重難點24 向量壓軸小題十大題型（解析版）-決戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)重難點題型突破（新高考）

重難點專題24向量壓軸小題十大題型匯總

題型1平面向■的線性運算........................................................2

?類型1基底法.............................................................2

?類型2三點共線方程蛆法..................................................6

?類型3坐標法.............................................................8

?類型4等和線法法.......................................................17

題型2向?數(shù)■積最值取值范圍問題...............................................19

?類型1定義法............................................................19

?類型2基底法（線性表示）...............................................27

?類型3坐標法............................................................31

?類型4極化恒等式法.....................................................37

?類型5幾何意義法.......................................................39

題型3向■模長最值取值范圍問題.................................................41

?類型1坐標法............................................................41

?類型2幾何意義法.......................................................49

?類型3三角換元法.......................................................56

?類型4三角不等式法.....................................................58

題型4向■共線的應(yīng)用...........................................................61

題型5向■夾角.................................................................69

題型6向■平行與垂直的應(yīng)用....................................................74

題型7投影向*.................................................................78

題型8解析幾何與向?...........................................................82

題型9奔馳定理與面積比.........................................................92

題型10向■四心................................................................95

題型1平面向■的線性運算

?類型1基底法

弟知重點

平面向量基本定理（平面內(nèi)三個向量之間關(guān)系）；若瓦、石是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,

則對于這一平面內(nèi)的任一向量d,有且只有一對實數(shù)入1、入2，使占=入同+入2或

1.選定基底,則入1、入2,是唯一的

2.處理技巧：可"繞三角形"，可待定系數(shù)，可建系.

【例題1-1］（多選）（2023?全國?高三專題練習(xí)）在平行四邊形4BCD中，點E為邊CD中點，

點F為邊BC上靠近點B的三等分點，連接4F,BE交于點M,連接4c，點N為AC上靠近點C的

三等分點，記荏=a,AD=b,則下列說法正確的是（）

A.點M,N,E三點共線

B.^AM=Xd+/xb,則4+〃='

C.前=2施

3

D.SA48M,S為平行四邊形ABC。的面積

【答案】ACD

【分析】根據(jù)向量的線性運算，將需要的向量都用前，而來表示，設(shè)麗=mEB,MA=c~AF,

利用平面向量基本定理構(gòu)造等式荏=ME-MA=^AB+AD,可確定點M的位置，依次判

定選項.

平行四邊形4BCD中，因為點N為AC上靠近點C的三等分點，

所以而=押=|荏+|而，荏=+AD,

所以麗=AN-AE=-AB--AD,

63

設(shè)的=mEB=m（^AB-而）=3mEN,m*0,

所以由〃麗，又有公共點E,所以點KN,E三點共線，故A選項正確；

設(shè)a=cAF,

—>——?——>/I—>—A—?/I―?—>\/—?1

AE=ME-MA=-m\^AB-ADj-cAF=-m\^AB-ADj-c（48+-

所以祠~^AF-^AB+^AD,A+n=,故B選項錯誤；

---->---->---->1----?7----?

BN=AN-AB=——AB+-AD,

33

因為麗=，而，所以的=,而=-^AB+^AD,

故麗=灑,C選項正確；

因為祠=^AF,SM8M=獰△ABF=|s△ABC=旨，故D選項正確.

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點睛：此題主要是點M,點N在線段BE上的位置未給,所以通過平面向量

基本定理構(gòu)造求解，設(shè)前=mEB,MA=cAF,利用族=-AM=^AB+AD,將所

有向量用而,而表示，求出m,C的值.

【變式1-1】1.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖,在平行四邊形ABCD中，點E是CD的中

點,點F為線段BD上的一動點，若而=xAE+yDC,且x>m>0,y>0,則?ny(x-m)的

最大值為()

【答案】B

【分析】利用平面向量的基本定理可得出|x+y=l,分析可知0<小<|，由基本不等式

可得出my(x-m)<|mQ-m)利］用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)/(m)=在區(qū)間(0,》上

的最大值，即可得解.

