三角形的五心

三角形的五心三角形中有許多重要的特殊點，特別是三角形的“五心〞，在解題時有很多應用，在本節(jié)中將分別給予介紹．三角形的“五心〞指的是三角形的外心，內心，重心，垂心和旁心．1、三角形的外心三角形的三條邊的垂直平分線交于一點,這點稱為三角形的外心（外接圓圓心）．三角形的外心到三角形的三個頂點距離相等．都等于三角形的外接圓半徑．銳角三角形的外心在三角形內；直角三角形的外心在斜邊中點；鈍角三角形的外心在三角形外．2、三角形的內心三角形的三條內角平分線交于一點,這點稱為三角形的內心（內切圓圓心）．三角形的內心到三邊的距離相等,都等于三角形內切圓半徑．內切圓半徑廠的計算：1S設三角形面積為S，并記p=2（a+b+c），那么r=p.特別的，在直角三角形中，有r=2（a+b—c）.3、三角形的重心三角形的三條中線交于一點,這點稱為三角形的重心．上面的證明中，我們也得到了以下結論：三角形的重心到邊的中點與到相應頂點的距離之比為1：2.4、三角形的垂心三角形的三條高交于一點,這點稱為三角形的垂心.斜三角形的三個頂點與垂心這四個點中，任何三個為頂點的三角形的垂心就是第四個點.所以把這樣的四個點稱為一個“垂心組〞.5、三角形的旁心三角形的一條內角平分線與另兩個外角平分線交于一點,稱為三角形的旁心（旁切圓圓心）.每個三角形都有三個旁切圓.A類例題例1證明重心定理。證法1如圖，D、E、F為三邊中點，設BE、CF交于G,連接EF,顯然EF^1BC,由三角形相似可得GB=2GE,GC=2GF.又設AD、BE交于G,同理可證G'B=2G'E,G'A=2G'D,即G、G都是BE上從B到E的三分之二處的點，故G、G重合.

即三條中線AD、BE、CF相交于一點G.證法2設BE、CF交于G,BG、CG中點為H、I.連EF、FH、HI、IE，因為EF=\BC，HI=\BC，所以EFHI為平行四邊形.所以HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF.同證法1可知AG=2GD,AD、BE、CF共點.即定理證畢.鏈接證明外心、內心定理是很容易的。外心定理的證明：如圖，設AB、BC的中垂線交于點0,那么有0A=OB=OC,故0也在AC的中垂線上，因為0到三頂點的距離相等，故點0是AABC外接圓的圓心.因而稱為外心.內心定理的證明：如圖，設NA、/C的平分線相交于I、過I作ID±BC,IE±AC,IF±AB，那么有IE=IF=ID.因此I也在/C的平分線上，即三角形三內角平分線交于一點.上述定理的證法完全適用于旁心定理，請同學們自己完成.例2證明垂心定理分析我們可以利用構造外心來進行證明。證明如圖，AD、BE、CF為AABC三條高，過點A、B、C分別作對邊的平行線相交成AA'BC',顯然AD為B'C'的中垂線；同理BE、CF也分別為A'C、A'B的中垂線，由外心定理，它們交于一點，命題得證.鏈接〔1〕對于三線共點問題還可以利用Ceva定理進行證明，同學們可以參考第十八講的內容。〔Ceva定理〕設X、Y、Z分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的一點，那么AX、BY、CZ所在直線交于一點的充要條件是A-BX-CY==1.ZBXCYA〔2〕對于三角形的五心，還可以推廣到n邊形，例如，如果我們稱n〔三3〕邊形某頂點同除該點以外的n-1個頂點所決定的n-1邊形的重心的連線，為n邊形的中線，〔當n-1=2時，n-1邊形退化成一線段，此時重心即為線段的中心〕那么重心定理可推廣如下：n邊形的各條中線（假設有重合，只算一條〕相交于一點，各中線被該點分為：〔n-1〕：1的兩條線段，這點叫n邊形的重心.請同學們自己研究一下其他幾個“心〃的推廣。BC情景再現(xiàn)BC1.設G為^ABC的重心，M、N分別為AB、CA的中點，求證:AF4E*DPAH

