(幾何證明大題-圓)(20題)-2021年中考數(shù)學(xué)考點必殺題(浙江專用)(解析版)

2021中考考點必殺500題

專練12(幾何證明大題…圓)(20道)

1.(2021?浙江麗水市?九年級一模)如圖，四邊形45。的四個頂點在以NC為直徑的

□O上，點。為AC的中點，過圓心。作OEWIB于點E,交5。于點/，AC=10,

OF=\.

(1)求證：［1480=45。.

(2)求4B的長.

(3)求尸G的長.

【答案】(1)見解析；(2)AB=S-(3)=

7

【分析】

(1)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角證明NABC=90°,再根據(jù)等弧所對的圓周角相等

即可得到結(jié)論；

(2)iiE0EFB=□EBF=45°,設(shè)BE=EF=a,根據(jù)BO2=BE2+EO?求出a的值，從而

可得結(jié)論；

(3)證明OG尸CG8可得5G=6bG,再求出8尸的長即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：(1)證明：/C是口。的直徑

ZABC=90°

又點D為AC的中點,

AD^DC

ZABD=ZCBD=-ZABC=45°；

2

(2)連接80,

DOEAB

□AE=3七，BEO=90°

又［ZABD=45°

□nEFB=QEBF=45°

設(shè)BE=EF=a,

□OF=1,

OE=a-\

□4C=10

\2AO=BO=CO=5

BO2=BE2+EO2

/+3-1尸=52,

整理得，a2-a-U=0

解得：。=4或。=一3(舍去)

□B￡=4

□48=8；

(3)口力8=8,4C=10,L\ABC=90°

BC=yjAC2-AB2-6

又□□QE8=ABC=90°

UEF//BC

□□OEG=ECBG

又「OGF=CGB

OGFCGB

OFFG

-----=------

BCBG

—即3G=6R7

BG6

又BF=6_BE=4O

FG+BG=7FG=4亞

FG=-47L2-

7

【點睛】

本題考查圓綜合題、垂徑定理、勾股定理、解一元二次方程、相似三角形的判定和性質(zhì)

等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

2.（2021?溫州外國語學(xué)校九年級其他模擬）如圖，在口46。中，BA=BC,以AB為

直徑作1。，交邊AC于點0,交CB的延長線于點E,連結(jié)OE交A3于點足

（1）求證：AD=DE.

（2）若sin/A3E=15,AD=2y/w，求。的直徑和曾'的長.

4

【答案】（1）證明見解析；（2）直徑為8,后尸=2叵

3

【分析】

（1）連接/￡、BD,證明/Z>CO,DE=CD,從而可得結(jié)論；

（2）連結(jié)OD,設(shè)「。的半徑為r,根據(jù)4。2=鉆2+比2求出r=4,再證明

r2M-EF

UDOF^OEBF,可得丁=一E~F—求解即可.

一r

2

【詳解】

解：（1）證明：連接ZE、BD,如圖，

c

'、、o

UN8是1O的直徑

□-J￡5=90□,□?10^=90

AB=BC

QQCAB=BCA,AD=CD

BAD^W8E。所對的弧是B￡)

BAD=DEB

DE=CD

UAD=DE^

(2)設(shè)。的半徑為r,

在戊口ABE中，sinZABE=^-

4

AEAE_y/l5

AE=^-r

2

根據(jù)勾股得BE=」

2

在RtAACE中，根據(jù)AC2=AE2+CE2，

(45/10)2=

解得，r=4

AB=8

連結(jié)OO,則OD是的中位線,

c

D

'-.0

OD//BE

：QDOF^]EBF

OPDF

"~BE~~EF

r_2曬-EF

「一EF

-Y

2

2>/10

解得:

3

【點睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，平行線性質(zhì)等

知識，證明口。0尸問石即是解答此題的關(guān)鍵.

3.（2021?浙江溫州市?九年級其他模擬）如圖，口。是矩形ABCD的外接圓，AABC

的平分線分別交AC,口O,CD的延長線于點E,EG,過點尸作口O的切線切，交

CG于點H.

(1)證明：FH//AC.

(2)若tan/84c=3,OE=2,求切的長.

Q

【答案】（1）證明見解析；（2）

【分析】

(1)連結(jié)OF,首先根據(jù)切線的性質(zhì)得出NOEH=90°,然后利用矩形的性質(zhì)，角平

分線的定義及圓周角定理得出NCOF=90°,進而通過同旁內(nèi)角互補兩直線平行即可

證明：

(2)作印J_AC于點/,作包，AB于點L,則有HF=OI,然后設(shè)EL=BL=3a,

則AL=a,通過勾股定理求出AE,AB的長度，然后通過平行線分線段成比例得出

ATAr

—=—,進而求出”的值，則答案可解.

