中國人民解放軍軍隊(duì)院校招生考試復(fù)習(xí)資料數(shù)學(xué)部分

中國人民解放軍

軍隊(duì)院校招生考試復(fù)習(xí)資料

數(shù)學(xué)部分

基本知識(shí)?基本思想?基本方法

第一章集合與簡易邏輯

1.集合的概念

一定范圍的，確定的，可以區(qū)別的事物，當(dāng)作一個(gè)整體來看待，就叫做集合，簡稱集，其

中各事物叫做集合的元素或簡稱元.如：全體英文大寫字母,任何集合是它自身的子集.

2.元素與集合的關(guān)系：

元素與集合的關(guān)系有“屬于”與“不屬于”兩種。如：xGA；

3.集合的分類：

并集：以屬于A或?qū)儆贐的元素為元素的集合稱為A與B的并（集），記作AUB

（或BUA）,讀作“A并B”（或“B并A”），即AUB={x|xeA,或xWB}

交集：以屬于A且屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的交（集），記作AAB

（或BDA）,讀作“A交B”（或“B交A”），即ADB={xkdA且xGB}

例如，全集U={1,2,3,4,5}A={1,3,5}B={1,2,5},那么因?yàn)锳和B

中都有1,5,所以AnB={l,5}o再來看看，他們兩個(gè)中含有1,2,3,5這些個(gè)元素，

不管多少，反正不是你有，就是我有。那么說AUB={1,2,3,5}o圖中的陰

影部分就是APBo

無限集：集合里含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集

4.空集：包含于任何集合，但不能說“空集屬于任何集合”

5.補(bǔ)集：屬于全集U不屬于集合A的元素組成的集合稱為集合A的補(bǔ)集，記作

CuA,即CuA={xlWU,且x不屬于A}

空集也被認(rèn)為是有限集合。

例如，全集U={I,2,3,4,5}而人={1,2,5）那么全集有而A中沒有的

3,4就是CuA,是A的補(bǔ)集。CuA={3,4）.

6.某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，含有有限個(gè)元素叫有限集，含有無限個(gè)

元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做①?？占侨魏渭系淖蛹?，是任何

非空集的真子集，任何集合是它本身的子集，子集，真子集都具有傳遞性。

7.如果集合A的所有元素同時(shí)都是集合B的元素，則A稱作是B的子集，寫作A

UB。若A是B的子集，且A不等于B,則A稱作是B的真子集，寫作AUB。

8.集合元素的性質(zhì)：

1.確定性：每一個(gè)對(duì)象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能

成為集合，例如“個(gè)子高的同學(xué)”“很小的數(shù)”都不能構(gòu)成集合。這個(gè)性質(zhì)主要用于

判斷一個(gè)集合是否能形成集合。

2.互異性：集合中任意兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象。如寫成{1,1,2),等同于

{1,2}.互異性使集合中的元素是沒有重復(fù)，兩個(gè)相同的對(duì)象在同一個(gè)集合中時(shí)，

只能算作這個(gè)集合的一個(gè)元素。

3.無序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一個(gè)集合。

9.集合有以下性質(zhì)：若A包含于B,則ACB=A,AUB=B

10.集合的表示方法：常用的有列舉法和描述法。

(1)列舉法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來，

寫在大括號(hào)內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法。{1,2,3,……}

(2)描述法：常用于表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字，符

號(hào)或式子等描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)，這種表示集合的方法叫做描述法。{xIP}

(x為該集合的元素的一般形式，P為這個(gè)集合的元素的共同屬性)如：小于n

的正實(shí)數(shù)組成的集合表示為：{X|O<X<7T}

(3)圖式法(Venn圖)：為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉曲線(或者

說圓圈)，用它的內(nèi)部表示一個(gè)集合。

11.常用數(shù)集的符號(hào)：

(1)全體非負(fù)整數(shù)的集合通常簡稱非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N

(2)非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，也稱正整數(shù)集，記作N+(或N*)

(3)全體整數(shù)的集合通常稱作整數(shù)集，記作Z

(4)全體有理數(shù)的集合通常簡稱有理數(shù)集，記作Q

(5)全體實(shí)數(shù)的集合通常簡稱實(shí)數(shù)集，記作R

(6)復(fù)數(shù)集合計(jì)作C

12.集合的運(yùn)算:

集合交換律

AAB=BnA

AUB=BUA

集合結(jié)合律

(AnB)nc=An(Bnc)

(AUB)UC=AU(BUC)