2 1AF4E*DPAH

2 1

sin/AAH

23 14故H1H2與A1A2關于M點成中心對稱.四邊形GMAN和^GBC的面積相等.2．三角形的任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的二倍．B類例題例3過等腰△ABC底邊BC上一點P引PM〃CA交AB于M；引PN〃BA交AC于N.作點P關于MN的對稱點P'.試證:P'點在△ABC外接圓上.（杭州大學中學數學競賽習題）分析分析點M和N的性質，即能得到解題思路。證明由可得MP'=MP=MB，NP'=NP=NC，故點M是^P'BP的外心，點N是^P'PC的外心.于是有ZBP'P=2ZBMP=2ZBAC,ZPPC=2zPNC=1ZBAC.AZBPC=ZBP'P+ZP'PC=ZBAC.從而，P'點與A、B、C共圓，即P在△ABC外接圓上.鏈接此題可以引出更多結論，例如P'P平分ZBP'C、PB:P'C=BP:PC等等.例4AD,BE,CF是^ABC的三條中線，P是任意一點.證明：在^PAD,△PBE,△PCF中，其中一個面積等于另外兩個面積的和.（第26屆莫斯科數學奧林匹克） AB證明設G為^ABC重心，直線PG與AB,BC相交.從A,C,D,E,F分別作該直線的垂線，垂足為4,C',D',E,尸.易證AA'=2DD',CC'=2FF,2EE'=AA'+CC',AEE'=DD'+FF'.有S△PGE=S△PGD+S△PGF"兩邊各擴大3倍，有S△pbe=S△pad+S△pcf-例5設A1A2A3A4為。O內接四邊形，H1,H2,H3,H4依次為△A2A3A4,△A3A4A1,△A4A1A2,△A1A2A3的垂心.求證：H1,H2,H3,H4四點共圓，并確定出該圓的圓心位置. （1992,全國高中聯(lián)賽）證明連接A2H1,A1H2,H1H2,記圓半徑為丘由^A2A3A4知=2RnA2H1=2RcosZA3A2A4；由^A1A3A4得A1H2=2RcosZA3A1A4.但ZA3A2A4=ZA3A1A4,故A2H1=A1H2.易證A2H1〃A1A2,于是，A2H1=A1H2,故得H1H2〃A2A1.設H1A1與H2A2的交點為M,同理，H2H3與A2A3,H3H4與A3A4,H4H1與A4A1都關于M點成中心對稱.故四邊形H1H2H3H4與四邊形A1A243A4關于M點成中心對稱，兩者是全等四邊形，H1,H2,H3,H4在同一個圓上.后者的圓心設為Q,Q與O也關于M成中心對稱.由O,M兩點，Q點就不難確定了.

鏈接三角形的五心有許多重要性質，它們之間也有很密切的聯(lián)系，如：〔1〕三角形的重心與三頂點的連線所構成的三個三角形面積相等；〔2〕三角形的外心到三頂點的距離相等；〔3〕三角形的垂心與三頂點這四點中，任一點是其余三點所構成的三角形的垂心；〔4〕三角形的內心、旁心到三邊距離相等；〔5〕三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心；〔6〕三角形的外心是它的中點三角形的垂心；〔7〕三角形的重心也是它的中點三角形的重心；〔8〕三角形的中點三角形的外心也是其垂足三角形的外心.情景再現(xiàn)3.在△ABC的邊AB,BC,CA上分別取點P,Q,S.證明以△APS,△BQP,△CSQ的外心為頂點的三角形與△ABC相似.（B?波拉索洛夫中學數學奧林匹克）4．如果三角形三邊的平方成等差數列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似.其逆亦真.C類例題例6H為^ABC的垂心，D,E,F分別是BC,CA,AB的中心.一個以H為圓心的。H交直線EF,FD,DE于A1,A2,B1,B2,C1,C2.求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2. （1989,加拿大數學奧林匹克訓練題）分析只須證明AA1=BB1=CC1即可.證明設BC=a,CA=b,AB=c,△ABC外接圓半徑為R,OH的半徑為r.連HA1,AH交EF于M.AA2=am2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2),①、/, 1,、又AM2-HM2=(2AH1)2-(AH-2AH1)2=AH?AH1-AH2=AH2?AB-AH2二cosA?bc-AH2, ②而 =2R=AH2=4R2cos2A,sin/ABHa =2R=a2=4R2sin2A.sinA；.AH2+a2=4R2,AH2=4R2-a2.由①、②、③有b2+c2—a2AA2=r2+ ?bc-(4R2-a2)2bc

