2022年內蒙古鄂爾多斯市中考數學試卷

2022年內蒙古鄂爾多斯市中考數學試卷一、單項選擇題（本大題共10題，每題3分，共30分）1．（3分）如圖，數軸上點A表示的數的相反數是（）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．32．（3分）下列幾何體的三視圖中沒有矩形的是（）A． B． C． D．3．（3分）一組數據2，4，5，6，5．對該組數據描述正確的是（）A．平均數是4.4 B．中位數是4.5 C．眾數是4 D．方差是9.24．（3分）下列運算正確的是（）A．a3b2+2a2b3＝3a5b5 B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3 C．2﹣2＝﹣ D．+＝5．（3分）下列尺規(guī)作圖不能得到平行線的是（）A． B． C． D．6．（3分）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（）A．2 B．2 C．4 D．4+27．（3分）下列說法正確的是（）①若二次根式有意義，則x的取值范圍是x≥1．②7＜＜8．③若一個多邊形的內角和是540°，則它的邊數是5．④的平方根是±4．⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有兩個不相等的實數根．A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④8．（3分）實驗學校的花壇形狀如圖所示，其中，等圓⊙O1與⊙O2的半徑為3米，且⊙O1經過⊙O2的圓心O2．已知實線部分為此花壇的周長，則花壇的周長為（）A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米9．（3分）如圖，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的邊EF經過點C，且點G在邊AD上，若BG＝4，則BE的長為（）A． B． C． D．310．（3分）如圖①，在正方形ABCD中，點M是AB的中點，點N是對角線BD上一動點，設DN＝x，AN+MN＝y，已知y與x之間的函數圖象如圖②所示，點E（a，2）是圖象的最低點，那么a的值為（）A． B．2 C． D．二、填空題（本大題共6題，每題3分，共18分）11．（3分）截止2022年1月中國向120多個國家和國際組織提供超20億劑新冠疫苗，是對外提供此疫苗最多的國家．20億用科學記數法表示為．12．（3分）如圖，在△ABC中，邊BC的垂直平分線DE交AB于點D，連接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，則△ADC的周長是．13．（3分）按一定規(guī)律排列的數據依次為，，，……按此規(guī)律排列，則第30個數是．14．（3分）如圖，AB⊥BC于點B，AB⊥AD于點A，點E是CD中點，若BC＝5，AD＝10，BE＝，則AB的長是．15．（3分）如圖，正方形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸上，E、F分別是邊AB、OA上的點，且∠ECF＝45°，將△ECF沿著CF翻折，點E落在x軸上的點D處．已知反比例函數y1＝和y2＝分別經過點B、點E，若S△COD＝5，則k1﹣k2＝．16．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為．三、解答題（本大題共8題，共72分，解答時寫出必要的文字說明，演算步驟或推理說明）17．（8分）（1）解不等式組，并寫出該不等式組的最小整數解．（2）先化簡，再求值：（+1）÷，其中a＝4sin30°﹣（π﹣3）0．18．（7分）為了調查九年級學生寒假期間平均每天觀看冬奧會時長情況，隨機抽取部分學生進行調查，根據收集的數據繪制了如圖所示兩幅不完整的統計圖“平均每天觀看冬奧會時長”頻數分布表觀看時長（分）頻數（人）頻率0＜x≤1520.0515＜x≤3060.1530＜x≤4518a45＜x≤600.2560＜x≤7540.1（1）頻數分布表中，a＝，請將頻數分布直方圖補充完整；（2）九年級共有520名學生，請你根據頻數分布表，估計九年級學生平均每天觀看冬奧會時長超過60分鐘的有人；（3）校學生會擬在甲、乙、丙、丁四名同學中，隨機抽取兩名同學做“我與冬奧”主題演講，請用樹狀圖或列表法求恰好抽到甲、乙兩名同學的概率．19．（8分）旗桿及升旗臺的剖面如圖所示，MN、CD為水平線，旗桿AB⊥CD于點B．