【詳解】由題意可得荏=AD+DE=^AB+AD,

所以，AF=xAE+yDC=x6通+而)+yAB=(gx+y)近+xAD,

因為尸為線段BQ上的點，所以，存在4G(0,1),使得而=,

所以，而一而=X(AB-而),則而=AAB+(1-X)AD,

所以，伊+'='，則齊+y=i,

(x>0

因為［y=l_|x>0，則0<X<7/

所以，my(x-m)=HI(1-|x)(%-m)=|m(x-7n)

<-(x—m+^—x'j=Q-TrCj=1(m3-m2+rnj,

令f(?n)=|(m3-刎2+扣)，其中0<?n<|,

則廣⑴1)=|(3m2-1m+i)=|(3m-|)(m-|),

當0<m<|時，/(m)>0,此時函數(shù)/(m)單調(diào)遞增,

當|<m<：時，/(m)<0,此時函數(shù)/(m)單調(diào)遞減，

所以，/'(m)max=fG)=擊,

當且僅當m=|,x=：時，my{x-m)取最大值六.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用平面向量的基本定理求參數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵在于推

導(dǎo)出梟+y=1,得出-m)=|m(x-m)Q-x)結(jié)合基本不等式得出?ny(x-m)<

22

|m(|-m),再轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(m)=|m(|-巾)在區(qū)間(。，|)上的最大值來求

解.

【變式1-1]2.(2022秋?遼寧沈陽?高三東北育才學(xué)校校考期末)已知。是2MBe內(nèi)一點,

且就+OB+OC=0,點M在40BC內(nèi)(不含邊界)，若前=2屈+〃無，則4+2〃的取值

范圍是

A.(詞B,(l,2)C.g(l)D.&1)

【答案】B

【解析】根據(jù)a+OB+OC=6可知O為2ABC的重心；根據(jù)點M在40BC內(nèi)，判斷出當

M與O重合時，2+2〃最小；當M與C重合時，A+2〃的值最大，因不含邊界，所以取開

區(qū)間即可.

【詳解】因為。是4ABC內(nèi)一點，且耐+OB+OC=0

所以。為4ABe的重心

M在AOBC內(nèi)(不含邊界)，且當M與。重合時，A+2〃最小，此時

AM=AAB+nAC=|x+硝]=^AB+

所以A=：,"=[,即4+2“=1

當M與C重合時，A+2〃最大，此時

AM=AC

所以A=0,〃=1,即4+2〃=2

因為M在4OBC內(nèi)且不含邊界

所以取開區(qū)間,BPA+2〃e（1,2）

所以選B

【點睛】本題考查了向量在三角形中的線性運算，特殊位置法的應(yīng)用，屬于難題.

【變式1-1]3.（2020春?湖北襄陽?高三襄陽四中?？茧A段練習(xí)在4ABe中,\AC\=2,\AB\=

2,ABAC=120。,荏=XAB.AF=日前，M為線段EF的中點，若|宿|=1,貝！U+〃的最大

值為（）

A*B.處C.2D.包

333

【答案】C

【分析】化簡得到前=^AB+^AC,根據(jù)I詢I=1得到"+不一加=1,得到入+〃的最

大值.

【詳解】AM=^（AE+AF）=^AB+^AC,

故|前廣=QAB+?正丫=A2+g2+yx4cosl200="+"2-a”=i

故1=A2+/z2—2/z=（A+〃）2—3An>（A+/z）2--（A+/z）2,故，+〃W2.

當，=〃=1時等號成立.

故選：C.

【點睛】本題考查了向量的運算，最值問題，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.

?類型2三點共線方程組法

【例題1-2】（多選）（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在4ABC中，AD=而,E是線段BC

上的點，且滿足前=2EC,線段CD與線段4E交于點F,則下列結(jié)論正確的是（）

A

A.4=渾+翔B,3DF=2CF

C.AF=^AB+^ACD.4AF=3AE

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意，由平面向量線性運算可得選項A正確油標與荏共線，可得方=AAE=

^AB+yAC,由C、凡。三點共線，得方=+(1-t)4C=+(1-t)AC,由平面

向量基本定理解出入t的值，可判斷選項C、D；由C、F、。三點共線，得汴=，通過

轉(zhuǎn)化求出k得值，即可判斷選項B錯誤.

【詳解】由題意，AE=AB+~BE=AB+1BC=AB+l(AC-AB)=^AB+'^AC,故選項

A正確；

由而與荏共線，可得

AF=AAE=A(渾+押)=渾+^AC,

由C、F、。三點共線，得

AF=tAD+(l-t^AC=|AB+(1-t)AC,

(-=-f/=-

由平面向量基本定理，可得2J2，解得：，

%=1T[t=2

所以,AF=^-AB+^AC,AF=^AE,4AF=3AE,即故選項C、D正確；

424

由c、F、。三點共線，得而=kDF,

即而-AC=k(AF-而)，化簡為(1-k)AF=AC-kAD,

由選項C可得，(1-k)(；而+^AC-)=AC-^AB,

(1=_±

再由平面向量基本定理得，運_:,得k=一1,

所以，赤=一而，即DF=CF,故選項B錯誤.

故選：ACD.

