2019年山東省棗莊市中考數(shù)學試卷（解析版）

2019年山東省棗莊市中考數(shù)學試卷

一、選擇題：本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正

確的選項選出來。每小題選對得3分，選錯、不選或選出的答案超過一個均計零分。

1.（3分）（2019?棗莊）下列運算，正確的是（）

A.2x+3y=5xyB.（%-3）2=?-9

C.（xy2）2=/y4D.無6+尤3=苫2

【考點】35：合并同類項；47：幕的乘方與積的乘方；48：同底數(shù)塞的除法；4C：完全

平方公式.

【專題】512：整式.

【分析】直接利用合并同類項法則以及完全平方公式和積的乘方運算法則、同底數(shù)幕的

乘除運算法則分別計算得出答案.

【解答】解：42x+3y,無法計算，故此選項錯誤；

B、（尤-3）2=/-6x+9,故此選項錯誤；

C>（盯2）2=/y4,正確；

D、x6jrx3=x3,故此選項錯誤；

故選：C.

【點評】此題主要考查了合并同類項以及完全平方公式和積的乘方運算、同底數(shù)塞的乘

除運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵.

2.（3分）（2019?棗莊）下列圖形，可以看作中心對稱圖形的是（）

【考點】R5：中心對稱圖形.

【專題】558：平移、旋轉與對稱.

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【解答】解：4不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

8、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

C、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

。、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意.

故選：B.

【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180

度后兩部分重合.

3.（3分）（2019?棗莊）將一副直角三角板按如圖所示的位置放置，使含30°角的三角板的

一條直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊放在同一條直線上，則Na的度數(shù)是

（）

A.45°B.60°C.75°D.85°

【考點】K8：三角形的外角性質(zhì).

【專題】1：常規(guī)題型；552：三角形.

【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出/CGF=/OGB=45°,再利用/a=/O+NOGB

可得答案.

【解答】解：如圖，

VZAC￡>=90°、4=45°,

：.ZCGF=ZDGB=45°,

則/a=/O+/r）GB=30°+45°=75°,

故選：C.

【點評】本題主要考查三角形的外角的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握三角形的內(nèi)角和定理和

三角形外角的性質(zhì).

4.（3分）（2019?棗莊）如圖，一直線與兩坐標軸的正半軸分別交于A,8兩點，P是線段

上任意一點（不包括端點），過點尸分別作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形的

周長為8,則該直線的函數(shù)表達式是（）

A.y--x+4B.y—x+4C.y=x+8D.y--x+8

【考點】F5：一次函數(shù)的性質(zhì)；F8：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；LB：矩形的性質(zhì).

【專題】532：函數(shù)及其圖像.

【分析】設P點坐標為（x,y）,由坐標的意義可知尸C=x,PD=y，根據(jù)圍成的矩形的

周長為8,可得到x、y之間的關系式.

【解答】解：如圖，過尸點分別作尸?？谳S，PCL軸，垂足分別為。、C,

設P點坐標為（x,y）,

點在第一象限，

.,.PD=y,PC=x,

,矩形PDOC的周長為8,

：.2（x+y）=8,

；.x+y=4,

即該直線的函數(shù)表達式是y=-x+4,

故選：A.

【點評】本題主要考查矩形的性質(zhì)及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，直線上任意一點的

坐標都滿足函數(shù)關系式＞=日+瓦根據(jù)坐標的意義得出x、y之間的關系是解題的關鍵.

5.(3分)(2019?棗莊)從-1、2、3、-6這四個數(shù)中任取兩數(shù)，分別記為機、n,那么點

(m,n)在函數(shù)＞=2圖象的概率是()

X

A.1B.1C.1D.工

2348

【考點】G6：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；X6：列表法與樹狀圖法.

【專題】534：反比例函數(shù)及其應用；543：概率及其應用.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可得出相〃=6,列表找出所有mn的值，根

據(jù)表格中："〃=6所占比例即可得出結論.

【解答】解：：點(m,n)在函數(shù)y=且的圖象上，

??H1KI~~6.

123

故選：B.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及列表法與樹狀圖法，通過列表

找出mn=6的概率是解題的關鍵.

6.(3分)(2019?棗莊)在平面直角坐標系中，將點A(1,-2)向上平移3個單位長度，

再向左平移2個單位長度，得到點火，則點火的坐標是()

A.(-1,1)B.(-1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)

【考點】Q3：坐標與圖形變化-平移.

【分析】根據(jù)向左平移橫坐標減，向上平移縱坐標加求解即可.

