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文檔簡介
重難點專題25數(shù)列通項公式二十三大題型匯總
題型1公式法....................................................................1
題型2累加法....................................................................2
題型3累乘法....................................................................4
題型4已知前n項和Sn消Sn型.....................................................5
題型5已知前n項和Sn消an型.....................................................7
題型6待定系數(shù)法................................................................8
題型7與概率結(jié)合問題...........................................................10
題型8倒數(shù)法...................................................................11
題型9同除型...................................................................12
題型10因式分解型..............................................................13
題型11新數(shù)列前n項和型........................................................14
題型12取對數(shù)型................................................................16
題型13三階遞推型..............................................................17
題型14前n項積求通項..........................................................18
題型15函數(shù)遞推型..............................................................19
題型16周期數(shù)列型..............................................................20
題型17奇偶討論型..............................................................21
題型18不動點法................................................................22
題型19重新組合新數(shù)列型........................................................23
題型20重新排序型..............................................................24
題型21整除相關(guān)................................................................25
題型22斐波那契數(shù)列............................................................26
題型23數(shù)學文化相關(guān)............................................................28
題型1公式法
5^^
f壬?占、、、
公式法:根據(jù)等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式%=%+(n-l)d,或即=a】qn-i進行求解;
【例題11(2023秋湖北武漢?高三武漢市第四十九中學??茧A段練習)已知%是等比數(shù)列
n
{an}的前n項和,且Sn=2+i+a,則ag+a2a3+…+aio?n=()
13
A.223-8B.2-8c.220-1D.225-8
3333
【變式1-1]1.(2023?河北秦皇島?統(tǒng)考模擬預測)北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中首
創(chuàng)的“隙積術(shù)",就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題.現(xiàn)有一貨物堆,從上向下查,第一層
有1個貨物,第二層比第一層多2個,第三層比第二層多3個,以此類推,記第n層貨物
的個數(shù)為an,則使得即>2n+2成立的n的最小值是()
A.3B.4C.5D.6
【變式1-1J2.(2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考開學考試)已知數(shù)列{即}滿足的=1,且%+1=
an+2,數(shù)列{九}滿足d=1,bn+1-bn=0n+i,則第的最小值為().
A.-B.5C.4V2D.-
33
【變式1-1]3.(2023?四川校聯(lián)考模擬預測)在數(shù)列&}中,VneW\0n+]=穌,且
2<的<3,則下列結(jié)論成立的是()
aaaa
A-0,2022<2020B.CZ2020+2022>2021+2023
C-<12022+a2023<2^2021D.(12023>a2021
【變式1-U4..(2023?全國?高三專題練習)數(shù)列{即}的前n項和為%,滿足土+i-2Sn=
1-n,且Si=3,則{an}的通項公式是_____二
【變式1-1]5.(2023新疆喀什統(tǒng)考模擬預測)已知等比數(shù)列&}的前n項和為又,且=
A-3n-1,則as=()
A.54B.93C.153D.162
【變式1-1】7.(2023河南校聯(lián)考模擬預測)若{an-2n}是等比數(shù)列,且的=5g=89,
則第3=()
A.3"-2B.3"-1C.3"+2D.3"+1
題型2累加法
步劃重點
累加法:當數(shù)列{斯}中有即-即_】=f(n),即第n項與第n-1項的差是個有規(guī)律的數(shù)列,
就可以利用這種方法;
【例題212023?全國?高三專題練習H知數(shù)列{5}滿足=2"2n=?2n-i+3n(nGN*),
n+1
a2n+1=a2n+(-l)(neN*),則數(shù)列5}第2023項為()
.31012-531O12-3
A.D.
