2020-2021學(xué)年洛陽市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(含解析)

2020-2021學(xué)年洛陽市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.下列說法正確的是（）

A.命題q：€R,x2+x+1<0是真命題

B.“x=1”是“/一3x+2=0”的充分必要條件

C.若p且q為假命題，則p和q均為假命題

D.“若/-3%+2=0,則x=r的逆否命題為：“若x*1則/一3x+2M0”

2.10.同學(xué)們研究制作一個三角形，要求它的三條高的長度分別為巨|,則同學(xué)們（）

A.不能作出這樣的三角形B.能作出一個銳角三角形

C.能作出一個直角三角形D.能作出一個鈍角三角形

3.雙曲線菁―3=1的漸近線方程是（）

2439

A.y=±-xB.y=±-xC.y=±-xD.y=±-x

4.已知函數(shù)頻磁=也普J(rèn),則畸加碣成且“學(xué)苑,有|演蜀盛-歲電琮：|與|暢一強(qiáng)|的大小關(guān)

系為

A.?,頻堿-歲返砌q時一叫B.?黃瑜一舞球:忸時一強(qiáng)?

c.L颼瑜;一負(fù)犯j汨畫一強(qiáng)|D.不能確定

5.如圖是正方體ABCD-dB'C'。'中，異面直線4'。與C。'所成的角是（）>--------[

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

設(shè)非負(fù)實數(shù)x,y滿足約束條件L+y~-4>o則z=2x+3y的最大值為（

D.12

已知等比數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=2"-1,則數(shù)列｛logzan｝的前11項和等于（

A.1023B.55C.45D.35

8.設(shè)aeR,且（a+i）2i為正實數(shù)，則a=（）

A.2B.1C.0D.-1

9.已知圓。：%2+y2=4,過點的兩條弦AC,BD互相垂直，則4C+BD的最大值是（）

A.6B.2V10C.4^3D.5或

10.已知數(shù)列｛斯｝,｛%｝滿足：azn-i=bn,a2n=7^2n+i'且｛即｝為等比數(shù)列.若。2+。2=1。8,

則數(shù)列｛%｝的通項公式為%=（）

A.4nB.9nC.16nD.25n

11.橢圓兩焦點Fi、F2,過a作直線4B與橢圓交于4、B兩點，AaBF2為正三角形，則橢圓的離心率

為（）

A.遺B.JC.涯D.；

3322

12.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為啊，a,b,c,Me=V2,b=巫,B=120°,則AABC

的面積等于（）

A.立B.漁C.V3D.V2

22

二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15。相距20里處，隨后貨輪按北偏西30。的方向航

行，半小時后，又測得燈塔在貨輪的北偏東45。處，則貨輪的航行速度為里/小時.

14.設(shè)函數(shù)y=x2-3x2/乜+2x4n-\neN*）的圖象在x軸上截得的線段長為“，記數(shù)列｛%｝的

前n項和為方,若存在正整數(shù)n,使得log2（Sn+1）m~n2>60成立,則實數(shù)Tn的最小值為.

15.設(shè)函數(shù)/'（X）=AsM0x+0）（4>0,3>0,|如<今的最大值為2,其圖像相鄰兩條對稱軸間的距

離為今且/（x）的圖像關(guān)于點（；,0）對稱，則下列判斷正確的有.

①函數(shù)f（x）在邑由上單調(diào)遞減；

②函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于直線％=空對稱；

③當(dāng)％6[—也割寸，函數(shù)f（x）的最小值為一2；

④要得到函數(shù)f（x）的圖象只需將y=2s譏2x的圖象向左平移;個單位.

16.己知竄是拋物線窗/=則:的焦點，過，軟且斜率為翼的直線交。T-JI殿兩點.設(shè)網(wǎng)>幽|，

則襟|的值等于

三、解答題（本大題共6小題，共72.0分）

17.在△力BC中，角4、B、C的對邊分別為a、b、c,已知2sinC=2sim4cosB+sinB.

(1)求角4的大?。?/p>

(2)若c=2舊s譏C,且b=8，求A/IBC的周長.

2722

18.己知小為實常數(shù).命題p：方程工-=1表示焦點在y軸上的橢圓；命題q：方程，一+以=1

2mm—6m+1m—1

表示雙曲線.若命題p或q為真命題，且命題p且q為假命題，求小的取值范圍.

