2020-2021學(xué)年河南省焦作市孟州市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2020-2021學(xué)年河南省焦作市孟州市九年級(jí)第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試

卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）.

1.設(shè)方程*2-3x+2=0的兩根分別是XI,X2,則無(wú)1+X2的值為（）

32

A.3B.--C.—D.-2

22

2.對(duì)于實(shí)數(shù)”，b,定義運(yùn)算“*”如下:a*b=a2-ab,例如：3*2=32-3X2=3,則方程

（x+1）*3=-2的根的情況是（）

A.沒(méi)有實(shí)數(shù)根B.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

3.某廠家2020年1?5月份的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如圖所示.設(shè)從2月份到4月份，該廠家口罩

產(chǎn)量的平均月增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意可得方程（）

2020年卜5月份某廠家的口置產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)圖

t產(chǎn)量（萬(wàn)只）

500

400

300

200

100

0|~市2看3h*月7分

A.180(17)2=461B.180(1+x)2=461

C.368(1-%)2=442D.368(1+x)2=442

4.如圖.隨機(jī)閉合開關(guān)Ki、K］、咫中的兩個(gè),則能讓兩盞燈泡心、U同時(shí)發(fā)光的概率為

1

D.

3

5.如圖，PA,PB分別與相切于A,8兩點(diǎn)，4=72°,則/C=（)

p..。

A.108°B.72°C.54°D.36°

6.已知二次函數(shù)y=-N+2X+4,則下列關(guān)于這個(gè)函數(shù)圖象和性質(zhì)的說(shuō)法，正確的是（）

A.圖象的開口向上

B.圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,3）

C.當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大

D.圖象與x軸有唯一交點(diǎn)

7.豎直上拋物體離地面的高度力（m）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間f（s）之間的關(guān)系可以近似地用公式刀=

-5產(chǎn)+迎+%表示，其中%（m）是物體拋出時(shí)離地面的高度，vo（mis）是物體拋出時(shí)的

速度.某人將一個(gè)小球從距地面15"的高處以20%/s的速度豎直向上拋出，小球達(dá)到的

離地面的最大高度為（）

A.23.5mB.22.5mC.21.5mD.20.5m

8.計(jì)算機(jī)處理任務(wù)時(shí)，經(jīng)常會(huì)以圓形進(jìn)度條的形式顯示任務(wù)完成的百分比.下面是同一個(gè)

任務(wù)進(jìn)行到不同階段時(shí)進(jìn)度條的示意圖：

若圓半徑為1,當(dāng)任務(wù)完成的百分比為x時(shí)，線段的長(zhǎng)度記為d（尤）.下列描述正

確的是（）

A.d(25%)=1

B.當(dāng)x>50%時(shí)，d（x）>1

C.當(dāng)xi>%2時(shí)，d（xi）>d（》2）

D.當(dāng)為+&=100%時(shí)，d（xi）=d（尤2）

9.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，ZAOB=ZB=

30°,OA=2.將△AOB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)⑶的坐標(biāo)是（）

A.(-?,3)B.(-3,?)C.(-2+-y3)D.(-1,2+^3)

10.如圖，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為A（2,0）,B（0,2）,點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=

1,點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM,則的最大值為（）

A.&+1B.V2+yC.2-72+1D.2y-￡

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.已知方程5/+依-6=0的一個(gè)根是2,則上的值為.

12.在“拋擲正六面體”的試驗(yàn)中，正六面體的六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字“1”、“2”、“3”、

“4”“5”、“6”，在試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，數(shù)字“1”朝上的頻率的變化趨勢(shì)接近的值是.

13.a、b、c是實(shí)數(shù)，點(diǎn)A（。+1、b）、B（a+2,c）在二次函數(shù)y=x2-2ox+3的圖象上，

則AC的大小關(guān)系是6C（用“>”或號(hào)填空）

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正方形OABC的兩頂點(diǎn)A,C分別在y軸、x

軸的正半軸上，點(diǎn)。在原點(diǎn).現(xiàn)將正方形0ABe繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A第一次落在

直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，則邊AB在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積為

將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)式度（0°

<a<180°）得到△OCE,點(diǎn)A與點(diǎn)。對(duì)應(yīng)，點(diǎn)8與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)，當(dāng)點(diǎn)。落在△ABC的

邊上時(shí)，則8。的長(zhǎng)為

三、解答題（本大題共8個(gè)小題，滿分75分）

16.解下列方程:

(1)r-2尤-3=0；

(2)2X2-x-5=0(配方法).

17.甲、乙兩人分別從A、B、C這3個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇2個(gè)景點(diǎn)游覽.

(1)求甲選擇的2個(gè)景點(diǎn)是A、8的概率;

(2)甲、乙兩人選擇的2個(gè)景點(diǎn)恰好相同的概率是.

