數(shù)列通項公式二十三大題型（原卷版）-2024年高考數(shù)學重難點題型突破（新高考）

重難點專題25數(shù)列通項公式二十三大題型匯總

題型1公式法....................................................................1

題型2累加法....................................................................2

題型3累乘法....................................................................4

題型4已知前n項和Sn消Sn型.....................................................5

題型5已知前n項和Sn消an型.....................................................7

題型6待定系數(shù)法................................................................8

題型7與概率結(jié)合問題...........................................................10

題型8倒數(shù)法...................................................................11

題型9同除型...................................................................12

題型10因式分解型..............................................................13

題型11新數(shù)列前n項和型........................................................14

題型12取對數(shù)型................................................................16

題型13三階遞推型..............................................................17

題型14前n項積求通項..........................................................18

題型15函數(shù)遞推型..............................................................19

題型16周期數(shù)列型..............................................................20

題型17奇偶討論型..............................................................21

題型18不動點法................................................................22

題型19重新組合新數(shù)列型........................................................23

題型20重新排序型..............................................................24

題型21整除相關(guān)................................................................25

題型22斐波那契數(shù)列............................................................26

題型23數(shù)學文化相關(guān)............................................................28

題型1公式法

5^^

f壬?占、、、

公式法:根據(jù)等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式%=%+(n-l)d，或即=a】qn-i進行求解；

【例題11(2023秋湖北武漢?高三武漢市第四十九中學?？茧A段練習)已知%是等比數(shù)列

n

{an}的前n項和,且Sn=2+i+a,則ag+a2a3+…+aio?n=()

13

A.223-8B.2-8c.220-1D.225-8

3333

【變式1-1]1.（2023?河北秦皇島?統(tǒng)考模擬預測）北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中首

創(chuàng)的“隙積術(shù)"，就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題.現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層

有1個貨物，第二層比第一層多2個，第三層比第二層多3個，以此類推，記第n層貨物

的個數(shù)為an，則使得即>2n+2成立的n的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

【變式1-1J2.（2023秋?江蘇南通?高三統(tǒng)考開學考試）已知數(shù)列｛即｝滿足的=1，且%+1=

an+2,數(shù)列｛九｝滿足d=1,bn+1-bn=0n+i,則第的最小值為（）.

A.-B.5C.4V2D.-

33

【變式1-1]3.（2023?四川校聯(lián)考模擬預測）在數(shù)列&｝中,VneW\0n+]=穌，且

2<的<3,則下列結(jié)論成立的是（）

aaaa

A-0,2022<2020B.CZ2020+2022>2021+2023

C-<12022+a2023<2^2021D.（12023>a2021

【變式1-U4..（2023?全國?高三專題練習）數(shù)列｛即｝的前n項和為%,滿足土+i-2Sn=

1-n,且Si=3,則｛an｝的通項公式是_____二

【變式1-1]5.（2023新疆喀什統(tǒng)考模擬預測）已知等比數(shù)列&｝的前n項和為又，且=

A-3n-1,則as=（）

A.54B.93C.153D.162

【變式1-1】7.（2023河南校聯(lián)考模擬預測）若｛an-2n｝是等比數(shù)列，且的=5g=89,

則第3=（）

A.3"-2B.3"-1C.3"+2D.3"+1

題型2累加法

步劃重點

累加法：當數(shù)列｛斯｝中有即-即_】=f(n),即第n項與第n-1項的差是個有規(guī)律的數(shù)列，

就可以利用這種方法；

【例題212023?全國?高三專題練習H知數(shù)列｛5｝滿足=2"2n=?2n-i+3n(nGN*),

n+1

a2n+1=a2n+(-l)(neN*),則數(shù)列5｝第2023項為()

.31012-531O12-3

A.D.

