二次函數(shù)七大綜合專題

二次函數(shù)七大綜合專題二次函數(shù)七大綜合專題二次函數(shù)與三角形的綜合題函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問(wèn)題一般有三個(gè)解題途徑①求相似三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，先要分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對(duì)應(yīng)邊分類討論。②或利用已知三角形中對(duì)應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)來(lái)推導(dǎo)邊的大小。③若兩個(gè)三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來(lái)表示各邊的長(zhǎng)度，之后利用相似來(lái)列方程求解。如圖，已知拋物線與交于A(－1，0)、E(3，0)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)B(0，3)。求拋物線的解析式；設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D，求四邊形AEDB的面積；△AOB與△DBE是否相似？如果相似，請(qǐng)給以證明；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由。（2016?益陽(yáng)第21題）如圖，頂點(diǎn)為的拋物線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，與軸交于點(diǎn)B．（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）過(guò)B作OA的平行線交軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)，求證：△OCD≌△OAB；（3）在軸上找一點(diǎn)，使得△PCD的周長(zhǎng)最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．考點(diǎn)：考查二次函數(shù)，三角形的全等、三角形的相似。解析：（1）∵拋物線頂點(diǎn)為，設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式為，將原點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）代入表達(dá)式，得．∴拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式為：．（2）將代入中，得B點(diǎn)坐標(biāo)為：，設(shè)直線OA對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為，將代入表達(dá)式中，得，∴直線OA對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為．∵BD∥AO，設(shè)直線BD對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為，將B代入中，得，∴直線BD對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為．由得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為，將代入中，得C點(diǎn)的坐標(biāo)為，由勾股定理，得：OA=2=OC，AB=2=CD,．在△OAB與△OCD中，，∴△OAB≌△OCD．（3）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則與軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)，它使得△PCD的周長(zhǎng)最?。^(guò)點(diǎn)D作DQ⊥，垂足為Q，則PO∥DQ．∴∽．∴,即，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．二次函數(shù)與平行四邊形的綜合題例1：如圖，對(duì)稱軸為直線x=的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0）和B（0，4）．

（1）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形，求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

①當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？

②是否存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】（1）已知了拋物線的對(duì)稱軸解析式，可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來(lái)設(shè)拋物線，然后將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可．（2）平行四邊形的面積為三角形OEA面積的2倍，因此可根據(jù)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，用拋物線的解析式求出E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，那么E點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即為△OAE的高，由此可根據(jù)三角形的面積公式得出△AOE的面積與x的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)而可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式．①將S=24代入S，x的函數(shù)關(guān)系式中求出x的值，即可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)和OE，OA的長(zhǎng)；如果平行四邊形OEAF是菱形，則需滿足平行四邊形相鄰兩邊的長(zhǎng)相等，據(jù)此可判斷出四邊形OEAF是否為菱形．②如果四邊形OEAF是正方形，那么三角形OEA應(yīng)該是等腰直角三角形，即E點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，﹣3）將其代入拋物線的解析式中即可判斷出是否存在符合條件的E點(diǎn)．【解答】解：（1）因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸是x=，設(shè)解析式為y=a（x﹣）2+k．把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得，解得a=，k=﹣．故拋物線解析式為y=（x﹣）2﹣，頂點(diǎn)為（，﹣）．（2）∵點(diǎn)E（x，y）在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合y=（x﹣）2﹣，∴y＜0，即﹣y＞0，﹣y表示點(diǎn)E到OA的距離．∵OA是OEAF的對(duì)角線，∴S=2S△OAE=2××OA?|y|=﹣6y=﹣4（x﹣）2+25．因?yàn)閽佄锞€與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（1，0）和（6，0），所以自變量x的取值范圍是1＜x＜6．①根據(jù)題意，當(dāng)S=24時(shí)，即﹣4（x﹣）2+25=24．化簡(jiǎn)，得（x﹣）2=．解得x1=3，x2=4．故所求的點(diǎn)E有兩個(gè)，分別為E1（3，﹣4），E2（4，﹣4），點(diǎn)E1（3，﹣4）滿足OE=AE，所以平行四邊形OEAF是菱形；點(diǎn)E2（4，﹣4）不滿足OE=AE，所以平行四邊形OEAF不是菱形；②當(dāng)OA⊥EF，且OA=EF時(shí)，平行四邊形OEAF是正方形，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)只能是（3，﹣3），而坐標(biāo)為（3，﹣3）的點(diǎn)不在拋物線上，故不存在這樣的點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、平行四邊形的性質(zhì)、菱形和正方形的判定等知識(shí)．綜合性強(qiáng)，難度適中．（2016?