=2(a2+b2+c2)-4R2+r2.同理，BB12=2(a2+b2+c2)-4R2+r2，CC2=1(a2+b2+c2)—4R2+r2.12故有AA1=BB1=CC1.例7。O內接△ABC,。Q切AB,AC于E,F且與。O內切.試證:EF中點P是^ABC之內心.(B波拉索洛夫中學數學奧林匹克)r證明如圖，顯然EF中點P、圓心Q,BC中點K都在/BAC平分線上.易知AQ=-一KsinaK:QK?AQ=MQ?QN,MQ?QN「?QK= =(2R=(2R—r)?r=sina.(2R—r).r/sina由Rt△EPQ知PQ=sina?r.PK=PQ+QK=sina?r+sina?(2R-r)=sina?2R.???PK=BK.利用內心等量關系之逆定理，即知P是^ABC這內心.說明在第20屆IMO中，美國提供的一道題實際上是例7的一種特例，但它增加了條件AB=AC.例8在直角三角形中，求證：r例8在直角三角形中，求證：r+ra+%+噎2P.式中r，ra切的旁切圓半徑，p表示半周.(杭州大學rb,rc分別表示內切圓半徑及與a,b,c相中學數學競賽習題)證明設母△ABC中，c為斜邊，先來證明一個特性:p(p-c)=(p-a)(p-b).*.*p(p—c)=2(a+b+c)?2(a+b—c)=4[(a+b)2-c2]=2ab；(p-a)(p—b)=2(-a+b+c)?2((a-b+c)=4[c2-(a-b)2]=2ab.p(p-c)=(p-a)(p-b).觀察圖形，可得ra=AF-AC=p-b，

rb=BG-BC=p-a，rc=CK=p.?\r+ra+rb+rc=(p—c)+(p—b)+(p—a)+p=4p-(a+b+c)=2p.由①及圖形易證.例9M是^ABC邊AB上的任意一點.r1,r2,r分別是△AMC,△BMC,△ABC內切圓的半徑，q1,q2,qq2,q分別是上述三角形在NACB內部的旁切圓半徑.證明q1q2r-.(IMO-12)q證明對任意△A'B'C,由正弦定理可知A'證明對任意△A'B'C,由正弦定理可知A'OD=OA'?sm-2B'sin—2=AB'? sin/A'O'BBA'?sin—

2\o"CurrentDocument"A' B'sin—?sin—\o"CurrentDocument"2 2=AB'?-Aw-，

sin 2O'E=A'B'A' B'cos—cos—\o"CurrentDocument"2 2,A'+BB

sin 2ODO'ODO'EA' B'二匏工tg工A/CMAA/CMA/CNBBrrO1G1H1亦即有—?—=tg-tg tg tg-qq2 2 2 212AB=tg2tg2例10銳角△ABC中，O,G,H分別是外心、重心、垂心.設外心到三邊距離和為d外，重心到三邊距離和為d重，垂心到三邊距離和為d垂.求證：1?d垂+2?d外=3?d重.證明設△ABC外接圓半徑為1,三個內角記為A,B,C.易知d外二OO1+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC,；.2d=2(cosA+cosB+cosC). ①外