22

C31011-5D3llm-3

"2'2

【變式2-l]l.(2023秋?遼寧沈陽?高三沈陽二中?？奸_學考試)已知數(shù)列|｛斯｝中，a】=1,

*1一；=(1+；)M，n6N*.若對于任意的te[1,2],不等式詈<-2t2-(a+l)t+a2-

a+2恒成立，則實數(shù)a可能為()

A.-4B.-1C.0D.2

【變式2-1]2.(2023秋?江西宜春?高三江西省?？茧A段練習)已知定義數(shù)列

Sn+i-冊｝為數(shù)列｛即｝的"差數(shù)列"，若的=2,｛an｝的"差數(shù)列"的第九項為2九,則數(shù)列｛an｝

的前2023項和52023=()

2024

A.22°22-IB.22022c.2D,22°24_2

【變式2-1】3.(2023?全國?高三專題練習)北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙

積術(shù)"，就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題.現(xiàn)有一貨物堆，從上向下杳，第一層有1個

貨物，第二層比第一層多2個，第三層比第二層多3個，以此類推，記第n層貨物的個數(shù)

為即，則數(shù)列｛萱｝的前2023項和為()

A?2[1-島)[B.2[1-島

C.4(1-(―)2]D.4[1-(―)2]

[\20237J[\20247J

l,n=1,2

【變式2-1】4（2023?全國?高三專題練習后知數(shù)列｛冊｝滿足：a=

n^n—l+^?i-2，九N3

端+a升退+???+*

右，則m=()

Q10=am

A.8B.9C.10D.11

【變式2-1]5.（2023?全國?高三專題練習）南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法

通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前

后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對這類高階等差數(shù)列的研究，

在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)"現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為1,4,8,14,23,

36,54,則該數(shù)列的第19項為（）

(注：1222+32+-+n2

+6

A.1624B.1198C.1024D.1560

【變式2-1]6.（2023?全國?高三專題練習）如圖，有一列曲線P。，Pi,P2，…已知與所圍

成的圖形是面積為1的等邊三角形，Pk+i是對外進行如下操作得到：將外的每條邊三等分，

以每邊中間部分的線段為邊向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉（fc=0,1,21

記又為曲線匕所圍成圖形的面積。則數(shù)列｛S"的通項公式.

A

題型3累乘法

劃重點

累乘法：當數(shù)列｛即｝中有a=/（n）,即第n項與第n-1項商是個有規(guī)律的數(shù)列，就可以

an-i

利用這種方法；

【例題3](2023河南模擬預測)已知數(shù)列｛而｝滿足皿瑪=2n,=l,^?=()

an+i-anai2023

A.2023B.2024C.4045D.4047

【變式3-1】1.(2023?全國?高三專題練習)南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了

高階等差數(shù)列的問題，即一個數(shù)列｛冊｝本身不是等差數(shù)列，但從S"數(shù)列中的第二項開始,

每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列｛砥｝(則稱數(shù)列｛%｝為一階等差數(shù)列)，或者｛%｝仍舊不是

等差數(shù)列，但從｛b)數(shù)列中的第二項開始，每一項與前一項的差構(gòu)成等差數(shù)列｛”｝(則稱數(shù)

列?。秊槎A等差數(shù)列)，依次類推，可以得到高階等差數(shù)列.類比高階等差數(shù)列的定義，

我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列L128,64,…是一階等比數(shù)列，則該數(shù)列的第8項曷)

A.25B.2C.221D.228

【變式3-1]2.(2023河南駐馬店?統(tǒng)考模擬預測)設(shè)數(shù)列5｝的前幾項和為g,a3=4,

且即+i=(1+W)廝，若2Sn+12>k即恒成立，貝業(yè)的最大值是()

A.2710+1B.-3C.-2D.8

【變式3-1]3.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列｛&｝滿足%=1,般何=

(n-l)7^7(n>2,nGN-)，且即勾=sin等(neN*),則數(shù)列｛4｝的前18項和為()

A.-3B.-54C.-3V3D.-54V3

【變式3-1]4.(2023秋?湖北?高三校聯(lián)考階段練習)定義：在數(shù)列｛廝｝中，皿—皿=

an+ian

d(n6N*),其中d為常數(shù)，則稱數(shù)列｛冊｝為"等比差”數(shù)列.已知"等比差"數(shù)列｛即｝中，

%==1，。3=3,則3=()

