2023-2024學(xué)年湖南省衡陽縣高二數(shù)學(xué)4月份考試卷附答案解析

-2024學(xué)年湖南省衡陽縣高二數(shù)學(xué)4月份考試卷2024.4注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊至選擇性必修第三冊第七章7.4.1.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知，復(fù)數(shù)，則（

）A． B．5 C． D．32．已知函數(shù)圖象的一個對稱中心為，則的解析式可能為（

）A． B．C． D．3．已知隨機(jī)變量，則（

）A． B． C． D．4．甲與10名同學(xué)參加了一場一對一乒乓球友誼賽，這10名同學(xué)中有6名同學(xué)球技一般，有4名同學(xué)球技高超.甲打贏球技一般的同學(xué)的概率為0.9，打贏球技高超的同學(xué)的概率為0.1.甲從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取一名作為對手，則他打贏這場比賽的概率為（

）A．0.54 B．0.58 C．0.60 D．0.645．在中，，則（

）A． B．C． D．6．將一個母線長為，底面半徑為的圓錐木頭加工打磨成一個球狀零件，則能制作的最大零件的表面積為（

）A． B． C． D．7．已知分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，是的右頂點(diǎn)，過的直線與直線交于點(diǎn)，射線與交于點(diǎn)，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)滿足，則（）A．10000 B．10082 C．10100 D．10302二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．2017年至2022年湖南省年生產(chǎn)總量及其增長速度如圖所示，則（

）A．2017年至2022年湖南省年生產(chǎn)總量逐漸增加B．2017年至2022年湖南省年生產(chǎn)總量的極差為14842.3億元C．2017年至2022年湖南省年生產(chǎn)總量的增長速度的眾數(shù)為D．2017年至2022年湖南省年生產(chǎn)總量的增長速度的分位數(shù)為10．已知的內(nèi)角的對邊分別為為線段上的一點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．的面積為11．已知集合滿足，則下列說法正確的是（