22
C31011-5D3llm-3
"2'2
【變式2-l]l.(2023秋?遼寧沈陽?高三沈陽二中??奸_學考試)已知數(shù)列|{斯}中,a】=1,
*1一;=(1+;)M,n6N*.若對于任意的te[1,2],不等式詈<-2t2-(a+l)t+a2-
a+2恒成立,則實數(shù)a可能為()
A.-4B.-1C.0D.2
【變式2-1]2.(2023秋?江西宜春?高三江西省??茧A段練習)已知定義數(shù)列
Sn+i-冊}為數(shù)列{即}的"差數(shù)列",若的=2,{an}的"差數(shù)列"的第九項為2九,則數(shù)列{an}
的前2023項和52023=()
2024
A.22°22-IB.22022c.2D,22°24_2
【變式2-1】3.(2023?全國?高三專題練習)北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙
積術(shù)",就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題.現(xiàn)有一貨物堆,從上向下杳,第一層有1個
貨物,第二層比第一層多2個,第三層比第二層多3個,以此類推,記第n層貨物的個數(shù)
為即,則數(shù)列{萱}的前2023項和為()
A?2[1-島)[B.2[1-島
C.4(1-(―)2]D.4[1-(―)2]
[\20237J[\20247J
l,n=1,2
【變式2-1】4(2023?全國?高三專題練習后知數(shù)列{冊}滿足:a=
n^n—l+^?i-2,九N3
端+a升退+???+*
右,則m=()
Q10=am
A.8B.9C.10D.11
【變式2-1]5.(2023?全國?高三專題練習)南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法
通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前
后兩項之差并不相等,但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對這類高階等差數(shù)列的研究,
在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)"現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7項分別為1,4,8,14,23,
36,54,則該數(shù)列的第19項為()
(注:1222+32+-+n2
+6
A.1624B.1198C.1024D.1560
【變式2-1]6.(2023?全國?高三專題練習)如圖,有一列曲線P。,Pi,P2,…已知與所圍
成的圖形是面積為1的等邊三角形,Pk+i是對外進行如下操作得到:將外的每條邊三等分,
以每邊中間部分的線段為邊向外作等邊三角形,再將中間部分的線段去掉(fc=0,1,21
記又為曲線匕所圍成圖形的面積。則數(shù)列{S"的通項公式.
A
題型3累乘法
劃重點
累乘法:當數(shù)列{即}中有a=/(n),即第n項與第n-1項商是個有規(guī)律的數(shù)列,就可以
an-i
利用這種方法;
【例題3](2023河南模擬預測)已知數(shù)列{而}滿足皿瑪=2n,=l,^?=()
an+i-anai2023
A.2023B.2024C.4045D.4047
【變式3-1】1.(2023?全國?高三專題練習)南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了
高階等差數(shù)列的問題,即一個數(shù)列{冊}本身不是等差數(shù)列,但從S"數(shù)列中的第二項開始,
每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列{砥}(則稱數(shù)列{%}為一階等差數(shù)列),或者{%}仍舊不是
等差數(shù)列,但從{b)數(shù)列中的第二項開始,每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列{”}(則稱數(shù)
列?。秊槎A等差數(shù)列),依次類推,可以得到高階等差數(shù)列.類比高階等差數(shù)列的定義,
我們亦可定義高階等比數(shù)列,設(shè)數(shù)列L128,64,…是一階等比數(shù)列,則該數(shù)列的第8項曷)
A.25B.2C.221D.228
【變式3-1]2.(2023河南駐馬店?統(tǒng)考模擬預測)設(shè)數(shù)列5}的前幾項和為g,a3=4,
且即+i=(1+W)廝,若2Sn+12>k即恒成立,貝業(yè)的最大值是()
A.2710+1B.-3C.-2D.8
【變式3-1]3.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列{&}滿足%=1,般何=
(n-l)7^7(n>2,nGN-),且即勾=sin等(neN*),則數(shù)列{4}的前18項和為()
A.-3B.-54C.-3V3D.-54V3
【變式3-1]4.(2023秋?湖北?高三校聯(lián)考階段練習)定義:在數(shù)列{廝}中,皿—皿=
an+ian
d(n6N*),其中d為常數(shù),則稱數(shù)列{冊}為"等比差”數(shù)列.已知"等比差"數(shù)列{即}中,
%==1,。3=3,則3=()
^22
A.1763B.1935C.2125D.2303
題型4已知前n項和打消%型
步劃重點
Sn與斯的關(guān)系式法:由右與斯的關(guān)系式,類比出2_i與即_】的關(guān)系式,然后兩式作差,最
后檢驗出七,是否滿足用上面的方法求出的通項;
【例題41(2023秋?湖南長沙?高三湖南師大附中??茧A段練習)已知數(shù)列{即}的前n項和為
Sn,若%=1,an+1=2Sn(nGN*),則有()
A.{斯}為等差數(shù)列B.{an}為等比數(shù)列
C.{Sn}為等差數(shù)列D.{S"為等比數(shù)列
【變式4-1】1.(2023?全國?高三專題練習)已知正項數(shù)列5}的前"項和為無,且%=2,
5n+1。71+1—3與=5?(5?+3與,貝的2023=()
A.32023-IB.32023+ic,竺生D,父絲匚
22
【變式4-1】2.(2023春?湖南長沙?高三校聯(lián)考階段練習)數(shù)列{斯}的前71項和為Sn,滿足
Sn+1+Sn-=2Sn-嗎5>2).%Gg,1),則下列結(jié)論中錯誤的是()
1
A.0<an+1<anB.2M由<
n11
----V2nD.cc>—
Z"Qj---------------------------n------Tl+2
【變式4-1】3.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列{廝}的前n項和%滿足%+1+Sn=n,
有結(jié)論:
①右由——1,則52023-1010;
②數(shù)列{an+1+5}是常數(shù)列.