某一時刻，旗桿AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一時刻，測得豎直立在坡面DN上的1m高的標桿影長為0.25m（標桿影子在坡面DN上），此時光線AE與水平線的夾角為80.5°，求旗桿AB的高度．（參考數據：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）20．（8分）如圖，已知一次函數y＝ax+b與反比例函數y＝（x＜0）的圖象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）兩點，且與x軸和y軸分別交于點C、點D．（1）根據圖象直接寫出不等式＜ax+b的解集；（2）求反比例函數與一次函數的解析式；（3）點P在y軸上，且S△AOP＝S△AOB，請求出點P的坐標．21．（8分）如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點B，且與AC邊交于點D，點E為BC中點，連接DE、BD．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的長．22．（10分）某超市采購了兩批同樣的冰墩墩掛件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每個掛件的進價是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購進50個．（1）求第二批每個掛件的進價；（2）兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經市場調查發(fā)現，當售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？23．（11分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+2經過A（，0），B（3，）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點P在拋物線上，過P作PD⊥x軸，交直線BC于點D，若以P、D、O、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標；（3）拋物線上是否存在點Q，使∠QCB＝45°？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．（1）如圖1，點E、F分別是線段BD、AD上的點，且DE＝DF，AE與CF的延長線交于點M，則AE與CF的數量關系是，位置關系是；（2）如圖2，點E、F分別在DB和DA的延長線上，且DE＝DF，EA的延長線交CF于點M．①（1）中的結論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；②連接DM，求∠EMD的度數；③若DM＝6，ED＝12，求EM的長．

2022年內蒙古鄂爾多斯市中考數學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題（本大題共10題，每題3分，共30分）1．（3分）如圖，數軸上點A表示的數的相反數是（）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．3【分析】根據數軸得到點A表示的數為﹣2，再求﹣2的相反數即可．【解答】解：點A表示的數為﹣2，﹣2的相反數為2，故選：C．【點評】本題考查了數軸，相反數，掌握只有符號不同的兩個數互為相反數是解題的關鍵．2．（3分）下列幾何體的三視圖中沒有矩形的是（）A． B． C． D．【分析】根據長方體、三棱柱、圓柱以及圓錐的三視圖進行判斷即可．【解答】解：A．該長方體的主視圖、左視圖、俯視圖都是矩形，因此選項A不符合題意；B．該三棱柱的主視圖、左視圖是矩形，因此選項B不符合題意；C．該圓柱體的主視圖、左視圖是矩形，因此選項C不符合題意；D．該圓錐的主視圖、左視圖是等腰三角形，俯視圖是帶圓心的圓、所以它的三視圖沒有矩形，因此選項D符合題意；故選：D．【點評】本題考查簡單幾何體的三視圖，理解視圖的意義，掌握簡單幾何體的三視圖的形狀是正確判斷的前提．3．（3分）一組數據2，4，5，6，5．對該組數據描述正確的是（）A．平均數是4.4 B．中位數是4.5 C．眾數是4 D．方差是9.2【分析】將數據按照從小到大重新排列，再根據眾數、中位數、算術平均數的定義計算，最后利用方差的概念計算可得．【解答】解：將這組數據重新排列為2，4，5，5，6，所以這組數據的眾數為5，故選項C不合題意；中位數為5，故選項B不合題意；平均數為＝4.4，故選項A符合題意；方差為×[（2﹣4.4）2+（4﹣4.4）2+2×（5﹣4.4）2+（6﹣4.4）2]＝1.84，，故選項D不合題意；故選：A．