2020-2021學年重慶市縉云教育聯(lián)盟高一年級上冊期末數(shù)學試卷(含解析)

2020-2021學年重慶市縉云教育聯(lián)盟高一上學期期末數(shù)學試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分)

1.已知集合盤1-X寓幅圜，集合圈=｛氣-粒網(wǎng)，貝U/U感=()

A.《―%一額蜷,%-堂，—鼠鼠線B.￡—落^

C.『％一筆,一駕順，招用D.《巧,一鳴一罷懸常國

2.已知4a=V2,Igx=a,則％=()

A.10B.100C.V10D.io4

3,函數(shù)y=ln(%2一4刀+3)的單調(diào)減區(qū)間為()

A.(2,+oo)B.(3,+8)C.(-oo,2)D.(-co,l)

4.設(shè)五是非零向量，4是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()

A.N與—2五的方向相反B.\-Aa\>\a\

C.五與MN的方向相同D.|—4初=|田五

5.設(shè)等差數(shù)列皿隗｝的前n項和為篦、，町，若￡=搐，則導(dǎo)

A博口博小嚼「B

■?.蚪.詞■11

6.已知數(shù)列｛a“｝是公差為d的等差數(shù)列，Sn為其前幾項和，若54=5,Sz=|,則公差d=()

77

A.4B.1C.4D.;2

7.在正方體AC1中，E、尸分別為48和CO的中點，則異面直線&E與BF所成角的余弦值為()

A.B.|C.一:或：D.5

555510

8.設(shè)a>0,在二項式(a-?)1。的展開式中，含％的項的系數(shù)與含%’的項的系數(shù)相等，則a的值為

()

A.1B.2C.4D.8

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.如圖，在邊長為1的正方體4BCD—4B'C'D'中，M為BC邊的中

點，下列結(jié)論正確的有()

A.AM與D'B'所成角的余弦值為答

B.過三點4、M、D'的正方體4BCD—4B'C'D'的截面面積為這

4

C.四面體A'C'BD的內(nèi)切球的表面積為g

D.正方體4BCD—AB'C'D'中，點P在底面(所在的平面)上運動并且使NM2C'=Z.PAC',

那么點P的軌跡是橢圓

222

10.已知拋物線C]：y=2x,C2：y=2ax(a>0),C3：y=2bx(b>0),若直線I：y=kx

與Ci交于0,A兩點、與。2交于0,B兩點、與C3交于。，M兩點，則下列說法正確的是()

A/=等時，|0陽=若但

B.b=時，\OM\2=\OA\-\OB\

C-b=*時，兩=兩+兩

D.6=后時，|OM『=

11.設(shè)正實數(shù)a,b滿足a+b=l,則下列選項中，正確的有()

A.y[ab<|B.<4C.+y[b<V2D.a2+￡>2>|

12,設(shè)有一組圓嬴：(x—k)2+(y—1)2=心，k70,下列四個命題正確的是()

A.存在keN*,使得圓氤與y軸相切

B.存在keN*,使得圓。與圓嬴+i有公共點

C.存在一條直線與所有的圓均相交

D.存在kGN*,使得圓嬴經(jīng)過原點

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.數(shù)學試卷由25道選擇題組成，每道選擇題有4個選項，其中有且僅有1個選項是正確的.每題選

對得4分，不選或選錯不得分，滿分為100分.某學生選對任一題的概率為0.8,則該學生在這次

數(shù)學測驗中的成績的期望值為.

14.15.過拋物線y2=4ax(a>0)的焦點F做斜率為m1的直線3與拋物線交于M,N兩點，點M在％

15.若圓錐的側(cè)面積為4兀，底面積為2兀，則該圓錐的母線長為.

16.已知函數(shù)/。)是指數(shù)函數(shù)，如果f(3)=9f(l),那么f(8)/(4)(請在橫線上填寫“>”，

“=”或“<”)

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

-1-1

17,已知%為正項數(shù)列｛a九｝的前幾項和，且滿足S九=鼻嗎+5%p(7iEN+),

(1)求。2及數(shù)列九｝的通項公式，

1

(2)求數(shù)歹!j｛至｝的前n項和巴.

