2021年河南省中考數(shù)學(xué)真題試卷（含答案解析）

2021年河南省中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30分）

1.一2的絕對值是（）

A.2B.-2C.1D.1

2.河南省人民濟困最“給力”/據(jù)報道，2020年河南省人民在濟困方面捐款達(dá)到2.94億

元.數(shù)據(jù)“2.94億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.2.94x107B.2.94x108C.0.294x108D.0.294x109

3.如圖是由8個相同的小正方體組成的幾何體，其主視圖是（）

/正面

4.下列運算正確的是()

A.(—a)2=-a2B.2a2—a2=2

C.a2-a=a3D.(a—l)2=a2—1

5.如圖，a〃b,41=60。，貝此2的度數(shù)為（）

A.90°

B.100°b

C.110°

D.120°

6.關(guān)于菱形的性質(zhì)，以下說法不正確的是()

A.四條邊相等B.對角線相等

C.對角線互相垂直D.是軸對稱圖形

7,若方程產(chǎn)一2%+巾=0沒有實數(shù)根，則〃，的值可以是()

A.-1B.0C.1D.>/3

8.現(xiàn)有4張卡片，正面圖案如圖所示，它們除此之外完全相同，把這4張卡片背面朝上洗

勻，從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案恰好是“天問”和“九章”的概率是

()

9.如圖，“M8C的頂點。(0,0),4(1,2),點C在x軸的正

半軸上，延長BA交y軸于點。.將△O￡M繞點。順時針

旋轉(zhuǎn)得到4當(dāng)點。的對應(yīng)點。'落在OA上時,

的延長線恰好經(jīng)過點C,則點C的坐標(biāo)為()

A.(2V3,0)

B.(275,0)

C.(2V3+1,0)

D.(2V5+1,0)

10.如圖1,矩形ABC。中，點E為8c的中點，點P沿BC從點B運動到點C,設(shè)8,P

兩點間的距離為x,PA-PE=y,圖2是點P運動時y隨x變化的關(guān)系圖象，則8c的

長為（）

A.4

二、填空題（本大題共5小題，共15分）

11.若代數(shù)式」7有意義，則實數(shù)x的取值范圍是.

X—1

12.請寫出一個圖象經(jīng)過原點的函數(shù)的解析式.

13.某外貿(mào)公司要出口一批規(guī)格為200克/盒的紅棗，現(xiàn)有甲、乙兩個廠家提供貨源，他們

的價格相同，品質(zhì)也相近.質(zhì)檢員從兩廠產(chǎn)品中各隨機抽取15盒進(jìn)行檢測，測得它們的

平均質(zhì)量均為200克，每盒紅棗的質(zhì)量如圖所示，則產(chǎn)品更符合規(guī)格要求的廠家是

（填“甲”或“乙”）.

甲廠---一-乙廠

205

204

203

202

201

200

199

198

197

196

0123456789101112131415序號

14.如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,。均在小正方形的頂點上,

且點8,C在俞上，^BAC=22.5°,則愈的長為.

15.小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1,在Rt△ABC中，乙4cB=90。,NB=30°,

AC=1.第一步，在AB邊上找一點￡>,將紙片沿C力折疊，點A落在4處，如圖2；第

二步，將紙片沿C/1'折疊，點。落在D'處，如圖3.當(dāng)點。'恰好落在直角三角形紙片的邊

上時，線段4。'的長為.

三、解答題（本大題共8小題，共75.0分）

16.(1)計算：3-1—1+(3—次)

（2）化簡：（1一》+

17.2021年4月，教育部印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步加強中小學(xué)生睡眠管理工作的通知》,明確要

求初中生每天睡眠時間應(yīng)達(dá)到9小時.某初級中學(xué)為了解學(xué)生睡眠時間的情況，從本校

學(xué)生中隨機抽取500名進(jìn)行問卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果用統(tǒng)計圖描述如下.

調(diào)查問卷

1.近兩周你平均每天睡眠時間大約是小時.

如果你平均每天睡眠時間不足9小時，請回答第2個問題

2.影響你睡眠時間的主要原因是（單選）.

