高考二輪復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)課件第3講高考情境題的數(shù)學(xué)建模

第3講高考情境題的數(shù)學(xué)建模近年來,高考數(shù)學(xué)試題緊密聯(lián)系生活實際且與“五育”結(jié)合,以考查學(xué)生基礎(chǔ)知識和基本能力為主線,突出考察數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理等核心素養(yǎng).為適應(yīng)高考命題的特點(diǎn),二輪復(fù)習(xí)應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生對高考情境題的數(shù)學(xué)建模能力.數(shù)學(xué)建模解決高考情境題的基本思路:D(2)(2021全國乙,理9)魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作,其中第一題是測量海島的高.如圖,點(diǎn)E,H,G在水平線AC上,DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度,稱為“表高”,EG稱為“表距”,GC和EH都稱為“表目距”,GC與EH的差稱為“表目距的差”,則海島的高AB=(

)A對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2023陜西西安一模)我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長l與太陽天頂距θ(0°≤θ≤180°)的對應(yīng)數(shù)表,這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表,根據(jù)此算法可知,晷影長度l等于表高h(yuǎn)與太陽天頂距θ正切值的乘積,即l=htanθ.對同一“表高”兩次測量,第一次和第二次太陽天頂距分別為α,β,且tan(α-β)=,若第二次的“晷影長”與“表高”相等,則第一次的“晷影長”是“表高”的(

)A.1倍

B.2倍

C.3倍

D.4倍BA考向2函數(shù)模型的情境問題例2(1)(2020山東,6)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型:I(t)=ert描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長率r與R0,T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28,T=6.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)(

)A.1.2天

B.1.8天

C.2.5天

D.3.5天BB對點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2021全國甲,理4)青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題,視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(≈1.259)(

)A.1.5 B.1.2

C.0.8

D.0.6C

D考向3數(shù)列模型的情境問題例3(1)(2020全國Ⅱ,理4)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所,分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán),向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊,向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同,且下層比中層多729塊,則三層共有扇面形石板(不含天心石)(

)A.3699塊 B.3474塊C.3402塊 D.3339塊C

(2)(2023山東菏澤一模)2020年12月17日凌晨1時59分,嫦娥五號返回器攜帶月球樣品成功著陸,這是我國首次實現(xiàn)了地外天體采樣返回,標(biāo)志著中國航天又向前邁出了一大步.月球距離地球約38萬千米,在理想狀態(tài)下,若將一張厚度約為0.1毫米的紙對折n次其厚度就可以超過到達(dá)月球的距離,那么至少對折的次數(shù)n是(

)(lg2≈0.3,lg3.8≈0.6)A.40 B.41

C.42

D.43C解析

設(shè)當(dāng)對折n次時,紙的厚度為an,每次對折厚度變?yōu)樵瓉淼?倍,由題意知{an}是以a1=0.2為首項,公比為2的等比數(shù)列,所以an=0.2×2n-1=0.1×2n,令an=0.1×2n≥38×104×106,即2n≥3.8×1012,所以lg

2n≥lg

3.8+12,即nlg

2≥0.6+12,解得

,所以至少對折的次數(shù)n是42,故選C.A.5 B.6

C.7

D.8A解析

如圖,設(shè)圓Dn,Dn-1與AC相切于點(diǎn)E,F,過點(diǎn)Dn作FDn-1的垂線,垂足為G,則∠FDn-1Dn=60°,(2)(2023陜西安康一模)南京市某地鐵總行程大約為51.3千米,小張是陜西來南京游玩的一名旅客,從起點(diǎn)站開始,他利用手機(jī)上的里程表測出前兩站的距離大約為2千米,以后每經(jīng)過一站,里程約增加0.1千米,據(jù)此他測算出本條地鐵線路的站點(diǎn)(含起點(diǎn)站與終點(diǎn)站)一共有(

)A.18個

B.19個

C.21個

D.22個B考向4概率模型的情境問題例4(1)數(shù)學(xué)家阿基米德建立了這樣的理論:“任何由直線與拋物線所圍成的弓形,其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四.”如圖,直線x=1與拋物線y2=2x交于A,B兩點(diǎn),A,B兩點(diǎn)在y軸上的射影分別為點(diǎn)M,N,向矩形ABNM內(nèi)任投一點(diǎn),則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為(