關(guān)于以上兩個結(jié)論,正確的判斷是()
A.①成立,②成立B.①成立,②不成立
C.①不成立,②成立D.①不成立,②不成立
【變式4-1]4.(2023?甘肅張掖???寄M預測)已知數(shù)列{即}的前n項和
為Sn/右%=2,Sn=Sn+i—3an—2,S2()—()
A.%B.32-20C.8-竺D.上-竺
22222
【變式4-1】5.(2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學校考模擬預測)已知又是各項均為正
數(shù)的數(shù)列{5}的前n項和,Sn+1=2(tin+,a3a5=64,若Aa”-S2n-65<。對n6N*
恒成立,則實數(shù)4的最大值為()
A.8V2B.16C.16V2D.32
【變式4-1】6.(2023春?江西鷹潭?高三貴溪市實驗中學??茧A段練習)已知數(shù)列{冊}的前
n項和Sn滿足L=2an-4,數(shù)列{%}滿足%=在二,則下列各式一定成立的是()
an
A.bn>brB.bn>b2C.bn<b2D.bn<b3
【變式4-1】7.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列{an}的前n項和為%,%=[an+1-
3Sn=gSeN*),設(shè)砥=?。荩ǎ踴]表示不超過x的最大整數(shù)),則數(shù)列{匕}的前2023項和
72023=()
42。24-2027D42。24-607342O23-2027p.42023-6073
A.-----------------D.-----------------Cr.-----------------U.-------
9999
題型5已知前n項和S,消a”型
邛劃重點
Sn與斯的關(guān)系式法:由右與斯的關(guān)系式,類比出與an_j的關(guān)系式,然后兩式作差,最
后檢驗出%,是否滿足用上面的方法求出的通項;
【例題5](2023?全國?高三專題練習)已知各項都是正數(shù)的數(shù)列{即}的前加頁和為上,且S”=
?則錯誤的選項是()
22an
A.{梟}是等差數(shù)列B,Sn+Sn+2<2Sn+1
C?Q/i+i>D?S九一T-NInn
?
【變式5-1]1.(2023全國?高三專題練習)設(shè)又是數(shù)列{an}的前n項和,且%=-l,an+1=
SnSn+i,則下列選項錯誤的是()
1(-l,n=1
A.an=——B.an=<ii、、_
2"Tv-n--l----n-,n>2,nGN
c.數(shù)列信}為等差數(shù)列D.2+a+..+S-=-5050
Si。。
?
【變式5-1]2.(2023全國?高三專題練習)數(shù)列{〃}的前幾項和為Sn,%=]若該數(shù)列
滿足須+2s71sH_i=0(n>2),則下列命題中錯誤的是()
A.{J是等差數(shù)列B.Sn=/
C.a=-T^D.{S2“}是等比數(shù)歹U
nzn(n—ij
【變式5-l】3.(2023?河南?鄭州一中校聯(lián)考模擬預測圮知數(shù)列{an}的前n項和為Sn凸=1,
且—1+i)sn=nSn-i+an(n>2且nGA/*),若=,則k=()
A.46B.49C.52D.55
【變式5-1]4.(2022秋?寧夏?高三六盤山高級中學??计谀┮阎譃閿?shù)列{5}的前幾項
和,的=1,a^+i+2szi=2n+1,則S2022=()
A.1011B.2022C.3033D.4044
【變式5-l]5.(2023?四川攀枝花統(tǒng)考二模)已知正項數(shù)列5}的前n項和為又,且2a,Sn=
1+欣,設(shè)垢=log?第,數(shù)列{%}的前n項和為7;,則滿足7;22的n的最小正整數(shù)解為
()
A.15B.16C.3D.4
題型6待定系數(shù)法
在數(shù)列{喇中,an=kan7+b(k、b均為常數(shù),且kwl,QO).