【點評】本題主要考查方差，眾數，中位數，算術平均數，解題的關鍵是掌握眾數、中位數、算術平均數及方差的定義．4．（3分）下列運算正確的是（）A．a3b2+2a2b3＝3a5b5 B．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3 C．2﹣2＝﹣ D．+＝【分析】把每一選項按照運算法則計算后判斷結果即可．【解答】解：a3b2+2a2b3不能合并，因為不是同類項，A選項錯誤；（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，B選項也錯誤；2﹣2＝，C選項也錯誤；+＝3，D選項正確．故選：D．【點評】本題考查了整式的運算和實數的運算，關鍵要掌握合并同類項、實數指數冪、二次根式的化簡混合運算．5．（3分）下列尺規(guī)作圖不能得到平行線的是（）A． B． C． D．【分析】利用基本作圖，根據同位角相等兩直線平行可對A選項進行判斷；根據在同一平面內，垂直于同一直線兩直線平行可對B選項進行判斷；根據內錯角相等兩直線平行可對C選項進行判斷；根據平行線的判定方法可對D選項進行判斷．【解答】解：通過尺規(guī)作圖不能得到平行線的為．故選：D．【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行線的判定．6．（3分）如圖，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于點D，EC⊥OB，垂足為C．若EC＝2，則OD的長為（）A．2 B．2 C．4 D．4+2【分析】過點E作EH⊥OA于點H，根據角平分線的性質可得EH＝EC，再根據平行線的性質可得∠ADE的度數，再根據含30°角的直角三角形的性質可得DE的長度，再證明OD＝DE，即可求出OD的長．【解答】解：過點E作EH⊥OA于點H，如圖所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故選：C．【點評】本題考查了角平分線的性質，含30°角的直角三角形的性質，平行線的性質等，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．7．（3分）下列說法正確的是（）①若二次根式有意義，則x的取值范圍是x≥1．②7＜＜8．③若一個多邊形的內角和是540°，則它的邊數是5．④的平方根是±4．⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有兩個不相等的實數根．A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④【分析】根據二次根式有意義的條件、估算無理數的大小、算術平方根、平方根和多邊形的內角和定理，根的判別式判斷即可．【解答】解：①若二次根式有意義，則1﹣x≥0，解得x≤1．故x的取值范圍是x≤1，題干的說法是錯誤的．②8＜＜9，故題干的說法是錯誤的．③若一個多邊形的內角和是540°，則它的邊數是5是正確的．④＝4的平方根是±2，故題干的說法是錯誤的．⑤∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，∴一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有兩個不相等的實數根，故題干的說法是正確的．故選：B．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．也考查了二次根式有意義的條件、估算無理數的大小、算術平方根、平方根和多邊形．8．（3分）實驗學校的花壇形狀如圖所示，其中，等圓⊙O1與⊙O2的半徑為3米，且⊙O1經過⊙O2的圓心O2．已知實線部分為此花壇的周長，則花壇的周長為（）A．4π米 B．6π米 C．8π米 D．12π米【分析】連接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，根據等邊三角形的判定得出△AO1O2和△BO1O2是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得出∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，求出優(yōu)弧所對的圓心角的度數，再根據弧長公式求出即可．【解答】解：連接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，∵等圓⊙O1與⊙O2的半徑為3米，⊙O1經過⊙O2的圓心O2，∴AO1＝AO2＝BO1＝BO2＝O1O2＝3米，∴△AO1O2和△BO1O2是等邊三角形，∴∠AO1O2＝∠AO2O1＝∠BO1O2＝∠BO2O1＝60°，∴優(yōu)弧所對的圓心角的度數是360°﹣60°﹣60°＝240°，∴花壇的周長為2×＝8π（米），故選：C．