò)充"后所得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)記為%,所有項(xiàng)的和記為為.

(1)若回=1,0=2,0=3,求日2,團(tuán)2；

⑵設(shè)滿足觀>2023的n的最小值為/,求跳及團(tuán)圖(其中岡是指不超過(guò)X的最大整數(shù)，如

[1.2]=1,[-2.6]=-3)；

⑶是否存在實(shí)數(shù)a,b,c,使得數(shù)列陶為等比數(shù)列？若存在，求0,b,c滿足的條件；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式9-1]9.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知正項(xiàng)數(shù)列偈｝的前n項(xiàng)和為，且團(tuán)】=1,

團(tuán)。+1—夠=8回,0GN".

Q)求附；

(2)在數(shù)列｛冤｝的每相鄰兩項(xiàng)4,4+1之間依次插入01,02，,??，得,得到數(shù)列｛%｝:01,

團(tuán)1,02，團(tuán)1，團(tuán)2，團(tuán)3，同，田2，嗎，團(tuán)4，……，求他｝的前100項(xiàng)和.

【變式9-1]10.（2023春?重慶沙坪壩?高三重慶八中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝是等差

數(shù)列，其前酬口為/,,數(shù)列｛圈滿足團(tuán)網(wǎng)+編=（團(tuán)-）日+

02=2,09=450202+…%1?21

（1）求數(shù)列｛為｝,｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若對(duì)數(shù)列｛%｝，｛%｝,在為與崛+i之間插入嗎個(gè)2（0eN*）,組成一個(gè)新數(shù)列也3｝,求數(shù)

列陞｝的前2023項(xiàng)的和團(tuán)2023.

題型10與概率統(tǒng)計(jì)結(jié)合的數(shù)列問(wèn)題

【例題10]（河北省承德市2023屆高三下學(xué)期4月高考模擬數(shù)學(xué)試題）某校高三年級(jí)有

0（0>2,06N*）個(gè)班，每個(gè)班均有（回+30）人，第團(tuán)（0=1,2,3,…，團(tuán)）個(gè)班中有（團(tuán)+10）個(gè)女生,

余下的為男生.在這n個(gè)班中任取一個(gè)班，再?gòu)脑摪嘀幸来稳〕鋈耍舻谌稳〕龅娜饲?/p>

為男生的概率是《，則”.

【變式10-111（2023春?上海黃浦?高二上海市大同中學(xué)校考階段練習(xí)圮知正三角形團(tuán)釀，

某同學(xué)從A點(diǎn)開(kāi)始，用擲骰子的方法移動(dòng)棋子.規(guī)定：①每擲一次骰子，把一枚棋子從三角

形的一個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)到另一個(gè)頂點(diǎn).②棋子移動(dòng)的方向由擲骰子（點(diǎn)數(shù)為1-6）決定，若擲出

骰子的點(diǎn)數(shù)大于3,則按逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)；若擲出骰子的點(diǎn)數(shù)不大于3,則按順時(shí)針?lè)较蛞?/p>

動(dòng).設(shè)擲骰子次時(shí)，棋子移動(dòng)至胞,團(tuán),日處的概率分別為冤（田，（）礴（回）.例如：擲骰子一

n000,

次時(shí)，棋子移動(dòng)到回曾,也的概率分別為瓦國(guó)）=0,%（回）=團(tuán)（團(tuán)）=：.當(dāng)擲骰子7次時(shí)，棋

子移動(dòng)到A處的概率叫（回）值為.

【變式10-1】2.（多選X浙江省91高中聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）

已知紅箱內(nèi)有5個(gè)紅球、3個(gè)白球，白箱內(nèi)有3個(gè)紅球、5個(gè)白球，所有小球大小、形狀完

全相同.第一次從紅箱內(nèi)取出一球后再放回原袋，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱

子內(nèi)取出一球，然后放回原袋，依次類(lèi)推，第回+1次從與第團(tuán)次取出的球顏色相同的箱子內(nèi)

取出一球，然后放回去.記第團(tuán)次取出的球是紅球的概率為%,數(shù)列｛%｝前0項(xiàng)和記為為，則下

列說(shuō)法正確的是（）

17

A.02=5B.4團(tuán)團(tuán)+2+%=5嗎+i

C.當(dāng)回?zé)o限增大，”將趨近于ID.%=,3團(tuán)+1-

5o\4/

【變式10-1】3.（2023春?山東濱州?高二校聯(lián)考期中）某中學(xué)以學(xué)生為主體，以學(xué)生的興

趣為導(dǎo)向，注重培育學(xué)生廣泛的興趣愛(ài)好，開(kāi)展了豐富多彩的社團(tuán)活動(dòng)，其中一項(xiàng)社團(tuán)活動(dòng)

為《奇妙的化學(xué)》，注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.本社團(tuán)在選拔賽階段，共設(shè)兩輪比

賽.第一輪是實(shí)驗(yàn)操作，第二輪是基礎(chǔ)知識(shí)搶答賽.第一輪給每個(gè)小組提供5個(gè)實(shí)驗(yàn)操作

的題目，小組代表從中抽取2個(gè)題目，若每個(gè)題目的實(shí)驗(yàn)流程操作規(guī)范可得10分，否則得

0分.