集合分配律

An(Buc)=(Are)uQnc)

AU?nc>(AuB)n(Auc)

13.集合吸收律

AU(APB)=A

AA(AUB>A

集合求補(bǔ)律

AUCuA=S

ADCuA=?l)

設(shè)A為集合，把A的全部子集構(gòu)成的集合叫做A的幕集

德摩根律A-(BUC)=(A-B)CI(A-C)

A-(BnC)=(A-B)U(A-C)

14.數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法，解題時(shí)要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋

恩圖等工具，將抽象的代數(shù)問題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想

方法解決；

15.判斷命題的真假要以真值表為依據(jù)。原命題與其逆否命題是等價(jià)命題，逆命題與

其否命題是等價(jià)命題，一真俱真，一假俱假，當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判斷時(shí)，可考慮

判斷其等價(jià)命題的真假；

16.含n個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)為2n,真子集(非空子集)個(gè)數(shù)為2n-l;非空真子

集2n—2；”是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

17.三種命題

(1)對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論

和條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)命題叫做原命題，另外一個(gè)命

題叫做原命題的逆命題。

(2)對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的條件

的否定和結(jié)論的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互否命題，其中一個(gè)命題叫做原命題，

另外一個(gè)命題叫做原命題的否命題。

(3)對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論的

否定和條件的否定，那么這兩個(gè)命題叫做互為逆否命題，其中一個(gè)命題叫做原命

題，另外一個(gè)命題叫做原命題的逆否命題。

18.四種命題的相互關(guān)系

1.四種命題的相互關(guān)系：原命題與逆命題互逆，否命題與原命題互否，原命題

與逆否命題相互逆否，逆命題與否命題相互逆否，逆命題與逆否命題互否，逆否

命題與否命題互逆。

2.四種命題的真假關(guān)系：(1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性。(2)

兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系

19.簡單命題之間的關(guān)系

1、能夠判斷真假的陳述句叫做命題，正確的命題叫做真命題，錯(cuò)誤的命題叫

做假命題。

2、“若p,則q”形式的命題中p叫做命題的條件，q叫做命題的結(jié)論。

3、命題的分類：

①原命題：一個(gè)命題的本身稱之為原命題，如：若x>L則f(x)=(x-l)A2

單調(diào)遞增。

②逆命題：將原命題的條件和結(jié)論顛倒的新命題，如：若f(x)=(x-lr2單

調(diào)遞增，則x>l。

③否命題：將原命題的條件和結(jié)論全否定的新命題，但不改變條件和結(jié)論的

順序，如：若x《1,貝Ijf(x)=(x-l)0不單調(diào)遞增。

④逆否命題：將原命題的條件和結(jié)論顛倒，然后再將條件和結(jié)論全否定的新

命題，如：若f(x)=(x-l'2不單調(diào)遞增，則x《l。

4、命題的否定

命題的否定是只將命題的結(jié)論否定的新命題，這與否命題不同。

5、4種命題及命題的否定的真假性關(guān)系

20.充分條件與必要條原命題和逆否命題等價(jià)，否命題和逆命題等價(jià)，命題的否定與原

命題的真假性相反。

21.充分條件與必要條件

1、“若p,則q"為真命題，叫做由p推出q,記作p=>q,并且說p是q的

充分條件，q是p的必要條件。

2、”若p,則q”為假命題，叫做由p推不出q,記作p盧*q,并且說p不是

q的充分條件(或p是q的非充分條件)，q不是p的必要條件(或q是p的非必

要條件)。

22.充要條件

如果既有p=>q，又有q=>p，就記作p<=>q,并且說p是q的充分必要條件

(或q是p的充分必要條件)，簡稱充要條件。

原命題和逆否命題等價(jià)，否命題和逆命題等價(jià)，命題的否定與原命題的真假性相

反。

23.幾種常見的邏輯連接詞

(1)且

1、用聯(lián)結(jié)詞“且”把p與q聯(lián)結(jié)起來稱為一個(gè)新命題，記作pCq,讀作“p且

q”。

2、命題pAq的真假的判定：

當(dāng)兩個(gè)命題p和q都是真命題時(shí)，形成的新命題p且q就是真命題。如果

兩個(gè)命題p和q其中有一個(gè)是假命題，形成的新命題p且q就是假命題。

(2)或

1、用聯(lián)結(jié)詞“或”把p與q聯(lián)結(jié)起來稱為一個(gè)新命題，記作pUq,讀作“p

或q”。

2、命題pvq的真假的判定：

當(dāng)兩個(gè)命題p和q其中有一個(gè)是真命題時(shí)，形成的新命題p或q就是真命

題。當(dāng)兩個(gè)命題p和q都是假命題時(shí)，形成的新命題p或q就是假命題。

(3)非

1、對(duì)于一個(gè)命題p如果僅將它的結(jié)論否定，就得到一個(gè)新命題，記作ip,

讀作“非P”。

2、命題1P的真假的判定：

在命題和他的非命題中，有一個(gè)且只有一個(gè)是真命題。

例

P：平面內(nèi)垂直于同一條直線的的兩條直線平行，q：平面內(nèi)垂直于同一條直

線的的兩條直線不平行。

其中，p是真命題，q是假命題。

注：1.注意區(qū)分集合中元素的形式.如：{wy=igx}一函數(shù)的定義域；{yiy=igx}-

函數(shù)的值域；

{(x,y)ly=lgx}-函數(shù)圖象上的點(diǎn)集.

2.集合的性質(zhì)：①任何一個(gè)集合A是它本身的子集，記為4aA.

②空集是任何集合的子集，記為0GA.

③空集是任何非空集合的真子集；注意:條件為4=8,在討論的時(shí)候不要遺忘

了A=0的情況

如：A={xlM-2x-1=0},如果An/?+=0,求。的取值.（答：a<0）

@Q.（AA?）-CyAUQ.B,C（y（AUBAAC,.B.Qn?）nc=/1ABAC.

（4U6）UC=AUBUC.

⑤

Ar\B=A<^>A\JB=BAcB<=>Ct.BcCt,A<=>AACyB=0oCVA\JB=R

⑥AU8元素的個(gè)數(shù)：card{AU=cardA+cardB-card（AAB）_

⑦含〃個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)為2"；真子集（非空子集）個(gè)數(shù)為2"-1；非空

真子集個(gè)數(shù)為2"-2.

3.補(bǔ)集思想常運(yùn)用于解決否定型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。

如：已知函數(shù)/（x）=4/_2（p_2）x_2p2-p+l在區(qū)間上至少存在一

個(gè)實(shí)數(shù)0,使

/⑹>。,求實(shí)數(shù)P的取值范圍.（答：（T2））

4.原命題：0=4；逆命題：“no；否命題：「Pn「叫逆否命題：f=「P；

互為逆否的兩

個(gè)命題是等價(jià)的.如："Sina‘sin4”是“a#￡”的條件.（答：充分非

必要條件）

5.若P=彳且"公P,則P是《的充分非必要條件（或'/是P的必要非充分條件）.

6.注意命題pnq的否定與它的否命題的區(qū)別：命題p=g的否定是pnrq；否

命題是R=F.

命題，，0或4”的否定是“「P且「9”；“〃且4”的否定是“rp或.

如：“若a和b都是偶數(shù)，則”+b是偶數(shù)”的否命題是“若口和匕不都是偶數(shù),

則a+b是奇數(shù)”

否定是“若。和人都是偶數(shù)，則&+”是奇數(shù)”.

7.常見結(jié)論的否定形式

原結(jié)論否定原結(jié)論否定

是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有

都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)

大于不大于至少有n個(gè)至多有1個(gè)

小于不小于至多有〃個(gè)至少有〃+1個(gè)

對(duì)所有X,成立存在某X,不成立p我q且一)“

對(duì)任何X,不成立存在某X,成立p且q-、P或一\Q

8.四種命題：

⑴原命題：若p則q；⑵逆命題：若q則p；

⑶否命題：若「p則->q；⑷逆否命題：若「q則「p

注：原命題與逆否命題等價(jià)；逆命題與否命題等價(jià)。

9.充要條件的判斷：

(1)定義法?…正、反方向推理；

(2)利用集合間的包含關(guān)系：例如：若A=B,則A是B的充分條件或B是A

的必要條件；若人=15,則A是B的充要條件；

10.邏輯連接詞：

⑴且(and)：命題形式pAq；PqPAqpvq-1]>

⑵或(or)：命題形式pvq；真真真真假

⑶非(not)：命題形式-ip.真假假真假

假真假真真

假假假假真

11.全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞……“所有的”、“任意一個(gè)”等，用V表示;

全稱命題p：VxcM,p(x)；全稱命題p的否定「p：

⑵存在量詞.....“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等，用三表示；

特稱命題p：3xeM,p(x),特稱命題p的否定「p：

VxGM.