19.如圖：設(shè)一正方形ABC。邊長為2分米，切去陰影部分所示的四個全等的等腰三角形，剩余為一

個正方形和四個全等的等腰三角形，沿虛線折起，使AB、C、。四點重合，記為4點.恰好能

做成一個正四棱錐(粘貼損耗不計)，圖中4H1PQ,。為正四棱錐底面中心.

(I)若正四棱錐的棱長都相等，求這個正四棱錐的體積V;

(H)設(shè)等腰三角形4PQ的底角為X,試把正四棱錐的側(cè)面積S表示為x的函數(shù)，并求S的范圍.

20.如圖，4BCDEF—4B1GD1E1K是底面半徑為1的圓柱的內(nèi)接正六

棱柱(底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面)，過FB作圓柱的截面交下

底面于CiE],已知尸C】=g.

(1)證明：四邊形BFEiG是平行四邊形；

(2)證明：FBICBi；

(3)求三棱錐A-&BF的體積.

21.己知等差數(shù)列｛an｝和正項等比數(shù)列｛%｝,的=瓦=1,。3+。5+。7=9,即是83和劣等比中項?

(I)求數(shù)列｛an｝、｛%｝的通項公式；

(11)若“=廣十一，求數(shù)列｛7｝的前n項和?；?

unun+l

22.已知動圓C過點尸(1,0),且與直線x=-l相切.

(1)求動圓圓心C的軌跡方程E；

(2)已知點P(l,-2),Q(8,2),過點Q的直線/交曲線E于點4,B,設(shè)直線PA,PB的斜率分別為自，k2,

求證：自七為定值，并求出此定值.

參考答案及解析

1.答案：D

解析：解：?.?/+x+1=(x+[)2+：>0,...命題q：eR,/+X+1<0是假命題，A錯誤；

u

由/—3x+2=0,得x=1或％=2,Ax=1”是"工2—3x+2-0"的充分不必要條件,8錯誤；

p,q中有一個為假命題，則p且q為假命題，C錯誤；

“若/-3尤+2=0,貝b=l”的逆否命題為“若XK1,則/-3%+2力0”，D正確.

故選：D.

配方求出M+x+1的范圍判斷4；求解一元二次方程的根判斷B；由復(fù)合命題的真值表判斷C；寫出

命題的逆否命題判斷

本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了充分必要條件的判斷方法，是基礎(chǔ)題.

2.答案：D

解析：s

3.答案：A

解析：解：???雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為正一藝=1,

94

其漸近線方程是互-叱=0，

94

整理得y=±|x.

故選：A.

漸近線方程耳_9=°,整理后就得到雙曲線的漸近線方程.

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，令標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”為“0”即可求出漸近線方程.屬于基礎(chǔ)

題.

4.答案:A

解析：試題分析：k電利-加頷耳=|腐？一爐周=

加金T"十.用，

加**如同=加+優(yōu)+孀:方忖.?+同引尿*強(qiáng)?，所以忸蝌,卜，翻叫犧卜=忖.-海?，故

選A.

考點：本題考查了重要的絕對值不等式的運用

點評：熟練掌握重要的絕對值不等式及其變形是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題

5.答案：C

解析：解：在正方體4BC0-AB'C'。'中，連結(jié)CB',B'D'

設(shè)正方體的邊長為1,

在ACB'D'中，CD'=CB'=B'D'=V2

所以：△CB'D'為等邊三角形

AB'CD'=60°

即：異面直線4D與CD'所成的角為：60°

故選：C

首先通過做平行線把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面直線所成的角，進(jìn)一步通過解三角形知識得到結(jié)

果.

本題考查的知識要點：空間問題向平面問題的轉(zhuǎn)化，異面直線的夾角問題.

6.答案：B

解析：解：令2x+3y=+y)+n(2x+y),則

(m+2n=2

im+n=3'?-w=4A,n=-lA,

2x+3y=4(%+y)—(2x+y)<12—4=8,

???z=2x+3y的最大值為8,

故選:B.

令2x+3y=m(x+y)+n(2x+y),可得m=4,n=-1,結(jié)合條件，即可求出2=

2x4-3y的最大值.

本題考查目標(biāo)函數(shù)的最大值，考查學(xué)生的計算能力，正確運用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.

7.答案：B

解析：

本題考查數(shù)列求和，對數(shù)運算法則的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用等比數(shù)列的和，求出通項公式，利用對數(shù)運算法則求解新數(shù)列的和.