?類型3坐標法

【例題1-3】(多選)(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，在菱形ABCD中,ABAD=60。，延

長邊CD至點E，使得DE=CD.動點P從點4出發(fā)，沿菱形的邊按逆時針方向運動一周回至％點，

若而=AAB+iiAE，則()

EDPC

A.滿足;I+n=1的點P有且只有一個

B.滿足；I+n=2的點P有兩個

C.A+〃存在最小值

D.A+〃不存在最大值

【答案】BC

【分析】建立如圖所示的平面直角坐標系，然后利用點P的四種位置進行分類討論即可.

【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)菱形的邊長為1,P(x,y),則

4(0,0),8(1,0),C(|,紛,°&卑,E(一消),

所以布=(1,0),AF=<AP=(x,y),

由存=XAB+iiAE，得(x,y)=2(1,0)+(-py)=(A-%會),

(x=A—~ii

所以《62'所以，+〃=x+V3y,

(y=>

①當點P在ylB上時/0<x<lzHy=0/

所以2+〃=%+V3y=xE［0,1］；

②當點P在BQ不含點B止時則加=mBC所以(x-l,y)=m，化簡y=V3(x-1),

所以A+〃=%+V3y=%+3(%—1)=4%—3,

因為1V%W|,所以1V4x—3W3,即4+/z6(1,3］；

③當點P在c。(不含點C)上時，?Wx<|,且〉=日，

所以3+|Wx+V3y<|+|,即2<x+y/3y<3,所以4+/z6［2,3)；

④當點P宙!。(不含點A、D)上時，則屁=nAD,所以(x,y)=n&苧)，化簡y=V3x,

所以2+〃=%+V3y=%+3%=4x,

因為0<x<］所以0<4x<2,所以;l+〃e(0,2)；

對于A,由①知，當2+〃=1時，x=1,此時點P與點B重合；

由④可知當4+〃=1時，％=：,)/=￥，此時點P在40的中點處；

其它均不可能，所以這樣的點P有兩個，所以A錯誤，

對于B,由②知，當4+〃=2時，x=J,y=￥，此時點P在BC的中點；

由③知，當；1+〃=2時，x=Jy=f,此時點P在點。處；

其它均不可能，所以這樣的點P有兩個，所以B正確，

對于CD,由①②③④可得：

當x=y=0,即點P為點A時,A+〃取到最小值0；

當x=|,y=f，即點P為點C時，A+〃取到最大值3,所以C正確，D錯誤，

故選：BC.

E|。PC

【點睛】關(guān)鍵點睛此題考查平面向量基本定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是建立平面直角坐標系，

然后分類討論，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.

【變式1-3】1.(多選)(2024秋?安徽?高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)古希臘數(shù)學(xué)

家特埃特圖斯(Theaetetus)利用如圖所示的直角三角形來構(gòu)造無理數(shù).已知4B=BC=

CD=1,AB1BC,AC1CD,AC與BD交于點。，若麗=AAB+fiAC，貝！M+〃=()

A.y/2—1B.1—V2C.V2+1D.—V2—1

【答案】A

【分析】建立平面直角坐標系，求得相關(guān)點坐標，求得相關(guān)向量坐標，根據(jù)前=AAB+^AC,

結(jié)合向量坐標運算，即可求得答案.

【詳解】以C為坐標原點，SC4所在直線分別為居丁軸建立如圖所示的坐標系，

由題意得4c=V2,

則4(0,旬,B停用,(7(0,0),而=停-乎)，前=(0,-?.

因為CB=CD=1,Z.DCB=90°+45°=135°,故NBDC=22.5°,

因為tan45。==1,所以tan22.5。=a-1(負值舍去)，

1言-tan噂^22.5=

所以O(shè)C=DC-tan22.5°=V2-1,

故。(0,&-1).又D(-L0),則前=(1,V2-1),

一一一(1=—A

因為0。=AAB+iiAC,所以〈2,

-1——A-y/2/j.

解得，二3,所以，+〃=魚-1,

故選：A.

【點睛】方法點睛：注意到題目中的垂直關(guān)系，由此可以建立直角坐標系，利用向量的坐標

運算來解決平面向量基本定理中的參數(shù)求解問題.

【變式1-3]2.(多選)(2023秋?重慶萬州?高三重慶市萬州第二高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))

重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.

古人曾有詩贊日："開合清風(fēng)紙半張，隨機舒卷豈尋常，?金環(huán)并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長".

榮昌折扇平面圖為下圖的扇形COD,其中“0。=與，。C=4。4=4,動點P在◎上(含

端點)，連結(jié)0P交扇形OAB的弧”于點Q,且麗=xOC+yOD,則下列說法正確的是

()

A.若y=x,則久+y=1B.若y=2x,則瓦5?OP=0

C.AB-OP>-2D.PA.PB>^

【答案】BD

【分析】作。E10C,分別以O(shè)C,OE為X,y軸建立平面直角坐標系，利用向量坐標求解即

可.