\*AH1=sinB?AB=sinB?(2sinC)=2sinB?sinC,同樣可得BH2?CH3.A3d=△ABC三條高的和重=2?(sinB?sinC+sinC?sinA+sinA?sinB) ②BH =2,sin/BCHAHH1:cosC?BH=2?cosB?cosC.同樣可得HH2,HH3.Ad垂二HH1+HH2+HH3二2(cosB?cosC+cosC?cosA+cosA?cosB) ③欲證結論，觀察①、②、③，須證(cosB?cosC+cosC?cosA+cosA?cosB)+(cosA+cosB+cosC)=sinB?sinC+sinC?sinA+sinA?sinB.即可.說明此題用了三角法。情景再現(xiàn).設在圓內接凸六邊形ABCDFE中，AB=BC,CD=DE,EF=FA.試證：（1）AD,BE,CF三條對角線交于一點；（2）AB+BC+CD+DE+EF+FA三AK+BE+CF.（1991,國家教委數學試驗班招生試題）.^ABC的外心為O,AB=AC,D是AB中點，E是^ACD的重心.證明OE±CD.（加拿大數學奧林匹克訓練題）【△ABC中NC=30°,O是外心，I是內心，邊AC上的D點與邊BC上的E點使得AD=BE=AB.求證：OI±DE,OI=DE. （1988,中國數學奧林匹克集訓題）習題17.在△ABC中，/A是鈍角，H是垂心，且AH=BC,那么cosNBHC=（ ）A.A.一2.「B.2v'2C.印D.A.2V2aCA.2V2aC.aD.-.2a.如果一個三角形的面積與周長都被一條直線平分,那么此直線一定通過三角形的（人.內心8.外心仁重心 口.垂心（1996年全國初中聯(lián)賽）.（1997年安徽省初中數學競賽）假設0°<a<90°,那么，以sina,cosa,tanacota為三TOC\o"1-5"\h\z邊的三角形有內切圓、外接圓的半徑之和是（ ）sina+cosa_tana+cota_一. - 1A. 2 B. 2 C.2sinacosaD.sinacosa4.AABC中，/A=45。，BC=a，高BE、CF交于點H,那么AH=（ ）4.下面三個命題中：⑴設H為AABC的高AD上一點，/BHC+NBAC=180。，那么點H是AABC的垂心；AD.AD.⑵設G為AABC的中線AD上一點，且Saagb=SAbgc，那么點G是△ABC的重心；⑶設E是AABC的外角NBAK的角平分線與AABC的外接圓。O的交點，ED是。O的直徑，I在線段AD上，且DI=DB，那么I是AABC的內心.正確命題的個數是（ ）A.0個B.1個 C.2個 D.3個設AABC的NA=60。，求證：AABC的外心0、內心/、垂心H及點B、C五點在同一個圓上.P是口ABCD內的一點，O為AC與BD的交點，M、N分別為PB、PC中點，Q為AN與DM的交點.求證：⑴P、Q、O三點在一條直線上；⑵PQ=2OQ.I為^ABC之內心，射線AI,BI,CI交匕ABC外接圓于A’,B’,C’.那么AA'+BB'+CC'>△ABC周長.（1982,澳大利亞數學奧林匹克）△T’的三邊分別等于4T的三條中線，且兩個三角形有一組角相等.求證這兩個三角形相似.（1989，捷克數學奧林匹克）I為^ABC的內心.取△IBC,△ICA,△IAB的外心O1,O2,03.求證：△O1O2O3與^ABC有公共的外心.（1988，美國數學奧林匹克）AD為^ABC內角平分線.取△ABC,△ABD,△ADC的外心O,O1,O2.那么△OO1O2是等腰三角形.△ABC中NC<90°,從AB上M點作CA,CB的垂線MP,MQ.H是^CPQ的垂心.當M是AB上動點時，求H的軌跡.（IMO-7）本節(jié)“情景再現(xiàn)〞解答.證明如圖，連GA，因為M、N分別為AB、CA的中點，所以^AMG的面積=△GBM的面積，△GAN的面積=△GNC的面積,即四邊形GMAN和^GBC的面積相等..證明如圖，O為AABC的外心，H為垂心，連CO交AABC外接圓于D，連DA、DB,那么DA±AC,BD±BC,又AH±BC,BH±AC.所以DA//BH,BD//AH,從而四邊形DAHB為平行四邊形。又顯然DB=2OM，所以AH=2OM.同理可證BH=2ON,CH=2OK.證畢..提示：設O1,O2,O3是4APS,△BQP,△CSQ的外心，作出六邊形O1PO2QO3s后再由外心性質可知NPO1S=2NA,NQO2P=2NB,NSO3Q=2NC.???NPO1S+NQO2P+NSO3Q=360°.從而又知NO1PO2+NO2QO3+NO3SO1=360°將^O2QO3繞著O3點旋轉到^KSO3,易判斷△KSO1^^02Poi

