電子科大數(shù)值分析實驗

第第頁電子科大數(shù)值分析實驗數(shù)值分析試驗作業(yè)

試驗報告

一、試驗內(nèi)容:

〔1〕對高階多多項式

20

p(*)(*1)(*2)(*20)

(*k)

k1

編程求下面方程的解

p(*)*

19

0

并繪圖演示方程的解與擾動量的關(guān)系。

〔2〕對n2~20，生成對應(yīng)的Hilbert矩陣，計算矩陣的條件數(shù)；通過先確定解獲得常向量b的方法,確定方程組

Hn*b

最末，用矩陣分解方法求解方程組，并分析計算結(jié)果。〔3〕對函數(shù)

f(*)

1125*

2

*[1,1]

的Chebyshev點

*kcos(

(2k1)2(n1)

)

k1,2,...,n1

編程進行Lagrange插值，并分析插值結(jié)果。

二、試驗過程：

試驗一：a.試驗方案：

先創(chuàng)建一個20*50的零矩陣*，然后利用Matlab中的roots〔〕和poly〔〕函數(shù)將50個不同的ess擾動值所產(chǎn)生的50個解向量分別存入*矩陣中。然后再將ess向量分別和*的20個行向量繪圖。即可直觀的看出充分小的擾動值會產(chǎn)生特別大的偏差。即證明白這個問題的病態(tài)性。

b.試驗程序：*=zeros(20,50);ve=zeros(1,21);

ess=linspace(0,0.00001,50);k=1;

數(shù)值分析試驗作業(yè)

whilek=50ve(2)=ess(k);

*(1:20,k)=roots(poly(1:20)+ve);k=k+1;endm=1;whilem=20

figure(m),plot(ess,*(m,:));m=m+1;endc.試驗結(jié)果：

數(shù)值分析試驗作業(yè)

數(shù)值分析試驗作業(yè)

d.試驗結(jié)果分析：

由上面的試驗結(jié)果可以看出一個充分小的擾動值可以讓方程的解產(chǎn)生特別大的偏差，而且這個偏差隨著ess的變大偏差也隨即變大。但可以看出在相對小的根處根比較穩(wěn)定，也就是說這些根關(guān)于ess并不敏感，而在較大根處時，根很不穩(wěn)定，即這些解關(guān)于ess的改變是敏感的。這就說明白這個問題本身就是一個病態(tài)問題，與算法好壞無關(guān)。

假設(shè)擾動在*^18處，只要把程序中的ve〔2〕改為ve〔3〕即可，其圖形和此類似。

由上可得出結(jié)論高次多項式擾動求方程解問題是一個病態(tài)問題。試驗二：a.試驗方案：

數(shù)值分析試驗作業(yè)

先創(chuàng)建一個20*20的零矩陣A，再通過給定解*和Hilbert矩陣求出列向量b，然后通過LU分解法求出方程H*=b的解*，然后將*-*’這一行向量存入A矩陣中，形成一循環(huán)，最末，假如Hilbert矩陣非病態(tài)的話，那么可輸出一個20*20的對角矩陣。

b.編寫程序：n=2;

A=zeros(20,20);whilen=20*=1:n;H=hilb(n);b=H**';[LU]=lu(H);y=L\b;*=U\y;A(n,1:n)=*-*';n=n+1;endc.試驗結(jié)果：A=

1.0e+003*

Columns1through10

00000-0.00000.0000000-0.00000.0000000-0.00000.00000000.0000-0.00000000.0000-0.00000000.0000-0.00000.00000000

00

-0.00000

-0.00000

0.00000

0.00000

0.00000

0000.0000-0.0000-0.0000-0.000000000.00000.00000.000000000-0.0000-0.0000

數(shù)值分析試驗作業(yè)