泰安第28題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9），與y軸交于點(diǎn)A（0，5），與x軸交于點(diǎn)E、B． （1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達(dá)式； （2）過(guò)點(diǎn)A作AC平行于x軸，交拋物線于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上的一點(diǎn)（點(diǎn)P在AC上方），作PD平行與y軸交AB于點(diǎn)D，問(wèn)當(dāng)點(diǎn)P在何位置時(shí)，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積； （3）若點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)N在其對(duì)稱軸上，使得以A、E、N、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，且AE為其一邊，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，函數(shù)極值額確定方法，平行四邊形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式求極值．【分析】（1）設(shè)出拋物線解析式，用待定系數(shù)法求解即可； （2）先求出直線AB解析式，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)（x，﹣x2+4x+5），建立函數(shù)關(guān)系式S四邊形APCD=﹣2x2+10x，根據(jù)二次函數(shù)求出極值； （3）先判斷出△HMN≌△AOE，求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)． 【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+9， ∵拋物線與y軸交于點(diǎn)A（0，5）， ∴4a+9=5，∴a=﹣1， y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5， （2）當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+4x+5=0，∴x1=﹣1，x2=5，∴E（﹣1，0），B（5，0），設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n， ∵A（0，5），B（5，0），∴m=﹣1，n=5， ∴直線AB的解析式為y=﹣x+5；設(shè)P（x，﹣x2+4x+5），∴D（x，﹣x+5），∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，∵AC=4，∴S四邊形APCD=×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x，∴當(dāng)x=﹣=時(shí)， ∴S四邊形APCD最大=， （3）如圖， 過(guò)M作MH垂直于對(duì)稱軸，垂足為H，∵M(jìn)N∥AE，MN=AE， ∴△HMN≌△AOE，∴HM=OE=1，∴M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=3或x=1，當(dāng)x=1時(shí)，M點(diǎn)縱坐標(biāo)為8，當(dāng)x=3時(shí)，M點(diǎn)縱坐標(biāo)為8，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為M1（1，8）或M2（3，8）， ∵A（0，5），E（﹣1，0），∴直線AE解析式為y=5x+5，∵M(jìn)N∥AE，∴MN的解析式為y=5x+b，∵點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸x=2上，∴N（2，10+b），∵AE2=OA2+0E2=26∵M(jìn)N=AE∴MN2=AE2， ∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2∵M(jìn)點(diǎn)的坐標(biāo)為M1（1，8）或M2（3，8），∴點(diǎn)M1，M2關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，∵點(diǎn)N在拋物線對(duì)稱軸上，∴M1N=M2N，∴1+（b+2）2=26，∴b=3，或b=﹣7，∴10+b=13或10+b=3 ∴當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，8）時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，13），當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，8）時(shí)，N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）， 【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，函數(shù)極值額確定方法，平行四邊形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式求極值與圖形的平移與旋轉(zhuǎn)變換性質(zhì)有關(guān)的綜合題（2016?重慶第26題）如圖1，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,1），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)C是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)M是一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為N，且S△AMO︰S四邊形AONB=1︰48。（1）求直線AB和直線BC的解析式；（2）點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn)，PD//x軸，射線PD與拋物線交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，當(dāng)PF與PE的乘積最大時(shí)，在線段AB上找一點(diǎn)H（不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合），使GH+BH的值最小，求點(diǎn)H的坐標(biāo)和GH+BH的最小值；（3）如圖2，直線AB上有一點(diǎn)K（3,4），將二次函數(shù)沿直線BC平移，平移的距離是t(t≥0)，平移后拋物線上點(diǎn)A，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A/，點(diǎn)C/；當(dāng)△A/C/K是直角三角形時(shí)，求t的值。參考答案：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,1)，∴AO=1?！逽△AMO︰S四邊形AONB=1︰48，∴S△AMO︰S△BMN=1︰49。由△AMO∽△BMN可知，AO︰BN=1︰7?！郆N=7。令y=7，則，解得x1=6，x2=-2?！唿c(diǎn)B在第一象限，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,7)。………（1分）將點(diǎn)A(0,1)，B(6,7)代入y=kx+b中得，，解得∴直線AB的解析式為y=x+1?！?分）∵點(diǎn)C是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,-1)。………（3分）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n(m≠0)，將點(diǎn)B(6,7)，C(2,-1)代入得，，解得?！嘀本€BC的解析式為y=2x-5。………（4分）（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,a+1)。則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,a+1)。∴PE=a+1，PD=()-a=。設(shè)直線BC與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)Q，由△PDF∽△BQN可知，，∴PF=?！?分）∴PE·PF=(a+1)·=?！?<a<6，∴當(dāng)x=時(shí)，PE·PF有最大值。此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)。把y=代入二次函數(shù)中得，解得x1=-1，x2=5?！帱c(diǎn)G的坐標(biāo)為(5,)?！?分）過(guò)點(diǎn)B作BR∥x軸交y軸于R，點(diǎn)H是線段AB上一點(diǎn)，作HJ⊥BR于點(diǎn)J，連接GH?！唷螶BH=∠AMO=45°，JH=BH，GH+BH=GH+HJ。當(dāng)點(diǎn)G，H，J三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，GH+BH的值最小。