主成分分析法例子

關(guān)于主成分分析法例子一、主成分分析的基本原理

假定有n個(gè)樣本，每個(gè)樣本共有p個(gè)變量，構(gòu)成一個(gè)n×p階的數(shù)據(jù)矩陣（1）

第2頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天降維處理?。。‘?dāng)p較大時(shí)，在p維空間中考察問(wèn)題比較麻煩。降維是用較少的幾個(gè)綜合指標(biāo)代替原來(lái)較多的變量指標(biāo)，而且使這些較少的綜合指標(biāo)既能盡量多地反映原來(lái)較多變量指標(biāo)所反映的信息，同時(shí)它們之間又是彼此獨(dú)立的。第3頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天定義：記x1，x2，…，xP為原變量指標(biāo)，z1，z2，…，zm（m≤p）為新變量指標(biāo)(2)

第4頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天系數(shù)lij的確定原則：

①zi與zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相互無(wú)關(guān)；②

z1是x1，x2，…，xP的一切線(xiàn)性組合中方差最大者，z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，…，xP的所有線(xiàn)性組合中方差最大者；

……zm是與z1，z2，……，zm－1都不相關(guān)的x1，x2，…xP，的所有線(xiàn)性組合中方差最大者。則新變量指標(biāo)z1，z2，…，zm分別稱(chēng)為原變量指標(biāo)x1，x2，…，xP的第一，第二，…，第m主成分。

第5頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天

從以上的分析可以看出，主成分分析的實(shí)質(zhì)就是確定原來(lái)變量xj（j=1，2，…，

p）在諸主成分zi（i=1，2，…，m）上的載荷

lij（

i=1，2，…，m；

j=1，2，…，p）。從數(shù)學(xué)上可以證明，載荷lij分別是相關(guān)矩陣的m個(gè)較大的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。第6頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、計(jì)算步驟

（一）計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣

rij（i，j=1，2，…，p）為原變量xi與xj的相關(guān)系數(shù)，rij=rji，其計(jì)算公式為：（3）

（4）

第7頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天

（二）計(jì)算特征值與特征向量：

①解特征方程，求出特征值，并使其按大小順序排列；

②

分別求出對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量，要求=1，即，其中表示向量的第j個(gè)分量。第8頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天③

計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率

▲貢獻(xiàn)率:▲累計(jì)貢獻(xiàn)率:

一般取累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)85—95%的特征值所對(duì)應(yīng)的第一、第二、…、第m（m≤p）個(gè)主成分。

第9頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天（6）

④各主成分的得分第10頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、主成分分析方法應(yīng)用實(shí)例表1某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關(guān)數(shù)據(jù)

第11頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天第12頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天步驟如下：（1）將表1中的數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化處理，然后將它們代入公式（4）計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣（見(jiàn)表2）。表2相關(guān)系數(shù)矩陣第13頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天

（2）由相關(guān)系數(shù)矩陣計(jì)算特征值，以及各個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率與累計(jì)貢獻(xiàn)率（見(jiàn)表3）。由表3可知，第一，第二，第三主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率已高達(dá)86.596%（大于85%），故只需要求出第一、第二、第三主成分z1，z2，z3即可。

第14頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天表3特征值及主成分貢獻(xiàn)率

第15頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天

（3）對(duì)于特征值=4.6610，=2.0890，=1.0430分別求出其特征向量l1，l2，l3。第16頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天表4主成分載荷

第17頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天

①第一主成分z1與x1，x5，x6，x7，x9呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x3呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，而這幾個(gè)變量則綜合反映了生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)狀況，因此可以認(rèn)為第一主成分z1是生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的代表。

②第二主成分z2與x2，x4，x5呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x1呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，其中，除了x1為人口總數(shù)外，x2，x4，x5都反映了人均占有資源量的情況，因此可以認(rèn)為第二主成分z2代表了人均資源量。

分析：第18頁(yè),共20頁(yè)，2024年2月25日，星期天顯然，用三個(gè)主成分z1、z2、z3代替原來(lái)9個(gè)變量（x1，x2，…，x9），描述農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，可以使問(wèn)題更進(jìn)一步簡(jiǎn)化、明了。③第三主成分z3，與x8呈顯出的正相關(guān)程