【詳解】如圖，作0E10C,分別以O(shè)C,OE為x,y軸建立平面直角坐標系，

則4(1,0),C(4,0),B(一，當),￡)(-2,273),

設(shè)Q(cose,sin8),96［。號］,則P(4cos。,4sin6)

由而=xOC+y而可得cos。=4%-2y,sin?=275y,且％>0,y>0,

2

22

若y=xt則cos?。+sin0=(4x—2y)+(2>/3y)=1,

解得％=y=i(負值舍去)，故％+y=JA錯誤；

若y=2x,則cos。=4x—2y=0,0=,OA?加=0,故B正確；

AB-OP=~Y)0(4cos0,4sin0)=-6cos0+2V3sin0=4V3sin(8—g)

由于9e［°-T］-故"汨_*］，

故?6<4V3sin(6-§W6,故C錯誤；

由于可=(l-4cos0r4sin0),PB=(—|—4cos0,y-4sin0)

P/l?麗=(l-4cos0)x(一；—4cos6)+(-4sin0)x(亨一4sin6)=y-2cos0—2V3sin0=

y-4sin(0+*)而9+］￡穩(wěn)冷］，所以sin(。+，

所以PA,PB=--4sin(0+-4=,故D正確

2622t

故選:BD

【變式1-3]3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）正方形ABCD的邊長為4,E是BC中點，如

圖，點P是以AB為直徑的半圓上任意點，屈=4荏+〃荏，則()

A.〃最大值為1B,而SB最大值是8

C.4最大值為，1~iD.AP?AC最大值是8+8^2

【答案】AD

【分析】建系，設(shè)P(2cosa2sinO),根據(jù)向量的坐標運算結(jié)合三角函數(shù)的有界性逐項分析運

算.

【詳解】如圖，以AB的中點0為坐標原點，建立平面直角坐標系，

則A(-2,0),B(2,0),E(2,2),C(2,4),

設(shè)P(2cosB,2sine)(Be[0,n]),

可得而=(2cos0+2,2sinG),AB=(4,0),瓶=(4,2),AC=(4,4),

貝！M而+fiAE=(44+4%2”),

由題意可得，4,=羿%+2,解得戶2sin。+1)

(2〃=2sin0(〃=sin。

對于A：'：n=sin。,且。G[0,n],可得當。=，sin。取到最大值1,

最大值為1,故A正確；

對于B:ZP-AS=4(2cos0+2)=8(cos0+1),

-0e[0,n],可得當9=0時，cos。取到最大值1,

.,.麗?麗最大值是8(1+1)=16,故B錯誤；

對于C：'.'A=|(cos0—2sin0+1)=-ycos(0+伊)+；,其中tan<p=2,<p&(0,g),

由。e]0,川，則0<aW0+eWn+3〈三，

令s<e+(p<TX,解得o<e<n-(p令n<e+cp<n+(P,解得n-(p<e<n；

故a=yCOS（e+0）+g在[O,TT-9）上單調(diào)遞減，在E-9,n]上單調(diào)遞增，

當。=0時，則；I=1；當。=n時，則zl=0<1；

最大值是1,故c錯誤；

又寸于D：AP-AC=8cos0+8+8sin0=8V2sin（8+?）+8,

■'96[0,n],則0+34€LI4^，Y4」|<

則當e+：=g,即e=：時，sin（e+9取到最大值1,

.■■AP■尼最大值是8+8或，故D正確；

故選：AD.

【點睛】方法定睛：1,平面向量的線性運算要抓住兩條主線：一是基于"形"，通過作出

向量，結(jié)合圖形分析；二是基于"數(shù)"，借助坐標運算來實現(xiàn).

2.正確理解并掌握向量的概念及運算，強化"坐標化”的解題意識，注重數(shù)形結(jié)合思想、

方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

【變式1-3]4.（2023?北京海淀??？寄M預(yù)測）已知點O是邊長為4的正方形的中心，

點P是正方形ABCD所在平面內(nèi)一點,|OP|=1,若而=AAB+nAD.

（1）4的取值范圍是—；

（2）當；I+〃取得最大值時,|AP|=

【答案】口]2V2+1

44

【分析】建立以A為原點的坐標系，可得P的軌跡方程，由P的軌跡方程可知1<x<3,

即1W44W3從而得第一問答案將Z力代入P的軌跡方程得("1)2+-界=喜，

(4=-+-cos&_

設(shè)：：，。€[0,2砌，利用三角函數(shù)求得當。=泄，2+四取最大值，代入即可得

u=-+-sind

<24

第二空答案.