-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.000000

-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000

-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000

-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.0000

-0.00000.0000-0.00000.0000-0.00000.00010.0006-0.00070.0005

0.0000-0.00000.0000-0.00010.00050.0096-0.02230.0348-0.0361

0.0000-0.00000.0000-0.00040.00300.00800.0593-0.25700.5154

0.0000-0.00000.0000-0.00010.00050.0095-0.01710.00860.0347

0.0000-0.00000.0000-0.00000.00030.0059-0.01330.01450.0094

0.0000-0.00000.0000-0.00010.00090.0118-0.01820.00820.0185

0.00000.0000-0.00000.0002-0.0027-0.07620.1806-0.22490.0813

0.00000.0000-0.00000.0001-0.0017-0.04970.1224-0.16990.1064

0.0000-0.00000.0000-0.00030.00280.0371-0.0464-0.01640.1243

Columns11through20

000000000

000000000

000000000

00000-0.0003-0.0027-0.0098-0.0029-0.0016-0.00420.01870.0120-0.01370000

數(shù)值分析試驗作業(yè)

0000

0000000000

0000000000

0000000000

000000000

000000000

000000000

-0.000000000000

-0.00020.00000000000

0.0238-0.00910.0015000000

-0.60910.4336-0.17270.029600000

-0.09440.1170-0.08240.0318-0.00530000

-0.06240.1107-0.11100.0674-0.02320000

-0.02890.00590.01030.0082-0.0263-0.0042000

0.05240.1690-0.3743-0.18621.09440.6004-0.115600

-0.03270.1652-0.3051-0.04850.7195-0.9387-0.16990.01910

-0.1120-0.04210.08830.0222-0.06280.10130.3783-0.21730.0469

d.試驗結(jié)果分析：

000000000.00350.0181-1.21710.5714-0.2902

數(shù)值分析試驗作業(yè)

當Hilbert矩陣的階數(shù)比較小時，其解*和給定解*偏差不大；但當Hilbert矩陣的階數(shù)變大時，偏差就會變大。這就說明白Hilbert矩陣是一組病態(tài)矩陣，從Matlab運行中的Warning可以看出，其條件數(shù)相當大。

e．試驗結(jié)論：

Hilbert矩陣是一組病態(tài)矩陣，用它來做線性方程的系數(shù)矩陣時，往往會得出與精確解相差較大的解。

試驗三：a.試驗方案：

在區(qū)間[-1，1]上取點，先按Chebyshev取點，即*k=cos〔〔2k-1〕pi/2/〔n+1〕〕取點，然后再進行拉格朗日插值，繪出圖和插值點。而后再進行勻稱取點再拉格朗日插值。將兩種插值結(jié)果進行比較。

b.編寫程序：程序1：fora=1:10b=a+1;forc=1:b

*(c)=cos((2*c-1)*pi/2/(a+1));Y(c)=1/(1+25**(c)^2);*=-1:0.05:1;endm=length(*);fori=1:mz=*(i);s=0;fork=1:bL=1;forj=1:bifj~=k

L=L*(z-*(j))/(*(k)-*(j));endends=s+L*Y(k);endy(i)=s;end

數(shù)值分析試驗作業(yè)

plot(*,y,'r');holdon;figure(2)plot(*,Y,'b*')holdonend程序2：fora=2:2:10b=a+1;

*=linspace(-1,1,b);Y=1./(1+25**.^2);*=-1:0.05:1;

m=length(*);fori=1:mz=*(i);s=0;fork=1:bL=1;forj=1:bifj~=k

L=L*(z-*(j))/(*(k)-*(j));endends=s+L*Y(k);endy(i)=s;endfigure(1)plot(*,y,'r');holdon;figure(2)plot(*,Y,'b*')

數(shù)值分析試驗作業(yè)

end

c.試驗結(jié)果：程序1：

1

0.5

-0.5-1

-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81

數(shù)值分析試驗作業(yè)

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

程序2：

2

1.5

1

0.5

-0.5

-1-1

-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81

數(shù)值分析試驗作業(yè)

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

d.試驗結(jié)果分析：

勻稱插值時，當n比較大時，就會涌現(xiàn)多項式插值的Runge現(xiàn)象，即當插值節(jié)點的個數(shù)n增加時，Lagrange插值多項式對原來函數(shù)的近似并非越來越好。當進行非等