ABAC

【詳解】

解：(1)連結(jié)OF,如圖，

?.?FH是切線，

:.ZOFH=90°.

在矩形ABC。中，NA5C=90。,

BG平分NABC，

:.ZCBG^-ZABC^45°,

2

ZCOF=2NCBG=90°，

.-.ZCOF+ZOFH=180°,

：.HFIIAC.

(2)如圖，作H/LAC于點/,作包，A6于點心則四邊形是矩形,

:.HF=OI.

EL

vtanABAC=—=3,ZABG=45°,

AL

設(shè)EL=BL=3a,則AL=a.

AE=V10a?AB=4。，

BCHLE，

,AL_AE

,AB-AC'

.a_VlOa

"7a~AC

AC=4y/10a,AO=2vTUa.

OE=Vio?=2,a=—,OC=OF=HI=2>/10?=4.

14

.」C=—

48

..FH=OI=OC-IC=4——=-.

33

【點睛】

本題主要考查圓的綜合，掌握平行線的判定及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例

是關(guān)鍵.

4.(2021?杭州育才中學(xué)九年級二模)如圖，N5是。的直徑，弦?？?15于點E,G

是AC上一點，NG,0c的延長線交于點尸，連接ND,GD,GC.

(1)求證：CGF=」AGD.

(2)已知1OG尸=120。，AB=4.

□求CD的長.

AO3

□若——=一，求NOG與口4F。的面積之比.

AG2

【答案】（1）見解析；（2）2百；1：2

【分析】

（1）連接/C,根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可證結(jié)論；

（2）口連接2Q,先根據(jù)題意得到匚/GZ）=60。，進而即可證得口/8是等邊三角形，根

據(jù)圓周角定理得到ADB=90。,ABD-=60°,解直角三角形求得4。，即可求得。的

長；

Af7DFADDGDF3,DF3

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到——=--------,AG=，從而得到——二--,

AD~~DG~AG~~\D~~2CD2

S3

。尸=3百,AF?AG=AD2=12,進一步得到三口=-，由相似三角形的性質(zhì)得到FG?E4

3CDG2

FG3q

=FCFD=9,即可得到即——=--?進而求得三3二

2

AG4、ADG

【詳解】

(1)證明：連接力C,

□48是匚。的直徑，弦CD1AB于點、E,

DE=CE,

DAD=ACf

V\V\ADC=UACD,

□四邊形ADCG是圓內(nèi)接四邊形，

UUCGF=\ADCf

U\JAGD=nACDf

nnCGF=J.AGD；

(2)解:口連接50,

□□￡>GF=120°,

nn^GD=180°-120°=60°,

LIUACD=ABD=UAGD=60°f

□□/CO是等邊三角形，

口4B是直徑,

□□4D5=90。，

sinABD=—=—,

AB2

口/3=4,

CD=AD=l5

□□0￡>JG=DE4Z),CAGD=CADC,

□LMDGLIEW7。，

AF_DF_AD

而一而一而'

DG3

-----=—?AD=CD=2r,

AG2

DF3廠，

——=-,DF=3J3,AF,AG=A?=12,

CD2

CF=DF-CD=g,

□□GCF=DD^F,□尸=「尸，

UUFCGU3FAD,

FGFC

：-------------,

FDFA

FG'FA=FC?FD=#)又373=9,

FGFA9??FG_3

=即-----

FA-AG12,AG-4

qa

uFGD_o

SAGD4

DF_3

CD~2,

q7

°CDG_土

uFDGJ

SCDG_1

°ADG/

【點睛】

本題考查的是垂徑定理，圓周角定理和解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關(guān)鍵.

5.(2020?浙江九年級期末)如圖，口45。內(nèi)接于口0.是□。的直徑，C是弧

的中點，弦A3于點〃，連結(jié)A。，分別交CE、BC于點P、Q.連結(jié)

(1)若口。的半徑為5,BH=8.求CE的長.

(2)求證：ZACH=NCBD.

(3)求證；尸是線段AQ的中點.

【答案】(1)8：(2)見解析；(3)見解析

【分析】

(1)連接OC,根據(jù)勾股定理求出C”,再根據(jù)垂徑定理求出即可.

(2)根據(jù)垂徑定理得出垂直平分CE,推出〃為CE中點，弧40=弧/￡,根據(jù)圓

周角定理推出即可.

(3)根據(jù)圓周角定理求出推出NP=CP,求出PCQ=CQP,PC=PQ,

即可得出答案.

