2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市第一中學(xué)高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2024屆江蘇省鎮(zhèn)江市第一中學(xué)高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)（），則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．2．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，則實(shí)數(shù)λ的最大值為（）A． B． C． D．3．雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)為，一條漸近線(xiàn)方程為，過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線(xiàn)分別交雙曲線(xiàn)的左支及右支于，滿(mǎn)足，則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B．3 C． D．24．正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成的角為（）A． B． C． D．5．設(shè)，則““是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必條件6．函數(shù)的部分圖象如圖中實(shí)線(xiàn)所示，圖中圓與的圖象交于兩點(diǎn)，且在軸上，則下列說(shuō)法中正確的是A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)C．函數(shù)在單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象向右平移后關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)7．定義兩種運(yùn)算“★”與“◆”，對(duì)任意，滿(mǎn)足下列運(yùn)算性質(zhì)：①★，◆；②（）★★，◆◆，則（◆2020）（2020★2018）的值為()A． B． C． D．8．如圖，在四邊形中，，，，，，則的長(zhǎng)度為（）A． B．C． D．9．已知函，，則的最小值為（）A． B．1 C．0 D．10．定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，為的導(dǎo)函數(shù)，已知的圖象如圖所示，若兩個(gè)正數(shù)滿(mǎn)足，的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是D．函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是12．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若四棱錐的側(cè)面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)Q，已知Q到底面的距離與Q到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k，且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是拋物線(xiàn)，則當(dāng)二面角平面角的大小為時(shí)，k的值為_(kāi)_____.14．記實(shí)數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.已知實(shí)數(shù)且三數(shù)能構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)，若，則的取值范圍是.15．連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子（六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體），觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則事件“點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為_(kāi)___．16．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）若關(guān)于的方程的兩根都大于2，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）如圖，在等腰梯形中，AD∥BC，，，，，分別為，，的中點(diǎn)，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置（平面）．（1）若為直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，證明：MH∥平面；（2）若直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為，求二面角的余弦值．19．（12分）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，等比數(shù)列滿(mǎn)足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和.20．（12分）如圖是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，為圓周上不同于的任意一點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）設(shè)為的中點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)（不與重合）求二面角的正切值的最小值21．（12分）已知不等式的解集為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）已知存在實(shí)數(shù)使得恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.22．（10分）已知函數(shù)，設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，．（1）求，；（2）猜想的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

利用換元法化簡(jiǎn)解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍，由此求得的值域.【詳解】因?yàn)椋ǎ?，所以，令（），則（），函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，所以，，所以，所以的值域?yàn)?故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，換元思想，分類(lèi)討論和應(yīng)用意識(shí).2、D【解析】

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)出λ，由d∈[1，2]，能求出實(shí)數(shù)λ取最大值．【詳解】∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，∵d∈[1，2]，λ2是減函數(shù)，∴d＝1時(shí)，實(shí)數(shù)λ取最大值為λ．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的最大值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．3、A【解析】

設(shè)，直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程得到，，根據(jù)向量關(guān)系化簡(jiǎn)到，得到離心率.【詳解】設(shè)，直線(xiàn)的方程為.聯(lián)立整理得，則.因?yàn)?，所以為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，，整理得，故該雙曲線(xiàn)的離心率.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.4、C【解析】

取中點(diǎn)，連接，，根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，得出//，則即為異面直線(xiàn)與所成角，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，，由于正三棱柱，則底面，而底面，所以，由正三棱柱的性質(zhì)可知，為等邊三角形，所以，且,所以平面，而平面，則，則//，，∴即為異面直線(xiàn)與所成角，設(shè)，則，，，則，∴.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)幾何法求異面直線(xiàn)的夾角，考查計(jì)算能力.5、B【解析】

解出兩個(gè)不等式的解集，根據(jù)充分條件和必要條件的定義，即可得到本題答案.【詳解】由，得，又由，得，因?yàn)榧?，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷，其中涉及到絕對(duì)值不等式和一元二次不等式的解法.6、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案．【詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得，所以的最小正周期，不妨令，，由周期，所以，又，所以，所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】

根據(jù)新運(yùn)算的定義分別得出◆2020和2020★2018的值，可得選項(xiàng).【詳解】由（）★★，得（+2）★★，又★，所以★，★，★，，以此類(lèi)推，2020★2018★2018，又◆◆，◆，所以◆，◆，◆，，以此類(lèi)推，◆2020，所以（◆2020）（2020★2018），故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算，關(guān)鍵在于理解，運(yùn)用新定義進(jìn)行求值，屬于中檔題.8、D【解析】

設(shè)，在中，由余弦定理得，從而求得，再由由正弦定理得，求得，然后在中，用余弦定理求解.【詳解】設(shè)，在中，由余弦定理得，則，從而，由正弦定理得，即，從而，在中，由余弦定理得：，則.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.9、B【解析】