^22

A.1763B.1935C.2125D.2303

題型4已知前n項和打消%型

步劃重點

Sn與斯的關(guān)系式法：由右與斯的關(guān)系式，類比出2_i與即_】的關(guān)系式，然后兩式作差，最

后檢驗出七,是否滿足用上面的方法求出的通項；

【例題41（2023秋?湖南長沙?高三湖南師大附中?？茧A段練習）已知數(shù)列｛即｝的前n項和為

Sn,若%=1,an+1=2Sn（nGN*）,則有（）

A.｛斯｝為等差數(shù)列B.｛an｝為等比數(shù)列

C.｛Sn｝為等差數(shù)列D.｛S"為等比數(shù)列

【變式4-1】1.（2023?全國?高三專題練習）已知正項數(shù)列5｝的前"項和為無，且%=2,

5n+1。71+1—3與=5?（5?+3與，貝的2023=（）

A.32023-IB.32023+ic,竺生D,父絲匚

22

【變式4-1】2.（2023春?湖南長沙?高三校聯(lián)考階段練習）數(shù)列｛斯｝的前71項和為Sn,滿足

Sn+1+Sn-=2Sn-嗎5>2）.%Gg,1）,則下列結(jié)論中錯誤的是（）

1

A.0<an+1<anB.2M由<

n11

----V2nD.cc>—

Z"Qj---------------------------n------Tl+2

【變式4-1】3.（2023?全國?高三專題練習）已知數(shù)列｛廝｝的前n項和%滿足%+1+Sn=n,

有結(jié)論：

①右由——1,則52023-1010；

②數(shù)列｛an+1+5｝是常數(shù)列.

關(guān)于以上兩個結(jié)論，正確的判斷是（）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立,②成立D.①不成立，②不成立

【變式4-1］4.（2023?甘肅張掖??？寄M預測）已知數(shù)列｛即｝的前n項和

為Sn/右％=2,Sn=Sn+i—3an—2,S2（）—（）

A.%B.32-20C.8-竺D.上-竺

22222

【變式4-1】5.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學校考模擬預測）已知又是各項均為正

數(shù)的數(shù)列｛5｝的前n項和，Sn+1=2（tin+,a3a5=64,若Aa”-S2n-65<。對n6N*

恒成立，則實數(shù)4的最大值為（）

A.8V2B.16C.16V2D.32

【變式4-1】6.（2023春?江西鷹潭?高三貴溪市實驗中學?？茧A段練習）已知數(shù)列｛冊｝的前

n項和Sn滿足L=2an-4,數(shù)列｛%｝滿足%=在二,則下列各式一定成立的是（）

an

A.bn>brB.bn>b2C.bn<b2D.bn<b3

【變式4-1】7.（2023?全國?高三專題練習）已知數(shù)列｛an｝的前n項和為%,%=［an+1-

3Sn=gSeN*）,設(shè)砥=?。荩ǎ踴］表示不超過x的最大整數(shù)），則數(shù)列｛匕｝的前2023項和

72023=（）

42。24-2027D42。24-607342O23-2027p.42023-6073

A.-----------------D.-----------------Cr.-----------------U.-------

9999

題型5已知前n項和S,消a”型

邛劃重點

Sn與斯的關(guān)系式法：由右與斯的關(guān)系式，類比出與an_j的關(guān)系式，然后兩式作差，最

后檢驗出％,是否滿足用上面的方法求出的通項；

【例題5］（2023?全國?高三專題練習）已知各項都是正數(shù)的數(shù)列｛即｝的前加頁和為上，且S”=

?則錯誤的選項是（）

22an

A.｛梟｝是等差數(shù)列B,Sn+Sn+2<2Sn+1

C?Q/i+i>D?S九一T-NInn

?

【變式5-1]1.（2023全國?高三專題練習）設(shè)又是數(shù)列｛an｝的前n項和，且％=-l,an+1=

SnSn+i,則下列選項錯誤的是（）

1（-l,n=1

A.an=——B.an=<ii、、_

2"Tv-n--l----n-,n>2,nGN

c.數(shù)列信｝為等差數(shù)列D.2+a+..+S-=-5050

Si。。

?

【變式5-1]2.（2023全國?高三專題練習）數(shù)列｛〃｝的前幾項和為Sn,%=]若該數(shù)列

滿足須+2s71sH_i=0（n>2）,則下列命題中錯誤的是（）

A.｛J是等差數(shù)列B.Sn=/

C.a=-T^D.｛S2“｝是等比數(shù)歹U

nzn（n—ij

【變式5-l】3.（2023?河南?鄭州一中校聯(lián)考模擬預測圮知數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn凸=1,

且—1+i）sn=nSn-i+an（n>2且nGA/*）,若=，則k=（）

A.46B.49C.52D.55

【變式5-1]4.（2022秋?寧夏?高三六盤山高級中學?？计谀┮阎譃閿?shù)列｛5｝的前幾項

和，的=1,a^+i+2szi=2n+1,則S2022=（）

A.1011B.2022C.3033D.4044

【變式5-l]5.（2023?四川攀枝花統(tǒng)考二模）已知正項數(shù)列5｝的前n項和為又,且2a,Sn=

1+欣，設(shè)垢=log?第,數(shù)列｛%｝的前n項和為7；,則滿足7；22的n的最小正整數(shù)解為

（）

A.15B.16C.3D.4

題型6待定系數(shù)法

在數(shù)列｛喇中，an=kan7+b(k、b均為常數(shù)，且kwl,QO).