Q）已知某小組會(huì)5個(gè)實(shí)驗(yàn)操作題目中的3個(gè)，求該小組在第一輪得20分的概率；

（2）已知恰有甲、乙、丙、丁四個(gè)小組參加化學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的搶答比賽，每一次由四個(gè)小組中

的一個(gè)回答問(wèn)題，無(wú)論答題對(duì)錯(cuò)，該小組回答后由其他小組搶答下一問(wèn)題，且其他小組有相

同的機(jī)會(huì)搶答下一問(wèn)題.記第團(tuán)欠回答的是甲的概率是即，若回1=1.

①求團(tuán)3和團(tuán)4；

②寫(xiě)出叫與甌之間的關(guān)系式,并比較第9次回答的是甲和第10次回答的是甲的可能性的

大小.

【變式10-1】4.（2023春?江西景德鎮(zhèn)?高三景德鎮(zhèn)一中校考期中）馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)

中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語(yǔ)言處理、金融領(lǐng)

域、天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…%_2，

廝_1,4那么%+1時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴(lài)前一狀態(tài)%,即曬+11…

，叫1-2，/-”％）=團(tuán)典1+11觀I）-

現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型.

假如一名賭徒進(jìn)入賭場(chǎng)參與一個(gè)賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%,且每局賭贏可以

贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%,且賭輸就要輸?shù)?元.賭徒會(huì)一直玩下去，直到

遇到如下兩種情況才會(huì)結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金

達(dá)到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博.記賭徒的本金為回但GN*,0<0）,賭博過(guò)程如下圖的數(shù)軸

所示.

0.50.5

0.50.5

當(dāng)賭徒手中有n元（0<?式團(tuán)，團(tuán)6N）時(shí)，最終輸光的概率為國(guó)（回），請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

⑴請(qǐng)直接寫(xiě)出團(tuán)（0）與團(tuán)值）的數(shù)值.

⑵證明｛回（回）｝是一個(gè)等差數(shù)列，并寫(xiě)出公差d.

（3）當(dāng)日=100時(shí)，分別計(jì)算0=200,0=1000時(shí),團(tuán)（團(tuán)）的數(shù)值，并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)團(tuán)T8時(shí)，

團(tuán)（團(tuán)）的統(tǒng)計(jì)含義.

【變式10-1】5.（2023春?重慶沙坪壩?高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）某轄區(qū)組織居民接種

新冠疫苗，現(xiàn)有A,B,C,D四種疫苗且每種都供應(yīng)充足.前來(lái)接種的居民接種與號(hào)碼機(jī)產(chǎn)

生的號(hào)碼對(duì)應(yīng)的疫苗，號(hào)碼機(jī)有A,B,C,D四個(gè)號(hào)碼，每次可隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)號(hào)碼，后一

次產(chǎn)生的號(hào)碼由前一次余下的三個(gè)號(hào)碼中隨機(jī)產(chǎn)生，張醫(yī)生接種A種疫苗后，再為居民們

接種，記第n位居民（不包含張醫(yī)生）接種A,B,C,D四種疫苗的概率分別為

啾回）島（回），即?鳥(niǎo)（團(tuán)）.

⑴第2位居民接種哪種疫苗的概率最大；

（2）證明：00（0）=00（0）=%電；

（3）張醫(yī)生認(rèn)為,一段時(shí)間后接種A,B,C,D四種疫苗的概率應(yīng)該相差無(wú)幾，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)

算第10位居民接種A,B,C,D四種的概率，解釋張醫(yī)生觀點(diǎn)的合理性.

10

參考蜂：（I7工5.1xIO?g）工1.7x10-5,（I7工2.0x10-3,（J】。工98*io-4

【變式10-1】6.（2023春?廣東汕頭?高三汕頭市潮陽(yáng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）第22屆世

界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔爾舉辦.在決賽中，阿根廷隊(duì)通過(guò)點(diǎn)球戰(zhàn)

勝法國(guó)隊(duì)獲得冠軍.