【詳解】

解：(1)連接。C,

BH=8,OB=OC=5,

OH=3

口由勾股定理得：CH/守=4,

CEAB,

CH=EH=4,

(2)證明：L/8是。的直徑，CEUAB,

AB垂直平分CE,

即”為CE中點，弧

又二C是弧4。的中點，

弧AC=^CD

弧4。=弧8=弧AE

□UACH=CBD；

(3)由(2)知，QACH=UCBD,

5l.JUCAD=UCBD

n\JACH=.CAD,

UAP=CP

又1是口。的直徑，

UUACB=ADB=90°,

QDPCQ=90°-QACH,CPQC=BQD=9Q°-「\CBD,

0nPCQ=\：PQC,

PC=PQ,

UAP=PQ,

即P是線段的中點.

【點睛】

本題考查了勾股定理，垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要

考查學(xué)生的推理能力.

6.(2020?浙江九年級期中)如圖，A3是口。的直徑，30是口。的弦，延長3。到

點C,使￡＞。=3。，連結(jié)AC交口。于點F.

(1)求證：AB^AC.

(2)若AB=8,NB4c=45。，求圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)見詳解；(2)2n-4也

【分析】

(1)連接Z。，根據(jù)圓周角定理可以證得/。垂直且平分3C,然后根據(jù)垂直平分線的

性質(zhì)證得AB—AC；

(2)連接0D、過。作。根據(jù)扇形的面積公式解答即可.

【詳解】

解：(1)AB=AC.理由如下：

連接/D

是匚0的直徑，

□0/105=90°,BPADDBC,

又UDC=BD,

AD垂直平分BC,

QAB=AC；

(2)連接O。、過。作ZWEL48.

□AB=AC,ADLBC,

2BAD=B4C=45°,

□□BO￡)=2：2BAD=45。，

口”=8,

□08=00=4,

0/7=4-72=272，

OBD的面積=gx4x20=40

又扇形OBD的面積=45x7x4-=2小

360

口陰影部分面積=2兀-4后.

【點睛】

本題考查了圓周角定理，扇形的面積公式以及等腰三角形的性質(zhì)定理，理解弧的度數(shù)和

對應(yīng)圓心角的度數(shù)的關(guān)系是關(guān)鍵.

7.（2021?浙江寧波市?九年級二模）我們把三角形三邊上的高產(chǎn)生的三個垂足組成的三

角形稱為該三角形的垂足三角形.

(1)如圖1,AABC中，AB=AC=8,BC=6,△￡)￡/是AABC的垂足三角形，求

OE的長.

（2）如圖2,圓內(nèi)接三角形AABC中，A8=4。=%8。=6,乙48。的垂足三角形

。￡戶的周長為＞.

□求y與X的關(guān)系式；

□若ADEb的周長為19吳2時，求口。的半徑.

（圖1）（圖2）

【答案】（1）3；（2）y=12----；――

x"8

【分析】

（1）根據(jù)垂足三角形的定義和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出答案;

（2）j同（1）中方法可得。6=班＞=。/=3,再根據(jù)A3?！昕?%。得出

AE=x一一,再根據(jù)AAEF□A43C得出EF=6一一:,即可得出V與x的關(guān)系式；

xx

根據(jù)當(dāng)y=M時，求得％=5,從而得出/。=4,再根據(jù)垂徑定理的推論得出AA8C

的外心。在線段L,從而利用勾股定理即可得出口。的半徑.

【詳解】

解：（1）ADEE是AABC的垂足三角形，

ADA.BC,BEA.AC,

AB=AC>

。是8C的中點，

NBEC是直角,

DE=-BC=3.

2

（2）連結(jié)CE和8F,同（1）中方法可得OE=8￡>=￡>E=3,

ZABC=ZBED，

AB=AC.

ZABC=ZBCA,

ZABC=ZBED^ZBCA,

ABDEQABAC,

BEDE

---—----,

BCAC

BEC=C/8=90。，ZABC=ABCA,BC=CB；

\BEC=\CFB

□BE=CF,

AE=AF.

AE_AF

AB-AC

ZA=ZA，

AAEFDAABC.

EFAE

o———,

BCAB

e/108

EF=6----,

x

s108

y=12----.

x

A

ACER是A48c的垂足三角形，

ADVBC,

AB^AC

力。垂直平分8C,

MBC的外心。在線段AO上，

AD=V52-32=4

連結(jié)BO，

設(shè)口。的半徑為r,則32+(4—r)2=，,

解得「=」25，即口0的半徑為2」5.

88

本題考查了直角三角形斜邊上的中線，三角形的高，垂徑定理的推論以及相似三角形的

性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

8.(2021?浙江溫州市?九年級一模)4B是□。的江徑,弦?？?8于點E,連接NC,

過點。作。尸〃NC交口O于點尸，連接4RCF,過點4作4G口。廠延長線于點G.