）A．若，則中的元素的個數(shù)為1B．若，則中的元素的個數(shù)為15C．若，則中的元素的個數(shù)為45D．若，則中的元素的個數(shù)為78三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．雙曲線的漸近線方程為.13．被17除的余數(shù)為．14．的最小值為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且．(1)求；(2)若，數(shù)列的前項和為，證明：．16．如圖，在正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，且.(1)證明：平面.(2)求平面與平面的夾角余弦值.17．已知是拋物線的焦點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn)，且到直線的距離之和等于.(1)求的方程；(2)若的斜率大于，在第一象限，過與垂直的直線和過與軸垂直的直線交于點(diǎn)，且，求的方程.18．A盒子中有6個小球，B盒子中有8個小球，甲?乙兩人玩摸球游戲，約定：甲先投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若骰子朝上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，則從A盒子中取出2個小球放入B盒子，否則從A盒子中取出3個小球放入B盒子，乙再投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若骰子朝上的點(diǎn)數(shù)大于4，則從B盒子中取出3個小球放入A盒子，否則從B盒子中取出2個小球放入A盒子，整個游戲過程為一個回合.(1)求第一個回合后兩個盒子中小球個數(shù)相同的概率；(2)兩個回合后，記兩個盒子中小球的個數(shù)分別為，求的分布列與期望.19．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求的取值集合；(3)若存在，且，求的取值范圍.1．A【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)相等及復(fù)數(shù)模求解即得.【詳解】由，得，而，因此，所以.故選：A2．D【分析】借助二次函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)逐項計算即可得.【詳解】對A：二次函數(shù)不是中心對稱圖形，故A錯誤；對B：當(dāng)時，，由不是函數(shù)的對稱中心，故不是的對稱中心，故B錯誤；對C：當(dāng)時，，由不是函數(shù)的對稱中心，故不是的對稱中心，故C錯誤；對D：當(dāng)時，，由是函數(shù)的對稱中心，故是的對稱中心，故D正確.故選；D.3．A【分析】利用二項分布的方差公式計算.【詳解】隨機(jī)變量，則.故選：A4．B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合全概率公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，用分別表示甲隨機(jī)選取的選手時球技一般的同學(xué)，球技高超的同學(xué)，用表示甲打贏這場比賽，可得，所以由全概率公式，可得.故選：B.5．D【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的線性運(yùn)算求解即得.【詳解】由，得，整理得.故選：D6．A【分析】原問題可轉(zhuǎn)化為求該圓錐的內(nèi)切球表面積，由圓錐的結(jié)構(gòu)特征可得其內(nèi)切球的半徑與該圓錐過頂點(diǎn)與底面直徑的軸截面的內(nèi)切圓半徑相等，借助等面積法求出該半徑，結(jié)合球的表面積公式即可得.【詳解】原問題可轉(zhuǎn)化為求該圓錐的內(nèi)切球表面積，該內(nèi)切球的半徑與該圓錐過頂點(diǎn)與直徑的軸截面的內(nèi)切圓半徑相等，畫出該軸截面如圖，由母線長為，底面半徑為可得該圓錐的高，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則有，解得，即內(nèi)切球表面積為.故選：A.7．B【分析】結(jié)合題意可得，借助相似三角形的性質(zhì)可得，即可得，，代入橢圓方程計算即可得離心率.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，由，即有，，則，由，即，故，，故有，整理可得，故或（大于1，故舍去），故.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，結(jié)合題意得到的，計算出點(diǎn)坐標(biāo)，再代入橢圓中即可得解.8．C【分析】賦值得到，利用累加法得到，令得到，賦值得到，從而求出答案.【詳解】中，令得，，故，故，其中，①，②，③……，，上面99個式子相加得，，令得，中，令得，故.故選：C9．ABC【分析】根據(jù)給定的條形圖及折線圖，結(jié)合極差、眾數(shù)及分位數(shù)的意義判斷即得.【詳解】對于A，2017年至2022年湖南省年生產(chǎn)總量逐漸增加，A正確；對于B，2017年至2022年湖南省年生產(chǎn)總量的極差為（億元），B正確；對于C，2017年至2022年湖南省年生產(chǎn)總量的增長速度的眾數(shù)為，C正確；對于D，2017年至2022年湖南省年生產(chǎn)總量的增長速度從小到大依次為：，而，所以該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，D錯誤.故選：ABC10．BC【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理和余弦定理，以及三角形的面積公式，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由正弦定理得，因?yàn)椋?，即，所以A錯誤；對于B中，由，可得，可得，由余弦定理，可得，解得，所以B正確；對于C、D中，由，可得，可得，所以，則的面積為，所以C正確，D錯誤.故選：BC.11．BCD【分析】對于A，由集合的定義即可列舉出集合中所有的元素即可判斷；對于B，中的元素均為正奇數(shù)，對分類討論即可驗(yàn)算；對于C，原問題等價于將11個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲?乙?丙3個人，每人至少分1個，利用隔板法即可驗(yàn)算；對于D，原問題等價于將14個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個人，每人至少分1個，利用隔板法驗(yàn)算即可.【詳解】由題意得，所以中的元素的個數(shù)為，A錯誤.由題意得中的元素均為正奇數(shù)，在中，當(dāng)時，有共5個元素，當(dāng)時，有共4個元素，當(dāng)時，有共3個元素，當(dāng)時，有共2個元素，當(dāng)時，有共1個元素，所以中的元素的個數(shù)為，B正確.，可轉(zhuǎn)化為將11個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲?乙?丙3個人，每人至少分1個，利用隔板法可得分配的方案數(shù)為，所以中的元素的個數(shù)為45，C正確.，可轉(zhuǎn)化為將14個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個人，每人至少分1個，利用隔板法可得分配的方案數(shù)為，所以中的元素的個數(shù)為，D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷CD選項的關(guān)鍵是將問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換，并利用隔板法，由此即可順利得解.12．【分析】根據(jù)給定的方程，直接求出漸近線方程即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即.故答案為：13．15【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)得到，再化簡得到，得到答案.【詳解】由題意得，因?yàn)?，所以所求的余?shù)為15．故答案為：1514．【分析】可以看作兩點(diǎn)距離的平方，即可轉(zhuǎn)化為研究直線上的點(diǎn)到曲線的距離的平方的最小值，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可得.【詳解】可以看作兩點(diǎn)距離的平方，動點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，動點(diǎn)在直線上，，當(dāng)曲線在處的切線與平行時，最小，則，得或（負(fù)根舍去），所以切點(diǎn)），到的距離，所以的最小值為.故答案為：.15．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式即可求解；（2）根據(jù)（1）結(jié)論及指數(shù)的運(yùn)算，利用分組求和法、等比數(shù)列的前項和公式及裂項相消法即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，數(shù)列的通項公式為，即.（2）由（1）知，，，，,,.16．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）由（1）的坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即得.【詳解】（1）在正方體中，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，于是，顯然，則，而平面；所以平面.（2）由（1）知平面的一個法向量為，，設(shè)平面的一個法向量，則，取，得，則，所以平面與平面夾角的余弦值是.17．(1)(2)【分析】（1）由因?yàn)榈街本€的距離之和等于，根據(jù)拋物的定義和焦點(diǎn)弦長，列出方程，求得的值，即可求解；（2）設(shè)，聯(lián)立方程組，得到，結(jié)合跑線的焦點(diǎn)弦長得到，再設(shè)，求得，根據(jù)，求得的值，即可求解.【詳解】（1）解：由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，則到準(zhǔn)線的距離之和等于，因?yàn)榈街本€的距離之和等于，可得，解得，所以拋物線的方程為.（2）解：由焦點(diǎn)，可得設(shè)且，聯(lián)立方程組，整理得，則且，所以，設(shè)，由，可得，即，所以，由，可得，代入，可得，解得，所以直線的方程為.18．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）分別計算出每種情況的概率后借助相互獨(dú)立事件的乘法公式計算即可得；（2）分別計算出每個回合的各種情況的概率后，借助相互獨(dú)立事件的乘法公式計算兩個回合的不同情況的概率即可得.【詳解】（1）由題意可得從A盒子中取出2個小球放入B盒子的概率為，從A盒子中取出3個小球放入B盒子的概率也為，從B盒子中取出3個小球放入A盒子的概率為，從B盒子中取出2個小球放入A盒子的概率為，設(shè)、分別表示從盒子和從盒子中拿出個小球放入另一個盒子的情況，則第一個回合后兩個盒子中小球個數(shù)相同的概率為：；（2）一個回合中，從A盒子中取出個小球后再從B盒子中取出個小球的概率為:，此時A盒子、B盒子中分別有個、個小球，從A盒子中取出個小球后再從B盒子中取出個小球的概率為：，此時A盒子、B盒子中分別有個、個小球，從A盒子中取出個小球后再從B盒子中取出個小球的概率為：，此時A盒子、B盒子中分別有個、個小球，從A盒子中取出個小球后再從B盒子中取出個小球的概率為：，此時A盒子、B盒子中分別有個、個小球，即一個回合中，甲盒子中減少一球的概率為，甲盒子中小球數(shù)量不變的概率為，甲盒子中小球數(shù)量增加一個的概率為，設(shè)第一回合中甲盒子中小球減少一球、數(shù)量不變及增加一個的情況分別為,,,第二回合中甲盒子中小球減少一球、數(shù)量不變及增加一個的情況分別為,,,則的可能取值為、、、、，，，，，，即其分布列為：其期望為.19．(1)答案見解析；(2)；(3).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類討論導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)即可得解.（2）由已知可得，再利用（1）的結(jié)論求出函數(shù)的最小值，并構(gòu)造函數(shù)探討函數(shù)最大值即得.（3）根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在和存在零點(diǎn)，再分類討論并借助導(dǎo)數(shù)、零點(diǎn)存在性定理探討零點(diǎn)即得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由，得，遞減，由，得，遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）依題意，，由恒成立，得，則，由（1）知，，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，函數(shù)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)遞減，因此，由恒成立，得，則，所以的取值集合為.（3）由，得，令，依題意，函數(shù)在和上存在零點(diǎn)，求導(dǎo)得，在，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上無零點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，，，則存在，使得，當(dāng)時，，函數(shù)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)遞增，因此，，則函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)時，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函