一般化方法：設(shè)即+m=fc(an-i+m),得到b=(k-l)m,m=占，可得出數(shù)列

｛即+含｝是以k的等比數(shù)列，可求出a“；

【例題6】(2023?全國?高三專題練習)高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，

享有"數(shù)學王子"的稱號.用他名字定義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)f(x)=[%],其中田表示不超

過x的最大整數(shù).已知正項數(shù)列5｝的前n項和為％，且S.=4(即+J，令以=布匕，

則[瓦+尻+…+如]=()

A.7B.8C.17D.18

【變式6-1】1.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列的前n項和為%,若S“+an=

n(neN*),則10§2(1-?023)=()

A.-2023B.--—C.—D.2023

20232023

【變式6-1]2.(2023?全國?高三專題練習)數(shù)列｛即｝滿足的=4,即+1=3即-2,Vn€

N*,2(a?-1)<an-28,則實數(shù)4的取值范圍是()

A.(—oo,—9)B.(—oo,—8)

C.(—12,—9)D.(—12,—7)

【變式6-1]3.(2023?全國?高三專題練習)在正三棱柱71BC-4出的中，若4點處有一只

螞蟻，隨機的沿三棱柱的各棱或各側(cè)面的對角線向相鄰的某個頂點移動，且向每個相鄰頂點

移動的概率相同，設(shè)螞蟻移動n次后還在底面4BC的概率為分，有如下說法:①B1:②。？=

H；③｛匕-引為等比數(shù)列；④4=-2x(-+J其中說法正確的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【變式6-1]4.(2023?全國?高三專題練習)在數(shù)列|｛斯｝中,%=14,需=翡-3,則()

A.像+3｝是等比數(shù)列B.僧-3｝是等比數(shù)列

C.償+1｝是等比數(shù)列D.償-1｝是等比數(shù)列

題型7與概率結(jié)合問題

【例題7]（2023?全國?高三專題練習）某公司員工食堂每天都有米飯和面食兩種套餐，

已知員工甲每天中午都會在這兩種套餐中選擇一種，米飯?zhí)撞偷膬r格是每份18元，面食套

餐的價格是每份12元，如果甲當天選擇了某種套餐，他第二天會有60%的可能性換另一種

類型的套餐，假如第1天甲選擇了米飯?zhí)撞?，第n天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿樨?，給出以下

論述：

①「3=0.52；

②匕=0.4Pn-i+0.6（1-Pn_i）（n>2,neN）；

③&=0.4+0.5x（-0.2）時1

④前k天甲午餐總費用的數(shù)學期望為15k

其中正確的是（）

A.②③④B.①②④C.①③④D.①②③

【變式7-1]1.（2023?全國?高三專題練習）甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲

將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，貝116次傳球

后球在甲手中的概率為.

【變式7-1]2.（2023?全國?高三專題練習）有人玩都硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正

反面為等可能性事件，棋盤上標有第0站，第1站，第2站，…，第8站，一枚棋子開始

在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋子向前跳一站（從k

至收+1）若擲出反面，棋子向前跳兩站（從k至!Jk+2）,直到棋子翳倒第7站（勝利大本

營）或跳到第8站（失敗集中營）時，該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第n站概率為4,則

P?=?

【變式7-1]3.（2020春?河北衡水?高三河北衡水中學?？计谥校┰趹c祝新中國成立七十周

年群眾游行中,中國女排壓軸出場，乘坐“祖國萬歲”彩車亮相國慶游行，“女抖漪神"燃

爆中國.某排球俱樂部為讓廣大排球愛好者體驗排球的訓練活動，設(shè)置了一個"投骰子50米

折返跑”的互動小游戲，游戲規(guī)則：參與者先進行一次50米的折返跑，從第二次開始，參

與者都需要拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用點數(shù)決定接下來折返跑的次數(shù)，若拋擲兩枚骰子所

得的點數(shù)之和能被3整除，則參與者只需進行一次折返跑，若點數(shù)之和不能被3整除，則

參與者需要連續(xù)進行兩次折返跑.記參與者需要做n個折返跑的概率為之.