(1)求證：CA=CF.

2

(2)若tan1Nb=—，CF-GF=9,求14c尸的面積.

3

B

【答案】(1)證明見詳解；(2)9713

【分析】

(1)連接/￡>.想辦法證明/Cm,AD=CF,可得結(jié)論.

(2)過點/作44口。尸于，.證明UXFGEm/F"(44S),推出FG=FH,因為

CF-FG=CF-FH=CH=9,求出力“，4c可得結(jié)論.

【詳解】

(1)如圖所示，連接力。

U/8是直徑，ABCD,

EC=ED,

DAC=AD,

QACQDF,

ZACF=ZCFD,

AF=CD，

AD=CF，

AD=CF,

DAC=CF.

(2)如圖所示，過點4作/1〃口。尸于從

□口4尸G+UAFD=180°,AFEHUACD=180°,

□□4FG=EL4CO,

QAC=ADf

UOACD=rADC,

□□4￡>C=匚力FC,

QnAFG=nAFHf

\2AGLFG,AHFH,

□□G=AHF=90°f

QAF=AFf

UUAFGUDAFH(AAS)f

□FG=FH,

AH2

□CF-FG=CF-FH=CH=9,tanACH=——=一，

CH3

□4〃=6,

4C=CF=y/AH2+CH2=762+92=3V13，

SAcr=，?C八A”=L3屈x6=9而

22

故答案為9對

【點睛】

本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角

三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中

考壓軸題.

9.(2020?浙江九年級期末)如圖，己知銳角三角形4BC內(nèi)接于圓O,OD、BC交于

點。，OABC,連接OA

□求證：OD=-OAi

2

□當(dāng)Q4=2時，求口抽。面積的最大值.

(2)點￡在線段OA上，OE=OD,連接。E,設(shè)

ZABC=m/OED,ZACB=n/OED(肛〃是正數(shù))，若？ABC?ACB,求證:

tn-H+2=0.

【答案】(1)見解析；3石；(2)見解析

【分析】

(1)連接03、OC,則88=工8008/C=60。，即可求解；

8c長度為定值,

2

口/8C面積的最大值，要求BC邊上的高最大，即可求解；

(2)8/C=180°-ABC-ACB=\^°-mx-nx=—BOC=DOC,而

2

UA0D=COD+QA0C=1S00-mx-nx+2mx=180°+m.r-?j-,即可求解.

【詳解】

NOBC=30。，

.\OD=-OB=-OA；

22

8c長度為定值,

.1A5c面積的最大值，要求8c邊上的高最大,

OA=OB=2,OD——0A-1,

2

BC=2BD=26，

當(dāng)“。過點。時，4)最大，即：A￡)=A0+0￡)=3,

□48。面積的最大值=，8。、45=36；

則ZABC=iwc,ZACB=tvc，

則ZR4c=180。一ZABC—ZAC3=180。一"a一nr=」/30C=/OOC,

2

ZAOC=2ZABC=2nvc，

ZAOD=Z.COD+ZAOC=180°-inx-nx+2mx=180°+mx-nx.

?：OE=OD,

ZAOD=180°-2x,

即：180°+mr-ra:=180o-2x,

化簡得：m-H+2=0.

【點睛】

本題為圓的綜合運用題，涉及到解直角三角形、三角形內(nèi)角和公式，其中(2),

4?！?gt;=/。?！?gt;+/4。(7是本題容易忽視的地方，本題難度適中.

10.(2020?浙江九年級期中)如圖，已知以點O為圓心的半圓，AB為直徑，點C在

半圓O上一點，連結(jié)AC,,點。為弧AC的中點，連結(jié)BD交AC于點E,延長BD

交過點力的切線于點尸，DE=2,EB=6.

F

DC

///E

AoB

(1)求證：ZAFE=ZAEF.

(2)求AF的長.

(3)求ZXABE的面積.

【答案】(1)證明見解析；(2)A/=2右；(3)AABE的面積為12.