第二章函數(shù)

1.①映射/：A->8是：⑴“一對(duì)一或多對(duì)一”的對(duì)應(yīng)；⑵集合A中的元素必有

象且A中不

同元素在B中可以有相同的象；集合8中的元素不一定有原象（即象集=3）.

②一一映射⑴“一對(duì)一”的對(duì)應(yīng)；⑵A中不同元素的象必不同,8

中元素都有原象.

2.函數(shù)/：4-8是特殊的映射.特殊在定義域力和值域6都是非空數(shù)集！據(jù)此可

知函數(shù)圖像與x軸

的垂線至多有一個(gè)公共點(diǎn),但與）’軸垂線的公共點(diǎn)可能沒有，也可能有任意個(gè).

3.函數(shù)的三要素：定義域，值域，對(duì)應(yīng)法則.研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原

則.

4.求定義域:使函數(shù)解析式有意義（如:分母7°;偶次根式被開方數(shù)非負(fù);對(duì)數(shù)真數(shù)

>0,底數(shù)〉0

且*1;零指數(shù)幕的底數(shù)W0）;實(shí)際問題有意義；若"X）定義域?yàn)橹登校瑥?fù)合

函數(shù)/［g（x）］定義

域由a4g（x）4b解出；若〃g（x）］定義域?yàn)镾，■，則人劃定義域相當(dāng)于［”向

時(shí)g（x）的值域.

5.求值域常用方法：①配方法（二次函數(shù)類）；②逆求法（反函數(shù)法）；③換元法（特別

注意新元的范圍）.

④三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來求值域；

⑤不等式法⑥單調(diào)性法；⑦數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的

方法來求值域；

⑧判別式法（慎用）：⑨導(dǎo)數(shù)法（一般適用于高次多項(xiàng)式函數(shù)）.

6.求函數(shù)解析式的常用方法：⑴待定系數(shù)法（已知所求函數(shù)的類型）；⑵代換（配湊）

法；

⑶方程的思想-…對(duì)已知等式進(jìn)行賦值，從而得到關(guān)于〃幻及另外一個(gè)函數(shù)

的方程組。

7.函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性

⑴函數(shù)有奇偶性的必要條件是其定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，確定奇偶性方法

有定義法、圖像法等；

⑵若f（x）是偶函數(shù)，那么〃x）=/（-x）=/（bD;定義域含零的奇函數(shù)必過原

點(diǎn)（/（°）=°）;

⑶判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式："x）±/（-x）=°或

---=±l（/（x）*O）

/（X）.?

⑷復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.

注意：若判斷較為復(fù)雜解析式函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先化簡再判斷；既奇又偶

的函數(shù)有無數(shù)個(gè)

（如內(nèi)幻二°定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可）.

⑸奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)

有相反的單調(diào)性；

⑹確定函數(shù)單調(diào)性的方法有定義法、導(dǎo)數(shù)法、圖像法和特值法（用于小題）等.

⑺復(fù)合函數(shù)單調(diào)性由“同增異減”判定.（提醒：求單調(diào)區(qū)間時(shí)注意定義域）

y=log,（-x2+2x）

如：函數(shù)3的單調(diào)遞增區(qū)間是--------------.（答：（L2））

8.函數(shù)圖象的幾種常見變換⑴平移變換：左右平移......“左加右減”（注意是針

對(duì)x而言）；

上下平移一…“上加下減”（注意是針對(duì)"X）而言）.⑵翻折變換：/（x）T/（x）l；

⑶對(duì)稱變換：①證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（軸）

的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上.

②證明圖像G與C?的對(duì)稱性，即證G上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍

在《?上，反之亦然.

③函數(shù)與y=/（r）的圖像關(guān)于直線x=0（y軸）對(duì)稱；函數(shù)、=/（》）

與函數(shù)

>=/（-x）的圖像關(guān)于直線y=O（.r軸）對(duì)稱；

④若函數(shù)y=對(duì)xwR時(shí)，〃a+x）=〃a-x）或/（x）=/（2"-x）恒成立，則

y=/（x）圖像關(guān)