（1）求Pi,P2，「3；

（2）證明｛匕-Pn_1｝是一個等比數(shù)列；

（3）求心,若預測參與者需要做折返跑的次數(shù)，你猜奇數(shù)還是偶數(shù)？試說明你的理由.

題型8倒數(shù)法

.1.

我t點

倒數(shù)變換法，適用于即+1=鼻（A,B,C為常數(shù)）；二、取對數(shù)運算；三、待定系數(shù)法：1、

Ddfi-rC

構(gòu)造等差數(shù)列法；2、構(gòu)造等比數(shù)列法：

①定義構(gòu)造法。利用等比數(shù)列的定義q=皿通過變換，構(gòu)造等比數(shù)列的方法.

an

②斯+1=2即+B（A,B為常數(shù)）型遞推式可構(gòu)造為形如冊+1+4=4（冊+4）的等比數(shù)列.

③斯+尸4冊+B”（A,B,C為常數(shù)，下同理遞推式，可構(gòu)造為形如an+i+4cn+i=4（an+K。）

的等比數(shù)列.

【例題8】（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列｛斯｝滿足與（3曲+2-an+1）=2an+1an+2,

且3al=a2=1,貝!]。8=（）

A.一擊B.一擊C.焉D.擊

【變式8-1】1.（2023?湖南永州統(tǒng)考三模）已知正項數(shù)列｛an｝滿足%=1/=壽曾,

Van-Van+i

其前200項和為S200,則（）

A?(<S200<|B.|<S2oo<：

C.：<S200<5。<S200<|

【變式8-1J2.（2023秋?四川成都?高三石室中學校考階段練習）已知數(shù)列5｝中，%=1,

九Qn-1

右叫!=（n>2,neN*）,則下列結(jié)論中正確的是（）

n+an-i

A.a=7B.---------<-

35an+ian2

C.a?In(九+1)>1D.—---------<-

na2nan2

【變式8-1]3.（2023?全國?高三專題練習舊知數(shù)列｛即｝的各項均不為零，且滿足%=1,

(n>2,neN*),則｛%｝的通項公式0n=

【變式8-1]4.（2023?全國?高三專題練習）已知數(shù)列5｝滿足的=1,即+i=6

N*）.記數(shù)列｛an｝的前n項和為無,則（）

A.-<S100<3B.3<Si。。<4

aa

C.4<Sloo<-D.-<Sloo<5

題型9同除型

f6

用"同除法"構(gòu)造等差數(shù)列

（1照如即+i=qan+pq"i=（nGN*），可通過兩邊同除砂+i,將它轉(zhuǎn)化為豁=^+P，

從而構(gòu)造數(shù)列｛^｝為等差數(shù)列，先求出

就｝的通項，便可求得?。耐椆?

（2）形如即+1=kan+qn+i（n￡N*）,可通過兩邊同除q"+】，將它轉(zhuǎn)化為母I=番+1，

換元令也奉，則原式化為4+i=衿+q"i,先^用構(gòu)造法類型1求出心，再求出｛總

的通項公式.

（3影如即+1-即=ka/n+Kk/0）的數(shù)列，可通過兩邊同候以a/n+i，變形為」---=

0n+ian

-k的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列二｝,先求出｛白｝的通項，便可求得｛即｝的通項公式.

0nan

【例題9]（2023?全國?高三專題練習）已知數(shù)列｛%｝滿足的=1,%-an+1=nanan+1（ne

N*）,則即等于（）

A.—B.C.D.

22n2-nn2-n+2

【變式9-l1l.（2023秋?江西宜春?高三校考開學考試）已知正項數(shù)列5｝中a】=2,an+1=

2On+3x5n,則數(shù)列｛a“）的通項a”=（）

A.-3x271TB.3x2nt

C.5n+3x271TD.5n-3x271T

【變式9-1]2.（2023逢國?高三專題練習）已知數(shù)列｛斯｝的前n項和為5,S.Sn-2=

2（即-2"）,則冊=（）

A.（n+1）-2n+1B.2nC.n-2n+1D.n-2n

【變式9-l】3.（2023春?河南洛陽?高三欒川縣第一高級中學?？奸_學考試在正項數(shù)列｛的J

中，的=1,前幾項和Sn滿足*-Jsn_i-Sn_i?yfs^=2yjsn-Sn-iCn>2）,貝!jcho=（）

A.72B.80C.90D.82

【變式9-1]4.（2023?全國?高三專題練習）設(shè)數(shù)列｛斯｝的前n項和為無，且的=2,Sn+1-

Sn=Gn+1?則即=?