【分析】

(1)利用同弧所對的圓周角相等可得口/8尸=CBD,再根據(jù)等角的余角相等可得

□CEB=F,再根據(jù)對頂角相等和等量代換可證得結(jié)論；

(2)連接4),證明ADFBDA,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得ZO,再根據(jù)勾

股定理可得/用

(3)根據(jù)即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)證明：匚48為直徑，4尸為圓。的切線，

UUC=U/^5=90°,

□/45F+F=90°,UCEB+CBD=90°,

。為AC的中點

AD=CD，

□□JBF=DC5Z),

□□F=ZC￡5,

□□C￡8=_AEF,

\JUF=JAEF；

(2)連接ZQ,

UAB為直徑，

o

QUADB=UADF=90f

□□/+ZIE4Z>90°,

□□ZBF+□尸=90。，

□□E4ZACL4瓦V

U"=AEFf

FD=DE=2,

口BE=6,

□8D=8,

o

□□E4D=U48E,DADF=UE4B=90f

□UADFUBDA,

FDAD2AO5四

----=----,即nn=-----,解得AD=4

ADBDAD8

AF=>]DF2+AD2=722+42=2A/5：

(3)S=-BEA￡)=-x6x4=12.

MAB4fEiF22

故△ABE的面積為12.

【點睛】

本題考查圓周角定理，切線的性質(zhì)定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)

和判定.正確構(gòu)造輔助線，構(gòu)造相似的直角三角形是解題關(guān)鍵.

11.(2021?浙江溫州市?九年級一模)如圖1,在:中，AB=AC,00是一X5C的

外接圓，過C作CD//N5,CD交口。于。,連接交8c于點E,延長〃C至點尸，

ftCF=AC,連接N尸.

(1)求證：4尸是」。的切線;

（2）求證：AB2-BE2=BE*ECi

（3）如圖2,若點G是的內(nèi)心，8c?5E=64,求3G的長.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）8

【分析】

（1）連接O/,^\\ACAF=UCFA^VACD=UCAF^CFA=2\ACAF,結(jié)合」ACB=」BCD

得04cz>2「MC8,：。/=一XC8,據(jù)此可知/尸BC,從而得04AF,從而得證；

（2）證明□ZBEmCS/,列比例式可得結(jié)論；

（3）由（2）知4B2=BC?BE,據(jù)此知48=8,連接4G,^CBAG=CBAD+QDAG,

UBGA=UGAC+UACB,由點G為內(nèi)心知DAG=GAC,結(jié)合

QBAD+DAG=G4C+FCB得BAG=BGA,從而得出8G=Z8=8.

【詳解】

解：（1）如圖1,連接04,

圖1

AB=AC,

片8=舛C，ACB=B,

GOABC,

QCA=CF,

QQCAF=JCFA,

UCDAB,

OUBCD=B,

DDACB^JBCD,

0QACD=CCAF+GCE4=2JCAF,

U\^ACB=BCD,

□□JCZ>2ACB,

CAF=ACB,

AFBC,

OAAF,

□4尸為口。的切線;

(2)□BAD=BCD=UACB,Jfi=B,

V\ABECBA,

ABBE

------------

BCAB

□AB?=BC，BE=BE(BE+CE)=Be+BE?CE,

OAB-S^BE-ECx

(3)由(2)知：AB2=BC,BE,

BC?BE=64,

口/8=8,

如圖2,連接4G,

圖2

BAG=iBAD+DAG,BGA=\GAC+ACB,

點G為內(nèi)心,

UUDAG=\GAC,

又□□A4￡)+2JD4G=：：G/C+E]/C8,\JBAD=QACB,

BAG=BGA,

BG=4B=8.

【點睛】

本題是圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)，垂徑定理,三角形內(nèi)心的性質(zhì),

切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握相關(guān)的知識是解題的

關(guān)鍵.

12.（2020?浙江杭州市?九年級期中）已知：C,。是以AB為直徑的口。上的兩點，直

徑A8垂直平分CO,并將線段AC繞點N逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到AE,連接E。，分

別交口。和A8于尸,G,連接FC.

（1）求證：ZACF=ZAED；

（2）8與AB交于點P，其他條件不變，

口連接EB,當(dāng)尸為。3的中點時，若N4￡）C=aN￡）EC,ZAFC=hZDFC,求。力

的值.

FG

□請問—是否為定值？若是，請求出其值；若不是，請說明理由.

AP

【答案】（1）見解析；（2）a=l；b=2；是定值0,見解析

【分析】

（1）連接/。，利用垂徑定理證得4D=/IC,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知4C=/E,推出

QAED=\JADF,即可推出結(jié)論；

OP1

（2*為08的中點，在放「OPC中，計算cos「產(chǎn)0c=3己=］，得出UPOC=60。，再得

至!|口（70。=20尸0c=120。計算。0=60。，4c得到/DC為等邊三角形，從而得到

UCAD=DFC,求出a的值，再計算AFC=2。尸C求出6的值.

（3）過點E作EMZCO,過點。作DMO,且EN與直線45交于點與直線DN

交于點M先證」ACP,推出￡M=/P,AM=CP,再證明UENO為等腰直角三角

形，推出EMG為等腰直角三角形，即可通過銳角三角函數(shù)推出結(jié)論.