【解答】解：?.?將點A(1,-2)向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度，

得到點A，,

...點A'的橫坐標為1-2=-1,縱坐標為-2+3=1,

：.A'的坐標為(7,1).

故選：A.

【點評】本題考查了坐標與圖形變化-平移，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加,

左移減；縱坐標上移加，下移減.

7.（3分）（2019?棗莊）如圖，點E是正方形ABC。的邊DC上一點，把△AOE繞點A順

時針旋轉90°到的位置.若四邊形AECF的面積為20,DE=2,則AE的長為（）

C.6D.276

【考點】LE：正方形的性質(zhì)；R2：旋轉的性質(zhì).

【專題】556：矩形菱形正方形；558：平移、旋轉與對稱.

【分析】利用旋轉的性質(zhì)得出四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積，進而可求

出正方形的邊長，再利用勾股定理得出答案.

【解答】解：：4ADE繞點A順時針旋轉90°到的位置.

四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于20,

：.AD=DC=2-/5>

；DE=2,

A￡=22=2

.?.RtZXAOE中，JAD+DE^

故選：D.

【點評】本題主要考查了旋轉的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，正確利用旋轉的性質(zhì)得出對應

邊關系是解題關鍵.

8.（3分）（2019?棗莊）如圖，在邊長為4的正方形A8C。中，以點8為圓心，A8為半徑

畫弧，交對角線8。于點E,則圖中陰影部分的面積是（結果保留TT）（）

D.8-Lt

B.16-2TTC.8-2n

2

【考點】LE：正方形的性質(zhì)；MO：扇形面積的計算.

【專題】55C：與圓有關的計算.

【分析】根據(jù)5陰=5A43。-S扇形R4后計算即可.

【解答】解：SBJ=SAABD-S扇形BAE=LX4X4-必"兀’4=&-2互，

2360

故選：C.

【點評】本題考查扇形的面積的計算，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會用分割

法求陰影部分面積.

9.（3分）（2019?棗莊）如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形ABC的頂點A、B分

別在無軸、y軸的正半軸上，ZABC=90°,CA_Lx軸，點C在函數(shù)y=k（x>0）的圖

x

象上，若AB=1,則4的值為（）

VA

【考點】G6：反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征；KW：等腰直角三角形.

【專題】534：反比例函數(shù)及其應用；554：等腰三角形與直角三角形.

【分析】根據(jù)題意可以求得和AC的長，從而可以求得點C的坐標，進而求得k的值，

本題得以解決.

【解答】解：.等腰直角三角形ABC的頂點A、B分別在無軸、y軸的正半軸上，ZABC

=90°,CAJ_x軸，AB=1,

：.ZBAC=ZBAO=45°,

：.OA=OB=注AC=E

2

點C的坐標為（華，我），

:點C在函數(shù)y=k（x>0）的圖象上,

仁華X亞=1，

故選：A.

【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形，解答本題的關鍵

是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答.

10.（3分）（2019?棗莊）如圖，小正方形是按一定規(guī)律擺放的，下面四個選項中的圖片,

適合填補圖中空白處的是（）

A.

【考點】38：規(guī)律型：圖形的變化類.

【專題】2A：規(guī)律型.

【分析】根據(jù)題意知原圖形中各行、各列中點數(shù)之和為10,據(jù)此可得.

【解答】解：由題意知，原圖形中各行、各列中點數(shù)之和為10,

符合此要求的只有

故選：D.

【點評】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解題的關鍵是得出原圖形中各行、各列中點數(shù)

之和為10.

11.（3分）（2019?棗莊）點。，A,B,C在數(shù)軸上的位置如圖所示，。為原點，AC=1,

OA=OB.若點C所表示的數(shù)為a,則點8所表示的數(shù)為（）

A.-（ci+1）B.-（a-l）C.a+1D.a~1

【考點】13：數(shù)軸.

【專題】511：實數(shù)；61：數(shù)感.

【分析】根據(jù)題意和數(shù)軸可以用含。的式子表示出點8表示的數(shù)，本題得以解決.

【解答】解：為原點，AC=1,04=08,點C所表示的數(shù)為a,

點A表示的數(shù)為a-1,

...點8表示的數(shù)為：-（a-1）,

故選：B.

【點評】本題考查數(shù)軸，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答.

12.（3分）（2019?棗莊）如圖，將△ABC沿8c邊上的中線AD平移到B'C的位置.已

知AABC的面積為16,陰影部分三角形的面積9.若A4'=1,則A'。等于（）

A.2B.3C.4D.—

2

【考點】Q2：平移的性質(zhì).