解：等比數(shù)列｛即｝的前律項和方=2兀-1,可得a“=Sn-Sn_i=2"T,當(dāng)n=l時，也符合上式,

數(shù)列｛1。82冊｝的前11項和：log2al+log2a2+log2a3+…+log2ali

=l°g2(ala2a31??all)

=臉2°+1+2+3+…+1。

=1+2+3+…+10=55.

故選8.

8.答案：D

解析：解：(a+i)2i=(a2+2ai—l)i=—2a+(a2—l)i>0,a——1.故選D.

注意到a+bi(a,b€R)為正實數(shù)的充要條件是a>0,b=0

本題的計算中，要注意到相應(yīng)變量的范圍.

9.答案：B

解析：解：如圖，作0E14C、OF1BD,

分別連接OB、OM、0C,

貝iJOE?=OC2-CE2,

OF2=ME2=OM2-OE2=OM2-(OC2-

CE2)=OM2+CE2-OC2,

BF2=OB2-OF2=OB2-(OM2+CE2-OC2)

=OB2+OC2-OM2-CE2=2(0B)2-OM2-

CE2.

由題意知：OB=2、OM=V3，

故BF=y/5-CE2.

則：AC+BD=2CE+2BF=2(CE+BF)

=2(CE+J5-CE2)

由不等式x4-y<y/2(x24-y2),

得：CE+V5-CE2<V2(CE2+5-CF2)=VlO.

所以4C+BOW2?U，即AC+8。的最大值為2汨.

故答案為：

作OE1AC.OF1BD,分別連接OB、OM、OC,貝UOE2=OC2-CE2,OF2=ME2=OM2-OE2=

OM2-(OC2-CE2)=OM2+CE2-OC2,BF2=OB2-OF2=OB2-(OM2+CE2-OC2)=

2222

OB+OC-OM-CE=2(08)2—0M2_CE?.由此能求出4c+BD的最大值.

本題考查兩條線段和的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運用.

10.答案:B

解析：解：???｛&｝為等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,則即=aiq“i,

'1'a2n-l=匕,a2n=yj^2n+l'則勺>°，

n=l時，a2=當(dāng)ri=2時，b2=a3；當(dāng)n=3時,，b3=a5,

2

a2=yfa^,arq=J%q4,ar=q,

243

,■a2+b2=108,a2+a3=arq+arq=q+q=108,

n+1

??q=3,=9,an=3,

2n

bn=a2n-l=3=9".

故選：B.

｛即｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q,然后根據(jù)條件建立關(guān)于q的方程，得到斯的通項公式，然后根據(jù)

a2n-i=砥得到時?

本題考查了由遞推公式求通項公式，關(guān)鍵是明確遞推公式與通項公式的異同，屬中檔題.

11.答案：A

解析：解：由題意，△力為正三角形，則=曰|何，

BF2AB1FXF2,2c48|=40|

lb2

???2c=V3----

a

LCl2—C2

2c=v3----------

a

：.V3e2+2e-V3=0

V3

"e=T

故選：A.

由題意，則=串的=曲由此可得的方程，即可求得橢圓的離心率.

AB1FXF2,2c4&|，a,c

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

12.答案：B

解析：解：由余弦定理知。58=手上=嘿2￡=一3

2ac2V2a2

求得a=-2夜或方（舍去）

二三角形的面積S=-acsinB=-xV2xV2x—=—,

2222

故選B.

先由余弦定理求得a,進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式求得答案.

本題主要考查了余弦定理和正弦定理的運用.考查了學(xué)生的分析和運算的能力.

13.答案：20（遍一夜）

解析：解：貨輪按北偏西30度的方向航行，半小時后到的點為N,AMNS中，4M=45。，NS=30。，

乙N=105°,過N作N”垂直于MS,得兩個特殊的直角三角形，設(shè)NH=X,則MH=x,HS=20-x,

tanS=—=—^―=—>求得x=10（V3—1）

HS20-x3',

???NM=V2x=10（V6-V2）

???貨輪的航行速度為皿*收=20（V6-遮）里/每小時.

2

故答案為：20（遙—V2）

設(shè)半小時后到的點為N,依題意可知4M,ZS,乙N,設(shè)NH=x,則M〃=x,HS=20-x,進(jìn)而在

直角三角形NHS中利用tanS=警求得NH,進(jìn)而求得MN.利用路程除以時間即可求得貨船的速度.

no

本題主要考查了解三角形的實際應(yīng)用.注意利用建立數(shù)學(xué)模型，充分利用數(shù)學(xué)知識來解決問題.