一般化方法:設(shè)即+m=fc(an-i+m),得到b=(k-l)m,m=占,可得出數(shù)列
{即+含}是以k的等比數(shù)列,可求出a“;
【例題6】(2023?全國?高三專題練習)高斯是德國著名的數(shù)學家,近代數(shù)學奠基者之一,
享有"數(shù)學王子"的稱號.用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)f(x)=[%],其中田表示不超
過x的最大整數(shù).已知正項數(shù)列5}的前n項和為%,且S.=4(即+J,令以=布匕,
則[瓦+尻+…+如]=()
A.7B.8C.17D.18
【變式6-1】1.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列的前n項和為%,若S“+an=
n(neN*),則10§2(1-?023)=()
A.-2023B.--—C.—D.2023
20232023
【變式6-1]2.(2023?全國?高三專題練習)數(shù)列{即}滿足的=4,即+1=3即-2,Vn€
N*,2(a?-1)<an-28,則實數(shù)4的取值范圍是()
A.(—oo,—9)B.(—oo,—8)
C.(—12,—9)D.(—12,—7)
【變式6-1]3.(2023?全國?高三專題練習)在正三棱柱71BC-4出的中,若4點處有一只
螞蟻,隨機的沿三棱柱的各棱或各側(cè)面的對角線向相鄰的某個頂點移動,且向每個相鄰頂點
移動的概率相同,設(shè)螞蟻移動n次后還在底面4BC的概率為分,有如下說法:①B1:②。?=
H;③{匕-引為等比數(shù)列;④4=-2x(-+J其中說法正確的個數(shù)是()
A.1B.2C.3D.4
【變式6-1]4.(2023?全國?高三專題練習)在數(shù)列|{斯}中,%=14,需=翡-3,則()
A.像+3}是等比數(shù)列B.僧-3}是等比數(shù)列
C.償+1}是等比數(shù)列D.償-1}是等比數(shù)列
題型7與概率結(jié)合問題
【例題7](2023?全國?高三專題練習)某公司員工食堂每天都有米飯和面食兩種套餐,
已知員工甲每天中午都會在這兩種套餐中選擇一種,米飯?zhí)撞偷膬r格是每份18元,面食套
餐的價格是每份12元,如果甲當天選擇了某種套餐,他第二天會有60%的可能性換另一種
類型的套餐,假如第1天甲選擇了米飯?zhí)撞?,第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿樨?,給出以下
論述:
①「3=0.52;
②匕=0.4Pn-i+0.6(1-Pn_i)(n>2,neN);
③&=0.4+0.5x(-0.2)時1
④前k天甲午餐總費用的數(shù)學期望為15k
其中正確的是()
A.②③④B.①②④C.①③④D.①②③
【變式7-1]1.(2023?全國?高三專題練習)甲、乙、丙三人相互做傳球訓練,第1次由甲
將球傳出,每次傳球時,傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人,貝116次傳球
后球在甲手中的概率為.
【變式7-1]2.(2023?全國?高三專題練習)有人玩都硬幣走跳棋的游戲,已知硬幣出現(xiàn)正
反面為等可能性事件,棋盤上標有第0站,第1站,第2站,…,第8站,一枚棋子開始
在第0站,棋手每擲一次硬幣,棋子向前跳動一次,若擲出正面,棋子向前跳一站(從k
至收+1)若擲出反面,棋子向前跳兩站(從k至!Jk+2),直到棋子翳倒第7站(勝利大本
營)或跳到第8站(失敗集中營)時,該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站概率為4,則
P?=?
【變式7-1]3.(2020春?河北衡水?高三河北衡水中學??计谥校┰趹c祝新中國成立七十周
年群眾游行中,中國女排壓軸出場,乘坐“祖國萬歲”彩車亮相國慶游行,“女抖漪神"燃
爆中國.某排球俱樂部為讓廣大排球愛好者體驗排球的訓練活動,設(shè)置了一個"投骰子50米
折返跑”的互動小游戲,游戲規(guī)則:參與者先進行一次50米的折返跑,從第二次開始,參
與者都需要拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,用點數(shù)決定接下來折返跑的次數(shù),若拋擲兩枚骰子所
得的點數(shù)之和能被3整除,則參與者只需進行一次折返跑,若點數(shù)之和不能被3整除,則
參與者需要連續(xù)進行兩次折返跑.記參與者需要做n個折返跑的概率為之.