【詳解】

解：如圖1.

E

連接=

:.ZACF^ZADF

又AE是由線段AC繞點4速時針旋轉(zhuǎn)90°得到,

AC=AE，

?.?CDJ?直徑48,

.?.AB垂直平分C。，

AC=AD,

：.AE=AD

：.ZAED=ZADF,

ZACF=ZAED

(2)如圖，連接/。，OC,OD,AF,

□由(1)知ZC=/O,ABQCD,

UCP=PD,

□尸為08的中點,

OP=-OB

2

在MUOPC中，

八八OP1

cosPOC=——=—，

OC2

□□POC=60°,

□□COD=2UPOC=2x60°=120°

CAD=—COD=-x120°=60°

22

□□Z)FC=!CAD=60°

又UZC=4D

□□4OC為等邊三角形，

□□CJD=60°

r\UCAD='DFC

□a=l

又AFC+JZ)C=180°

□UAFC=1S00-JADC=l20°

□HAFC=2DFC

Ub=2

故答案為：。=1；b=2

是定值、回，理由如下：

如圖2,過點E作應(yīng)V//CD，過點。作。N且EN與直線AB交于點M，與

直線ON交于點N,

NE4C=NCPA=90°,ZEAM+ZCAB=ZCAB+ZACP=90°,,

ZEAM=ZACP

同理ZAffi4=NOW,又AC=AE,.?口￡4M4ACP(AS4),

:.EM=AP,AM=CP

DN±CD,CD1AB,

：.DN//AB

乂EN//CD,：.四邊形MNDP是矩形，

:.MN=PD,MP=ND,

QA3是直徑,

CD±AB,:.MN=PD=CP=AM,

乂EM-AP,

:.EM+MN=AP+AM

即EN=MP=ND,.PEN。是等腰直角三角形,

;.NEDN=45。,

:./EGM=/EDN=45。,

△EMG是等腰直角三角形,

EMV2

----=---,

EG2

.?竺=空=日

APEM

本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形，銳角三角函數(shù)等，解題關(guān)鍵是能

夠通過添加合適的輔助線構(gòu)造全等三角形及直角三角形.

13.(2021?浙江九年級專題練習(xí))如圖，DE為半圓。的直徑，A是DE延長線上一點,

AB切半圓。于點C,連接OB,連接CD交OB于點F,B=D.

(1)求證：F為CD的中點.

(2)若BC=2AC,OF=2,求AD的長.

B

D

EO

【答案】(1)見解析；(2)5"

【分析】

(1)連接0C,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OCOAB,得到nB+[]BOC=90。，等量代換得到

□DCO+DBOC=90°,求得OFdCD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；

(2)連接CE,根據(jù)三角形中位線定理得到CE=2OF=4,CECOF,根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：(1)連接OC,

□AB切半圓O于點C,

□OCAB,

□□BCO=90°,

□□B+OBOC=90°,

□OC=OD,

□□D=DCO,

□□B=DD,

□□B=DDCO,

□□DCO+DBOC=90°,

□□CFO=90°,

□OFDCD,

□F為CD的中點；

(2)連接CE,

□OD=OE,DF=CF,

CE=2OF=4,CEiOF,

□□ACE"ABO,

ACCE

----...—，

ABOB

□BC=2AC,

□AB=3AC,

——AC=——CE=一1,

ABOB3

□0B=12,

□□BCO=nCFO=90°,

□□OCF+aCOF=LCOF+匚B=90。,

OCF=B,

nnocFnOBC,

OC_OB

~6F~~6C'

OC12

---二----，

2OC

OC—2>/6，

OE=OC=26，DE=2OC=4向

OCEQOB,

AEAC1

.——=--=—，

OEBC2

AE=—OE=V6,

2

AD=AE+DE=5A/6.

本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔

助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

14.(2021?浙江九年級專題練習(xí))如圖，RfU/BC中，口C=90。，點。在邊45上，以

。點為圓心、05為半徑作圓，分別與8C、N6相交于點0、E,連接40,ND是二O

的切線.

(1)求證：」。。=」8；

(2)若BC=4,tanJ?=—,求LI0半徑.

2

【答案】（1）見解析；（2）延

4

【分析】

（1）連接。。，由切線的性質(zhì)可推出ODB+4DC=90。，利用C=90。求出

DADC+D4c=90。，再根據(jù)圓的半徑構(gòu)成的等腰三角形即可證明CAD5B；

（2）設(shè)圓的半徑為r,利用銳角三角函數(shù)定義求出/C=8Ctan5=2,則可由勾股定理

得出AB=1AC2+BC?=逝2+42=2石，再利用勾股定理列出關(guān)于「的方程，求出

方程的解即可得到結(jié)果.