【詳解】解：建立以A為原點的坐標系，如圖所示：

由|而|=1可得P的軌跡是以。(2,2)為圓心，1為半徑的圓,

設(shè)P(x,y),則有(x-2產(chǎn)+(y-27=1,

所以而=(x,y),

又因為四=(4,0),同=(0,4),

所蝶聾.

由P的軌跡方程可知1<x<3,

BP1<4A<3,所以3waW；,

所以a的范圍為：[i；

將[；:,代入(X_2)2+(y-2)2=1,得("#+(“_]=?

所以點(九4)在圓(x-|)2+O-1)2=2上,

(A=-4--cosO

設(shè)｛\tfee[0,2n),

則入+/z=14-1(sin0+cos。)=14-,

所以當"押，取最大值，此時;I=〃=9,

所以而=AAB+（+AD）,

iiAD=—8AB

所以|同2=（竽）2（荏+而）2=9+4V2=（2V2+I）2,

所以|而|=2V2+1.

故答案為：日勺；2V2+1

44

【點睛】方法點睛：對于較復(fù)雜的平面向量中涉及范圍的問題，通過建模，將問題轉(zhuǎn)化向量

的坐標運算，從代數(shù)角度出發(fā)進行解答，從而降低難度.

【變式1-3]5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在直角梯形ABCD中,AB1AD.AB//DC,AD=

DC=1MB=2動點P在以點C為圓心且與直線BD相切的圓上或圓內(nèi)移動設(shè)而=AAD+

6R）,則M+：加最大值是.

匚

【答案】J

【分析】建立合適的直角坐標系，求出各個點的坐標，根據(jù)點到直線的距離公式求得圓C的

方程，再求出P點坐標，建立關(guān)于尢〃的不等式，令t=2+4代入不等式，根據(jù)判別式大于

零可得t的范圍，化簡然+：川為關(guān)于2的二次函數(shù)，開口向下，可取得最大值，求出最大值

時尢〃」的值可證明其存在,即可得出結(jié)果.

【詳解】解：以力為原點，分別以方向為x,y軸，建立如圖所示直角坐標系：

所以4(0,0),B(2,0),C(l,l),0(0,1),所以而=(0,1),AB=(2,0),

因為圓C直線BD相切，而%D：x+2y-2=0,圓心C(l,l),

所以半徑r=蠢=g，所以圓C：(x-l)2+(y-l)2=i,

因為而=AAD+fiAB=2(0,1)+〃(2,0)=(2%;I),

即P(2〃,/l),因為動點P在圓C上或圓C內(nèi)移動，

所以(2〃-+Q-.，設(shè)t=A+〃，則A=t一,

所以不等式可化為：(2〃-l)2+(t-l-M)2<i,

所以5/一(2t+2)〃+(t-+gw0,易得不等式有解，則A20,

所以(2t+2)2-4X5x((t-I)2+Q>0,即t?-3t+2<0,解得1<t<2,

所以原式下+汾=M+“一乂=_*+他

=--(A--)2+-t2<-t2,

2\1074040

所以當t=2"=M即屋時，3+9〃)=黑

iu□□\z?max1V

故答案為：意

【點睛】思路點睛:該題考直向量結(jié)合直線與圓的綜合應(yīng)用，屬于難題，關(guān)于該題的思路有：

(1)圖形比較規(guī)則，建立直角坐標系來解決向量問題；

(2)得到關(guān)于;1,4的不等式中沒有；I-H,所以取t=a+4,建立九〃之間的關(guān)系；

(3)用判別式求得t的范圍，化簡所求式子至二次函數(shù)的形式；

(4)根據(jù)二次函數(shù)的最值及t的范圍求出最值.

?類型4等和線法法

等和線原理：OA=XOB+fiOC<=>a+〃=1

OF=XOB+jtzOCo4+〃=mm=黑,

【例題1-412023?全國?高三專題練習(xí)舊知4B、C是圓。:/+y2=4上的三點々OB=

斗,CO的延長線與線段48交于點。,若而=mOA-^nOB,則m+九的取值范圍為

【答案】

【詳解】解法一：如圖1,不妨設(shè)4（2,0）,8（-1,次）,。（285/25m的，其中ae卜兀,一,，

貝！J而=(2cosa,2sina),oX=(2,0),OB=(-1,73),

因為0?=mOA+nOB，所以(2cosa,2sina)=(2m,0)+(一n，8n),從而[24^:,:北。

所以m=^sina+cosa,n=乎sina,故m+九=V3sina4-cosa=2sin(a+看)/因為aG

一兀3

,—，故sin(a+.)W[-1,即m+n￡[-2,—1].