(1)求Pi,P2,「3;
(2)證明{匕-Pn_1}是一個等比數(shù)列;
(3)求心,若預測參與者需要做折返跑的次數(shù),你猜奇數(shù)還是偶數(shù)?試說明你的理由.
題型8倒數(shù)法
.1.
我t點
倒數(shù)變換法,適用于即+1=鼻(A,B,C為常數(shù));二、取對數(shù)運算;三、待定系數(shù)法:1、
Ddfi-rC
構(gòu)造等差數(shù)列法;2、構(gòu)造等比數(shù)列法:
①定義構(gòu)造法。利用等比數(shù)列的定義q=皿通過變換,構(gòu)造等比數(shù)列的方法.
an
②斯+1=2即+B(A,B為常數(shù))型遞推式可構(gòu)造為形如冊+1+4=4(冊+4)的等比數(shù)列.
③斯+尸4冊+B”(A,B,C為常數(shù),下同理遞推式,可構(gòu)造為形如an+i+4cn+i=4(an+K。)
的等比數(shù)列.
【例題8】(2023?重慶?統(tǒng)考模擬預測)已知數(shù)列{斯}滿足與(3曲+2-an+1)=2an+1an+2,
且3al=a2=1,貝!]。8=()
A.一擊B.一擊C.焉D.擊
【變式8-1】1.(2023?湖南永州統(tǒng)考三模)已知正項數(shù)列{an}滿足%=1/=壽曾,
Van-Van+i
其前200項和為S200,則()
A?(<S200<|B.|<S2oo<:
C.:<S200<5。<S200<|
【變式8-1J2.(2023秋?四川成都?高三石室中學校考階段練習)已知數(shù)列5}中,%=1,
九Qn-1
右叫!=(n>2,neN*),則下列結(jié)論中正確的是()
n+an-i
A.a=7B.---------<-
35an+ian2
C.a?In(九+1)>1D.—---------<-
na2nan2
【變式8-1]3.(2023?全國?高三專題練習舊知數(shù)列{即}的各項均不為零,且滿足%=1,
(n>2,neN*),則{%}的通項公式0n=
【變式8-1]4.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列5}滿足的=1,即+i=6
N*).記數(shù)列{an}的前n項和為無,則()
A.-<S100<3B.3<Si。。<4
aa
C.4<Sloo<-D.-<Sloo<5
題型9同除型
f6
用"同除法"構(gòu)造等差數(shù)列
(1照如即+i=qan+pq"i=(nGN*),可通過兩邊同除砂+i,將它轉(zhuǎn)化為豁=^+P,
從而構(gòu)造數(shù)列{^}為等差數(shù)列,先求出
就}的通項,便可求得?。耐椆?
(2)形如即+1=kan+qn+i(n£N*),可通過兩邊同除q"+】,將它轉(zhuǎn)化為母I=番+1,
換元令也奉,則原式化為4+i=衿+q"i,先^用構(gòu)造法類型1求出心,再求出{總
的通項公式.
(3影如即+1-即=ka/n+Kk/0)的數(shù)列,可通過兩邊同候以a/n+i,變形為」---=
0n+ian
-k的形式,從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列二},先求出{白}的通項,便可求得{即}的通項公式.
0nan
【例題9](2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列{%}滿足的=1,%-an+1=nanan+1(ne
N*),則即等于()
A.—B.C.D.
22n2-nn2-n+2
【變式9-l1l.(2023秋?江西宜春?高三校考開學考試)已知正項數(shù)列5}中a】=2,an+1=
2On+3x5n,則數(shù)列{a“)的通項a”=()
A.-3x271TB.3x2nt
C.5n+3x271TD.5n-3x271T
【變式9-1]2.(2023逢國?高三專題練習)已知數(shù)列{斯}的前n項和為5,S.Sn-2=
2(即-2"),則冊=()
A.(n+1)-2n+1B.2nC.n-2n+1D.n-2n
【變式9-l】3.(2023春?河南洛陽?高三欒川縣第一高級中學??奸_學考試在正項數(shù)列{的J
中,的=1,前幾項和Sn滿足*-Jsn_i-Sn_i?yfs^=2yjsn-Sn-iCn>2),貝!jcho=()
A.72B.80C.90D.82
【變式9-1]4.(2023?全國?高三專題練習)設(shè)數(shù)列{斯}的前n項和為無,且的=2,Sn+1-
Sn=Gn+1?則即=?