18.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且atcmB=可，bsinA=4.

(I)求0058和邊長a；

(II)若4ABC的面積S=10,求cos4c的值.

19.如圖，已知S是平行四邊形4BCD所在平面外一點，M,N分別是S4

上的點，MN=5,AB=AD=SB=SA=6,且*=器=；.

SMNB2

(1)求MN與BC所成的角的余弦值；

(2)求證：MN〃平面SBC.

20.已知函數(shù)/(x)=—/++。(0,人eR).

(1)若函數(shù)/(%)的圖象上任意兩個不同點的連線的斜率小于1,求證：-百WaW,;

(2)若xe(0,1],且函數(shù)f(x)的圖象上任意一點處的切線的斜率為k,試證明當岡<1時，1WaWV3.

21.已知橢圓C：《+《=l(a>b>0)經(jīng)過點(0,迎)，且離心率為當.

(I)求橢圓C的方程；

(H)設(shè)4B是橢圓C的左，右頂點，P為橢圓上異于4B的一點，以原點。為端點分別作與直線2P和

BP平行的射線，交橢圓C于M,N兩點，求證：A0MN的面積為定值.

22.為了倡導(dǎo)健康、低碳、綠色的生活理念，某市建立了公共自行車服務(wù)系統(tǒng)鼓勵市民租用公共自

行車出行，公共自行車按每車每次的租用時間進行收費，具體收費標準如下：

①租用時間不超過1小時，免費;

②租用時間為1小時以上且不超過2小時，收費1元；

③租用時間為2小時以上且不超過3小時，收費2元；

④租用時間超過3小時的時段，按每小時2元收費(不足1小時的部分按1小時計算).

已知甲、乙兩人獨立出行，各租用公共自行車一次，兩人租車時間都不會超過3小時，設(shè)甲、乙租用

時間不超過1小時的概率分別是0.4和05租用時間為1小時以上且不超過2小時的概率分別是0.5

和0.3.

(I)求甲、乙兩人所付租車費相同的概率；

(H)設(shè)甲、乙兩人所付租車費之和為隨機變量求f的分布列和數(shù)學期望Ef

參考答案及解析

1.答案：C

解析：豆_御=時第闡，或落電黜，即把集合人和集合8中的元素寫在一起，重復(fù)的只寫一個.

集合的并集.

2.答案：D

解析：解：???4。=夜，

1

???a=-；

4

又?：Igx=a,

i

?1?x=410=101；

故選。.

由指數(shù)式4a=&可解得a=4從而再由Zgx=a可得％=410=10J.

本題考查了指數(shù)式與對數(shù)式的化簡與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.答案:D

解析：解：令t=/-4%+3>0,求得x<1,或x>3,故函數(shù)的定義域為｛久|x<1,或x>3｝,

且y=Int.

故本題即求函數(shù)t在定義域｛x|x<1,或x>3｝上的減區(qū)間.

再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得t在定義域｛x|x<1,或x>3｝上的減區(qū)間為(-00,1),

故選：D.

令1=久2—4%+3>0,求得函數(shù)的定義域，且y=dt,本題即求函數(shù)t在定義域上的減區(qū)間，再利

用二次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論.

本題主要考查對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)

題.

4.答案:C

解析：

本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)對每一個選項進行討論，以便得出正確的判斷，是基礎(chǔ)

題.

討論4>0或4<0時，1與一4N的方向問題，判斷A錯誤；

討論㈤21或陽<1時，|-%初與|五|的大小，判斷8錯誤；

由I-a項是實數(shù)，H五是向量，從而判斷。錯誤.

解：對于44>0時，五與—4方的方向相反，4<0時，五與-43的方向相同，二選項A錯誤;

對于B,|川21時，|—2初2|田，|川<1時，|—幾口<|町，.??選項8錯誤；

對于C,H0,.,.五與萬日的方向相同，選項C正確；

對于D,1—2初是實數(shù)，因方是向量，二者不相等，二選項D錯誤.