【變式9-1]5.（2023?廣西南寧?南寧三中校考一模）已知數(shù)列Sn｝滿足nan+1-5+1）即=

2,%=1,則數(shù)列｛冊｝的通項公式為.

題型10因式分解型

【例題101(2023秋?江西宜春?高三江西省豐城拖船中學?？奸_學考試)已知正項數(shù)列｛即｝

2

的前加頁和為S",滿足4Sn=an+2an-3,則岑的最小值為

【變式10-1】1.(2023?全國?高三專題練習)已知正項數(shù)列｛an｝,其前ri項和為Sn,且滿

2

足(an+I)=4(Sn+1),數(shù)列例｝滿足bn=(―1嚴1,其前n項和7；，設(shè)46N,若

anan+l

Tn<4對任意eN*恒成立，則屁勺最小值是

【變式10-1】2.(2023?全國?高三專題練習)記又為正項數(shù)列｛即｝的前n項和，若2Sn=

W+an-2,則2口西

【變式10-1】3.(2023?全國?高三專題練習)設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為右，且an>0,4Sn=

4-2an—8,則Sn—3an的最小值是.

【變式10-1]4.(2022秋?四川?高三統(tǒng)考階段練習)設(shè)數(shù)列5｝的前幾項和為無,1=1,

an>0，且喋一(2n-l)Sn=S￡i+(2n-l)S^n>2),則匕=券的最大值是,

2

【變式10-1】5(2022?全國?高三專題練習股｛加｝是首項為1的正項數(shù)列目5+2)an+1-

2

nan+2an+1an=0(n6N),求通項公式an二

題型11新數(shù)列前n項和型

弟上劃t點

形如f(1)%+f(2)&2+...+f(n)an=g(n),可以設(shè)

Cn=f(n)a.,Cn的前n項和為s.,f(1)aj+f(2)a2+...+f(n)an=sn,則轉(zhuǎn)化為s”,

求通項型

【例題1112023?全國?高三專題練習散列｛曲｝的前1357項均為正數(shù)，且有Si++-+

aj2=談+福+…+嗎,則a*23+通。23+…+。留允的可能取值個數(shù)為()

A.665B.666C.1330D.1332

【變式11-1】1.(2023?四川?校聯(lián)考模擬預測)已知數(shù)列&｝滿足2%+22a2+23a3+…

+2%n=九?2〃，則｛Qn｝的通項公式為()

A(l,n=1n+l

/X.a=jbD.a=—

n71In4-1,n>Q2n2

_c_(l,n=1

Cr-an-nD-an-ln-l,n>2

【變式11-1J2.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列5｝滿足的=1，%+墨+…+祟=

簫，令5=急倍T)，則廄吳選項是()

A.a10=100B.數(shù)列也提等級列C.%2i為整數(shù)D.數(shù)歹(J[bn+

2cos2(：bn)｝的前2022項和為4044

【變式11-1】3.(2022秋?福建寧德?高三福建省福安市第一中學校考階段練習)對于正項

數(shù)列｛廝｝中，定義：G"=92為數(shù)列｛5｝的"勻稱值"已知數(shù)列｛%｝的"勻稱

值"為品=n+2,則該數(shù)列中的的。=()

A.-3B5.-4C1D0.-

【變式(2023?全國?高三專題練習圮知數(shù)列｛an｝滿足％+1=W-即+l(neN*),

且的=2023,若存在正偶數(shù)m使得(-I)】后+(—1)2諼+…+(-1尸哈+m=

2022a1a2/成立,則m-()

A.2016B.2018C.2020D.2022

【變式11-1]5.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列—｝滿足.+a+…+愛=

2

n(nGN*),bn=A(an-l)-n+4n，若數(shù)列｛時｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則A的取值范圍匙)

A,信+8)B.&+8)C?原+8)D-[P+O°)