【變式9-1]5.(2023?廣西南寧?南寧三中校考一模)已知數(shù)列Sn}滿足nan+1-5+1)即=
2,%=1,則數(shù)列{冊}的通項公式為.
題型10因式分解型
【例題101(2023秋?江西宜春?高三江西省豐城拖船中學??奸_學考試)已知正項數(shù)列{即}
2
的前加頁和為S",滿足4Sn=an+2an-3,則岑的最小值為
【變式10-1】1.(2023?全國?高三專題練習)已知正項數(shù)列{an},其前ri項和為Sn,且滿
2
足(an+I)=4(Sn+1),數(shù)列例}滿足bn=(―1嚴1,其前n項和7;,設(shè)46N,若
anan+l
Tn<4對任意eN*恒成立,則屁勺最小值是
【變式10-1】2.(2023?全國?高三專題練習)記又為正項數(shù)列{即}的前n項和,若2Sn=
W+an-2,則2口西
【變式10-1】3.(2023?全國?高三專題練習)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為右,且an>0,4Sn=
4-2an—8,則Sn—3an的最小值是.
【變式10-1]4.(2022秋?四川?高三統(tǒng)考階段練習)設(shè)數(shù)列5}的前幾項和為無,1=1,
an>0,且喋一(2n-l)Sn=S£i+(2n-l)S^n>2),則匕=券的最大值是,
2
【變式10-1】5(2022?全國?高三專題練習股{加}是首項為1的正項數(shù)列目5+2)an+1-
2
nan+2an+1an=0(n6N),求通項公式an二
題型11新數(shù)列前n項和型
弟上劃t點
形如f(1)%+f(2)&2+...+f(n)an=g(n),可以設(shè)
Cn=f(n)a.,Cn的前n項和為s.,f(1)aj+f(2)a2+...+f(n)an=sn,則轉(zhuǎn)化為s”,
求通項型
【例題1112023?全國?高三專題練習散列{曲}的前1357項均為正數(shù),且有Si++-+
aj2=談+福+…+嗎,則a*23+通。23+…+。留允的可能取值個數(shù)為()
A.665B.666C.1330D.1332
【變式11-1】1.(2023?四川?校聯(lián)考模擬預測)已知數(shù)列&}滿足2%+22a2+23a3+…
+2%n=九?2〃,則{Qn}的通項公式為()
A(l,n=1n+l
/X.a=jbD.a=—
n71In4-1,n>Q2n2
_c_(l,n=1
Cr-an-nD-an-ln-l,n>2
【變式11-1J2.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列5}滿足的=1,%+墨+…+祟=
簫,令5=急倍T),則廄吳選項是()
A.a10=100B.數(shù)列也提等級列C.%2i為整數(shù)D.數(shù)歹(J[bn+
2cos2(:bn)}的前2022項和為4044
【變式11-1】3.(2022秋?福建寧德?高三福建省福安市第一中學校考階段練習)對于正項
數(shù)列{廝}中,定義:G"=92為數(shù)列{5}的"勻稱值"已知數(shù)列{%}的"勻稱
值"為品=n+2,則該數(shù)列中的的。=()
A.-3B5.-4C1D0.-
【變式(2023?全國?高三專題練習圮知數(shù)列{an}滿足%+1=W-即+l(neN*),
且的=2023,若存在正偶數(shù)m使得(-I)】后+(—1)2諼+…+(-1尸哈+m=
2022a1a2/成立,則m-()
A.2016B.2018C.2020D.2022
【變式11-1]5.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列—}滿足.+a+…+愛=
2
n(nGN*),bn=A(an-l)-n+4n,若數(shù)列{時}為單調(diào)遞增數(shù)列,則A的取值范圍匙)
A,信+8)B.&+8)C?原+8)D-[P+O°)
【變式11-1】6.(2023春?廣東東莞?高三東莞實驗中學??奸_學考試)設(shè)數(shù)列{aj的前加頁
和為5,%=1,且2Sn=即+1-1(n€N)若對任意的正整數(shù)n,都有%垢+a2bn_1+
n
。3匕-2+…+anbi=3-n-1成立,則滿足等式仇+b2+b3+-+bn=即的所有正整數(shù)
九為()
A.1或3B.2或3C.1或4D.2或4
【變式11-1]7.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列5}滿足2%+2吁%2+“?+
2za-i+2a=2n--1,若%=——,則數(shù)列{0}的前n項和7“=.