于直線x=a對(duì)稱；

⑤若y=/（x）對(duì)xe/?時(shí),/（a+x）=/3_x）恒成立，則y=/（x）圖像關(guān)于直線

a+b

X=

2對(duì)稱；

b-a

⑥函數(shù)了=/（"+幻，）'=/'（"一刈的圖像關(guān)于直線.2對(duì)稱（由a+x=b-x

確定）;

a+b

⑦函數(shù)y="x_.）與）'=/（"一幻的圖像關(guān)于直線.—一丁對(duì)稱；

,=￡，=〃x）+A-/（x）

⑧函數(shù)y=/（x）,y=A-/（x）的圖像關(guān)于直線?'一萬對(duì)稱（由?'一2

確定）；

⑨函數(shù)y=/（x）與y=-/（-x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；函數(shù)

y=/（x）y=n-f（m-x）

的圖像關(guān)于點(diǎn)22對(duì)稱；

⑩函數(shù)y=/a）與函數(shù)）'=廠’。）的圖像關(guān)于直線》=x對(duì)稱；曲線G：

〃x,y）=O,關(guān)于

y=x+a,）'=-x+a的對(duì)稱曲線G的方程為〃y_a，x+a）=°（或

f（-y+a,-x+a）=O^

曲線G：〃x，y）=°關(guān)于點(diǎn)色力）的對(duì)稱曲線c?方程為：

f（2a-x,2h-y）=0

9.函數(shù)的周期性：⑴若y=〃x）對(duì)尤€氏時(shí)〃x+a）=/（x—a）恒成立，貝|j的周

期為2141：

⑵若＞'=/（x）是偶函數(shù)淇圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則/（x）的周期為21。1；

⑶若卜=/（外奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=。對(duì)稱，則/（X）的周期為41環(huán)；

⑷若/=/（尤）關(guān)于點(diǎn)30）,（40）對(duì)稱,則/（了）的周期為21°_加；

⑸y=/*)的圖象關(guān)于直線工=〃/=仇。,。)對(duì)稱,則函數(shù)〉二/(燈的周期為

21。一》

“、1

f(X+Q)=----

(6)y=/(X)對(duì)xeR時(shí),/(x+a)=~fM或f(x)，則y=/(%)的周期

為21al

10.對(duì)數(shù)：⑴l°g"b=log/'3>°，。"力>°，"€.)；出對(duì)數(shù)恒等式

a*"=N(a>0,aWl,N>()).

M

10g?(M-N)=log,,M+log"N;log,,-=log“M-logaN;log“M"=nlog?Af

⑶N

_1log.N

\og>[M=-\ogMlogN=-----八八-1、

a〃a；⑷對(duì)數(shù)換底公式w砥a(a>0，awl，">0/'l)；

推論：l°g〃b"°gbc."g，〃=1=l°g/2?log。?4……log"%=bgq

(以上M>O,N>OM>O,QWl,b>b,bwl,c>0,cw1,4,4,…?！?gt;。且。i，4,…?！熬?/p>

不等于1)

11.方程女=/(外有解=(。為F(x)的值域)；aN/(x)恒成立

O"N"(x)］垠人值

9

a4f(x)恒成立o"4"(x)】最小值.

12.恒成立問題的處理方法：⑴分離參數(shù)法(最值法)；⑵轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布

問題；

13.處理二次函數(shù)的問題勿忘數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最值，求最值問題用

“兩看法”：

一看開口方向；二看對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系；

2

14.二次函數(shù)解析式的三種形式：①一般式：fM=ax+hX+c(a^0)t②頂點(diǎn)式：

2

f(x)=a(x-h)+k(a^0)；③零點(diǎn)式：f(x)=a(x-xt)(x-x,)(a0)_

15.一元二次方程實(shí)根分布:先畫圖再研究△>°、軸與區(qū)間關(guān)系、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)；

16.復(fù)合函數(shù)：⑴復(fù)合函數(shù)定義域求法：若八處的定義域?yàn)槌隽Γ?，其?fù)合函數(shù)

力g(x)]的定義域可由

不等式"4g(x)Mb解出；若/[g(x)]的定義域?yàn)樾∏?求"X)的定義域，相當(dāng)

于切時(shí)，求

g&)的值域；⑵復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定.