【專題】558：平移、旋轉與對稱.

【分析】由SA4BC=16、EF=9且為BC邊的中線知SAA，DE=LSAA，EF=2,5A

22

ABD=^S^ABC=S,根據(jù)△以'ES/XD48知（A」）2=DE,據(jù)此求解可得.

2ADS△砌

【解答】解：：SAABC=16、SAA，EF=9,且4。為BC邊的中線，

.191

?"5AA'DE=—SAA'EF——>S^ABD=—S^ABC=8>

222

:將△ABC沿BC邊上的中線AD平移得到△ABC,

"E//AB,

Es^DAB,

旦

則（紅）2=S”DE,即（A，D）2=Zq,

ADAABDA'D+l816

解得4D=3或A'￡）=-▲（舍），

7

故選：B.

【點評】本題主要平移的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)與三角形中線的

性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點.

二、填空題：本大題共6小題，滿分24分。只填寫最后結果，每小題填對得4分。

13.（4分）（2019?棗莊）若機-1=3,則川+_1_=11.

rom2

【考點】4C：完全平方公式.

【專題】12：應用題.

【分析】根據(jù)完全平方公式，把已知式子變形，然后整體代入求值計算即可得出答案.

【解答】解：：（m'）=瘍-2+3=9,

min2

"戶+_1_=11,

2

in

故答案為11.

【點評】本題主要考查了完全平方公式的運用，把已知式子變形，然后整體代入求值計

算，難度適中.

14.（4分）（2019?棗莊）已知關于x的方程蘇+法-3=0有兩個不相等的實數(shù)根，則°的

取值范圍是■且aWO.

【考點】AA：根的判別式.

【專題】521：一次方程（組）及應用.

【分析】由方程有兩個不相等的實數(shù)根，則運用一元二次方程a?+bx+c=O（aWO）的根

的判別式是b2-4ac>0即可進行解答

【解答】解：由關于x的方程辦2+法-3=0有兩個不相等的實數(shù)根

得△=%2-4ac=4+4X3a>0,

解得a>.X

3

貝I]a>-XjlaWO

3

故答案為a>」且aWO

3

【點評】本題重點考查了一元二次方程根的判別式，在一元二次方程ajC+bx+c=Q（a#0）

中，（1）當△>?時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當△=（）時，方程有兩個相等的

實數(shù)根；（3）當△<（）時，方程沒有實數(shù)根.

15.（4分）（2019?棗莊）如圖，小明為了測量校園里旗桿A8的高度，將測角儀CD豎直放

在距旗桿底部B點6m的位置，在D處測得旗桿頂端A的仰角為53°,若測角儀的高度

是1.5機，貝U旗桿48的高度約為9.5加精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.80,cos53°

仁0.60,tan53°仁1.33)

A

【考點】TA：解直角三角形的應用-仰角俯角問題.

【專題】55：幾何圖形.

【分析】根據(jù)三角函數(shù)和直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：過。作。

???在D處測得旗桿頂端A的仰角為53°,

AZADE^53°，

:BC=DE=6m,

；.AE=r)E?tan53°心6X1.3327.987”,

：.AB=AE+BE=AE+CD=1.98+1.5=9A8m^9.5m,

故答案為：9.5

【點評】此題考查了考查仰角的定義，要求學生能借助俯角構造直角三角形并解直角三

角形.注意方程思想與數(shù)形結合思想的應用.

16.（4分）（2019?棗莊）用一條寬度相等的足夠長的紙條打一個結（如圖1所示），然后輕

輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形ABCDE.圖中，/8AC=36度.

圖1圖2

【考點】L3：多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】16：壓軸題.

【分析】利用多邊形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：.NA8C=（5七.）x1800=1,AABC是等腰三角形，

5

NBAC=ZBCA=36度.

【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì).

〃邊形的內(nèi)角和為:180°-2）.

17.（4分）（2019?棗莊）把兩個同樣大小含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中

一個三角尺的銳角頂點與另一個三角尺的直角頂點重合于點A,且另外三個銳角頂點B,

C,D在同一直線上.若AB=2,則CD=巫-血.

【考點】KQ：勾股定理；KW：等腰直角三角形.

【專題】554：等腰三角形與直角三角形.

【分析】先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出BC=2?BF=AF=?再利用勾股定理

求出。凡即可得出結論.

【解答】解：如圖，過點A作APL8C于R

在RtZXABC中，ZB=45°,

:兩個同樣大小的含45°角的三角尺，

:.AD=BC=2M，

在F中，根據(jù)勾股定理得，止=〃口2_人尸2=注,

：.CD=BF+DF-BC=V2+V6-2%=遍-、匹，

故答案為：V6-V2.