14.答案：29

2n-1nn-1n

解析：解：令y=%—3x2x4-2x4t=0,解得與=2,x2=2x2一】，

n

:.dn=x2—xr=2-i.

2n—1

.-.s=—=2n-l.

n2-1

2

A10g2（Sn+1）m-M>60化為九O-n）>60,

、、。

m>——60Fi?=—30I---3--0-F2>3o3o--3-----3-0--=o90,cc

nnnnn

取71=3時，m取得最小值29.

故答案為：29.

2nn-1—x

令y=%-3x2t%+2x4=0,可得小=x2i=2-1.利用等比數(shù)列的前n項和公式可得

nmn22

Sn=2-l.log2(Sn+1)->60化為-n)>60,

m>-+n2,變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.

n

本題考查了等比數(shù)列的前n項和公式、基本不等式的性質(zhì)、一元二次方程的解法，考查了推理能力與

計算能力，屬于中檔題.

15.答案：②③

解析：解：函數(shù)/(x)=As譏(5+8)(力>0,3>0,切<今的最大值為2,

故4=2,

函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為今

所以函數(shù)的最小正周期為7=兀，所以3=2,

且的圖像關(guān)于點(?0)對稱，2x^+(p=kn(kEZ),整理得：(p=k7t-^keZ),

由于|釗<三故9=一不

所以/'(x)=2sin(2x-3).

對于①，由于牌xW拳所以0W2x-譯兀，函數(shù)/(X)在扇祟上單調(diào)遞減，故①錯誤；

對于②，當(dāng)“苦時，/用=2sin()-：)=2,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線％=1對稱,故②正確；

對于③，當(dāng)丫€[-2幣時，故2x-注[一號幣，當(dāng)“需時，函數(shù)/⑺的最小值為一2,故③正確；

④要得到函數(shù)f(x)的圖象只需將y=2sin2x的圖象向左平移;個單位得到/(x)=2sin[2(x+=)]=

2sin(2x+》的圖象，故④錯誤.

故答案為：②③.

首先利用已知條件求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用判斷①②③④的結(jié)論.

本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的求法，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算

能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.答案:3

解析:試題分析：F(l,0),設(shè)4(%1，%)8(工2，丫2)

由,"岳曰

I/=4不

1

整理得3--10%+3=0,所以％i=3,%2=-?（久1>工2）

署

???由拋物線的定義知

伊嫉I同胃1辛」=學(xué)

兩=壽=知，

故答案為3。

考點：本題主要考查拋物線的定義，拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系。

點評：中檔題，涉及直線與拋物線的位置關(guān)系，由于曲線方程已確定，所以通過解方程組，得到點

的坐標(biāo)，利用拋物線的定義，得到線段長度得解。

17.答案：解：（1）因為2sinC=2sinAcosB+sinB.

qf以2sin（4+B）=2sinAcosB+sinB.

整理得2cosAsinB=sinB,

因為sinB>0,

所以cosA=I，

由A為三角形內(nèi)角得A=會

(2)因為c=26stnC，

由正弦定理得急=肅=2次,

所以a=2V3sin^=3,

因為b—陋,a2=b2+c2—be,

所以9=3+c2-V3c，

解得c=2百，

△ABC的周長為a+b+c=3+3V3-

解析：（1）由已知結(jié)合和差角公式及誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡可求cos4進(jìn)而可求4

（2）先由正弦定理可求a,然后結(jié)合余弦定理求出c,進(jìn)而可求.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.答案：解：若命題p為真命題時，

m—6Vo

2m>0,得0<znV2;

—(m-6)>2m

若命題q為真命題，

貝ij(zn+l)(m-1)<0,

解得一<m<1,

由題意，命題p或q一真一假，

則p真q假時，1<m<2,

p假q真時，

故m的取值范圍是(一1,0]U[1,2).

解析：本題考查了橢圓、雙曲線的定義，考查復(fù)合命題的判斷，是一道基礎(chǔ)題.

分別求出關(guān)于p,q的m的范圍，根據(jù)命題p或q一真一假，從而求出m的范圍.