【變式11-1】6.(2023春?廣東東莞?高三東莞實驗中學?？奸_學考試)設(shè)數(shù)列｛aj的前加頁

和為5,%=1,且2Sn=即+1-1(n€N)若對任意的正整數(shù)n,都有%垢+a2bn_1+

n

。3匕-2+…+anbi=3-n-1成立，則滿足等式仇+b2+b3+-+bn=即的所有正整數(shù)

九為()

A.1或3B.2或3C.1或4D.2或4

【變式11-1]7.(2023?全國?高三專題練習)已知數(shù)列5｝滿足2%+2吁%2+“?+

2za-i+2a=2n--1,若％=——,則數(shù)列｛0｝的前n項和7“=.

nn乙y/an+y/an+l

題型12取對數(shù)型

上年

電恂重點

形如即+i=maj,可以通過取對數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列求通項公式

【例題12](2022?全國?高三專題練習)已知數(shù)列5｝,%=然522),%=e,則數(shù)

列｛an｝的通項公式為％,=.

【變式12-1]1,(2023?全國?高三專題練習股正項數(shù)列1｝滿足的=1△n=2aLs>2),

則數(shù)列｛即｝的通項公式是.

【變式12-1】2.(2020春?上海浦東新?高三上海市進才中學?？计谀┥⒘校梗腥襞c+1=

W(n6N*),%=3,則｛an｝的通項公式為.

【變式12-1]3.(2023?全國?高三專題練習)土壤中微量元素(如N,P,K等)的含量

直接影響植物的生長發(fā)育，進而影響植物群落內(nèi)植物種類的分布.某次實驗中，為研究某微

量元素對植物生長發(fā)育的具體影響，實驗人員配比了不同濃度的溶液若干，其濃度指標值可

近似擬合為e,e,e2,e3,e5,e8,e13,-,并記這個指標值為垢，則2^(In^)2=()

A.ln/?19lnfo2oB.Inb201nb21C.In瓦9+ln&2oD.ln620+lnh2i

【變式12-1】4.(2023?全國?高三專題練習)有限數(shù)列｛“｝中，Sn為｛5｝的前幾項和，若把

s1+sz：+s”稱為數(shù)列他“｝的"優(yōu)化和"，現(xiàn)有一個共2019項的數(shù)列：%a2,a。…,a2019，若

其"優(yōu)化和"為2020,則有2020項的數(shù)列:1,ava2,a3，…,。2。19的優(yōu)化和為()

A.2019B.2020C.2021D.2022

【變式12-1]5.（2023?全國?高三專題練習）已知數(shù)列｛斯｝滿足的=1，沖=，

Clji口Nd?1+詈47161八=+71

則。8=

題型13三階遞推型

承劃重點

形如即+i+san+tan^+r=0,常湊配系數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列

【例題13]（2023?全國?高三專題練習）在數(shù)列｛an｝中,%=lg=9,an+2=3an+1-2an-

10,則｛斯｝的前n項和S”的最大值為（）

A.64B.53C.42D.25

【變式13-1]1.（2023?全國?高三專題練習）已知數(shù)列｛an｝的前n項和為%,%=1,若

n

對任意正整數(shù)na+i=-3a?+1+斯+3廝+冊＞（-l）a，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.（―1,|）B.（-1，|）C.（-2,|）D.（—2,3）

【變式13-1】2.（2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校?？茧A段練習）

符號田表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，如[2.3]=2,[-1.9]=-2.已知數(shù)列｛0｝滿足%=1,

a2=5,an+2+4c1n=5c1n+r右%=[log2an+1],S.為數(shù)列｛丁丁的刖n項和，則F2025]=

（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

【變式13-1】3.（2023?全國?高三專題練習）高斯是德國著名的數(shù)學家,近代數(shù)學的奠基

者之一，享有"數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)"為：設(shè)xeR,用[用表示

不超過x的最大整數(shù)，則y=田稱為"高斯函數(shù)"，例如：[-2.5]=-3,[2.7]=2.已知

數(shù)列｛%J滿足%=1,a2=3,an+2+2an=3an+1,若bn=[Iog2aa+1]，Sn為數(shù)列｛就二｝的

刖n項和，貝［IS2023=（）

A2022B2024c2023口2025

?2023'2023*2024*2024

【變式13-1］4.（2023秋?湖北恩施?高三校聯(lián)考期末）已知Sn是數(shù)列｛時｝的前幾項和，且

QI

ai=a2=l,an=2H_+3an_2（n>3）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列｛an—Qn+d為等比數(shù)歹UB.數(shù)列｛an+i+2an｝為等比數(shù)列