【點評】本題考查了相交兩圓的性質，弧長公式，等邊三角形的性質和判定等知識點，能求出圓心角的度數是解此題的關鍵．9．（3分）如圖，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的邊EF經過點C，且點G在邊AD上，若BG＝4，則BE的長為（）A． B． C． D．3【分析】方法一：過點G作GM⊥BC于點M，過點C作CN⊥AD于點N，由菱形的性質得出AB＝BC＝CD＝2，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，由直角三角形的性質求出MG＝3，證明△GBM∽△BCE，由相似三角形的性質得出，則可求出答案．方法二：連接CG，求出S菱形ABCD＝2，根據S△BCG＝可求出答案．【解答】解：過點G作GM⊥BC于點M，過點C作CN⊥AD于點N，∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC＝CD＝2，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，∴∠MGN＝90°，∴四邊形GMCN為矩形，∴GM＝CN，在△CDN中，∠D＝60°，CD＝2，∴CN＝CD?sin60°＝2＝3，∴MG＝3，∵四邊形BEFG為矩形，∴∠E＝90°，BG∥EF，∴∠BCE＝∠GBM，又∵∠E＝∠BMG，∴△GBM∽△BCE，∴，∴，∴BE＝，方法二：連接CG，同方法一求出△BGC的BC上的高為3，∴S菱形ABCD＝2，∵S△BCG＝，∴，∴BE＝．故選：B．【點評】本題考查了菱形的性質，直角三角形的性質，矩形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．10．（3分）如圖①，在正方形ABCD中，點M是AB的中點，點N是對角線BD上一動點，設DN＝x，AN+MN＝y，已知y與x之間的函數圖象如圖②所示，點E（a，2）是圖象的最低點，那么a的值為（）A． B．2 C． D．【分析】由A、C關于BD對稱，推出NA＝NC，推出AN+MN＝NC+MN，推出當M、N、C共線時，y的值最小，連接MC，由圖象可知MC＝2，就可以求出正方形的邊長，再求a的值即可．【解答】解：如圖，連接AC交BD于點O，連接NC，連接MC交BD于點N′．∵四邊形ABCD是正方形，∴O是BD的中點，∵點M是AB的中點，∴N′是△ABC的重心，∴N′O＝BO，∴N′D＝BD，∵A、C關于BD對稱，∴NA＝NC，∴AN+MN＝NC+MN，∵當M、N、C共線時，y的值最小，∴y的值最小就是MC的長，∴MC＝2，設正方形的邊長為m，則BM＝m，在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2＝BC2+MB2，∴20＝m2+（m）2，∴m＝4，∴BD＝4，∴a＝N′D＝BD＝×4＝，故選：A．【點評】本題考查的是動點圖象問題，涉及到二次函數、解直角三角形，正方形的性質，利用勾股定理求線段長是解題的關鍵．二、填空題（本大題共6題，每題3分，共18分）11．（3分）截止2022年1月中國向120多個國家和國際組織提供超20億劑新冠疫苗，是對外提供此疫苗最多的國家．20億用科學記數法表示為2×109．【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數，當原數絕對值＜1時，n是負整數．【解答】解：20億＝2000000000＝2×109．故答案為：2×109．【點評】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．12．（3分）如圖，在△ABC中，邊BC的垂直平分線DE交AB于點D，連接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，則△ADC的周長是6．【分析】根據線段垂直平分線的性質可得BD＝CD，進一步即可求出△ADC的周長．【解答】解：∵邊BC的垂直平分線DE交AB于點D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周長為AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案為：6．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質，熟練掌握這一性質是解題的關鍵．13．（3分）按一定規(guī)律排列的數據依次為，，，……按此規(guī)律排列，則第30個數是．