17.依據(jù)單調(diào)性,利用一次函數(shù)在區(qū)間上的保號(hào)性可解決求一類參數(shù)的范圍問題：

[/(a)>0f/(a)<0

<=>〈

/(")=g(x)”+〃(x)20^40)(a4“4b)[/(/?)NO(或[f(b)4O)；

y-ax+b(c^Q,adbe)x--—

18.函數(shù),cx+"的圖像是雙曲線:①兩漸近線分別直線C(由分

母為零確定)和

y=?(_4且)

直線.c(由分子、分母中X的系數(shù)確定)；②對(duì)稱中心是點(diǎn)e'e;③反函

-b-dyx--------

數(shù)為.cx-a；

y=ax+-(a>0,fe>0)(-°o,-J-],[J-,+°o)

19.函數(shù)x：增區(qū)間為kV。，減區(qū)間為

[-,Ro)，(O，g]

f(x)=-(-、

如：已知函數(shù)x+2在區(qū)間(一2,+8)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

(!,+8)

——(答：2).

注：L映射：注意①第一個(gè)集合中的元素必須有象；②一對(duì)一，或多對(duì)一。

2.函數(shù)值域的求法：①分析法；②配方法；③判別式法；④利用函數(shù)單調(diào)性；

⑤換元法；⑥利用均值不等式⑦利用數(shù)形結(jié)合或

幾何意義(斜率、距離、絕對(duì)值的意義等)；⑧利用函數(shù)有界性(5也》、cosx

等)；⑨導(dǎo)數(shù)法

3.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題

(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法：

①若f(x)的定義域?yàn)閇a,b],則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式aWg(x)Wb解

出

②若f［g(x)］的定義域?yàn)椋踑,b］,求f(x)的定義域，相當(dāng)于Xd［a,b］時(shí)，求g(x)的值

域。

(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：

①首先將原函數(shù)'=/但(幻］分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)〃=g*)與外函數(shù)

V=/(")9.

②分別研究內(nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性；

③根據(jù)“同性則增，異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。

4.分段函數(shù)：值域(最值)、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，再下結(jié)論。

5.函數(shù)的奇偶性

⑴函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；

⑵/(X)是奇函數(shù)0f(-x)=-f(x)；/(X)是偶函數(shù)=f(一x)=f(x)

⑶奇函數(shù)/(X)在原點(diǎn)有定義，則"°)=0；

⑷在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)

性；

⑸若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先等價(jià)變形，再判斷其奇偶性；

6.函數(shù)的單調(diào)性

⑴單調(diào)性的定義：

①/(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)QVx”％e當(dāng)玉<9時(shí)有/(/)</(々)；

②/(X)在區(qū)間M上是減函數(shù)0V占戶26M，當(dāng)不<了2時(shí)有/(±)>/(>2)；

⑵單調(diào)性的判定

定義法：一般要將式子/(為)一/(/)化為幾個(gè)因式作積或作商的形式，以利于

判斷符號(hào)；

②導(dǎo)數(shù)法(見導(dǎo)數(shù)部分)；③復(fù)合函數(shù)法；④圖像法。

注：證明單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。

7.函數(shù)的周期性

(1)周期性的定義：對(duì)定義域內(nèi)的任意x,若有f(x+T)=/(x)(其中T為非零

常數(shù))，則稱函數(shù)“X)為周期函數(shù)，T為它的一個(gè)周期。

所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指

最小正周期。

(2)三角函數(shù)的周期

①y=sinx:T=2".②y=cosx:T=2兀.y=tanx:T=t

y=4sin(ftzr+(p),y-Acos(m+(p):T---y-tancax:T---

④.'lct)l；⑤.l￡y,；

(3)與周期有關(guān)的結(jié)論

/(x+a)=-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)=>f(x)的周期為2a；

8.基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)

⑴幕函數(shù)：(&WR)；⑵指數(shù)函數(shù)：y=a'(a>0，a=l)；

⑶對(duì)數(shù)函數(shù)：？=10g?x(a〉*D；⑷正弦函數(shù)：y=sinx；

⑸余弦函數(shù)：y=cosx.(6)正切函數(shù)：y=tanx;⑺一元二次函數(shù)：

2

ax+Zzx+c=0?.

(8)其它常用函數(shù)：

正比例函數(shù)：y=zx(%N0)；②反比例函數(shù)：.x.③函數(shù)

a,八、

y=x+—(a>0)

x;

9.二次函數(shù)：

⑴解析式：

①一般式：/(x)=++bx+j②頂點(diǎn)式："x)=a(x—獷+k,(人/)為頂點(diǎn)；

③零點(diǎn)式：fM=a(x-xi)(x-x2)o

⑵二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：

①開口方向；②對(duì)稱軸；③端點(diǎn)值；④與坐標(biāo)軸交點(diǎn)；⑤判別式；⑥兩根符號(hào)。

b

=

2.X----

二次函數(shù)y=+H+C'的圖象的對(duì)稱軸方程是2a,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