所以a

oL6o

解法二：如圖2，由等和線定理，當點C與點G或點。2重合時,m+n取得最大值，設(shè)直線。停2

與直線。。交于點E,/-A0B=y=>乙BOD=g=\0D\=\0B\-cos乙BOD=1=>\0E\=1n

㈣=1

\0D\'

所以巾+n的最大值為-1；將直線4B向下平移至直線使（與圓。相切于點,

當點C與。3重合時，m+兀取得最小值，當點C與重合時，m+71取得最小值,

題型2向量數(shù)■積最值取值范圍問題

*E劃重點

求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：

（1）利用定義（包括向量數(shù)量積幾何意義）

（2）利用向量的坐標運算（自主建系，只要題目有可以建系的條件，可通過建系法求解）；

（3）利用向量三角不等式

?類型1定義法

【例題2-1】（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，△ABC中，“=彳，4C=2,BC=后+夜.

在44BC所在的平面內(nèi)，有一個邊長為1的正方形力DEF繞點力按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（不少于1

周），則荏?麗的取值范圍是（）

【答案】A

【分析】由余弦定理求得4B=2V2，由正方形4CEF的邊長為1，求得4E=牝乙DAE=45°,

利用向量的數(shù)量積的公式，化簡得到荏-BD=AE-（AD-AB）==1-4cos/B4E,結(jié)合

COSNBAEG[-1,1],即可求解.

【詳解】在^ABC中，乙C=三，AC=2,BC=強+&,

4

由余弦定理得4'2=AC2+BC2-2AC-BCcosC=4+（V6+V2）2-2X2（V6+夜）x

￥=8,

所以4B=2V2,

又由正方形/WEF的邊長為1,可得4E=a/DAE=45。，

貝（IAE'BD=AE-（AD-AB）=AEAD-AE-AB=\AE\\AD\COS^DAE-

\AE\\AB\COS^BAE

=V2x1xcos45°—V2x2&cos4BAE=1—4cosZ_BAE,

正方形ADE尸繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（不少于1周），可得cos/BAEG[-1,1],

所以1-4COSNB4Ee[-3,5j,即荏■前的取值范圍是[一3,5].

故選：A.

【變式2-1]1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在4ABC中，2=60。，BC=，。為^ABC

的外心，D,E,F分別為AB,BC,CA的中點，且前2+市2+次2=-則a.OB+OB-

OC+OC-OA=.

【答案】-4

【分析】先求出I市I=|0B|=|oc|=2.設(shè)44。8=a/BOC=叢則〃0C=2n-a-d由

0D2+0E2+OF2=4,利用二倍角公式求出cosa+cos。+cos(a+0)=-1,根據(jù)數(shù)量積

的定義直接求解.

【詳解】如圖示，作出△ABC的外接圓O,設(shè)半徑為R.

由正弦定理得：生；=2R,即有=2R,解得：R=2,所以|市|=\0B\=|0t|=2.

51nzioinou

設(shè)乙4。8=a,LBOC=3,則〃。C=2TT—a-

所以O(shè)AOB^-OBOC+OCOA=\OA\-\OB\cosa+\0B\?|OC|cos/?+\0C\?

|flX|cos(2n—a-/?)

=4cosa+4cos￡+4cos(a+￡).

因為0為AABC的外心，所以乙4。。=^AOB=*所以|而|二|0C4|cosj=2cos|.

同理：\0E\—2cosp|0F|=2cos

因為^^2+市2+而2=4,所以@COS9+(2cosf)+(2cos=4,

所以COS2]+COS2g+COS2=1.

由二倍角的余弦公式可得：cosa+cos。+cos(a+￡)=-1.

所以瓦？?OB+OF?OC+OC?0^4=4cosa+4cos￡+4cos(a+夕)=—4.

故答案為：-4.

【點睛】向量的基本運算處理的常用方法：

Q)向量幾何化：畫出合適的圖形，利用向量的運算法則處理；

(2)向量坐標化：建立適當?shù)淖鴺讼?，利用向量的坐標運算處理

【變式2-1]2.(2023秋?上海浦東新?高三上海市實驗學(xué)校?？奸_學(xué)考試)"圓幕定理”是

平面幾何中關(guān)于圓的一個重要定理，它包含三個結(jié)論，其中一個是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條

相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等，如圖，已知圓。的半徑2，點P是圓。內(nèi)的定點，

且OP=V2,弦AC,BD均過點P,則下列說法錯誤的是()

A.同?無為定值B.OA-沆的取值范圍是[-2,0]