【分析】由所給的數，發(fā)現規(guī)律為第n個數是，當n＝30時即可求解．【解答】解：∵，，，……，∴第n個數是，當n＝30時，＝＝，故答案為：．【點評】本題考查數字的變化規(guī)律，能夠通過所給的數，探索出數的一般規(guī)律是解題的關鍵．14．（3分）如圖，AB⊥BC于點B，AB⊥AD于點A，點E是CD中點，若BC＝5，AD＝10，BE＝，則AB的長是12．【分析】延長BE交AD于點F，由“ASA”可證△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的長．【解答】解：如圖，延長BE交AD于點F，∵點E是DC的中點，∴DE＝CE，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D＝∠BCE，∵∠FED＝∠BEC，∴△BCE≌△FDE（ASA），∴DF＝BC＝5，BE＝EF，∴BF＝2BE＝13，在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．故答案為：12．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．15．（3分）如圖，正方形OABC的頂點A、C分別在x軸和y軸上，E、F分別是邊AB、OA上的點，且∠ECF＝45°，將△ECF沿著CF翻折，點E落在x軸上的點D處．已知反比例函數y1＝和y2＝分別經過點B、點E，若S△COD＝5，則k1﹣k2＝10．【分析】作EH⊥y軸于點F，則四邊形BCHE、AEHO都為矩形，利用折疊的性質得∠DCH＝∠BCE，再證明△BCE≌△OCD，則面積相等，根據反比例函數系數k的幾何意義得k1﹣k2的值．【解答】解：作EH⊥y軸于點H，則四邊形BCHE、AEHO都為矩形，∵∠ECF＝45°，∴∠OCD+∠OCF＝45°，∵∠DOC+∠OCF＝45°，∴∠BCE＝∠OCD，∵BC＝OC，∠B＝∠COD，∴△BCE≌△OCD（ASA），∴S△BCE＝S△COD＝5，∴S△CEH＝5，S矩形BCHE＝10，∴根據反比例函數系數k的幾何意義得：k1﹣k2＝S矩形BCHE＝10，故答案為：10．【點評】本題考查了反比例函數系數k的幾何意義，折疊的性質，正方形的性質和全等三角形的判定和性質，利用折疊和全等進行轉化是關鍵．16．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為4．【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB＝2（）＝＝2BF，通過解直角三角形ABF，進一步求得結果．【解答】解：如圖，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，∴PA+2PB＝2（）＝2（PF+PB）＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB?sin45°＝4×＝2，∴（PA+2PB）最?。?BF＝4，故答案為：4．【點評】本題考查了等腰三角形性質，解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是作輔助線，構造．三、解答題（本大題共8題，共72分，解答時寫出必要的文字說明，演算步驟或推理說明）17．（8分）（1）解不等式組，并寫出該不等式組的最小整數解．（2）先化簡，再求值：（+1）÷，其中a＝4sin30°﹣（π﹣3）0．【分析】（1）根據不等式組的解法求出x的范圍，然后根據x的范圍即可求出該不等式組的最小整數解．（2）根據分式的加減運算以及乘除運算法則進行化簡，然后將a的值代入原式即可求出答案．【解答】解：（1）由①得：x＜1，由②得：x≥﹣2，∴不等式組的解集為：﹣2≤x＜1，∴該不等式組的最小整數解為x＝﹣2．（2）原式＝[+1]?＝（+）?＝?＝，當a＝4sin30°﹣（π﹣3）0＝4×﹣1＝2﹣1＝1時，原式＝4．【點評】本題考查不等式組的解法、分式的加減運算以及乘除運算法則，本題屬于基礎題型．18．（7分）為了調查九年級學生寒假期間平均每天觀看冬奧會時長情況，隨機抽取部分學生進行調查，根據收集的數據繪制了如圖所示兩幅不完整的統計圖“平均每天觀看冬奧會時長”頻數分布表觀看時長（分）頻數（人）頻率0＜x≤1520.0515＜x≤3060.1530＜x≤4518a45＜x≤600.2560＜x≤7540.1（1）頻數分布表中，a＝0.45，請將頻數分布直方圖補充完整；（2）九年級共有520名學生，請你根據頻數分布表，估計九年級學生平均每天觀看冬奧會時長超過60分鐘的有52人；（3）校學生會擬在甲、乙、丙、丁四名同學中，隨機抽取兩名同學做“我與冬奧”主題演講，請用樹狀圖或列表法求恰好抽到甲、乙兩名同學的概率．