'b4ac-h2

、2a4a

10.函數(shù)圖象：

⑴圖象作法：①描點(diǎn)法(特別注意三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖)②圖象變換法③導(dǎo)數(shù)

法

⑵圖象變換：

平移變換：i)y=/a)-y=/a±a),(?>o)左“+，,右“一,,；

過)y=/(x)-y=f(x)±k,(k>o)上“+，,下

對(duì)稱變換：iy=/(x)3UV=-/(-x)；iiy=f(x)^^y=-f(x).

iny=/(x)—y=/(一%)；wy=/(x)工.>，=/(y)；

翻轉(zhuǎn)變換：

i)y=/(x)—y=/(ixi)--------右不動(dòng)，右向左翻(/(X)在y左側(cè)圖象去掉)；

m)y=/*)->y="(x)?--------上不動(dòng)，下向上翻(|/(幻1在x下面無圖象)；

U.函數(shù)圖象(曲線)對(duì)稱性的證明

(1)證明函數(shù))'=/(幻圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱

軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；

(2)證明函數(shù)、=/(*)與卜=8(幻圖象的對(duì)稱性，即證明y="x)圖象上任意

點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)在y=ga)的圖象上，反之亦然；

注：①曲線Cl:f(x,y)=O關(guān)于點(diǎn)(0,0)的對(duì)稱曲線C2方程為：f(-x,-y)=0;

②曲線Cl:f(x,y)=0關(guān)于直線x=0的對(duì)稱曲線C2方程為：f(-x,y)=0;

曲線Cl:f(x,y)=0關(guān)于直線y=0的對(duì)稱曲線C2方程為：f(x,-y)=0;

曲線Cl:f(x,y)=0關(guān)于直線y=x的對(duì)稱曲線C2方程為：f(y,x)=0

a+b

③f(a+x)=f(b—x)(x￡R)fy=f(x)圖像關(guān)于直線x二2對(duì)稱；

特別地：f(a+x)=f(a—x)(xGR)fy=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

第三章數(shù)列

S[(n=l)

1.由S“求％,lS“-S，i(/N2,〃eN)注意驗(yàn)證為是否包含在后面乙的公式中，

若不符合要

5(4(〃=1)

單獨(dú)列出.如：數(shù)列｛%｝滿足"一4,S"+5，，+1-3%,求(答:一13?4,-'(〃22)).

2,等差數(shù)列｛%｝oan-%=d(d為常數(shù))=2%=%+%(n>2,neN*)

2

<=>a=an+b(a=d,b=a,-d)<^>Sn=An+Bn(A=",B=q-《)

22.

d-a-~a"

3.等差數(shù)列的性質(zhì)：①％=冊(cè)+(〃-加)"，>n-n；

②m+〃=/+火=《"+%/+%(反之不一定成立)；特別地，當(dāng)m+n=2p時(shí)，有

%,+4=2%.

③若｛《，｝、｛〃，｝是等差數(shù)列，則｛也+血｝心、，是非零常數(shù)）是等差數(shù)列;

55

④等差數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長片斷和序列"即-'2?,-5?）,53?,-S2m,……仍是等

差數(shù)列；

s奇_a

⑤等差數(shù)列｛叫，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2“時(shí)，$網(wǎng)一$奇=叫501s限；項(xiàng)數(shù)為2〃-1時(shí),

n

s奇T4=/(“)=%=/(2"-1)

“聲S奇=a=%(〃€%*)/21=(2〃-1)4,,且？7n-1.瑪明

⑥首項(xiàng)為正（或?yàn)樨?fù)）的遞減（或遞增）的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大（或最?。﹩栴},轉(zhuǎn)化為解

不等式

（40

""+|"°(或1""+R°）.也可用S"=An'+Bn的二次函數(shù)關(guān)系來分析.

⑦若an=m,am=n{mWn),則*=0；若S?=tn,Sm=n(mWn),則Sm+?=-{m+n).

ss

若m=?*〃),則Sm+n=0;S3m=3(S2m-Sm);鼠+,=Sm+Sn+mnd.