【詳解】

（1）證明：連接OC,

EL4。是口0的切線，

aODUAD,

□□450=90。，

DDODB+lADC^90°,

□□C=90°,

□U4DC+LD4c=90。,

□□DJC=\ODB,

口OD=OB,

□□5=匚。。&

□□CJD=JB；

(2)解：設(shè)I。的半徑為小

在RfABCBC=4,tanB=—,

2

□JC=^CtanB=2,

根據(jù)勾股定理得：/8=y]AC2+BC2=722+42=275>

OA=2逐-r,

在RtACD中，tanG4D=tan^=一,

2

□C-anLlC4D=l,

根據(jù)勾股定理得：/3=/。+82=4+1=5,

在Rt中，OA2=OD2+AD2,即(26-r)2=^+5,

解得，=延，

4

。半徑為邁.

4

【點睛】

此題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、解直角三角形的有關(guān)知識以及勾股定理的運用,

熟練掌握切線的與性質(zhì)及解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

15.(2021?浙江九年級專題練習(xí))如圖，45和C。為□。的直徑，AB3CD,點E為

。上一點，CE=CA,延長ZE交LO于點尸，連接C尸交Z5于點G.

(1)求證：CE2=AE?AF；

(2)求證：EL4C尸=3口比1/；

(3)若尸G=2,求NE的長.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)272

【分析】

(1)先判斷出ACE=AFC,進而判斷出LSCEAFC,得出/C^=ZE?/IF,即可得

出結(jié)論；

(2)先求出匚?！?口。以=67.5。，進而求出口比1F=DQCF=22.5。，即可得出結(jié)論；

(3)先求出廠"，G",再判斷出/"=尸，=2,最后判斷出EF=FG,即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)和8為no的直徑，ABCD,

AC=AD

UHACE^CAFC,

QQCAE=GFAC,

uUACEAFC,

ACAE

-----=-----，

AFAC

\：AC1=AE^AF,

QAC=CEf

QCE2=AE*AF；

(2)口ABDCD,

□LMOC=90。，

□O4=0C,

□□4匿=匚04c=45。，

AFC=—JOC=45°,

2

UAC=CE,

U\JCAE=AEC=—(180°-ACO)=67.5°,

nUBAF=DCAF-'OAC=22.5°f

□DAEC=產(chǎn)。+口0//=45。+口。。/=67.5。，

□□03=22.5。，

□□4。/=口。。+口。月尸=67.5。=3*22.5。=3口54/；

(3)如圖，過點G作GH」C尸交力產(chǎn)于H,

□□FG//=90°,

DUAFC=45°f

□□WG=45°,

□HG=FG=2,

FH=2y[2，

□□44尸=22.5。，□產(chǎn)HG=45。，

□U4GH=FHG-nBAF=225°=」BAF,

AH=HG=2,

AF=AH+FH=2+272，

由（2）知，OAE=OCG,

QQAOE=nCOG=90°,OA=OC,

^UAOEQUCOG（SAS）,

UOE=OG,UAEO=UCGO,

QQOEF=LOGF,

連接EG,

□OE=OG,

QaOEG=OOGE=45°,

□UFEG=UFGE,

□EF=FG=2,

AE=AF-EF=2+2yfi-2=20.

【點睛】

此題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的

判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，求出/尸是解本題的關(guān)鍵.

16.（2020?浙江九年級期中）如圖，A3為口0直徑，。為口。上一點，過點。作口。

的切線OC交直線AB于點C.過點/作AELCD,垂足為E,交口。于點尸，連接

【答案】（1）見詳解；（2）AE=16

【分析】

（1）連接O。，由題意易得8,進而可得A七〃。。，然后可證

NB=Z.ODB=-NDOC,則問題可求證；

2

(2)連接O。、BF,由題意易得AC=------=6,則有00=6+04=6+0。，進

sinC

而可得變=2=°D,然后可得/尸=90°,A8=24,最后問題可求解.

0C30D+6

【詳解】

。。是口。的切線，

OD1CD，

AE1CD,

AE//OD,

乙DOC=NBAF,

□00=08,

ZB=ZODB=-ZDOC,

2

NFAB=2NB；

OC=6+QA=6+O￡），

由（1）可得"＞，co.

OD2OD

---———-------，

OC3OD+6

00=12,

是□。的直徑，

"=90°,AB=24,

CD//BF，

NC=ZABF,

AF=ABsinZABF=i6.

【點睛】

本題主要考查圓的切線定理及三角函數(shù)，熟練掌握圓的切線定理及三角函數(shù)是解題的關(guān)

鍵.