E

A

【點評】此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題

的關鍵.

18.（4分）（2019?棗莊）觀察下列各式:

(1-1),

2

【考點】37：規(guī)律型：數(shù)字的變化類；73：二次根式的性質(zhì)與化簡.

【專題】514：二次根式.

【分析】根據(jù)題意找出規(guī)律，根據(jù)二次根式的性質(zhì)計算即可.

22320182019

=2018+1-1-+A--L+L-…+—1---1—

2233420182019

=川13---，,

2019

故答案為：2018^11.

2019

【點評】本題考查的是二次根式的化簡、數(shù)字的變化規(guī)律，掌握二次根式的性質(zhì)是解題

的關鍵.

三、解答題：本大題共7小題，滿分60分.解答時，要寫出必要的文字說明、證明過程或

演算步驟。

19.（8分）（2019?棗莊）先化簡，再求值：一—個（工+1）,其中尤為整數(shù)且滿足不等

x2-lx-1

式組卜-R'

15-2x>-2.

【考點】6D：分式的化簡求值；CB：解一元一次不等式組；CC：一元一次不等式組的

整數(shù)解.

【專題】513：分式.

【分析】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再解不等式組求出其整數(shù)解,

繼而代入計算可得.

【解答】解:原式二

(x+1)(x-1)X-1X-1

-x2.x-1

(x+1)(x-1)x

_X

x+1'

解不等式組卜-1>1'得2<xW工,

15一一2.2

則不等式組的整數(shù)解為3,

當x=3時，原式=2=二.

3+14

【點評】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的混合運算順序和運算

法則及解一元一次不等式組的能力.

20.（8分）（2019?棗莊）如圖，8。是菱形A8CZ）的對角線，ZCBD=75°,

（1）請用尺規(guī)作圖法，作AB的垂直平分線ER垂足為E,交于尸；（不要求寫作法,

保留作圖痕跡）

（2）在（1）條件下，連接3R求NQ8F的度數(shù).

【考點】KG：線段垂直平分線的性質(zhì)；L8：菱形的性質(zhì)；N2：作圖一基本作圖.

【專題】555：多邊形與平行四邊形.

【分析】(1)分別以4B為圓心，大于LIB長為半徑畫弧，過兩弧的交點作直線即可;

2

(2)根據(jù)尸/ABb計算即可；

(2):四邊形ABC。是菱形，

AZABD=ZDBC=^-ZABC=15°,DC//AB,ZA=ZC.

2

AZABC=150°,ZABC+ZC=180°,

.,.NC=/A=30°,

垂直平分線段AB,

C.AF^FB,

：.ZA=ZFBA=30°,

；./DBF=/ABD-NFBE=45°.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識，解

題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于?？碱}型.

21.(8分)(2019?棗莊)對于實數(shù)a、b,定義關于“⑤”的一種運算：a0b=2a+b,例如

3(8)4=2X3+4=10.

(1)求4⑤(-3)的值；

(2)若.r0(-y)—2,(2y)因尤=-1,求x+y的值.

【考點】2C：實數(shù)的運算；98：解二元一次方程組.

【專題】11：計算題；521：一次方程(組)及應用.

【分析】(1)原式利用題中的新定義計算即可求出值；

(2)己知等式利用題中的新定義化簡，計算即可求出所求.

【解答】解：（1）根據(jù)題中的新定義得：原式=8-3=5；

（2）根據(jù)題中的新定義化簡得：,2x-y=2R,

Ix+4y=-l②

①+②得：3x+3y=l,

則x+y==.

【點評】此題考查了解二元一次方程組，以及實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題

的關鍵.

22.（8分）（2019?棗莊）4月23日是世界讀書日，習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思

想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣.”某校響應號召，鼓勵師生利用課余時

間廣泛閱讀，該校文學社為了解學生課外閱讀情況，抽樣調(diào)查了部分學生每周用于課外

閱讀的時間，過程如下：

一、數(shù)據(jù)收集，從全校隨機抽取20學生，進行每周用于課外閱讀時間的調(diào)查，數(shù)據(jù)如下

（單位：min）：

306081504411013014680100

6080120140758110308192

二、整理數(shù)據(jù)，按如下分段整理樣本數(shù)據(jù)并補全表格:

課外閱讀時間尤（min）0?4040?8080?120120^x<160

等級DCBA

人數(shù)3a8b

三、分析數(shù)據(jù)，補全下列表格中的統(tǒng)計量:

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

80C81

四、得出結論：

①表格中的數(shù)據(jù)：a=5,（=4,c=80.5

②用樣本中的統(tǒng)計量估計該校學生每周用于課外閱讀時間的等級為L;

③如果該?，F(xiàn)有學生400人，估計等級為“B”的學生有160人;

④假設平均閱讀一本課外書的時間為320分鐘，請你用樣本平均數(shù)估計該校學生每人一

年（按52周計算）平均閱讀13本課外書.