故選：C.

5.答案：A

螂?用書:即j

解析：試題分析：依據(jù)等差數(shù)列求和公式可得并言=奈=建而總、

考點：等差數(shù)列性質(zhì)及求和

點評：等差數(shù)列性質(zhì)：若懶舊梟=解開圖則跟號:%.=嘎+%,求和公式就=鱉±遐，本題是

A

求和公式的反用，學生不易想到

6.答案：D

解析：解：,??數(shù)列。｝是公差為d的等差數(shù)列，S”為其前幾項和，54=5,S2=l，

S4=4alH——d=5

，解得的=I，d1

$2=2%+乎=|2

故選：D.

利用等差數(shù)列前幾項和公式，列出方程組，求出公差即可.

本題考查等差數(shù)列的求和公式，考查運算能力，是基礎(chǔ)題.

7.答案：B

解析：解：連接ED,由正方體的性質(zhì)知

???異面直線&E與BF所成角是乙41E。，

設(shè)正方體的棱長是1,

ArD=V2,ArE—ED=J,

-+--21

???由余弦定理知cos乙生EO=2：良但=-

\4X\4

8C

故選B.

要求兩條異面直線所成的角，根據(jù)正方形的性質(zhì)作出ED,則完成了直線的平移，把兩條異面直線放

到具有公共點的位置，得到兩條異面直線所成的角，在三角形中利用余弦定理得到結(jié)果.

本題考查異面直線所成的角，本題是一個典型的題目，通過平移得到角，在一個可解的三角形中求

出角，按照一畫二證三求的過程.

8.答案：A

10rrr10r

解析：解：展開式的通項為=Cf0a-(-Vx)=(-l)C[0a-X2

???含x的項的系數(shù)與含一的項的系數(shù)相等，

81082102

.-.(-l)Cf0a-=(-l)C^0a-,

a=1.

故選：A.

利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數(shù)為L4求出r的值，根據(jù)含式的項的系數(shù)

與含產(chǎn)的項的系數(shù)相等，代入通項求出a的值.

本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題，考查學生的計算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

9.答案：AC

解析：解:以4為坐標原點,以20,A'B',44為坐標軸建立

空間直角坐標系4一xyz,

則2(0,0,1),D'(IOO),B'(0,l,0),

■■.AM=(|,l,0),W=(-1,1,0)-

-7^7/；、AM-DrBrV10

??.cos<4M，DnBn

X

AM與D'B'所成角的余弦值為理，故A正確；

10

取CC'的中點N,則MN〃BC7/a。，故梯形MND'a為過4、M、?的正方體的截面，

???MN=—,AD'=V2,AM=D'N=在，；.梯形MNOZ的高為電—(務(wù)=斗,

22-x/4V4J2V2

???梯形MN。N的面積為；X(a+當x*3故2錯誤；

222V28

111

四面體A'C'B。的體積為曝方體—^D-AiCiDi=1_4x-x-xlxlxl=-,

又四面體a'C'BD的所有棱長均為近，.?.四面體AC'BD的表面積為4XfX(V2)2=2百，

設(shè)四面體A'C'BD的內(nèi)切球半徑為r,則Ix2bxr=g解得r=心，

.??四面體AC'BD的內(nèi)切球的表面積為4兀產(chǎn)=；,故c正確；

???AMAC=APAC,二P點在以4C'為軸，以4M為母線的圓錐的側(cè)面上，

方=(LL-1)，前=&1,0)，故cosNM4C，=^gi=W，

設(shè)AC'與平面AB'C'D'的夾角為a,則cosa=cos乙4c0=吧=*=漁〉道，

AC'V335

???a</.MAC,

??.P點在平面AB'C'D'上的軌跡是雙曲線，故。錯誤.

故選：AC.

