高等數(shù)學(同濟第六版)上冊期末復習重點

第一章：1、極限（夾逼準則）2、連續(xù)（學會用定義證明一個函數(shù)連續(xù)，推斷間斷點類型）其次章：1、導數(shù)（學會用定義證明一個函數(shù)是否可導）注：連續(xù)不肯定可導，可導肯定連續(xù)2、求導法則（背）3、求導公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（肯定要熟識并敏捷運用--第一節(jié)）2、洛必達法則3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲線凹凸性、極值（中學學過，不須要過多復習）5、曲率公式曲率半徑第四章、第五章：積分不定積分：1、兩類換元法2、分部積分法（留意加C）定積分：1、定義2、反常積分第六章：定積分的應用主要有幾類：極坐標、求做功、求面積、求體積、求弧長第一章函數(shù)與極限1、函數(shù)的有界性在定義域內有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界，K1為下界；假如有f(x)≤K2，則有上界，K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內有界的充分必要條件是在定義域內既有上界又有下界。2、數(shù)列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列{xn}不能同時收斂于兩個不同的極限。定理(收斂數(shù)列的有界性)假如數(shù)列{xn}收斂，則數(shù)列{xn}肯定有界。假如數(shù)列{xn}無界，則數(shù)列{xn}肯定發(fā)散；但假如數(shù)列{xn}有界，卻不能斷定數(shù)列{xn}肯定收斂，例如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散，所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的關系)假如數(shù)列{xn}收斂于a，則它的任一子數(shù)列也收斂于a.假如數(shù)列{xn}有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限，則數(shù)列{xn}是發(fā)散的，如數(shù)列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子數(shù)列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發(fā)散的；同時一個發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能是收斂的。3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0時f(x)有沒有極限與f(x)在點x0有沒有定義無關。定理(極限的局部保號性)假如lim(x→x0)時f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在著點則x0的某一去心鄰域，當x在該鄰域內時就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。函數(shù)f(x)當x→x0時極限存在的充分必要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。一般的說，假如lim(x→∞)f(x)=c，則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。假如lim(x→x0)f(x)=∞，則直線x=x0是函數(shù)y=f(x)圖形的鉛直漸近線。4、極限運算法則定理有限個無窮小之和也是無窮??；有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮??；常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小；有限個無窮小的乘積也是無窮??；定理假如F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，則a≥b.5、極限存在準則兩個重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準則假如數(shù)列{xn}、{yn}、{zn}滿意下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，則limxn=a，對于函數(shù)該準則也成立。單調有界數(shù)列必有極限。6、函數(shù)的連續(xù)性設函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義，假如函數(shù)f(x)當x→x0時的極限存在，且等于它在點x0處的函數(shù)值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，則就稱函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)。不連續(xù)情形：1、在點x=x0沒有定義；2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在；3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。假如x0是函數(shù)f(x)的間斷點，但左極限與右極限都存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點，不相等者稱為跳動間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為其次類間斷點(無窮間斷點和震蕩間斷點)。定理有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個在該點連續(xù)的函數(shù)。定理假如函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調增加或削減且連續(xù)，則它的反函數(shù)x=f(y)在對應的區(qū)間Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上單調增加或削減且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內都是連續(xù)的。定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上肯定有最大值和最小值。假如函數(shù)在開區(qū)間內連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點，則函數(shù)在該區(qū)間上就不肯定有最大值和最小值。定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)肯定在該區(qū)間上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零點定理)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(即f(a)×f(b)<0)，則在開區(qū)間(a，b)內至少有函數(shù)f(x)的一個零點，即至少有一點ξ(a<ξ<b）。推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值。其次章導數(shù)與微分1、導數(shù)存在的充分必要條件函數(shù)f(x)在點x0處可導的充分必要條件是在點x0處的左極限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h與右極限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左導數(shù)f-′(x0)右導數(shù)f+′(x0)存在相等。2、函數(shù)f(x)在點x0處可導=>函數(shù)在該點處連續(xù)；函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)≠>在該點可導。即函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可導的必要條件而不是充分條件。3、原函數(shù)可導則反函數(shù)也可導，且反函數(shù)的導數(shù)是原函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)。4、函數(shù)f(x)在點x0處可微=>函數(shù)在該點處可導；函數(shù)f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點處可導。第三章中值定理與導數(shù)的應用1、定理(羅爾定理)假如函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內可導，且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，則在開區(qū)間(a，b)內至少有一點ξ(a<ξ<b），使的函數(shù)f（x）在該點的導數(shù)等于零：f’（ξ）=0.2、定理(拉格朗日中值定理)假如函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內可導，則在開區(qū)間(a，b)內至少有一點ξ(a<ξ<b），使的等式f（b）-f（a）=f’（ξ）（b-a）成馬上f’（ξ）=[f（b）-f（a）]/（b-a）。