此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為(5,6)，………（7分）GH+BH的值最小為?！?分）（3）過(guò)點(diǎn)A作AT∥BC，平移過(guò)程中AC=A/C/=，CC/=AA/=t。設(shè)點(diǎn)C/的坐標(biāo)為(,)則點(diǎn)A/的坐標(biāo)為(,)∵點(diǎn)K的坐標(biāo)為(3,4)∴A/K2=，C/K2=，(A/C/)2=8。①當(dāng)A/C/為斜邊時(shí)，8=()+()解得t1=或t2=。………（10分）②當(dāng)A/K為斜邊時(shí)，=8+()解得t=?！?1分）③當(dāng)C/K為斜邊時(shí)，=8+()解得t=0?！?2分）綜上所述，當(dāng)△A/C/K是直角三角形時(shí)，t=或或或0。與直角三角形性質(zhì)有關(guān)的綜合題（2016?棗莊第25題）如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x＝－1，且經(jīng)過(guò)A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B.⑴若直線y＝mx＋n經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；⑵在拋物線的對(duì)稱軸x＝－1上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；⑶設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x＝－1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．第第25題圖參考答案：解：（1）依題意，得解之，得∴拋物線解析式為．…………2分第25題圖∵對(duì)稱軸為x＝－1，且拋物線經(jīng)過(guò)A（1，第25題圖∴B（－3，0）．把B（－3，0）、C（0，3）分別直線y＝mx＋n，得解之，得∴直線BC的解析式為．…………3分（2）∵M(jìn)A=MB，∴MA+MC=MB+MC.∴使MA+MC最小的點(diǎn)M應(yīng)為直線BC與對(duì)稱軸x＝－1的交點(diǎn).設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x＝－1的交點(diǎn)為M，把x＝－1代入直線，得y＝2.∴M（－1，2）………………………6分（3）設(shè)P（－1，t），結(jié)合B（－3，0），C（0，3），得BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.①若B為直角頂點(diǎn)，則BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10.解之,得t＝－2.若C為直角頂點(diǎn)，則BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2．解之，得t＝4．若P為直角頂點(diǎn)，則PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18．解之，得t1＝，t2＝．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P共有四個(gè),分別為(－1，－2),(－1，4),(－1，),(－1，)．…10分與相似三角形性質(zhì)有關(guān)的綜合題（2016?湖州）如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，1），點(diǎn)C（0，4），頂點(diǎn)為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)D，交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B，連結(jié)BC．（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移m（m＞0）個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍；（3）點(diǎn)P是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P，點(diǎn)C，點(diǎn)M所構(gòu)成的三角形與△BCD相似，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果，不必寫解答過(guò)程）．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)．【分析】（1）將點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求出b、c的值，通過(guò)配方法得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M是沿著對(duì)稱軸直線x=1向下平移的，可先求出直線AC的解析式，將x=1代入求出點(diǎn)M在向下平移時(shí)與AC、AB相交時(shí)y的值，即可得到m的取值范圍；（3）由題意分析可得∠MCP=90°，則若△PCM與△BCD相似，則要進(jìn)行分類討論，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB兩種，然后利用邊的對(duì)應(yīng)比值求出點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）把點(diǎn)A（3，1），點(diǎn)C（0，4）代入二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c得，解得∴二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+2x+4，配方得y=﹣（x﹣1）2+5，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，5）；（2）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A（3，1），C（0，4）代入得，解得∴直線AC的解析式為y=﹣x+4，如圖所示，對(duì)稱軸直線x=1與△ABC兩邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F把x=1代入直線AC解析式y(tǒng)=﹣x+4解得y=3，則點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，1）∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；（3）連接MC，作MG⊥y軸并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)N，則點(diǎn)G坐標(biāo)為（0，5）∵M(jìn)G=1，GC=5﹣4=1∴MC==，把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，則點(diǎn)N坐標(biāo)為（﹣1，5），∵NG=GC，GM=GC，∴∠NCG=∠GCM=45°，∴∠NCM=90°，由此可知，若點(diǎn)P在AC上，則∠MCP=90°，則點(diǎn)D與點(diǎn)C必為相似三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)①若有△PCM∽△BDC，則有∵BD=1，CD=3，∴CP===，∵CD=DA=3，∴∠DCA=45°，若點(diǎn)P在y軸右側(cè)，作PH⊥y軸，∵∠PCH=45°，CP=∴PH==把x=代入y=﹣x+4，解得y=，∴P1（）；同理可得，若點(diǎn)P在y軸左側(cè)，則把x=﹣代入y=﹣x+4，解得y=∴P2（）；②若有△PCM∽△CDB，則有∴CP==3∴PH=3÷=3，若點(diǎn)P在y軸右側(cè)，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；若點(diǎn)P在y軸左側(cè)，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7∴P3（3，1）；P4（﹣3，7）．∴所有符合題意得點(diǎn)P坐標(biāo)有4個(gè)，分別為P1（），P2（），P3（3，1），P4（﹣3，7）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)解析式及相似三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論三角形相似的不同情況，結(jié)合特殊角的使用來(lái)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．二次函數(shù)與圓的性質(zhì)有關(guān)的綜合題（2016?巴中第31題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=mx2+4mx﹣5m（m