)A(2)(2023山東煙臺一模)某企業(yè)的一批產(chǎn)品由一等品零件、二等品零件混裝而成,每包產(chǎn)品均含有10個零件.小張到該企業(yè)采購,利用如下方法進(jìn)行抽檢:從該企業(yè)產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1包產(chǎn)品,再從該包產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4個零件,若抽取的零件都是一等品,則決定采購該企業(yè)產(chǎn)品;否則,拒絕采購.假設(shè)該企業(yè)這批產(chǎn)品中,每包產(chǎn)品均含1個或2個二等品零件,其中含2個二等品零件的包數(shù)占10%,則小張決定采購該企業(yè)產(chǎn)品的概率為________.

對點(diǎn)訓(xùn)練4(1)算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具,是中國人在長期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的.如圖是一把算盤的初始狀態(tài),中間的檔是作定位用的,自右向左,分別是個位、十位、百位,…,上面一粒珠(簡稱上珠)代表5,下面一粒珠(簡稱下珠)是1,即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.現(xiàn)在從個位和十位這兩組中隨機(jī)選擇往下?lián)芤涣Ｉ现?往上撥3粒下珠,得到的數(shù)為質(zhì)數(shù)(除了1和本身沒有其他的約數(shù))的概率是(

)B

(2)(2023上海浦東新區(qū)模擬)數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道讓學(xué)生考試,規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格,某學(xué)生只能求解其中的4道題,則他能及格的概率是________.

考向5空間幾何模型的情境問題例5(1)(2020全國Ⅰ,理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為(

)C(2)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年.例如塹堵指底面為直角三角形,且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱;陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐;鱉臑是四個面均為直角三角形的四面體.在如圖所示的塹堵ABC-A1B1C1中,已知AB=BC=4,AC=4

,若陽馬C1-ABB1A1的側(cè)棱C1A=8,則鱉臑C1-ABC中,點(diǎn)C到平面C1AB的距離為________.

對點(diǎn)訓(xùn)練5(1)(2020山東,4)日晷是中國古代用來測定時間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為O),地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角,點(diǎn)A處的水平面是指過點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點(diǎn)A處的緯度為北緯40°,則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成的角為(

)A.20°

B.40°C.50°

D.90°B解析

由題意知,如圖,圓O為赤道所在的大圓.圓O1是在點(diǎn)A處與赤道所在平面平行的晷面.O1C為晷針?biāo)诘闹本€.直線OA在圓O所在平面的射影為直線OB,點(diǎn)B在圓O上,則∠AOB=40°,∴∠COA=50°.又∠CAO=90°,∴∠OCA=40°.∴晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為40°,故選B.(2)(2023山東臨沂一模)古希臘亞歷山大時期的數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個確定重心的定理:“如果同一平面內(nèi)的一個閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交,那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長的積”,即V=Sl(V表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積,S表示平面圖形的面積,l表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長).如圖,在直角梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB⊥AD,AB=3CD,AD=3,則其重心G到AB的距離為(

)C考向6圓錐曲線(圓)模型的情境問題例6(2023四川南充二模)人們在進(jìn)行工業(yè)設(shè)計時,巧妙地利用了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì),比如電影放映機(jī)利用橢圓鏡面反射出聚焦光線,探照燈利用拋物線鏡面反射出平行光線.如圖,從雙曲線右焦點(diǎn)F2發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射,且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)F1.已知入射光線F2P斜率為,且F2P和反射光線PE互相垂直(其中P為入射點(diǎn)),則雙曲線的離心率為(

)D對點(diǎn)訓(xùn)練6(2023江西九江二模)青花瓷又稱白地青花瓷,是中國瓷器的主流品種之一.一只內(nèi)壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上,瓷碗底座高為1cm,瓷碗的軸截面可以近似看成是拋物線,碗里不慎掉落一根質(zhì)地均勻、粗細(xì)相同長度為22cm的筷子,筷子的兩端緊貼瓷碗內(nèi)壁.若筷子的中點(diǎn)離桌面的最小距離為7cm,則該拋物線的通徑長為(

)A.16 B.18 C.20 D.22C