，利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知，又，，故當(dāng)，即時(shí)，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值，涉及到二倍角公式的應(yīng)用，是一道中檔題.10、C【解析】

先從函數(shù)單調(diào)性判斷的取值范圍，再通過(guò)題中所給的是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來(lái)確定的取值范圍.【詳解】由的圖象知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，而，故由可知.故，又有，綜上得的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題.11、B【解析】

根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的周期，所以.將點(diǎn)代入中，得，解得，由，可得，所以.令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A正確；令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；令，得，故函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是，故C正確；令，得，故函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是，故D正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由圖象求余弦型函數(shù)的解析式，同時(shí)也考查了余弦型函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)性的判斷，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.12、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，然后利用復(fù)數(shù)模的概念，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：由，所以所以故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

二面角平面角為，點(diǎn)Q到底面的距離為，點(diǎn)Q到定直線(xiàn)得距離為d，則.再由點(diǎn)Q到底面的距離與到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k，可得，由此可得，則由可求k值.【詳解】解：如圖，設(shè)二面角平面角為，點(diǎn)Q到底面的距離為，點(diǎn)Q到定直線(xiàn)的距離為d，則，即.∵點(diǎn)Q到底面的距離與到點(diǎn)P的距離之比為正常數(shù)k，∴，則，∵動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是拋物線(xiàn)，∴，即則.∴二面角的平面角的余弦值為解得：（）.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，由四棱錐的側(cè)面與底面的夾角求參數(shù)值，屬于中檔題.14、【解析】試題分析：顯然，又，①當(dāng)時(shí)，，作出可行區(qū)域，因拋物線(xiàn)與直線(xiàn)及在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別是（1，1）和，從而②當(dāng)時(shí)，，作出可行區(qū)域，因拋物線(xiàn)與直線(xiàn)及在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)分別是（1，1）和，從而綜上所述，的取值范圍是．考點(diǎn)：不等式、簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃.15、【解析】總事件數(shù)為，目標(biāo)事件：當(dāng)?shù)谝活w骰子為1,2,4,6，具體事件有，共8種；當(dāng)?shù)谝活w骰子為3,6，則第二顆骰子隨便都可以，則有種；所以目標(biāo)事件共20中，所以。16、【解析】

畫(huà)圖分析可得函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，利用偶函數(shù)性質(zhì)和單調(diào)性可解.【詳解】作出函數(shù)的圖如下所示，觀察可知，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性及單調(diào)性解不等式.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：(1)如果函數(shù)是偶函數(shù)，那么．(2)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解析】

先令，根據(jù)題中條件得到，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的方程的兩根都大于2，令所以有，解得，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的分布問(wèn)題，熟記二次函數(shù)的特征即可，屬于?？碱}型.18、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

(1)根據(jù)中位線(xiàn)證明平面平面，即可證明MH∥平面；（2）以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，找到點(diǎn)的坐標(biāo)代入公式即可計(jì)算二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接，∵，，分別為，，的中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面，同理，平面，∵平面，平面，，∴平面平面，∵平面，∴平面．（2）連接，在和中，由余弦定理可得，，由與互補(bǔ)，，，可解得，于是，∴，，∵，直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角為，∴，又，∴，即，∴平面，∴平面平面，∵為中點(diǎn)，，∴平面，如圖所示，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．設(shè)平面的法向量為，∴，即．令，則，，可得平面的一個(gè)法向量為．又平面的一個(gè)法向量為，∴，∴二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】此題考查線(xiàn)面平行，建系通過(guò)坐標(biāo)求二面角等知識(shí)點(diǎn)，屬于一般性題目.19、（1）（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【解析】

（1）利用數(shù)列與的關(guān)系，求得；（2）由（1）可得：，，算出公比，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)檫m合上式，所以.（2）由（1）得，，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列與的關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力..20、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）推導(dǎo)出，，從而平面，由面面垂直的判定定理即可得證．（2）過(guò)作，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法表示出二面角的余弦值，當(dāng)余弦值取得最大時(shí)，正切值求得最小值；【詳解】（1）因?yàn)?，面，，平面，平面，平面，又平面，平面平面；?）過(guò)作，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，則，設(shè)，則平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，即，令，如圖二面角的平面角為銳角，設(shè)二面角為，則，時(shí)取得最大值，最大值為，則最小值為【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，利用空間向量法解決立體幾何問(wèn)題，屬于中檔題.21、（1）；（2）4【解析】

（1）分類(lèi)討論，求解x的范圍，取并集，得到絕對(duì)值不等式的解集，即得解；（2）轉(zhuǎn)化原不等式為：，利用均值不等式即得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)不等式可化為當(dāng)時(shí)，不等式可化為；當(dāng)時(shí)，不等式可化為；綜上不等式的解集為.（2）由（1）有，，，，即而當(dāng)且僅當(dāng)：，即，即時(shí)等號(hào)成立∴，綜上實(shí)數(shù)最大值為4.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的求解與不等式的恒成立問(wèn)題，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)