【分析】（1）根據0＜x≤15的頻數與頻率，求出調查的總人數，再用30＜x≤45的頻數除以總人數，求出a，然后求出45＜x≤60的頻數，從而補全統計圖；（2）用總人數乘以平均每天觀看冬奧會時長超過60分鐘的人數所占的百分比即可；（3）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與恰好抽到甲、乙兩名同學的情況，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）調查的總人數有：2÷0.05＝40（人），a＝＝0.45，45＜x≤60的人數有：40×0.25＝10（人），補全統計圖如下：（2）估計九年級學生平均每天觀看冬奧會時長超過60分鐘的有：520×0.1＝52（人）；故答案為：52；（3）畫樹狀圖得：∵共有12種情況，恰好抽到甲、乙兩名同學的是2種，∴P（恰好抽到甲、乙兩名同學）＝＝．【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率以及頻率分布直方圖的知識．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．19．（8分）旗桿及升旗臺的剖面如圖所示，MN、CD為水平線，旗桿AB⊥CD于點B．某一時刻，旗桿AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一時刻，測得豎直立在坡面DN上的1m高的標桿影長為0.25m（標桿影子在坡面DN上），此時光線AE與水平線的夾角為80.5°，求旗桿AB的高度．（參考數據：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）【分析】設PQ為豎直立在坡面DN上的1m高的標桿，PE為標桿影子，長為0.25m，作DF⊥CD交AE于點F，作FH⊥AB于點H，利用相似和銳角三角函數可以求出旗桿AB的高度．【解答】解：如圖，設PQ為豎直立在坡面DN上的1m高的標桿，PE為標桿影子，長為0.25m，作DF⊥CD交AE于點F，作FH⊥AB于點H，∵DF∥PQ，∴＝，∴＝，∴DF＝5.6，∴BH＝DF＝5.6，在Rt△AHF中，∠AFH＝80.5°，tan∠AFH＝，∴tan80.5°＝≈6，∴AH≈7.2，∴旗桿AB的高度為5.6+7.2＝12.8（m）．【點評】本題考查了銳角三角函數和相似三角形的應用；作出相應輔助線得到矩形是解決本題的難點；用到的知識點為：同一時刻物高與影長的比一定．20．（8分）如圖，已知一次函數y＝ax+b與反比例函數y＝（x＜0）的圖象交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）兩點，且與x軸和y軸分別交于點C、點D．（1）根據圖象直接寫出不等式＜ax+b的解集；（2）求反比例函數與一次函數的解析式；（3）點P在y軸上，且S△AOP＝S△AOB，請求出點P的坐標．【分析】（1）通過圖象位置關系解不等式．（2）用待定系數法法求解析式．（2）先求△AOB的面積，再求P的坐標．【解答】解：（1）當y＝的圖象在y＝ax+b圖象的下方時，＜ax+b成立，∴﹣4＜x＜﹣2．（2）將A（﹣2，4）代入y＝得：﹣8＝m，∴反比例函數為：y＝﹣．將A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：，解得：，∴一次函數的表達式為：y＝x+6．（3）在y＝x+6中，當y＝0時，x＝﹣6，∴C（﹣6，0）．∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC＝OC×（yA﹣yB）＝×6×2＝6，∴S△AOP＝×6＝3，∵P在y軸上，∴OP×|xA|＝3，∴OP＝3．∴P（0，3）或（0．﹣3）．【點評】本題考查一次函數和反比例函數的綜合問題，數形結合，將線段的長度轉化為坐標運算是求解本題的關鍵．21．（8分）如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點B，且與AC邊交于點D，點E為BC中點，連接DE、BD．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若DE＝5，cos∠ABD＝，求OE的長．【分析】（1）連接OD，可推出∠BDC＝90°，進而得出DE＝BE，進而證明△DOE≌△BOE，進一步得出結論；（2）可推出∠C＝∠ABD，解直角三角形ABC求得AC，進而根據三角形中位線定理求得OE．