C.540=i（3--l）Ds=之華空

【變式13-1】5.（2023春?江西宜春?高三江西省豐城中學校考開學考試）若數(shù)列｛即｝滿足

%=1,。2=4,且對于九6N（n>2）都有an+i=2a—Qn_i+2,則一一H——-H——-+

n口2-1Q4-1Cig—1

?1.=（）

a2022-1

A2021B101。Q2022D1011

?2022'2022*2023*2023

【變式13-1】612022秋?云南?高三云南師大附中校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列｛an｝滿足為=2,

。2=6,且an+2-2an+1+an=2,若［%］表示不超過%的最大整數(shù)（例如［1.6］=1,［-1.6］=

-2），則圖+圖+…+［鬻］=（）

A.2019B.2020C.2021D.2022

【變式13-1】7.（2023?上海浦東新?華師大二附中?？寄M預測）已知1441=1,當九？2

時，4+1是線段4n4-1的中點，點P在所有的線段乙（+1上，則/止1=________：

題型14前n項積求通項

【例題"】（2023?全國?高三專題練習）設(shè)7n是數(shù)列Sn｝的前ri項積，則"”=3小'是"｛an｝

是等差數(shù)列"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式14-1］1.（2023?陜西?西北工業(yè)大學附屬中學校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列｛an｝的前門

項和為％，且即=竽，首項為1的正項數(shù)列｛%｝滿足瓦?尻?聞??…bn=(an-bny,則數(shù)

列｛九｝的前項和

nQn=.

【變式全國高三專題練習)記為數(shù)列的前項和，%為數(shù)列的

14-1]2.(2023??S”｛an｝n｛S"

前九項積，已知9+《=2,則｛即｝的通項公式為

3nDn

【變式秋北京通州高三統(tǒng)考期末圮知數(shù)列｛時｝的前項和為

14-1]3.(2023??nSn(Sn*0),

為數(shù)列的前項積，滿足+T=S-T(nGN*),給出下列四個結(jié)論：

Tn｛S"nSnnnn

①的=2；②M=-^―；③｛〃｝為等差數(shù)列；④S”=字.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【變式】全國高三專題練習)已知數(shù)列的前幾項和為丁為

14-14.(2023??5｝Sn(Sn0),7n

數(shù)列｛S"的前幾項積，滿足%+Tn=Sn-Tn(n為正整數(shù))，其中7\=%,給出下列四個結(jié)論：

①%=2；②與；③｛〃｝為等差數(shù)列；④S”=竺工.其中所有正確結(jié)論的序號

n^zn—i)n

是.

題型15函數(shù)遞推型

【例題15](2023?山東濟寧?嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模)已知函數(shù)y=/(x)(xeR),滿足

(等)=8"(與)nN*)a=,函蜘2x3，則

，G)=1J(C若nlog3/(n)(x)=—3/+2

g島)+g島)+g島)+…+g篇)=()

A.3036B.3034C.3032D.3030

【變式15-1]1.(2023?安徽銅陵?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)y=/(x),xeN+,滿足以下條件：

ab,其中.則

①“a+b)=/(a)+<(b)+a,b￡N+：②f(2)=3/(2023)=()

A.2023x2024B.2022x2023C.1013x2023D.1012x2023

【變式15-1】2.(2023?全國?高三專題練習)對任意數(shù)列5｝,定義函數(shù)F(x)=%+a2x+

2n2

a3x+■■■+anx-\neN*)是數(shù)列的“生成函數(shù)”.已知F(l)=n,則Fg)=()

A口A

A-o3-2n-+3B.4--2n+l

cl.6,-2n-+lDc./6-27-1+3

【變式15-1】3.(2023?全國?高三專題練習)高斯(Gauss)被認為是歷史上最重要的數(shù)

學家之一，并享有“數(shù)學王子"之稱.小學進行1+2+3+-+100的求和運算時，他是這

樣算的：1+100=101,2+99=101,-,50+51=101,50組，所以50x101=

5050,這就是著名的高斯法，又稱為倒序相加法.事實上，高斯發(fā)現(xiàn)并利用了等差數(shù)列的對

稱性.若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點?，1)對稱，Sn=(n+D『(W)+/Q*)+“-+

/信J,Sn為數(shù)列5｝的前"項和，則下列結(jié)論中，錯誤的是()

A./(%)+/(I—%)=