【考點】V2：全面調(diào)查與抽樣調(diào)查；V5：用樣本估計總體；V7：頻數(shù)（率）分布表;

W2：加權平均數(shù)；W4：中位數(shù)；W5：眾數(shù).

【專題】542：統(tǒng)計的應用.

【分析】①根據(jù)已知數(shù)據(jù)和中位數(shù)的概念可得；

②由樣本中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都是B等級可得答案；

③利用樣本估計總體思想求解可得；

④用沒有閱讀書籍的平均時間乘以一年的周數(shù)，再除以閱讀每本書所需時間即可得.

【解答】解：①由已知數(shù)據(jù)知。=5,b=4,

:第10、11個數(shù)據(jù)分別為80、81,

,中位數(shù)C=80+81=80.5,

2

故答案為:5、4、80.5；

②用樣本中的統(tǒng)計量估計該校學生每周用于課外閱讀時間的等級為2，

故答案為：B；

③估計等級為“8”的學生有400X合=160（人），

故答案為：160；

④估計該校學生每人一年（按52周計算）平均閱讀課外書瑞X52=13（本），

故答案為：13.

【點評】此題主要考查數(shù)據(jù)的統(tǒng)計和分析的知識.準確把握三數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾

數(shù)）和理解樣本和總體的關系是關鍵.

23.（8分）（2019?棗莊）如圖，在中，90°,以AB為直徑作點。

為。。上一點，且C￡）=C8,連接。。并延長交的延長線于點E.

（1）判斷直線與O。的位置關系，并說明理由；

（2）若BE=2,DE=4,求圓的半徑及AC的長.

【考點】M5：圓周角定理；MB：直線與圓的位置關系.

【專題】55A：與圓有關的位置關系.

【分析】(1)欲證明C。是切線，只要證明利用全等三角形的性質(zhì)即可證明；

(2)設的半徑為r.在RtZ\OBE中，根據(jù)可得《-廠)2=?+22,

推出廠=1.5,由tan/E=9=型，推出"■=&□,可得CO=8C=3,再利用勾股定

EBDE24

理即可解決問題；

【解答】(1)證明：連接OC

,:CB=CD,CO=CO,OB=OD,

.,.△OCB冬AOCD(SSS),

：.ZODC=ZOBC=90°,

：.OD±DC,

是。。的切線；

(2)解：設。。的半徑為r.

在RtAOBE中,>?OE2=EB2+OB2,

：.(4-r)2=A22,

r=1.5,

：tan/E=^=型，

EBDE

?.?1.5一_C-D,

24

，cr)=3C=3,

在RtAABC中，^C=>/AB2+BC2=V32+32=3A^,

，圓的半徑為1.5,AC的長為3、歷.

【點評】本題考查直線與圓的位置關系、圓周角定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識,

解題的關鍵是學會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型.

24.（10分）（2019?棗莊）在△ABC中，ZBAC=90°,AB^AC,AO_LBC于點D

(1)如圖1,點、M,N分別在AD,AB上，且/8MN=90°,當NAMN=30°,AB=2

時，求線段AM的長；

(2)如圖2,點、E,尸分別在AB,AC上，且/即尸=90°,求證：BE=AF；

(3)如圖3,點M在的延長線上，點N在AC上，且NBAfN=90°,求證：AB+AN

=V2AM.

【考點】KY：三角形綜合題.

【專題】152：幾何綜合題.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)得到&。=2。=。。=如，求出

/〃8。=30°,根據(jù)勾股定理計算即可；

(2)證明△BDE之△AOE根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；

(3)過點M作ME//BC交AB的延長線于E,證明根據(jù)全等三角形

的性質(zhì)得到AN,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理證明結論.