nn乙y/an+y/an+l
題型12取對數(shù)型
上年
電恂重點
形如即+i=maj,可以通過取對數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列求通項公式
【例題12](2022?全國?高三專題練習)已知數(shù)列5},%=然522),%=e,則數(shù)
列{an}的通項公式為%,=.
【變式12-1]1,(2023?全國?高三專題練習股正項數(shù)列1}滿足的=1△n=2aLs>2),
則數(shù)列{即}的通項公式是.
【變式12-1】2.(2020春?上海浦東新?高三上海市進才中學??计谀┥⒘校梗腥襞c+1=
W(n6N*),%=3,則{an}的通項公式為.
【變式12-1]3.(2023?全國?高三專題練習)土壤中微量元素(如N,P,K等)的含量
直接影響植物的生長發(fā)育,進而影響植物群落內(nèi)植物種類的分布.某次實驗中,為研究某微
量元素對植物生長發(fā)育的具體影響,實驗人員配比了不同濃度的溶液若干,其濃度指標值可
近似擬合為e,e,e2,e3,e5,e8,e13,-,并記這個指標值為垢,則2^(In^)2=()
A.ln/?19lnfo2oB.Inb201nb21C.In瓦9+ln&2oD.ln620+lnh2i
【變式12-1】4.(2023?全國?高三專題練習)有限數(shù)列{“}中,Sn為{5}的前幾項和,若把
s1+sz:+s”稱為數(shù)列他“}的"優(yōu)化和",現(xiàn)有一個共2019項的數(shù)列:%a2,a。…,a2019,若
其"優(yōu)化和"為2020,則有2020項的數(shù)列:1,ava2,a3,…,。2。19的優(yōu)化和為()
A.2019B.2020C.2021D.2022
【變式12-1]5.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列{斯}滿足的=1,沖=,
Clji口Nd?1+詈47161八=+71
則。8=
題型13三階遞推型
承劃重點
形如即+i+san+tan^+r=0,常湊配系數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列
【例題13](2023?全國?高三專題練習)在數(shù)列{an}中,%=lg=9,an+2=3an+1-2an-
10,則{斯}的前n項和S”的最大值為()
A.64B.53C.42D.25
【變式13-1]1.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列{an}的前n項和為%,%=1,若
n
對任意正整數(shù)na+i=-3a?+1+斯+3廝+冊>(-l)a,則實數(shù)a的取值范圍是()
A.(―1,|)B.(-1,|)C.(-2,|)D.(—2,3)
【變式13-1】2.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校??茧A段練習)
符號田表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù),如[2.3]=2,[-1.9]=-2.已知數(shù)列{0}滿足%=1,
a2=5,an+2+4c1n=5c1n+r右%=[log2an+1],S.為數(shù)列{丁丁的刖n項和,則F2025]=
()
A.2023B.2024C.2025D.2026
【變式13-1】3.(2023?全國?高三專題練習)高斯是德國著名的數(shù)學家,近代數(shù)學的奠基
者之一,享有"數(shù)學王子”的稱號,用其名字命名的“高斯函數(shù)"為:設(shè)xeR,用[用表示
不超過x的最大整數(shù),則y=田稱為"高斯函數(shù)",例如:[-2.5]=-3,[2.7]=2.已知
數(shù)列{%J滿足%=1,a2=3,an+2+2an=3an+1,若bn=[Iog2aa+1],Sn為數(shù)列{就二}的
刖n項和,貝[IS2023=()
A2022B2024c2023口2025
?2023'2023*2024*2024
【變式13-1]4.(2023秋?湖北恩施?高三校聯(lián)考期末)已知Sn是數(shù)列{時}的前幾項和,且
QI
ai=a2=l,an=2H_+3an_2(n>3),則下列結(jié)論正確的是()
A.數(shù)列{an—Qn+d為等比數(shù)歹UB.數(shù)列{an+i+2an}為等比數(shù)列
C.540=i(3--l)Ds=之華空
【變式13-1】5.(2023春?江西宜春?高三江西省豐城中學校考開學考試)若數(shù)列{即}滿足