18.小紅經(jīng)營(yíng)的網(wǎng)店以銷售文具為主，其中一款筆記本進(jìn)價(jià)為每本10元，該網(wǎng)店在試銷售

期間發(fā)現(xiàn)，每周銷售數(shù)量y（本）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，三對(duì)對(duì)應(yīng)

值如表:

銷售單價(jià)X（元）121416

每周的銷售量y（本）500400300

（1）直接寫出y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式:

（2）通過(guò)與其他網(wǎng)店對(duì)比，小紅將這款筆記本的單價(jià)定為x元（12WxW15,且x為整

數(shù)），設(shè)每周銷售該款筆記本所獲利潤(rùn)為w元，當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)每周所獲利潤(rùn)

最大，最大利潤(rùn)是多少元?

19.閱讀材料，回答下列問(wèn)題:

阿爾?花拉子米（約780?約850）,著名阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家、地理學(xué)家，是代數(shù)

與算術(shù)的整理者，被譽(yù)為“代數(shù)之父”.他利用正方形圖形巧妙解出了一元二次方程d+2x

-35=0的一個(gè)解.

將邊長(zhǎng)為x的正方形和邊長(zhǎng)為1的正方形，外加兩個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為尤，寬為1,拼合在一

起面積就是x2+2X1+1X1,Bpx2+2x+l,而由原方程尤?+2x-35=0變形得x2+2x+l=35+1,

即右邊邊長(zhǎng)為x+1的正方形面積為36.所以（龍+1）2=36,則尤=5.

（1）上述求解過(guò)程中所用的方法與下列哪種方法是一致的.

A.直接開平方法B.公式法

C.配方法D.因式分解法

（2）所用的數(shù)學(xué)思想方法是.

A.分類討論思想B.數(shù)形結(jié)合思想C.轉(zhuǎn)化思想

（3）運(yùn)用上述方法構(gòu)造出符合方程無(wú)2+4X-5=0的一個(gè)正根的正方形.

20.閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)

婆羅摩笈多（Brahmagupta）是古印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零

和負(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹，特別是在研究一階和二階不定方程

方面作出了巨大貢獻(xiàn).他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔

定理”.該定理的內(nèi)容及部分證明過(guò)程如下：

古拉美古塔定理：已知：如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于對(duì)角線AC_LB。，垂足為M,

直線MELBC,垂足為￡,并且交直線于點(diǎn)R則

證明：-：ACLBD,MELBC

：.ZCME+ZC=9Q°,ZCBD+ZC=90°

：.ZCBD=ZCME

①，ZCME=ZAMF

：.ZCAD=ZAMF

：.AF=MF

任務(wù):

（1）材料中①短缺的條件為:

（2）請(qǐng)用符號(hào)語(yǔ)言將下面“布拉美古塔定理”的逆命題補(bǔ)充完整，并證明該逆命題的正

確性:

已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O。，對(duì)角線垂足為尸為AD上一點(diǎn),

直線交BC于點(diǎn)E,

求證:

證明:

21.如圖，拋物線>=尤2+2%-c與x軸負(fù)半軸，y軸負(fù)半軸分別交于點(diǎn)A,C,OA=OC,它

的對(duì)稱軸為直線I.

（1）求拋物線的解析式;

（2）P是該拋物線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作/的垂線，垂足為，E是/上的點(diǎn).要使以P、。、

E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，求滿足條件的點(diǎn)尸，點(diǎn)E的坐標(biāo).

22.如圖，尸是篇與弦AB所圍成的圖形的外部的一定點(diǎn)，C是第上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC交弦

AB于點(diǎn)D.

小衛(wèi)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)線段PC,PD,的長(zhǎng)度之間的關(guān)系進(jìn)行了探究.下面是

小衛(wèi)的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

（1）對(duì)于點(diǎn)C在窟上的不同位置，畫圖、測(cè)量，得到了線段PC,PD,AD的長(zhǎng)度的幾

組值，如表：

位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8

PCIcm3.443.303.072.702.252.252.642.83

PD/cm3.442.692.001.360.961.132.002.83

AD/cm0.000.781.542.303.014.005.116.00

在PC,PD,AD的長(zhǎng)度這三個(gè)量中，確定的長(zhǎng)度是自變量，的長(zhǎng)度和

的長(zhǎng)度都是這個(gè)自變量的函數(shù)；

（2）在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出（1）中所確定的函數(shù)的圖象；

（3）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問(wèn)題：當(dāng)PD蔣PC時(shí)，的長(zhǎng)度約為cm.（保留一

點(diǎn)、H.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在CD上時(shí)，線段BG與DE的數(shù)量關(guān)系是,的度

數(shù)為:

(2)將正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在直線CD右側(cè)時(shí)，連接CH,求證：BH-DH=V2CH;

②當(dāng)NZ)EC=45°時(shí)，若AB=旄,CE=i,請(qǐng)直接寫出線段。/的長(zhǎng).

參考答案

一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的.

1.設(shè)方程爐-3彳+2=0的兩根分別是XI,X2,則X1+X2的值為（）

A.3B.--C.—D.-2

22

【分析】本題可利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出該一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)以及一次項(xiàng)系

數(shù)的值，代入公式求值即可.