同時可得^O1O2O舁匕O1KO3.AZO2O1O3=ZKO1O3=|zO2O1K=2(ZO2O1S+ZSO1K)=1(ZO2O1S+ZPO1O2)=2ZPO1S=ZA；同理有ZO1O2O3=Z艮故^O1O2O3s△ABC.4.提示：將△ABC簡記為△，由三中線AD,BE,CF圍成的三角形簡記為△'.G為重心，連DE到區(qū)使EH=DE，連HC,HF,那么△就是△HCF.(1)a2,b2,c2成等差數列=△^△'.假設△ABC為正三角形，易證△^△'.不妨設a三b三c,有CF=12aa2+2b2-c2,BE=1%2c2+2a2-b2,AD=L2b2+2c2-a2.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2 2將a2+c2=2b2,分別代入以上三式，得CF=-—a,BE=--b,AD=--c.乙 乙 乙ACF:BE:AD=--a：-—b：-—c=a:b:c.故有△?！鱚.乙 乙 乙(2)^s△/na2,b2,c2成等差數列.當△中a三b三c時，\o"CurrentDocument"S CF△，中CF三BE三AD.V△s^‘,A—=(一)2.S aA\o"CurrentDocument"t. _ I—eI?_3 _S3據“三角形的三條中線圍成的新三角形面積等于原三角形面積的7〃，有一=.4S4A.CF23?? =——33a2=4CF2=2a2+b2—c2—aa2+c2=2b2.a2 4.證明連接AC,CE,EA，由可證AD,CF,EB是^ACE的三條內角平分線，I為^ACE的內心.從而有ID=CD=DE,IF=EF=FA,IB=AB=BC.BED再由△BDF,易證BP,DQ,FS是它的三條高，I是它的垂心，利用ErdOS不等式有：BEDBI+DI+FI三2?(IP+IQ+IS).不難證明IE=2IP,IA=2IQ,IC=2IS.ABI+DI+FI三IA+IE+IC.AAB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)三(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I就是一點兩心..提示：設AM為高亦為中線，取AC中點F,E必在DF上且DE:EF=2:1.設CD交AM于G,G必為△ABC重心.連GE,MF,MF交DC于K.易證：11DG:GK=-DC:(---)DC=2:1.J 乙JADG:GK=DE:EF—GE〃MF.?;OD±AB,MF//AB,AOD±MF—OD±GE.但OG±DE—G又是△ODE之垂心.