【解答】（1）證明：如圖，連接OD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠BDC＝∠ADB＝90°，∵E是BC的中點，∴DE＝BE＝EC＝，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∴OD⊥DE∵點D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE，∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10，∴∠C＝∠ABD，在Rt△ABC中，AC＝＝，∵OA＝OB，BE＝CE，∴OE＝．【點評】本題考查了直角三角形性質，全等三角形的判定和性質，切線的判定，解直角三角形等知識，解決問題的關鍵是熟練掌握有關基礎知識．22．（10分）某超市采購了兩批同樣的冰墩墩掛件，第一批花了6600元，第二批花了8000元，第一批每個掛件的進價是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購進50個．（1）求第二批每個掛件的進價；（2）兩批掛件售完后，該超市以第二批每個掛件的進價又采購一批同樣的掛件，經市場調查發(fā)現，當售價為每個60元時，每周能賣出40個，若每降價1元，每周多賣10個，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個，求每個掛件售價定為多少元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？【分析】（1）設第二批每個掛件的進價為x元，則第一批每個掛件的進價為1.1x元，根據題意列出方程，求解即可；（2）設每個售價定為y元，每周所獲利潤為w元，則可列出w關于y的函數關系式，再根據“每周最多能賣90個”得出y的取值范圍，根據二次函數的性質可得出結論．【解答】解：（1）設第二批每個掛件的進價為x元，則第一批每個掛件的進價為1.1x元，根據題意可得，+50＝，解得x＝40．經檢驗，x＝40是原分式方程的解，且符合實際意義，∴1.1x＝44．∴第二批每個掛件的進價為40元．（2）設每個售價定為y元，每周所獲利潤為w元，根據題意可知，w＝（y﹣40）[40+10（60﹣y）]＝﹣10（y﹣52）2+1440，∵﹣10＜0，∴當x≥52時，w隨y的增大而減小，∵40+10（60﹣y）≤90，∴w≥55，∴當y＝55時，w取最大，此時w＝﹣10（55﹣52）2+1440＝1350．∴當每個掛件售價定為55元時，每周可獲得最大利潤，最大利潤是1350元．【點評】本題綜合考查分式方程和二次函數的應用，根據題意列出函數關系式是解題關鍵．23．（11分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+2經過A（，0），B（3，）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點P在拋物線上，過P作PD⊥x軸，交直線BC于點D，若以P、D、O、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標；（3）拋物線上是否存在點Q，使∠QCB＝45°？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據待定系數法，將點A，點B代入拋物線解析式，解關于b，c的二元一次方程組，即可求得拋物線的解析式；（2）設出點P的坐標，確定出PD∥CO，由PD＝CO，列出方程求解即可；（3）過B作BH⊥CQ于H，過H作MN⊥y軸，交y軸于M，過B作BN⊥MH于N，證明△CHM≌△HBN（AAS），由全等三角形的性質得出CM＝HN，MH＝BN，求出H點的坐標，由待定系數法求出直線CH的解析式，聯立直線CH和拋物線解析式即可得出點Q的坐標．【解答】解：（1）將點A（﹣，0），B（3，）代入到y＝ax2+bx+2中得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+2；（2）設點P（m，﹣m2+m+2），∵y＝﹣x2+x+2，∴C（0，2），設直線BC的解析式為y＝kx+c，∴，解得，∴直線BC的解析式為y＝x+2，∴D（m，m+2），∴PD＝|﹣m2+m+2﹣m﹣2|＝|m2﹣3m|，∵PD⊥x軸，OC⊥x軸，∴PD∥CO，∴當PD＝CO時，以P、D、O、C為頂點的四邊形是平行四邊形，∴|m2﹣3m|＝2，解得m＝1或2或或，∴點P的橫坐標為1或2或或；（3）①當Q在BC下方時，如圖，過B作BH⊥CQ于H，過H作MN⊥y軸，交y軸于M，過B作BN⊥MH于N，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∵∠QCB＝4