17.（2021?浙江九年級專題練習(xí)）如圖，AB是門。的直徑，點C為。上一點，CN為

□O的切線，OMDAB于點O,分別交AC、CN于D、M兩點.

（1）求證：MD=MC；

（2）若口。的半徑為5,AC=4亞,求OD長；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上求MC長.

（1）連接0C,利用切線的性質(zhì)證明即可;

（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)

（3）由勾股定理解答即可.

【詳解】

解：（1）證明：連接OC,如圖所示：

□CN為口0的切線，

□OCDCM,DOCA+DACM=90°,

OMAB,

LIUOAC+UODA=90°,

□OA=OC,

□□OAC=DOCA,

□□ACM=nODA=OCDM,

□MD=MC；

(2)解：由題意可知AB=5x2=10,AC=4右，

□AB是O的直徑，

□□ACB=90。，

BC=加_(4可=25

□□AOD=DACB,CA=DA,

□□AODUACB,

ODAO

---=----,

BCAC

OD5

即擊=訪，

可得：OD=2.5,

(3)解：設(shè)MC=MD=x,

在Rt匚OCM中，由勾股定理得：(x+2.5)2=x2+52,

解得：x=一，

4

15

即HnMC=—.

【點睛】

本題考查切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會

添加常用輔助線，正確尋找相似三角形解決問題.

18.（2021?浙江九年級專題練習(xí)）在RtUABC中，B=90。，CE平分」BCA交AB于

點E,在AC上取一點O,以O(shè)C為半徑的圓恰好經(jīng)過點E,且分別交AC,BC于點D,

F,連接DE,EF.

(1)求證：AB是」O的切線;

(2)若AD=2,OC=3；

口求AEC的面積；

□求EF的長.

【答案】(1)見解析；(2)口告，|A/5

【分析】

(1)證明UFCO=OCEO,進而求解；

(2)證明/EOABC,則”=42,求出8C=%,利用Sd￡c=LAE?BC

BCAC52

48

=y.即可求解；

證明AEDECF,則等=4?，即.

ECEF5

【詳解】

解：(1)如圖，連接OE,

□CE平分L4c8,

□□￡CO=-]FCO,

口OC=OE,

□□ECO=aC￡O,

QQFCO=\CEO.

UOEBC,

又口口"為。，

□□OEJ=90°,

即Z8是」。的切線;

(2)OEBC,

AEOABC,

OEAO

-----------,

BCAC

c24

BC——,

5

□□OE4=90°,

在中，0A=5,OE=3,

AE=y]o^-OE2=V52-32=4,

148

SAEC——AE?BC=一；

25

□L1OEL8C,

AE_AO

~EB~'OC'

12

BE=—,

5

-C￡=yV5,

XnQOED+OEC=90。，

□UAED^DOEC^QECF,

□QADE+QEDC=QEDC+EFC=180°,

UUADE=QEFC,

口□/E。ECF,

AE_AD

~EC~~EF，

EF=4石.

【點睛】

本題是圓的綜合題，主要考查的是圓的基本性質(zhì)性質(zhì)、切線的性質(zhì)與判別、三角形相似

等，有一定的綜合性，難度適中.

19.(2021?浙江九年級專題練習(xí))如圖，U4BC內(nèi)接于匚。，且N5為口0的直徑，OE匚AB

交ZC于點E,在OE的延長線上取點D,使得Z)E=DC.

(1)求證：CD是。的切線；

(2)若ZC=26,BC=yj5,求CD的長.

D

【答案】（1）見解析；（2）—

【分析】

（1）連接0C,由等腰三角形的性質(zhì)得出:1DCE=CLDEC,CA=QACO,可得出

DCE+ACO=90°,則可得出結(jié)論.

（2）過點。作。尸CE于點F,由勾股定理求出/8=5,證明AOEACB,得出比

AnAf

例線段一=—,可求出力區(qū)證明〕。產(chǎn)cnzcs,由相似三角形的性質(zhì)得出

ACAB

—,則可得出答案.

BCAB

【詳解】

（1）證明：連接0C,如圖1,

口DC=DE,

□□￡>C￡=DEC,

□□DEC=\AEO,

□O力匚O￡,

□□4+ZUEO=90。,

□U￡>C￡+LJ=90°,

UOA=OCf

□□J=LJCO,

□□QCE+匚力。0=90。,

OCDC,

8是。的切線；

(2)如圖2,過點。作。/TICE于點F,

AC=25BC=下,

AB=ylAB2+BC2=5-

AB為。的直徑，

-8=90。，

QQACB=QAOE,

XUUJ=LJ,

□□