【解答】(1)解：VZBAC=90°,AB=AC,AD±BC,

：.AD=BD^DC,ZABC=ZACB=45°,ZBAD^ZCAD=45°,

VAB=2,

:.AD=BD=DC=、亞,

VZAW=30°,

.?.ZBMD=180°-90°-30°=60°,

30°,

:.BM=2DM,

由勾股定理得，BM2-￡>M2=BD2,即(2DM)2-DM2=(血)2,

解得，Z)M=返，

3

：.AM=AD-DM=y/2--;

(2)證明：VADXBC,/EDF=90°,

，ZBDE=ZADF,

在ABDE和△ADF中，

2B=NDAF

<DB=DA，

，/BDE=NADF

:.ABDEq4ADF(ASA)

：.BE^AF；

(3)證明：過點〃作ME〃8c交A8的延長線于E,

ZAME^90°,

則AE='、&M,Z￡=45°,

：.ME=MA,

VZAME=90°,NBMN=9U°,

：./BME=ZAMN,

在△BME和中，

2E=NMAN

<ME=MA，

LZBME=ZAMN

:.ABME沿/\AMN(ASA),

：.BE=AN,

：.AB+AN^AB+BE^AE^42AM.

圖3

【點評】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形

的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵.

25.（10分）（2019?棗莊）已知拋物線》=辦2+_|_彳+4的對稱軸是直線x=3,與x軸相交于A,

8兩點（點8在點A右側），與y軸交于點C.

y

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式和A,8兩點的坐標;

(2)如圖1,若點尸是拋物線上8、C兩點之間的一個動點(不與8、C重合)，是否存

在點P,使四邊形尸80c的面積最大？若存在，求點尸的坐標及四邊形尸BOC面積的最

大值；若不存在，請說明理由;

(3)如圖2,若點〃是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線于點M

當MN=3時，求點M的坐標.

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【專題】16：壓軸題；537：函數(shù)的綜合應用；66：運算能力；67：推理能力.

【分析】(1)由拋物線的對稱軸是直線x=3,解出。的值，即可求得拋物線解析式，在

令其y值為零，解一元二次方程即可求出A和2的坐標;

(2)易求點C的坐標為(0,4),設直線8c的解析式為(左W0),將8(8,0),

C(0,4)代入y=fcc+b,解出左和b的值，即得直線BC的解析式；設點尸的坐標為(x,

中+>4),過點尸作皿y軸,交直線…血則點。的坐標為…甘4),

利用關系式S四邊形PBOC=SABOC+SAPBC得出關于尤的二次函數(shù)，從而求得其最值;

2

(3)設點M'的坐標為(m,-l-in+^-ir+4)則點N的坐標為(m,-'/,，MN=\

12+3+4-(|=|-9m2+2m|,分當°<m<8時，或當m<0或機>8

時來化簡絕對值,從而求解.

【解答】解:(1)???拋物線的對稱軸是直線x=3,

3_

—=3,解得。-1--,

2a4

???拋物線的解析式為:y=-—^+―x+4.

42

當y=0時，-—x2+—x+4=0,解得尤i=-2,X2=8,

,42

.,.點A的坐標為(-2,0),點B的坐標為(8,0).

答：拋物線的解析式為：y=-￡?+2什4；點A的坐標為(-2,0),點8的坐標為(8,

42

0).

(2)當x=0時，y—--x2+—.r+4=4,

42

...點C的坐標為(0,4).

設直線BC的解析式為y=fcc+b(4W0),將B(8,0),C(0,4)代入y=fcv+6得

(1

儼+b=0解得k=?,

IX[b=4

直線BC的解析式為y=-yX+4.

假設存在點尸，使四邊形P20C的面積最大，

設點P的坐標為(x,-尹+斷+4),如圖所示，過點P作尸?！▂軸，交直線BC于點

。，則點。的坐標為(x,-l-x+4),

2

貝I]PD=-1？+旦什4-(-L+4)=-U+2x,

4224

?二S四邊形尸30C=SAB0C+SZ\PBC

^LX8X4+—PD'OB

22

=16+Lx8(-L?+2X)

24

=-/+8x+16

=-(x-4)2+32

當尤=4時，四邊形P8OC的面積最大，最大值是32

V0<x<8,

存在點P(4,6),使得四邊形P8OC的面積最大.

答：存在點P,使四邊形P20C的面積最大；點P的坐標為(4,6),四邊形P80C面積

的最大值為32.

（3）設點M的坐標為（m,-"m2+"|"ir+4）則點N的坐標為（m,-方面＞4）,

2

：.MN=\-Xm+Air+4-（-^■砒4）1=1-■^■n）2+2m|，

又：MN=3,

-Xm2+2OT|=3）

當0＜相＜8時，--3=0,解得wn=2,m2—6,

4

...點M的坐標為（2,6）或（6,4）；

當機＜0或機＞8時，-：m2+27"+3=0，解得刃3=4-2所,m4=4+2日

.,.點M的坐標為（4-2近，VT-1）或（4+26，--.[7-1）.