3、定理(柯西中值定理)假如函數(shù)f(x)與F(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內可導，且F’(x)在(a，b)內的每一點處均不為零，則在開區(qū)間(a，b)內至少有一點ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。4、洛必達法則應用條件只能用與未定型諸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。5、函數(shù)單調性的判定法設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內可導，則：(1)假如在(a，b)內f’(x)>0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上單調增加；(2)如果在(a，b)內f’(x)<0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上單調削減。假如函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個導數(shù)不存在的點外導數(shù)存在且連續(xù)，則只要用方程f’(x)=0的根與f’(x)不存在的點來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，就能保證f’(x)在各個部分區(qū)間內保持固定符號，因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上單調。6、函數(shù)的極值假如函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內有定義，x0是(a，b)內的一個點，假如存在著點x0的一個去心鄰域，對于這去心鄰域內的任何點x，f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個微小值。在函數(shù)取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數(shù)不肯定取得極值，即可導函數(shù)的極值點必定是它的駐點(導數(shù)為0的點)，但函數(shù)的駐點卻不肯定是極值點。定理(函數(shù)取得極值的必要條件)設函數(shù)f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，則函數(shù)在x0的導數(shù)為零，即f’(x0)=0.定理(函數(shù)取得極值的第一種充分條件)設函數(shù)f(x)在x0一個鄰域內可導，且f’(x0)=0，則：(1)假如當x取x0左側接近的值時，f’(x)恒為正；當x去x0右側接近的值時，f’(x)恒為負，則函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；(2)假如當x取x0左側接近的值時，f’(x)恒為負；當x去x0右側接近的值時，f’(x)恒為正，則函數(shù)f(x)在x0處取得微小值；(3)假如當x取x0左右兩側接近的值時，f’(x)恒為正或恒為負，則函數(shù)f(x)在x0處沒有極值。定理(函數(shù)取得極值的其次種充分條件)設函數(shù)f(x)在x0處具有二階導數(shù)且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0則：(1)當f’’(x0)<0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；(2)當f’’(x0)>0時，函數(shù)f(x)在x0處取得微小值；駐點有可能是極值點，不是駐點也有可能是極值點。7、函數(shù)的凹凸性與其判定設f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù)，如果對隨意兩點x1，x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2，則稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凹的；假如恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2，則稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。定理設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內具有一階和二階導數(shù)，則(1)若在(a，b)內f’’(x)>0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形是凹的；(2)若在(a，b)內f’’(x)<0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形是凸的。推斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟(1)求出f’’(x)；(2)令f’’(x)=0，解出這方程在區(qū)間(a，b)內的實根；(3)對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查f’’(x)在x0左右兩側鄰近的符號，假如f’’(x)在x0左右兩側鄰近分別保持肯定的符號，則當兩側的符號相反時，點(x0，f(x0))是拐點，當兩側的符號相同時，點(x0，f(x0))不是拐點。在做函數(shù)圖形的時候，假如函數(shù)有間斷點或導數(shù)不存在的點，這些點也要作為分點。第四章不定積分1、原函數(shù)存在定理定理假如函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，則在區(qū)間I上存在可導函數(shù)F(x)，使對任一x∈I都有F’(x)=f(x)；簡潔的說連續(xù)函數(shù)肯定有原函數(shù)。分部積分發(fā)假如被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。假如被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設對數(shù)和反三角函數(shù)為u.2、對于初等函數(shù)來說，在其定義區(qū)間上，它的原函數(shù)肯定存在，但原函數(shù)不肯定都是初等函數(shù)。第五章定積分1、定積分解決的典型問題(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線運動的路程2、函數(shù)可積的充分條件定理設f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積，即連續(xù)=>可積。定理設f(x)在區(qū)間[a，b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積。3、定積分的若干重要性質性質假如在區(qū)間[a，b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0.推論假如在區(qū)間[a，b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性質設M與m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，則m(b-a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，該性質說明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值與最小值可以估計積分值的大致范圍。性質(定積分中值定理)假如函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a，b]上至少存在一個點ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。4、關于廣義積分設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上除點c(a<c<b）外連續(xù)，而在點c的鄰域內無界，假如兩個廣義積分∫acf（x）dx與∫cbf（x）dx都收斂，則定義∫abf（x）dx=∫acf（x）dx+∫cbf（x）dx，否則（只要其中一個發(fā)散）就稱廣義積分∫abf（x）dx發(fā)散。第六章定積分的應用求平面圖形的面積(曲線圍成的面積)直角坐標系下(含參數(shù)與不含參數(shù))極坐標系下(r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ)(扇形面積公式S=R2θ/2)旋轉體體積(由連續(xù)曲線、直線與坐標軸所圍成的面積繞坐標軸旋轉而成)(且體積V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲線的方程)平行截面面積為已知的立體體積(V=∫abA(x)dx，其中A(x)為截面面積)功、水壓力、引力函數(shù)的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx)高數(shù)解題的四種思維定勢

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