易證OE±CD.7.提示：輔助線如下列圖，作NDAO平分線交BC于K.易證△AID/△AIB/△EIB,NAID=NAIB=NEIB.利用內心張角公式，有NAIB=90°+1NC=105°,??./DIE=360°-105°X3=45°.*/NAKB=30°+1NDAO=30°+1(NBAC-NBAO)=30°+2(NBAC-60°）=2NBAC=NBAI=NBEI.???AK//IE.由等腰△AOD可知DO±AK,ADO±IE,即DF是^DIE的一條高.同理EO是^DIE之垂心，OI±DE.由NDIE=NIDO,易知OI=DE.習題17解答1.B；2.A；3.A；4.C；5.選B,只有〔3〕是對的；6.略；7.略；8.略；9.略；10.略；11.略；12.H的軌跡是一條線段.補充：第五講三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、內心及旁心,統(tǒng)稱為三角形的五心.一、外心.三角形外接圓的圓心,簡稱外心.與外心關系密切的有圓心角定理和圓周角定理.例1.過等腰4ABC底邊BC上一點P引PM/CA交AB于M；引PN/BA交AC于N.作點P關于MN的對稱點P'.試證：P'點在△ABC外接圓上.（杭州大學中學數學競賽習題）分析：由可得MP'=MP=MB,NP'=NP=NC,故點M是4P′BP的外心，點N是4P‘PC的外心.有NBP'P=1NBMP=1NBAC,2 2NPP'C=1NPNC=1NBAC.2 2ANBP'C=NBP'P+NP‘PC=NBAC.從而，P’點與A,B,C共圓、即尸’在4ABC外接圓上.由于P'P平分/BP'C,顯然還有P'B:P'C=BP:PC.例2.在△ABC的邊AB,BC,CA上分別取點P,Q,S.證明以△APS,△BQP,△CSQ

的外心為頂點的三角形與△ABC相似.（B?波拉索洛夫中學數學奧林匹克）分析：設O1,O2,O3是4APS,△BQP,△CSQ的外心，作出六邊形O1PO2QO3S后再由外心性質可知NPO1S=2NA,NQO2P=2NB,NSO3Q=2NC.???NPO1S+NQO2P+NSO3Q=360°.從而又知NO1PO2+NO2QO3+NO3SO1=360°將4O2QO3繞著O3點旋轉到^KSO3,易判斷△KSO1^^O2PO1,同時可得4O1O2O3"O1KO3.ANO°O。廠NKO0f1NOOKTOC\o"1-5"\h\z213 132 21=1(NOOS+NSOK)\o"CurrentDocument"2 21 1=1(NOOS+NPOO.)\o"CurrentDocument"2 21 12=1NPO、S=NA；2 1同理有NO1O2O3=NB.故^O10203s△ABC.二、重心三角形三條中線的交點,叫做三角形的重心.掌握重心將每條中線都分成定比2:1及中線長度公式,便于解題.例3.AD,BE,CF是^ABC的三條中線，P是任意一點.證明：在△PAD,△PBE,△PCF中，其中一個面積等于另外兩個面積的和.（第26屆莫斯科數學奧林匹克）分析：設G為^ABC重心，直線PG與AB,BC相交.從A,C,D,E,F分別作該直線的垂線，垂足為A’,C’,D’,E’,F’.易證AA'=2DD’,CC'=2FF’,2EE'=AA'+CC’,AEE'=DD'+FF‘.有S△PGE=S△PGD+S△PGF,兩邊各擴大3倍，有S、PBE=SaP4D+S、PCF.△PBE△PAD△PCF例4.如果三角形三邊的平方成等差數列,那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似.其逆亦真.