A.校內(nèi)課業(yè)負(fù)擔(dān)重

8.校外學(xué)習(xí)任務(wù)重

C.學(xué)習(xí)效率低

D其他

平均每天睡眠時間統(tǒng)計圖

影響學(xué)生睡眠時間的主要原因統(tǒng)計圖

^

1

0ts0

ls

*1

4*10

2*10

0s0

g

40

20

平均每天睡眠時間x（時）分為5組：?5<x<6；@6<x<7；（3）7<%<8；@8<

x<9；（5）9<%<10.

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）本次調(diào)查中，平均每天睡眠時間的中位數(shù)落在第（填序號）組，達(dá)到9小時的

學(xué)生人數(shù)占被

調(diào)查人數(shù)的百分比為;

（2）請對該校學(xué)生睡眠時間的情況作出評價，并提出兩條合理化建議.

18.如圖，大、小兩個正方形的中心均與平面直角坐標(biāo)系的原點O

重合，邊分別與坐標(biāo)軸平行，反比例函數(shù)y=(的圖象與大正方

形的一邊交于點4(1,2),且經(jīng)過小正方形的頂點艮

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)求圖中陰影部分的面積.

19.開鑿于北魏孝文帝年間的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)瑰寶，盧舍那佛像是石窟中最大的佛

像.某數(shù)學(xué)活動小組到龍門石窟景區(qū)測量這尊佛像的高度.如圖，他們選取的測量點A與

佛像BD的底部。在同一水平線上.已知佛像頭部BC為4m,在A處測得佛像頭頂部B

的仰角為45。，頭底部C的仰角為37.5。,求佛像BD的高度(結(jié)果精確至1]0.1m.參考數(shù)據(jù):

sin37.5°?0.61,cos37.5°?0.79,tan37.5°?0.77).

20.在古代，智慧的勞動人民已經(jīng)會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個固定長

度的“連桿”，推動“連桿”帶動磨盤轉(zhuǎn)動，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動力傳輸工

具為“曲線連桿機構(gòu)”.

小明受此啟發(fā)設(shè)計了一個“雙連桿機構(gòu)”，設(shè)計圖如圖1,兩個固定長度的“連桿”AP,

BP的連接點尸在。。上，當(dāng)點P在。。上轉(zhuǎn)動時，帶動點A,B分別在射線OM,ON上

滑動，0M10M當(dāng)AP與。。相切時，點8恰好落在。。上，如圖2.

請僅就圖2的情形解答下列問題.

(1)求證：乙PAO=2乙PBO；

(2)若。。的半徑為5,4P=g，求8P的長.

圖1圖2

21.物猴嬉戲是王屋山景區(qū)的一大特色，狒猴玩偶非常暢銷,小李在某網(wǎng)店選中A,B兩款物

猴玩偶，決定從該網(wǎng)店進(jìn)貨并銷售.兩款玩偶的進(jìn)貨價和銷售價如下表：

類別

A款玩偶B款玩偶

價格

進(jìn)貨價(元/個)4030

銷售價(元/個)5645

(1)第一次小李用1100元購進(jìn)了A,B兩款玩偶共30個，求兩款玩偶各購進(jìn)多少個.

(2)第二次小李進(jìn)貨時，網(wǎng)店規(guī)定A款玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過B款玩偶進(jìn)貨數(shù)量的一半.

小李計劃購進(jìn)兩款玩偶共30個，應(yīng)如何設(shè)計進(jìn)貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是

多少？

(3)小李第二次進(jìn)貨時采取了(2)中設(shè)計的方案，并且兩次購進(jìn)的玩偶全部售出，請從利

潤率的角度分析，對于小李來說哪一次更合算？

(注：利潤率=罌*100%)

22.如圖，拋物線y=/+mx與直線y=-x+b把交于點4(2,0)和點8.

⑴求相和匕的值；

(2)求點B的坐標(biāo)，并結(jié)合圖象寫出不等式/+mX>_x+b的解集；

(3)點M是直線A8上的一個動點，將點M向左平移3個單位長度得到點N,若線段

MN與拋物線只有一個公共點，直接寫出點M的橫坐標(biāo)的取值范圍.