C.當AC1BD時，AB■前為定值D.|前“而忖勺最大值為12

【答案】B

【分析】過。,P作直徑EF,利用向量加減幾何意義得對?無==-(|OF|-|OP|)(|OF|+

|而I)判斷A；若M為4c中點，連接OM,應(yīng)用向量線性運算的幾何意義及數(shù)量積的運算律、

圓的性質(zhì)得a-OC=2OM2-4進而求范圍判斷B根據(jù)垂直關(guān)系及前CD=(AP+PB)-

(CP+PD),數(shù)量積得運算律化簡判斷C；若N為BD中點,連接ON,圓的性質(zhì)易得

2

[AC\2-\BD\=16(4-。用2).(4-。22),應(yīng)用基本不等式及0河2+。722?！?求最值，

注意取值條件判斷D.

【詳解】如圖，過O,P作直徑EF,

由題意可,無=-\PA\\PC\=-\PF\\PE\=-\OF-OP\\OE+~PO\,

所以兩?正=-\OF-OP\\-(OF+0?)\=-\OF-OP\\OF+OP\

=-(|OF|-|OP|)(|OF|+|OP|)=-(|OF|2-\OP\2)=-2為定值，A對；

若M為4c中點，連接。M,則

OA-OC=(OM+MA)■(OM+MC)=OM2+OM-(MA+MC)+MA-MC

=OM2-(4-OM2)=2OM2-4,

由題意0<OM2<OP2=2,則成?OCG［一4,0］,B錯；

若4c1BD,故而CP=APF^D=O,

貝！|荏~CD=(AP+PB)■(CP+PD)=AP-CP+~PBCP+AP+PBPD,

又或PC=-2,則而CP=-2,同理可得麗?麗=-2,故而?而=-4,C對;

若N為BD中點,連接ON,則

|前『?\BD\2=16(4-OM2)-(4-ON2)<16■空電:一)：,

當且僅當4-OM2=4-ON2,即?！?=ON?時等號成立，

22

此時?！?+0N2>OP=2,BP|4C|?|而『<144,貝［||亞|?|而|<12,

綜上,當且僅當。"2=0N2=1時|一|.|前|的最大值為12,D對.

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)定義及向量線性運算的幾何意義，結(jié)合數(shù)量積的運算律轉(zhuǎn)化各項

數(shù)量積或乘積關(guān)系，再由圓的性質(zhì)、基本不等式判斷各項正誤.

【變式2-1]3.(2023春福建福州?高三?？茧A段練習(xí))圓。為銳角44BC的外接圓，AC=

24B=2,點P在圓。上，則而?南的取值范圍為()

A.[-1,4)B.[0,2)C.[-1,2)D.[0,4)

【答案】C

【分析】把前?前轉(zhuǎn)化為前-AO+OP-AO，由余弦定理、數(shù)量積的定義得前?而=產(chǎn)-1

討論P的位置得前?AOe[-1,2r2-J結(jié)合銳角三角形BC=2rsm^BAC<迷恒成立，即

可得范圍.

【詳解】由△ABC為銳角三角形，則外接圓圓心在三角形內(nèi)部，如下圖示，

又加AO=(Bd+OP)Ad=BdAd+OP-Ad,而4c=2AB=2,若外接圓半徑為r,

貝U2r2(1—cosZ.AOB)=2r2(l-cos2C)=1,故cos2c=1—,且2r>2,即r>1,

由B?！鯝O=\BO\\AO\cos/.AOB=r2cos2c=r2—|,

對于訶■前宜P在圓。上,當AP為直徑時而?布=",當4P重合時和A0=-r2,

所以而?AOe[-r2,r2],

綜上，麗.前，

銳角三角形中NB4C<90°,則BC<\/AC2+AB2=圾,即BC=2rsin/.BAC<遍恒成立，

所以1<r<苧,則2r2_1<2恒成立,

綜上,BP-AO6[―p2).

故選:C

【變式2-1】4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知△4BC中，乙4=60。，4B=6,4C=4,

0為4ABC的外心,若布=AAB+nAC,貝！U+〃的值.

【答案】J

【分析】由題意可知，O為△ABC外接圓的圓心，過O作。。1AB.OEVAC,已知等式兩

邊同乘以前,結(jié)合數(shù)量積定義得64+2〃=3,同理得3/1+4〃=2,從而兩式聯(lián)立即可求得

A+〃的值.