建立空間坐標系，利用向量計算4M與D'B'所成角的余弦值判斷4,利用面面平行性質(zhì)作出過4M,

。的截面，再計算截面面積判斷以根據(jù)等體積法計算棱錐的內(nèi)切求半徑，計算球的表面積

判斷C,計算4C'與平面AB'C'D'的夾角a,根據(jù)a與NM4C'的大小關(guān)系判斷D.

本題考查空間直線所成角、線面角的計算，考查棱錐與球的位置關(guān)系，屬于難題.

10.答案：ABD

解析：解：聯(lián)立，丁之可得^/=2%,所以可得4(高俞

同理可得B瑙爺,M登的,

4中，6=彳，所以可得2b=a+L

因為|0M|=J答+答=|?Vl+fc2-

呵。川二總總:表VT手正1陽二后至二居^^，

所以I。川+防=鬻6m=[vrm=|。叼,所以A正確；

2k2k211

B中，由b=^,所以所二心因為|0M『=等(1+卜2)=覆1+1),

而|0川.|0B|="亦啜行較7=黃1+1),

所以|0"|2=|。川?|0B],所以B正確;

2a所以"1+a訴|、j1_k2_(l+a)fc2

C中，b22

1+a2a'所-2by/l+k-4aVl+fc

k2,k2(l+a)k2

而自+必-------------|—-----------------------------------

2V1+/C22a51+H2aVl+/c2

顯然兩大兩+兩，所以c不正確;

。中，b=上空所以b2=l1￡,

\22

所以|0M『=(J答+答)2=瑙VTTW==2弋”2),

cc4(l+fc2),4a2(l+k2)-c

而|O4『+|OB『=-^1—+心=2(1+。2)。+用),

2-2—心

所以|?！皘2=I。川所以。正確.

故選：ABD.

將直線，與3個拋物線聯(lián)立求出4B,M的坐標，分別由給出的b與a的關(guān)系求出|0M|,|04|,|0B|的

值，進而判斷所給命題的真假.

本題考查直線與拋物線相交求交點的方法及兩點間的距離的求法，命題的真假的判斷方法，屬于中

檔題.

11.答案：ACD

解析:

本題考查的知識要點：不等式的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及

思維能力，屬于一般題.

直接利用不等式的性質(zhì)和基本不等式的應(yīng)用判斷4、B、C、。的結(jié)論.

解：對于2：由于正實數(shù)a,b滿足a+b=l,則CI+622AO，所以當且僅當a=b=3時

等號成立，故A正確；

對于&l+l=(a+bX-+-)=2+-+->2+2陣=4,當且僅當2=，即a=b=?時等號成

立，故2錯誤；

對于C：若仿+VFwV^，則a+b+2VHFw2,由于a+b=l,所以由人可知正確，故C

正確;

對于D：由于2(。2+匕2)2(a+b)2,所以a2+b22a當且僅當a=b=之時等號成立，故。正確；

故選：ACD.

12.答案：AC

解析：解：對于4當圓麻與y軸相切時，|k|=1,解得卜=0或1,故A正確；

對于B：當圓品:和圓嬴+1的圓心距為1時，兩圓的半徑之差為(k+-1=2k+1>1,故兩圓內(nèi)

含，故B錯誤；

對于C：因為所有的圓的圓心均在定直線y=l上，所以當直線y=l時，他與所有的圓的均相交，故

C正確；

對于D：若圓。經(jīng)過原點，所以1+1=a，解得/=萼，無正整數(shù)解，故。錯誤.

故選：AC.

直接利用圓與直線的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，圓與點的位置關(guān)系判斷4B、C、D的結(jié)論.

本題考查的知識要點：圓與直線的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，圓與點的位置關(guān)系，主要考查學

生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于中檔題.

13.答案：80

解析：解：記f表示該學生答對題的個數(shù)，〃表示該學生的得分，貝叼=討，

依題意知，f-5(25,0.8),

所以E(f)=25X0,8=20,

所以E。)=E(4f)=4F(O=80,

故答案為：80.

記f表示該學生答對題的個數(shù)表示該學生的得分，則〃=4f,依題意知§?B(25,0.8),所以得到E(f),

進而把E(〃)求出來便可得到答案.