23.下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個角的平分線的討論片段，請仔細(xì)閱讀，并

完成相應(yīng)的任務(wù).

小明：如圖1,（1）分別在射線。4,08上截取0C=。。，09=。尸（點（7,E不重合）；

（2）分別作線段CE,。尸的垂直平分線交點為P，垂足分別為點G,〃；（3）作射

線0P,射線即為乙40B的平分線.

簡述理由如下：

由作圖知，4PG0=4PH。=90。，0G=OH,OP=0P,所以Rt△PG0三Rt△PH0,

則4P0G=NP0H,即射線OP是Zu40B的平分線.

小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖2,（1）分

別在射線OA,。8上截取。。=。。，。6=。/（點0E不重合）；（2）連接。E,CF,交

點為P;（3）作射線0P.射線OP即為乙40B的平分線.

（1）小明得出Rt△PGO^RtAPH。的依據(jù)是（填序號）.

@SSS@SAS（3）AAS（4）ASA（5）HL

（2）小軍作圖得到的射線0P是乙40B的平分線嗎？請判斷并說明理由.

（3）如圖3,已知乙40B=60。，點E,尸分別在射線04OB上，且0E=0F=遍+1.點C,

。分別為射線0408上的動點，且。C=0D,連接。E,CF,交點為P,當(dāng)乙CPE=30。時,

直接寫出線段OC的長.

參考答案及解析

1.【解析】A

根據(jù)絕對值定義，-2的絕對值是2,

即|-2|=2.

2.【解析】B

科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10”的形式，其中1<|a|<10,“為整數(shù).

2.94億=294000000=2.94x108,

3.【解析】A

依題意，該幾何體的主視圖有三層，最上面有一個正方形，中間一層有兩個正方形，最下

面有三個正方形，且左側(cè)是對齊的.

4.【解析】C

依題意，A(-a)2=a2,所以該選項不合題意；

B.2a2-a2=a2,所以該選項不合題意；

C.a2a=a3,所以該選項符合題意；

D.(a-l)2=a2-2a+l,所以該選項不符合題意.

5.【解析】D

根據(jù)圖可知，42的補角和N1是同位角，

???zl=60。且a〃b,

N1的同位角也是60。，

42=180°-60°=120°,

6.【解析】B

根據(jù)菱形的性質(zhì)判斷。

4菱形的四條邊相等，正確，

5.菱形的對角線互相垂直且平分，對角線不一定相等，不正確,

C.菱形的對角線互相垂直且平分，正確，

。.菱形是軸對稱圖形，正確.

7.【解析】D

根據(jù)題意，???關(guān)于x的方程/-2%+?1=0沒有實數(shù)根，

???△=(—2)2—4xlxm=4—4m<0,

??TH>1,

.?.m只能為

8.【解析】A

依題意，把4張卡片分別記為：4、B、C、D,

畫樹狀圖如圖所示:

開始

ABCD

/1\/1\Zl\ZN

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結(jié)果，兩張卡片正面圖案恰好是“天問”和“九章”有2種結(jié)果,

21

所以兩張卡片正面圖案恰好是“天問”和“九章”的概率一=

126

9.【解析】B

如圖所示，延長交y軸于點E,延長根據(jù)題意知。4的延長線經(jīng)過點C,

,AD=1,OD=2,

根據(jù)勾股定理得；OA=7AD2+0。2="2+勾=V5.

根據(jù)題意：△OA'Q'mAOAD,

OA'=04=遙，OD'=0D=2,A'D'=AD=1,^A'D'O=^ADO=90°,^A'OD'=

/.DOD'.

則OD'14'E,04平分乙4'OE,

.?.△4'OE是等腰三角形.

OE=OA'=V5,ED'=A'D'=1.

vEO1OC,OD'1EC,

OED'CEO.

ED'_￡￡

"OD'-OC

.1_西

???一?

2OC

OC=2V5.

C(2>/5,0).

10.【解析】c

根據(jù)函數(shù)圖象可知：當(dāng)x=0,即尸在5點時，BA-BE=1.