分析：將^ABC簡記為△,由三中線AD,BE,CF圍成的三角形簡記為△’.G為重心,連DE到H，使EH=DE，連HC,HF,那么△‘就是^HCF.（1）a2,b2,c2成等差數列n△-△’.假設△ABC為正三角形，易證△s^'.不妨設a三b三c,有CF=1v'2a2+2b2—c2,2BE=-22c2+2a2—b2,2AD=172b2+2c2—a2.2將a2+c2=2b2,分別代入以上三式，得CF=--a,BE=—b,AD=—c.2 2 2???CF:BE:AD=且a:gb:蟲c2 2 2=a:b:c.故有△s^'.②…&na2,b2,c2成等差數列.當△中a三b三c時，△‘中CF三BE三AD.???△s',S—S—AL=(CF)2.aSS3-A-=—S4據“三角形的三條中線圍成的新三角形面積等于原三角形面積的CF23? =-n3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2 4na2+c2=2b2.三、垂心三角形三條高的交戰(zhàn),稱為三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四個等（外接）圓三角形,給我們解題提供了極大的便利.例5.設A1A2A3A4為。O內接四邊形，H1,H2,H3,H4依次為△A2A3A4,△A3A4A1,△A4A1A2,△A1A2A3的垂心.求證：H1,H2,H3,H4四點共圓,并確定出該圓的圓心位置.（1992,全國高中聯(lián)賽）分析：連接A2H1,A1H2,H1H2,記圓半徑為R.由^A2A3A4知

AH □ sin/AAH

23==2RnA2H1=2RcosNA3AAH □ sin/AAH

231由^A1A3A4得A1H2=2RcosNA3A1A4.但NA3A2A4=NA3A1A4，故A2H1=A1H2.易證A2H1〃A1A2，于是，A2H1A1H2,故得H1H2A2A1.設H1A1與H2A2的交點為M，故H1H2與A1A2關于M點成中心對稱.同理，H2H3與A2A3,H3H4與A3A4,H4H1與A4A1都關于M點成中心對稱.故四邊形H1H2H3H4與四邊形A1A2A3A4關于M點成中心對稱，兩者是全等四邊形，H1,H2,H3,H4在同一個圓上.后者的圓心設為Q,Q與O也關于M成中心對稱.由O,M兩點，Q點就不難確定了.H交直線EF,FD,DE于A1,A2,B1,B2,求證：AA1=AA2H交直線EF,FD,DE于A1,A2,B1,B2,求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989，加拿大數學奧林匹克訓練題I分析：只須證明AA1=BB1=CC1即可.設BC=a,CA=b,AB=c,△ABC外C1,C2.B.接圓半徑為R,OH的半徑為連HA1,AH交EF于M.AA2=AM2+AM2=AM2+r2-MH211=r+(AM'2-MH2),①B.D\1==cosA?bc-AH2,又AM2-HM2=(2AH1)2-(AH-2AH1)2=AH?AH1-AH2=AH2?AB-AH2

②而——AH——=2RnAH2=4R2cos2A,sin/ABH =2Rna2=4R2sin2A.sinA.??AH2+a2=4R2,AH2=4R2-a2. ③由①、②、③有b2+c2-a2AA2=r+ ?bc-(4R2-a2)1 2bc=(a2+b2+c2)-4R2+r.2同理，BB2=2(a2+b2+c2)-4R2+r2,

CC2=1（a2+b2+c2）-4R2+r.i2故有AA1=BB1=CC1.四、內心三角形內切圓的圓心，簡稱為內心.對于內心，要掌握張角公式，還要記住下面一個極為有用的等量關系：設I為^ABC的內心，射線AI無△ABC外接圓于A'，那么有A'I=A'B=A’C.換言之，點A'必是△IBC之外心（內心的等量關系之逆同樣有用）.例7.ABCD為圓內接凸四邊形，取DAB,△ABC,△BCD,CDA的內心O1,O2,O3,1234.求證：OOOO為矩形.1234（1986，中國數學奧林匹克集訓題）證明見中等數學1992；4F且與。O內切.試證：EF中點P是4例8.。O內接△ABC,OQF且與。O內切.試證：EF中點P是4（B?波拉索洛夫中學數學奧林匹克）分析：在第20屆IMO中，美國提供的一道題實際上是例8的一種特例，但它增加了條件AB=AC.當AB力AC,怎樣證明呢.r如圖，顯然EF中點P、圓心Q,BC中點K都在NBAC平分線上.易知AQ=——sinaK??QK?AQ=MQ?QN,MQ.QNK=(2R—r>r=(2R—r>r=sina-(2R—r).r/sina由Rt^EPQ知PQ=sina-r.??PK=PQ+QK=sina-r+sina-(2R—r)=sina-2R.??PK=BK.a利用內心等量關系之逆定理，即知P是^ABC這內心.五、旁心三角形的一條內角平分線與另兩個內角的外角平分線相交于旁心還與三角形的半周長關系密切.例9.在直角三角形中，求證：r+ra+rb+rc=2p.式中r，ra，rb，rc分別表示內切圓半徑及與a，b，c相切的旁切圓半徑，p表示半周.（杭州大學中學數學競賽習題）