答：點M的坐標為(2,6)、(6,4)、(4-2^7,近-1)或(4+2-歷，-斤1).

【點評】本題屬于二次函數(shù)壓軸題，綜合考查了待定系數(shù)法求解析式，解析法求面積及

點的坐標的存在性，最大值等問題，難度較大.

考點卡片

1.數(shù)軸

（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.

數(shù)軸的三要素：原點，單位長度，正方向.

（2）數(shù)軸上的點：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理

數(shù).（一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應任意實數(shù)，包括無理數(shù).）

（3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

2.實數(shù)的運算

（1）實數(shù)的運算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進行加、減、乘、除、

乘方運算，又可以進行開方運算，其中正實數(shù)可以開平方.

（2）在進行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到有的順序進行.

另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運算的“三個關鍵”

1.運算法則：乘方和開方運算、越的運算、指數(shù)（特別是負整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運算、根

式運算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從

左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算.

3.運算律的使用：使用運算律可以簡化運算，提高運算速度和準確度.

3.合并同類項

（1）定義：把多項式中同類項合成一項，叫做合并同類項.

（2）合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加，所得結果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不

變.

（3）合并同類項時要注意以下三點：

①要掌握同類項的概念，會辨別同類項，并準確地掌握判斷同類項的兩條標準：帶有相同

系數(shù)的代數(shù)項；字母和字母指數(shù)；

②明確合并同類項的含義是把多項式中的同類項合并成一項，經(jīng)過合并同類項，式的項數(shù)

會減少，達到化簡多項式的目的；

③“合并”是指同類項的系數(shù)的相加，并把得到的結果作為新的系數(shù)，要保持同類項的字

母和字母的指數(shù)不變.

4.規(guī)律型：數(shù)字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點，尤其是與數(shù)列有關的命題更是層出不窮，形式多樣，它要

求在已有知識的基礎上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

（1）探尋數(shù)列規(guī)律：認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法.

（2）利用方程解決問題.當問題中有多個未知數(shù)時，可先設出其中一個為無，再利用它們

之間的關系，設出其他未知數(shù)，然后列方程.

5.規(guī)律型：圖形的變化類

圖形的變化類的規(guī)律題

首先應找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化

規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.探尋規(guī)律要認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想來解決這類問題.

6.塞的乘方與積的乘方

（1）幕的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

S）〃是正整數(shù)）

注意：①塞的乘方的底數(shù)指的是塞的底數(shù)；②性質(zhì)中“指數(shù)相乘”指的是幕的指數(shù)與乘方

的指數(shù)相乘，這里注意與同底數(shù)塞的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別.

（2）積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的事相乘.

（ab）（"是正整數(shù)）

注意：①因式是三個或三個以上積的乘方，法則仍適用；②運用時數(shù)字因數(shù)的乘方應根據(jù)

乘方的意義，計算出最后的結果.

7.同底數(shù)基的除法

同底數(shù)累的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減.

am^an=am'nQ/0,m,〃是正整數(shù)，m＞是

①底數(shù)aWO,因為0不能做除數(shù)；

②單獨的一個字母，其指數(shù)是1,而不是0；

③應用同底數(shù)塞除法的法則時，底數(shù)?？墒菃雾検?，也可以是多項式，但必須明確底數(shù)是

什么，指數(shù)是什么.

8.完全平方公式

（1）完全平方公式：（a±b）2=cr±2ab+b2.

可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”.

（2）完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數(shù)的和的平方；②右邊是一個三項式，

其中首末兩項分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍；其符號與左邊的運算

符號相同.

（3）應用完全平方公式時，要注意：①公式中的a,6可是單項式，也可以是多項式；②

對形如兩數(shù)和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式；③對于三項的可以把其中的兩

項看做一項后，也可以用完全平方公式.

9.分式的化簡求值

先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應的值代入求出分式的值.

在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡.化簡的最后結果分子、分母要進行約分，注

意運算的結果要化成最簡分式或整式.

【規(guī)律方法】分式化簡求值時需注意的問題

1.化簡求值，一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值.化簡時不能跨度太大，而缺

少必要的步驟，代入求值的模式一般為“當…時，原式=

2.代入求值時，有直接代入法，整體代入法等常用方法.解題時可根據(jù)題目的具體條件選

擇合適的方法.當未知數(shù)的值沒有明確給出時，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式

都有意義，且除數(shù)不能為0.