本題考查離散型隨機變量的期望，特別是二項分布的期望和方差的計算公式，一定注意分清題目的

含義，考查學生綜合運用知識解決問題的能力.

14.答案:3

解析:

根據(jù)題意可以作g,設(shè)閘='網(wǎng)="則阿=川

x_1囤=3

所以二3二3,解得芯=2,所以卜耳.

15.答案：2或

解析：解：圓錐的底面面積=兀xR2=2兀nR=夜；

圓錐的側(cè)面積=2兀x/xLx|=4兀=L=2V2,

故答案是：2版

圓錐的側(cè)面積=之X2;rRXL,底面積=兀xR2,把相應(yīng)數(shù)值代入即可求得L.

本題考查圓錐的側(cè)面積公式及圓的面積公式.

16.答案:=

解析：解：設(shè)/(%)=。*(。>0且aW1),

?/3)=9/(1),

???a3=9a,

a=3,/(8)=38,/(4)=34,

故答案為：>

由/(3)=9/(1)可求a,然后代入求值即可比較大小.

本題主要考查了指數(shù)函數(shù)值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.

17.答案：解：(1)因為S九=［嫌+(九eN+),an>0,

所以%=Si=1嫌+］的,解得%=1；

。2=S2—S］=+!a2—1,解得。2=2,

=aa-aa

由九>2時,an=Sn—S九一11n+|n|n-l|n-l?

aa

化為(Q九+CLn-l)(.n~n-l_1)=0,

由a九+an_r>0,

可得a九-an_i=1,

則a7T=2+n—2=n,對幾=1也成立,

故%l=n,neN*；

i7211

⑵—=」2一=--一=2(-———)

''Snn+nn(n+l)%九+1八

ill11

則&=2(1--+——+…+------)

n'223nn+ly

=2(1--)=—.

'n+lyn+1

解析：(1)可令幾=1,n=2,由%=Sr,a2=S2—S］，解方程可得劭，再由幾22時,an=Sn—Sn-1,

化簡，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，可得所求；

(2)求得1==忌7=2弓1-三1)，再由數(shù)列的裂項相消求和，化簡可得所求和.

本題考查數(shù)列的遞推式的運用，以及等差數(shù)列的通項公式和數(shù)列的裂項相消求和，考查方程思想和

運算能力、推理能力，屬于中檔題.

18.答案：解：(1)因為號=一々，所以asinB=bs譏4=4,

、'sinAsinB

又atanB=吧,即竺也=

3cosB3

o

所以cosB=-；

44

則sinB=tanB=

所以a=x2=5.

J4

-1-i

(11)由5=-acsinB=-x4c=10,得c=5.

又a=5,所以/=C.

所以cos4c=2COS22C-1

=2COS2(4+C)—1

=2cos2B—1

=2x(|)2-1

_7

-25,

解析：(I)首先由正弦定理求出as)8的值，然后利用弦切互化關(guān)系結(jié)合已知條件即可求出cosB,再

由cosB求得sinB、tanB,則求得a；

(n)先由三角形面積公式求出c,則可得a=c,再利用余弦定理把cos4c用a+C的三角函數(shù)表示，

進而用B的三角函數(shù)表示，則問題解決.

本題主要考查正弦定理、弦切互化關(guān)系及余弦的倍角公式.

19.答案：解：(1)在平面S4B中過點M作SB的平行線交4B于E,

連接EM?.為二話，又不=加〃4D,

所以NMNE就是MN與BC所成的角.???努=器=：,AB=AD=SB=SA=6,

SMNB2

..在中，由余弦定理得

?MNEMN=5,ME=2,NE=4,cos/MNE=—40.

(2)由(1)知，ME//SB,ME<t平面SBC,SBu平面SBC,ME〃平面SBC,

vEN//AD,ADIIBC,EN//BC,ENC平面SBC,BCu平面SBC,EN〃平面SBC,

???ENu平面MNE,MEu平面MNE,ENCME=E,平面MNE〃平面SBC.

???MNu平面MNE,MN〃平面SBC.