分析：設白△ABC中，c為斜邊，先來證明一個特性:p(p-c)=(p-a)(p-b).=—[(a+b)2-c2]4=1ab；

2「P(P-c)=-2(a=—[(a+b)2-c2]4=1ab；

2(p-a)(p—b)=2(-a+b+c)?-2(a-b+c)=—[c2—(a—b)2]=-ab.4 2，p(p—c)=(p—a)(p—b).觀察圖形，可得ra=AF-AC=p-b，rb=BG-BC=p-arc=CK=p.而r=2(a+b—c)=p—c....r+ra+rb+rc=(p—c)+(p—b)+(p—a)+p=4p—(a+b+c)=2p.由①及圖形易證.例10.M是^ABC邊AB上的任意一點.r1,r2,r分別是△AMC,△BMC,△ABC內切圓的半徑，q1,q2,q分別是上述三角形在NACB內部的旁切圓半徑.證明：r r rq q q12(IMO—12)分析：對任意△A‘B’C‘,由正弦定理可知OD=OAA'OD=OAA'=A'BO’E=A'BO’E=A'BODO'E亦即有A' B'sin一?sin一2 2—,A'+B''sin 2A'B'cos—cos—2 2,A'+B'

sin 2A' B'二匏二tgT.r一q1q2_A/CMAr一q1q2=tg2tg—2-tg「一tg2ABr=tg2吆2=%六、眾心共圓這有兩種情況：(1)同一點卻是不同三角形的不同的心；(2)同一圖形出現(xiàn)了同一三角形的幾個心.例11.設在圓內接凸六邊形ABCDFE中，AB=BC,CD=DE,EF=FA.試證：⑴AD,BE,CF三條對角線交于一點；(2)AB+BC+CD+DE+EF+FA三AK+BE+CF.(1991，國家教委數學試驗班招生試題)分析：連接AC,CE,EA,由可證AD,CF,EB是^ACE的三條內角平分線，/為^ACE的內心.從而有ID=CD=DE,IF=EF=FA，不等IB=AB=BC.不等再由△BDF,易證BP,DQ,FS是它的三條高，I是它的垂心，利用BAED式有：ErdosBAEDBI+DI+FI三2?(IP+IQ+IS).不難證明IE=2IP,IA=2IQ,IC=2IS..??BI+DI+FI三IA+IE+IC.???AB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)三(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I就是一點兩心.例12.△ABC的外心為O,AB=AC,D是AB中點，E是^ACD的重心.證明OE±CD.(加拿大數學奧林匹克訓練題)

分析：設AM為高亦為中線，取AC中點23F,E必在DF上且DE:EF=2:1.設CD交AM于G,G必為△ABC重心.連GE,MF,MF交DC于K.易證：DG:GK=1DC:(1-1)DC=2:1.23??DG:GK=DE:EFnGE/MF.;OD±AB,MF/AB,?.OD±MFnOD±GE.但OG±DEnG又是△ODE之垂心.易證OE±CD.例13.4ABC中NC=30°,O是外心，I是內心，邊AC上的D點與邊BC上的E點使得AD=BE=AB.求證：OI±DE,OI=DE.(1988,中國數學