10.二次根式的性質(zhì)與化簡

（1）二次根式的基本性質(zhì)：①心0；（雙重非負性）.②（a）2=a（a20）（任何

一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式）.@a2=a（a>0）（算術平方根的意義）

（2）二次根式的化簡：①利用二次根式的基本性質(zhì)進行化簡；②利用積的算術平方根的性

質(zhì)和商的算術平方根的性質(zhì)進行化簡.ab=a-bab=ab

（3）化簡二次根式的步驟：①把被開方數(shù)分解因式；②利用積的算術平方根的性質(zhì)，把被

開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)（或因式）都開出來；③化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每

一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2.

【規(guī)律方法】二次根式的化簡求值的常見題型及方法

1.常見題型：與分式的化簡求值相結合.

2.解題方法：

（1）化簡分式：按照分式的運算法則，將所給的分式進行化簡.

（2）代入求值：將含有二次根式的值代入，求出結果.

（3）檢驗結果：所得結果為最簡二次根式或整式.

11.解二元一次方程組

（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個系數(shù)比較簡單的方程，

將這個方程組中的一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.②將變形后的關系式

代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程.③解這個一元一次方程，求

出x（或y）的值.④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關系式中，求出另一個未知數(shù)的值.⑤

把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解.

（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)

的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個未知數(shù)的系數(shù)相

等或互為相反數(shù).②把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數(shù)，得到一個一元

一次方程.③解這個一元一次方程，求得未知數(shù)的值.④將求出的未知數(shù)的值代入原方程

組的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值.⑤把所求得的兩個未知數(shù)的值寫在一起，

就得到原方程組的解，用{x=ax=b的形式表示.

12.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式（△=d-4℃）判斷方程的根的情況.

一元二次方程a，+6x+c=0（。=0）的根與△=/-4ac有如下關系：

①當時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當△=（）時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當△＜（）時，方程無實數(shù)根.

上面的結論反過來也成立.

13.解一元一次不等式組

（1）一元一次不等式組的解集：幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組

成的不等式組的解集.

（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組.

（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.

方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分.

解集的規(guī)律：同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到.

14.一元一次不等式組的整數(shù)解

（1）利用數(shù)軸確定不等式組的解（整數(shù)解）.

解決此類問題的關鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集,然后再根據(jù)題目中對于解集的

限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式組的整數(shù)解.

（2）已知解集（整數(shù)解）求字母的取值.

一般思路為：先把題目中除未知數(shù)外的字母當做常數(shù)看待解不等式組或方程組等，然后再根

據(jù)題目中對結果的限制的條件得到有關字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案.

15.一次函數(shù)的性質(zhì)

一次函數(shù)的性質(zhì)：

左>0,y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k<0,y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到

右下降.

由于y=h;+b與y軸交于（0,b）,當6>0時，（0,b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交

于正半軸；當b<0時，（0,b）在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸.

16.一次函數(shù)圖象上點的坐標特征

一次函數(shù)〉=日+6,（20,且左，b為常數(shù)）的圖象是一條直線.它與x軸的交點坐標是（-

—,0）；與y軸的交點坐標是（0,b\

直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關系式>=履+4

17.反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征

反比例函數(shù)y=〃尤（左為常數(shù)，20）的圖象是雙曲線，

①圖象上的點（尤，y）的橫縱坐標的積是定值公即個=心

②雙曲線是關于原點對稱的，兩個分支上的點也是關于原點對稱；

③在圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形

的面積是定值|林

18.二次函數(shù)綜合題

（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結合問題

解決此類問題時，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號，然后判斷新的函數(shù)關系

式中系數(shù)的符號，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即

為正確選項.

（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用

將函數(shù)知識與方程、幾何知識有機地結合在一起.這類試題一般難度較大.解這類問題關鍵

是善于將函數(shù)問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識,

并注意挖掘題目中的一些隱含條件.

（3）二次函數(shù)在實際生活中的應用題

從實際問題中分析變量之間的關系，建立二次函數(shù)模型.關鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立

直角坐標系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的

取值范圍要使實際問題有意義.

19.三角形的外角性質(zhì)

（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對.

（2）三角形的外角性質(zhì)：

①三角形的外角和為360°.

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角.

（3）若研究的角比較多，要設法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉化到一個三角形中去.

（4）探究角度之間的不等關系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角

形的外角.

20.線段垂直平分線的性質(zhì)

（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平

分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”.

（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點，到

線段兩端點的距離相等.—③三角形三條邊的