【詳解】由題意可知，。為△ABC的外心，

設(shè)半徑為r,在圓。中，過0作0。1AB.0E1AC,垂足分別為。，瓦

因為同=AAB+nAC,兩邊乘以南,即函■AB=AAB2+nAC-AB,

6

而，前的夾角為/OAD,而cosNQW=^=1=|,

則rx6x7=364+〃x4x6xT，得6A+2〃=3①，

同理而=AAB+〃前兩邊乘正,即亞?AC=AAB-AC+nAC2,cos^OAC=|,

貝（Irx4x：=/lx6x4x1+16/z,彳導(dǎo)34+4〃=2②，

①②聯(lián)立解得4=：,“=；,

7O

所以，+〃?+滬M

故答案為：3

【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是將而=AAB+〃而兩邊分別乘以前，正，結(jié)合數(shù)量

積定義化簡得到關(guān)于尢〃的方程，求得答案.

【變式2-1]5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，菱形力BCD的邊BC上有一點E,邊DC上

有一點F（E產(chǎn)不與頂點重合＞\DF\AEF是邊長為國的等邊三角形，則瓦5-BE

的范圍是

AD

【分析】過4作4G1BC于G,AH1CD于H,根據(jù)已知得出Rt△AGE=Rt△AHF,即可得

出NG4H=Z.EAF，則”=，設(shè)4B=a,BE=b，可得|<b<a，且根據(jù)余弦定理在△ABE

可得3=a2+b2-ab,i^ab=S,根據(jù):<b<a結(jié)合不等式性質(zhì)得出S<X<2S,設(shè)函

數(shù)g(x)=9+%-2S，根據(jù)對鉤函數(shù)單調(diào)性得出g(2S)<g(F)<g(s),根據(jù)3=a2+b2-

ab結(jié)合=S得出3=^-+b2-2S,即可由g(2S)</非)<g(S)解出S的范圍，再根據(jù)

向量數(shù)量積的定義得出而BE=lab=S即可得出答案.

【詳解】如圖所示：過4作4G1BC于G,AH1CD于H,

???ABC。為菱形，

AG=AH,

???△4EF是等邊三角形，

AE=AF,Z.EAF=-3，,

???Rt△AGE=Rt△AHF,

???/LGAE=乙HAF,

???￡.GAE+/.EAH=Z-HAF+Z-EAH,即4G/1H=Z.EAF=g,

二在四邊形G4HC中，“=2兀一Z.AGC-/.AHC-/.GAH=2"：*一^=亨，

c八2nli

乙B=7T-ZL=7T--------=-,

33

設(shè)4B=a,貝!]BC=a,BG=ABcos乙B=1,

vBG<BE<BC,設(shè)BE=b,

9vbvQ

2'

22

在aABE根據(jù)余弦定理：3=Q2+/?2—2abcos^=ab—ab,

BA?BE=abcos-3=-2ab,

設(shè)工ab=S,貝！Jab=2s,則3=a24-h2-ah=+b?-2ab=與+〃一2S,

W<bVa,且b>0,

2

???2<b<ab,

???b2<ab=2S<2b2,即S<b2<2S,

設(shè)函數(shù)g(x)='+%-2S,

根據(jù)對鉤函數(shù)性質(zhì)可得g(x)在(S,2S)上單調(diào)遞減，

???5(25)<gg<g(S),即2s<^-+b2-2S<3S,即2s<3<3S,解得SG(1,|),

則稱雇=*=Se(W)，

故答案為：(1,|).

?類型2基底法(線性表示)

【例題2-2](2023?全國?高三專題練習(xí))已知菱形ABCD的邊長為2,^BAD=120°,點E

在邊BC上，BC=3BE,若G為線段DC上的動點，則而?林的最大值為()

A.2B.-

3

C.-D.4

3

【答案】B

【分析】利用向量的數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運算，結(jié)合向量的線性運算即可求解.

【詳解】由題意可知，如圖所示

因為菱形ABCD的邊長為2,ABAD=120°,

所以|而|=|而|=2,荏-AD=|萬||而|cosl20。=2x2x=-2,

設(shè)而=4覺€[0,1],則

AG=AD+DG=AD+ADC=AD+AAB,

因為BC=3BE,所以屁=|BC=

…,...?--?..，1---?

AE=48+BE=ZB+-AD,

3

1

'-z'>，'(?1''1fr■■■■?_A/一，…，

AG-AE=(AD+XAB}?(48+,㈣=-AD2+XAB24-(1+^)AD-AB

=ix^+Ax^+(l+|)x(-2)=^-|,

當4=1時，而?荏的最大值為*

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點睛：解決此題的關(guān)鍵是利用向量的線性運算求出而，版，結(jié)合向量數(shù)量積定

義和運算即可.

【變式2-2】1.(2023?全國?高三專題練習(xí))在直角△4BC中,AB1AC,AC=W