I

GFIFWAWORLDRCUP

Q）撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左、中、右三個(gè)

方向射門(mén)，門(mén)將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左、中、右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球，而且門(mén)將即使方

向判斷正確也有|的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門(mén)將在前三

次撲到點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；

（2）好成績(jī)的取得離不開(kāi)平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙三名前鋒隊(duì)員在某次傳接球的訓(xùn)練中，

球從甲腳下開(kāi)始，等可能地隨機(jī)傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機(jī)

傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接住.記第n次傳球之前

球在甲腳下的概率為pn,易知比=1,團(tuán)2=0.

①試證明：｛%-m為等比數(shù)列；

②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為qn,比較plO與qlO的大小.

【變式10-1】7.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）某游戲中的角色"突擊者”的攻擊有一段冷

卻時(shí)間（即發(fā)動(dòng)一次攻擊后需經(jīng)過(guò)一段時(shí)間才能再次發(fā)動(dòng)攻擊）.其擁有兩個(gè)技能，技能一

是每次發(fā)動(dòng)攻擊后有;的概率使自己的下一次攻擊立即冷卻完畢并直接發(fā)動(dòng)，該技能可以連

續(xù)觸發(fā)，從而可能連續(xù)多次跳過(guò)冷卻時(shí)間持續(xù)發(fā)動(dòng)攻擊；技能二是每次發(fā)動(dòng)攻擊時(shí)有扣勺概

率使得本次攻擊以及接下來(lái)的攻擊的傷害全部變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，但是多次觸發(fā)時(shí)效果不可

疊加（相當(dāng)于多次觸發(fā)技能二時(shí)僅得到第一次觸發(fā)帶來(lái)的2倍傷害加成）.每次攻擊發(fā)動(dòng)時(shí)

先判定技能二是否觸發(fā)，再判定技能一是否觸發(fā).發(fā)動(dòng)一次攻擊并連續(xù)多次觸發(fā)技能一而帶

來(lái)的連續(xù)攻擊稱(chēng)為一輪攻擊，造成的總傷害稱(chēng)為一輪攻擊的傷害.假設(shè)"突擊者”單次攻擊

的傷害為1,技能一和技能二的各次觸發(fā)均彼此獨(dú)立：

Q）當(dāng)"突擊者”發(fā)動(dòng)一輪攻擊時(shí)，記事件A為"技能一和技能二的觸發(fā)次數(shù)之和為2",事

件B為"技能一和技能二各觸發(fā)1次"，求條件概率！3回回）

（2）設(shè)n是正整數(shù)，"突擊者”一輪攻擊造成的傷害為2回的概率記為%,求%.

題型11新定義數(shù)列

、，*

一:界一劃重點(diǎn)

解新定義題型的步驟：（1）理解"新定義"——明確"新定義"的條件、原理、方法、步驟

和結(jié)論.（2）重視"舉例"，利用"舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用"新定義"；歸納"舉例"

提供的解題方法.歸納"舉例”提供的分類(lèi)情況.（3）類(lèi)比新定義中的概念、原理、方法，解決

題中需要解決的問(wèn)題.

【例題111（2023?陜西商洛?陜西省丹鳳中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列5｝滿足的=

-a

-l,n（an+1n）=（記a）為不小于的最小整數(shù)，bn=（an）,則數(shù)列｛%｝的前2023

項(xiàng)和為（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

【變式11-1】1.（2023秋?北京海淀?高三首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）斐波那契

數(shù)列又稱(chēng)為黃金分割數(shù)列，在現(xiàn)代物理、化學(xué)等領(lǐng)域都有應(yīng)用.斐波那契數(shù)列｛5｝滿足％=

a2=l,an=an_i+an_2（n>3,nGN）給出下列四個(gè)結(jié)論：

①存在血GN*,使得」，am+1,a^+2成等差數(shù)列；

②存在meN*,使得?，am+1,am+2成等比數(shù)列；

③存在常數(shù)t，使得對(duì)任意nGN*,都有a”,tan+2,an+4成等差數(shù)列；

④存在正整數(shù)&,%，…>i-m'且"<i2<""<imi使得+%+??,+a-im=2023.

其中所有正確的個(gè)數(shù)是（）

A.ljB.2jC.3jD.4j

【變式11-1】2.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國(guó)古代數(shù)學(xué)研究做出了

杰出貢獻(xiàn)，他的著名研究成果"楊輝三角"記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中

的“垛積術(shù)”問(wèn)題介紹了高階等差數(shù)列，以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是

從數(shù)列的第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4個(gè)為

1,3,7,13,則該數(shù)列的第13項(xiàng)為（）

A.156B.157C.158D.159

【變式11-1]3.（2023秋河南洛陽(yáng)?高三洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列5｝

中，如果存在非零的常數(shù)T,使得即+T=即對(duì)于任意正整數(shù)n均成立，那么就稱(chēng)數(shù)列｛七｝為

周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列｛斯｝的周期.已知數(shù)列｛f｝滿足x4+2=-$1