%=1,。2=4,且對于九6N(n>2)都有an+i=2a—Qn_i+2,則一一H——-H——-+
n口2-1Q4-1Cig—1
?1.=()
a2022-1
A2021B101。Q2022D1011
?2022'2022*2023*2023
【變式13-1】612022秋?云南?高三云南師大附中校聯(lián)考階段練習)已知數(shù)列{an}滿足為=2,
。2=6,且an+2-2an+1+an=2,若[%]表示不超過%的最大整數(shù)(例如[1.6]=1,[-1.6]=
-2),則圖+圖+…+[鬻]=()
A.2019B.2020C.2021D.2022
【變式13-1】7.(2023?上海浦東新?華師大二附中??寄M預測)已知1441=1,當九?2
時,4+1是線段4n4-1的中點,點P在所有的線段乙(+1上,則/止1=________:
題型14前n項積求通項
【例題"】(2023?全國?高三專題練習)設(shè)7n是數(shù)列Sn}的前ri項積,則"”=3小'是"{an}
是等差數(shù)列"的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【變式14-1]1.(2023?陜西?西北工業(yè)大學附屬中學校聯(lián)考模擬預測)已知數(shù)列{an}的前門
項和為%,且即=竽,首項為1的正項數(shù)列{%}滿足瓦?尻?聞??…bn=(an-bny,則數(shù)
列{九}的前項和
nQn=.
【變式全國高三專題練習)記為數(shù)列的前項和,%為數(shù)列的
14-1]2.(2023??S”{an}n{S"
前九項積,已知9+《=2,則{即}的通項公式為
3nDn
【變式秋北京通州高三統(tǒng)考期末圮知數(shù)列{時}的前項和為
14-1]3.(2023??nSn(Sn*0),
為數(shù)列的前項積,滿足+T=S-T(nGN*),給出下列四個結(jié)論:
Tn{S"nSnnnn
①的=2;②M=-^―;③{〃}為等差數(shù)列;④S”=字.
其中所有正確結(jié)論的序號是.
【變式】全國高三專題練習)已知數(shù)列的前幾項和為丁為
14-14.(2023??5}Sn(Sn0),7n
數(shù)列{S"的前幾項積,滿足%+Tn=Sn-Tn(n為正整數(shù)),其中7\=%,給出下列四個結(jié)論:
①%=2;②與;③{〃}為等差數(shù)列;④S”=竺工.其中所有正確結(jié)論的序號
n^zn—i)n
是.
題型15函數(shù)遞推型
【例題15](2023?山東濟寧?嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模)已知函數(shù)y=/(x)(xeR),滿足
(等)=8"(與)nN*)a=,函蜘2x3,則
,G)=1J(C若nlog3/(n)(x)=—3/+2
g島)+g島)+g島)+…+g篇)=()
A.3036B.3034C.3032D.3030
【變式15-1]1.(2023?安徽銅陵?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)y=/(x),xeN+,滿足以下條件:
ab,其中.則
①“a+b)=/(a)+<(b)+a,b£N+:②f(2)=3/(2023)=()
A.2023x2024B.2022x2023C.1013x2023D.1012x2023
【變式15-1】2.(2023?全國?高三專題練習)對任意數(shù)列5},定義函數(shù)F(x)=%+a2x+
2n2
a3x+■■■+anx-\neN*)是數(shù)列的“生成函數(shù)”.已知F(l)=n,則Fg)=()
A口A
A-o3-2n-+3B.4--2n+l
cl.6,-2n-+lDc./6-27-1+3
【變式15-1】3.(2023?全國?高三專題練習)高斯(Gauss)被認為是歷史上最重要的數(shù)
學家之一,并享有“數(shù)學王子"之稱.小學進行1+2+3+-+100的求和運算時,他是這
樣算的:1+100=101,2+99=101,-,50+51=101,50組,所以50x101=
5050,這就是著名的高斯法,又稱為倒序相加法.事實上,高斯發(fā)現(xiàn)并利用了等差數(shù)列的對
稱性.若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點?,1)對稱,Sn=(n+D『(W)+/Q*)+“-+
/信J,Sn為數(shù)列5}的前"項和,則下列結(jié)論中,錯誤的是()
A./(%)+/(I—%)=
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