解析：(1)在平面S28中過點M作SB的平行線交48于E,連接EN,說明NMNE就是MN與BC所成的角，

在MNE中，由余弦定理，求解COSNMNE.

(2)證明M￡7/平面SBC,EN〃平面SBC,推出平面MNE〃平面SBC.然后證明MN〃平面SBC.

本題考查直線與平面平行的證明，平面與平面平行的性質(zhì)定理，異面直線所成角的求法.考查空間

想象能力以及計算能力.

20.答案：證明：(1)設(shè)函數(shù)y=/(%)的圖象上任意不同的兩點匕(%1/1)、P2(x2,y2),

不妨設(shè)句>%2,則號<1,即出理也I*<1,

X±-X2xr-x2

.一(%「%2)(好+%1%2+珍+a(%L%2)(%l+%2)/1

%1-％2

整理得好+(%2—。)%1+%2—ax2+1>0,

2

6R,???△=(x2—a)—4(%2—+1)<0，

2

即3底—2ax2—a+4<0,

2

vx26R,???△=4a2—12(—a+4)<0,即M—3<0,

???—V3<a<V3;

(2)k—('(%)=—3x2+2ax,

則當％E[0,1]時,\k\<1—1<—3x2+2ax<1,

0<^<1

￡>1

|f(l)|=-3+2a<1或或13,

Jf(l)I=-3+2a<:Tl|f（l）|=|-3+2a|<1

解得1<a<V3,

故因<1時，1<a<V3.

解析：（1）設(shè)函數(shù)y=/（%）的圖象上任意不同的兩點七（的,%）、「2（X2，%），不妨設(shè)%1>%2，利用圖象

上任意不同的兩點的連線的斜率小于1,推出以+（犯一a）x1+好一ax2+1>0,進一步證明一聲<

a<,成立；

（2）通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)y=f（x）的圖象上的任意一點的切線的斜率為也利用因<1,證明1<

a三百成立即可.

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與切線的斜率的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力，屬中檔題.

21.答案：（1）解：；橢圓5胃+2=1（。>6>0）經(jīng)過點（0,a），且離心率為日，

僅=迎

|=立，解得a=2,b=y/2,

Ia2

la2=b2+c2

29

橢圓c的方程為二+匕=1.

42

（U）證明：設(shè)P（Xo，yo）,NQz,yG，

①N（%2，y2）在％軸同側(cè)，不妨設(shè)>0，x2<0,y1>0,y2>0>則Vo>°，

射線。”的方程為y=三3％,射線ON的方程為y=昌龍,

XQTZXQ-Z

"71=772%1>力=含刀2,且狗+垃1,

%。十zx0—z42

過M,N作%軸的垂線，垂足分別為MlN',

S4WN=S四娜A/MW—S&CZW-S&CNN

1

=2[31+、2)(%1-%2)-+x2y2]

11yo%2y0%i)

-(xy-xy)=-(x-X

12211-%-0---22,%o+2

-1X-]X?-4=y—o=-1XyXy---4yo=-=-x—1

12?12212?

2就-42-2yoy0

過+城=1

由42，得呼+2(熬打)2=4,

%=上/Xo+2

八配+21

4(&+2)24(&+2)2

即斕==2+&,

(%0+2)2+2據(jù)(/+2)2+4-好

同理得指=2-％o，

???%i%2=4—%o=2羽,即％i%2=—V2y0,

S〉OMN=V2.

②若N(%2，y2)在K軸異側(cè)，則M與Ni(尺,％)在y軸同側(cè)，由①知S^MN1=企，

易知S^OMN=S^OMNI，得S^OMN=迎,

綜合①②，4OMN的面積為定值夜?

解析：本題考查橢圓方程的求法，直線和橢圓的位置關(guān)系，橢圓中的定值問題，屬于較難題.

(I)由橢圓經(jīng)過點(0,a),且離心率為號，列出方程給求出a,b,由此能求出橢圓C的方程.

(n)當M與N在%軸同側(cè)時，過M,