19.答案：解：(/)若正四棱錐的棱長都相等，則在正方形4BC。中，三角形4PQ為等邊三角形，設(shè)邊

長為a,

?.?正方形4BCD邊長為2分米，.?.4"=更a===*W解得(1=斗=逐-&

2221+V3

正四棱錐的棱長。=遍一夜

???PO=—a.AO=>JAP2-PO2=-a-

22

V=-xa2xAO=-a3=—x(V6—V2)3=4V5—竺

3663

1AC-PQ2V2-PQr-1

(//)vAH=-PQxtanx=-=-=y[2--PQ

2V2Ayf2tanx

,AHRR=

1+tanx--------------1+tanx

1

S=4x-xPQxAH

=2xPQxAH

2>/2y[2tanx

-2x_______x_______

1+tanx1+tanx

8tanxr；r71、

（1+tanx）2X，4‘2）

c8tanx8tanx8,8_.,.7.

=2r

'''S=（1+tanx）2=l+tan^+2tanx=jtanx+2-（當(dāng)且僅當(dāng)tGlX=1即％=1時取等號）

而tanx>0,故s>0

：S等于2時三角形4PQ是等腰直角三角形，頂角P4Q等于90。，陰影部分不存在，折疊后4與。重合,

構(gòu)不成棱錐，.??5的范圍為（0,2）.

解析：（/）若正四棱錐的棱長都相等，則在正方形4BCD中，三角形4PQ為等邊三角形，由此先計算

出此正四棱錐的棱長，再利用正棱錐的性質(zhì)計算其體積即可；

（〃）先利用等腰三角形4PQ的底角為x的特點，將側(cè)棱長和底邊長分別表示為x的函數(shù)，再利用棱錐

的體積計算公式將棱錐體積表示為關(guān)于x的函數(shù)，最后可利用均值定理求函數(shù)的值域

本題主要考查了正四棱錐的幾何性質(zhì)，正四棱錐中的棱長、高、體積的計算，建立函數(shù)模型并求其

最值的方法，有一定的難度

20.答案：（本小題滿分14分）

證明：（1）因為圓柱的上下底面平行，

且FB、G%是截面與圓柱上、下底面的交線，

所以尸B〃GEr（l分）

依題意得，正六邊形ABCDEF是圓內(nèi)接正六邊形，

所以，正六邊形的邊長等于圓的半徑，即48=力尸=1.（（2分））

在AABF中，由正六邊形的性質(zhì)可知，/.BAF=120%

所以，BF2=AB2+AF2-2AB-AFcosl20°=2-2x（-|）=3,即BF=b（（3分））

同理可得6邑=如，所以F8=GEi，故四邊形BFEiG是平行四邊形.（4分）

（注：本小問的證明方法較多，如有不同證明方法請參照上述證明給分）

（2）連接FC,則FC是圓柱上底面的圓的直徑，vZ.CBF=90°,即BF_LBC（6分）

又???J?平面4BCDEF,BFu平面力BCDEF,ABF1BrB（7分）

vB、BnBC=B,

???BF_L平面BiBCCi.（8分）

又BiCu平面BiBCG，

???FB1CBp（9分）

（3）連接FiG，則四邊形CF&G是矩形，且FC=F[Ci=2,FFr1F&.

在RT△F&G中，F(xiàn)&=yjFCl-FxCf=3，

三棱錐4-ABF的高為3.（11分）

S^ABF=\AB-AFsin^BAF=1x1x1*今=F（12分）

.??三棱錐&-4B尸的體積以「MF=|SAXBF.FFi=今（13分）

又三棱錐&-4BF的體積等于三棱錐4-的體積，

???三棱錐4-4BF的體積等于手,（14分）

解析：（1）證明尸B〃CiEi.FB=GEi，即可證明四邊形BFEiG是平行四邊形.

（2）連接FC,則FC是圓柱上底面的圓的直徑，說明BF1BC,證明BF1B.B,推出BF1平面B/CG，

然后證明FB1CB].

（3）連接&G，求出三棱錐兒一4BF的高為3,求出三棱錐&一4BF的體積，通過三棱錐兒一48尸的

體積等于三棱錐4-&BF的體積，求解三棱錐4-4/F的體積.

本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，余弦定理，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面垂

直的判定，考查空間想象能力，計算能力.

21.答案：解：（I）設(shè)等差數(shù)列｛5｝公差為小正項等比數(shù)列｛%｝的公比為q,q>0，

???他+=9

3a5=9即的=3,

d=a^a1=l