{??}<=>—=q^l*0)<=>^=(nN2,”eN*)<=>an=aqi

4.等比數(shù)列a-

5.等比數(shù)列的性質(zhì)

①4=-"E；②若｛%｝、也,｝是等比數(shù)列，則伙4,｝、｛4也』等也是等比

數(shù)列；

呵（q=l）,4］（夕=1）

S"==1）

③"q>qif；④“+〃=/+火（反

之不一定成

立）；S…=S,“+q”'S"=S"+q"S,⑤等比數(shù)歹q中S,“,S2“,_5“,,邑“,一S2,”，.......（注各項(xiàng)

均不為0）

—=q"""=q

仍是等比數(shù)列.⑥等比數(shù)列｛4｝當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2“時(shí)，$奇；項(xiàng)數(shù)為2〃T時(shí)，§他.

6.①如果數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，則數(shù)列｛&'"｝（廢"總有意義）是等比數(shù)列；如果數(shù)列｛"，』是

等比數(shù)列，

則數(shù)列｛bg“U?｝（。>0，。x1）是等差數(shù)列；

②若他”｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則｛4｝是非零常數(shù)數(shù)列；

③如果兩個(gè)等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由他們的公共項(xiàng)順次組成的數(shù)列也是等差數(shù)列，且新

數(shù)列的公差

是原兩個(gè)等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)；如果一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列有公共項(xiàng)，那

么由他們的

公共項(xiàng)順次組成的數(shù)列是等比數(shù)列，由特殊到一般的方法探求其通項(xiàng)；

④三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法："々MM+d;四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,a+d,a+3d.

aaa3

—,a9aq-,—,aq9aq

三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：q；四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：/q（為什么？）

7.數(shù)列的通項(xiàng)的求法：⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式.

S1,（〃=1）

an=<

⑵已知S“（即4+”2+…+%=/（〃））求q,用作差法：[S"-S,1,（〃22）.

川）,5=1）

a"=\-,（n>2）

⑶已知％9……4="〃）求4用作商法：T）

—=fW

⑷若“川一4=〃"）求能用迭加法.⑸已知盤，求（用迭乘法.

⑹已知數(shù)列遞推式求.“，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）：①形如

a“=k%+b,a?=kan_t+b'^

a"=總小+a-n+b（3。為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等

比數(shù)列后，

再求知.②形如的遞推數(shù)列都可以用“取倒數(shù)法”求通項(xiàng).

8.數(shù)列求和的方法：①公式法：等差數(shù)列，等比數(shù)列求和公式；②分組求和法；③倒序相加;

④錯(cuò)位

1+2+3+…+〃=1n{n+1)

相減；⑤分裂通項(xiàng)法.公式：2

12+22+32+???+/二心+1)(2〃+1)

6?

33321_11

13+2+3+...+n=[^^]

1+3+5+…+〃=/；常見裂項(xiàng)公式〃(〃+1)〃n+1.

n(n+k)knn+k.n(n-l)(n+1)2n(n+1)(n+l)(/i+2).(n+1)!n[(n+1)!

，，

2(+1—yfn)=—7—3---廠<-Lr<~~\,=2(冊(cè)—-1)

常見放縮公式:yjn+\+yjn\Jnyjn+\ln

9.“分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題

⑴這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中，務(wù)必“卡手指：

細(xì)心計(jì)算

“年限”.對(duì)于“森林木材”既增長又砍伐的問題，則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到“最后”

解決.

⑵利率問題：①單利問題：如零存整取儲(chǔ)蓄（單利）本利和計(jì)算模型：若每期存入本金〃

元,每期利

S”=P（l+r）+p（l+2r）d—p（\+n）=rp（n+r）

率為J則〃期后本利和為：2（等

差數(shù)列問

題）；②復(fù)利問題：按揭貸款的分期等額還款（復(fù)利）模型：若貸款（向銀行借款）0元,

采用分期等

額還款方式,從借款日算起,一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去,分〃期還清.

如果每期利

率為「（按復(fù)利），那么每期等藪還款x元應(yīng)滿足：

p（l+r）“=x（l+r）'i+x（l++…+x（l+r）+x（等比數(shù)列問題）

注：1.定義:

⑴等差數(shù)列==d(d為常數(shù))024=〃“+i+*_](〃N2,〃￡N*)

2

=%=kn+bsn=An+Bn.

{a_}o=q(qw0)=%-=an4-an+i(n>2,neN)

⑵等比數(shù)列與

2.等差、等比數(shù)列性質(zhì)

等差數(shù)列等比數(shù)列

通項(xiàng)公式a?=a,+(n-l)d3=/q-i

l.q=1時(shí)，Stl=〃《；

〃(%+%)n(n-1)

前n項(xiàng)和S==na+a

n21x224Hl時(shí)，s

l-<7

=If