在4P4E中，

???三角形任意兩邊之差小于第三邊，

PA-PE<AE,

當(dāng)且僅當(dāng)尸與E重合時即：PA—PE=AE.

y的最大值為AE,

:.AE=5.

在RtUBE中，由勾股定理得：B^+BE2=AE2=25,

設(shè)8E的長度為t,

則B4=t+1,

?-.(t+I)2+t2=25,

即：產(chǎn)+t—12=0,

(t+4)(t-3)=0,

Vt>0,

t+4>0,

?**t—3=0,

即t=3.

???BC=2BE=2t=2X3=6.

11.【解析】x=l

根據(jù)題意得：x-10,

即工H1,

12.【解析】v=x（答案不唯一）

根據(jù)題意知，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，

即函數(shù)解析式的常數(shù)項為0,如y=%（答案不唯一）.

13.【解析】甲

由圖中折線可知，乙的起伏大，甲的起伏小，

所以乙的方差大于甲的方差，

因為方差越小，表明這組數(shù)據(jù)波動越小，分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小,

所以產(chǎn)品更符合規(guī)格要求的廠家是甲.

14.［解析］—

4

圓心為連接如圖所示:

04OB,OC9OD.

B

一--S

---C

—X

/T

A、ZD

Z?

、

、，,

0

?.?OA=OB=OD=5,乙BOC=2乙BAC=45°,

457rx557r

???BC的長=------=—?

1804

1

15.【解析】-或2-6

2

解：①如圖所示，點。恰好落在直角三角形紙片的4b邊上時，設(shè)4C交A6邊于點E,

由題意知：△A'D'C,4'C垂直平分線段on'.

則ZD'AC=^DA'C=乙4=60°,AC=AC=1.

vAACB=90°,NB=30°,AC=1,

BC-AC-tanA=1xtan60°—V3.

S^ABC=^ACBC=^ABCE,

在Rt"n'E中,

A'E1

,——?

A'Di2

???A'D'=2A'E=2-V3.

②如圖所示，點?！『寐湓谥苯侨切渭埰?c邊上時,

由題意知：^ADC^A'DC^A'D'C,^ACD=LA'CD=AA'CD'=^ACB=30°；

則4。'4c=^DA'C=Z.A=60°,AC=AC=1.

■■■^D'A'C=60°,乙4'CO'=30°,

/LA'D'C=90°,

...4。=泊C=3x1=/

綜上所述，線段4。的長為：工或2

2

x

16.【解析】(1)1；(2)-

2

解：(1)原式=———+1

=1;

r—1尢2

(2)原式=—?一―

x2(x-l)

_x

一2'

17.【解析】③17%

解：(1)由圖可知，抽取的這500名學(xué)生平均每天睡眠時間的中位數(shù)為第250個和第251個

數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

所以落在第③組；

睡眠達(dá)到9小時的學(xué)生人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的百分比為：熊X100%=17%,

(2)答案不唯一，言之有理即可.

18.【解析】⑴y=《(2)8.

解：(1)???反比例函數(shù)y=5的圖象經(jīng)過點4(1,2),

2—~f

???k=2,

???反比例函數(shù)的解析式為y=%

(2)???小正方形的中心與平面直角坐標(biāo)系的原點。重合，邊分別與坐標(biāo)軸平行，

???設(shè)3點的坐標(biāo)為(m,m),

??反比例函數(shù)y=|的圖象經(jīng)過B點，

??2

?m=m―,

m2=2,

”小正方形的面積為47n2=8,

??大正方形的中心與平面直角坐標(biāo)系的原點O重合，邊分別與坐標(biāo)軸平行，且4點坐標(biāo)為

(1,2),

???大正方形在第一象限的頂點坐標(biāo)為(2,2),

大正方形的面積為4x22=16,

???圖中陰影部分的面積=大正方形的面積-小正方形的面積=16-8=8.

19.【解析】17.4m.

解：由題意可知：/-DAB=45°,

??.BD=AD,

在RtZkAOC中，DC=BD-BC=(AD-4)m,^DAC=37.5°,

DC

vtanZ.DAC=—,

AD

AD—4-

0.77,

AD

解得40?17.4m,

答：佛像的高度約為17.4〃?.

20.【解析】

(1)證明：連接。P,延長3。與圓交于點G則0P=0B=0C,

如圖1所示，

圖1

???4P與。。相切于點P,

Z.AP0=90°,

???NP40+"0P=90°,

vMO1CN,

???AA0P+NP0C=90°,

???Z.PA0=Z.P0C,

0P—08,

???N0P3=乙PB0,

ANPOC=乙OPB=乙PBO=2乙PBO,

:、Z.AOP=2Z-PBO9

(2)解：連接OP,延長80與圓交于點C,連接尸C,過點。作P。10C于點。，如圖2所

由⑴可知NPOC=^PAO,

Rt△POD?Rt△OAP,

PDPOOD^iOD

gn亙，解得P0=3,00=4,

5

POOAAPT

CD=OC-OD=19

在RtAPDC中，PC=>JPD2+CD2=V10.

???CB為圓的直徑,

???NBPC=90°,

???BP=VBC2-PC2=V100-10=3<10?

21.【解析】

【解析】解：(1)將點A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0=4+2m,解得：m=-2,

將點A的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式得：0=-2+b,解得b=2；

故m=-2,b=2；解:(1)設(shè)A款玩偶購進(jìn)x個，則B款玩偶購進(jìn)(30-x)個，

由題意得，40x+30(30-X)=1100,

解得：x=20.

30-20=10(個).

答：A款玩偶購進(jìn)20個，8款玩偶購進(jìn)10個；

(2)設(shè)4款玩偶購進(jìn)a個，則8款玩偶購進(jìn)(30-a)個，獲利y元，

由題意得，y=(56-40)a+(45-30)(30-a)=a+450.

???4款玩偶進(jìn)貨數(shù)量不得超過B款玩偶進(jìn)貨數(shù)量的一半.

a<(30—a),

a<10,

--y=a+450.

fc=1>0,

y隨a的增大而增大.

當(dāng)a=10時，y袤大=460元.

???B款玩偶為：30—10=20(個).

答：按照4款玩偶購進(jìn)10個、8款玩偶購進(jìn)20個的方案進(jìn)貨才能獲得最大利潤，最大利

潤是460元；

X；：X

(3)第一次的利潤率=2°(56-4'445-30)乂10Q%*42.7%,

第二次的利潤率=10x4^0x30X100%X46%,

V46%>42.7%,

對于小李來說第二次的進(jìn)貨方案更合算.

22.【解析】

解：(1)將點4的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0=4+2m,解得：m=-2,

將點A的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式得：0=—2+b,解得b=2；

故m=-2,6=2；

2

(2)由(T)得，直線和拋物線的表達(dá)式為：y=-x+2,y=x-2x9

聯(lián)立上述兩個函數(shù)表達(dá)式并解得仁IJ1,

即點5的坐標(biāo)為(-1,3),

從圖象可知，不等式x2+mx>-x+b的解集為％<-1或x>2；

(3)當(dāng)點M在線段48上時，線段與拋物線只有一個公共點，

因為MN的距離為3,而48的距離為3,故此時只有一個交點，即一1SXM<2；

當(dāng)點〃在點8的左側(cè)時，線段MN與拋物線沒有公共點；

當(dāng)點M在點A的右側(cè)時，當(dāng)久”=3時，拋物線和交于拋物線的頂點(1,-1),即%M=3

時，線段MN與拋物線只有一個公共點,

綜上所述，—14<2或—3.

23.【解析】

解：(1)如圖1所示，由作圖得，OC=OD,0E=OF,

PG垂直平分CE,P"垂直平分。%

??.Z,PGO=(PHO=90°,

：OE-OC=OF-OD9

，CE=DF,

:CG=gCE,DH=^DF,

CG=DH,

圖1

OC+DG=OD+DH,

OG=OH,

???OP=OP,

Rt△PGO^Rt△PHO(HL

(2)射線OP是"OB的平分線