解：由X2-3x+2=0可知，其二次項(xiàng)系數(shù)。=1,一次項(xiàng)系數(shù)。=-3,

由根與系數(shù)的關(guān)系：即+松=-二=-二三=3.

a1

故選：A.

2.對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,定義運(yùn)算“*”如下：。*6=層-赤例如：3*2=32-3X2=3,則方程

（x+1）*3=-2的根的情況是（）

A.沒(méi)有實(shí)數(shù)根B.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

【分析】根據(jù)運(yùn)算“”的定義將方程（尤+1）*3=-2轉(zhuǎn)化為一般式，由根的判別式△

=1>0,即可得出該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

解:（x+1）*3=-2,

（x+1）2-3（尤+1）=-2,即x2-x=0,

A=（-1）2-4XlX0=l>0,

方程（尤+1）*3=-2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：D.

3.某廠家2020年1?5月份的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)如圖所示.設(shè)從2月份到4月份，該廠家口罩

產(chǎn)量的平均月增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意可得方程（）

2020年1~5月份某廠家的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計(jì)圖

f產(chǎn)量(萬(wàn)只)

500-461

~1看2’月3看4看5%月：分

A.180(1-%)2=461B.180(1+x)2=461

C.368(17)2=442D.368(1+x)2=442

【分析】本題為增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量X(1+增長(zhǎng)率)2,如果設(shè)

這個(gè)增長(zhǎng)率為x,根據(jù)“2月份的180萬(wàn)只，4月份的產(chǎn)量將達(dá)到461萬(wàn)只”，即可得出

方程.

解：從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長(zhǎng)率為無(wú)，根據(jù)題意可得方程：180

(1+x)2=461,

故選：B.

4.如圖.隨機(jī)閉合開關(guān)Ki、的、a中的兩個(gè)，則能讓兩盞燈泡L、乙2同時(shí)發(fā)光的概率為

()

【分析】找出隨機(jī)閉合開關(guān)K、石、&中的兩個(gè)的情況數(shù)以及能讓兩盞燈泡心、l2同時(shí)

發(fā)光的情況數(shù)，即可求出所求概率.

解：畫樹狀圖，如圖所示：

開始

K,K2K3

KAAA

隨機(jī)閉合開關(guān)KI、&、卮中的兩個(gè)有六種情況：閉合Ki&,閉合Ki&,閉合&K,閉

合K2K3,閉合K3K1,閉合K3K2,

能讓兩盞燈泡心、上同時(shí)發(fā)光的有兩種情況：閉合K2K3,閉合K3K2,

則尸（能讓兩盞燈泡匕、乙2同時(shí)發(fā)光）=g=《.

63

故選：D.

5.如圖，PA,P3分別與。。相切于A,8兩點(diǎn)，NP=72。，則NC=（）

A.108°B.72°C.54°D.36°

【分析】連接04、0B,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NPAO=90°,ZPBO=90°,求出NAOS

根據(jù)圓周角定理解答即可.

解：連接。A、OB,

VPA,尸3分別為。。的切線，

：.OA.LPA,OB±PBf

：.ZPAO=90°,/PBO=90°,

AZAOB=360°-ZPAO-ZPBO-ZP=360°-90°-90°-72°=108°,

由圓周角定理得，ZC=-|zAOB=54",

故選：C.

6.已知二次函數(shù)y=-》2+2X+4,則下列關(guān)于這個(gè)函數(shù)圖象和性質(zhì)的說(shuō)法，正確的是（）

A.圖象的開口向上

B.圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,3）

C.當(dāng)了＜1時(shí)，y隨x的增大而增大

D.圖象與x軸有唯一交點(diǎn)

【分析】先利用配方法得到y(tǒng)=-（x-1）2+5,可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對(duì)A、B、C進(jìn)

行判斷；通過(guò)解方程-/+2苫+4=0可對(duì)D進(jìn)行判斷.

解:；尸-必+2左+4=-（x-1）2+5,

拋物線的開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,5）,拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,當(dāng)x<l時(shí)，

y隨尤的增大而增大，

令y=0,則-/+2X+4=0,解方程解得XI=1+掂，忿=1-庭，

.".△=4-4X（-1）X4=20>0,

???拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).

故選：C.

7.豎直上拋物體離地面的高度力（相）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間f（s）之間的關(guān)系可以近似地用公式人=

-5產(chǎn)+vof+%表示，其中%（711）是物體拋出時(shí)離地面的高度，Vo（.m/s）是物體拋出時(shí)的

速度.某人將一個(gè)小球從距地面L5相的高處以20%/s的速度豎直向上拋出，小球達(dá)到的

離地面的最大高度為（）

A.23.5mB.22.5mC.21.5mD.20.5m

【分析】根據(jù)題意，可以得到九與t的函數(shù)關(guān)系式，然后化為頂點(diǎn)式，即可得到/?的最

大值，本題得以解決.

解：由題意可得，

h=-5尸+20什1.5=-5（J-2）2+21.5,

因?yàn)閍=-5<0,

故當(dāng)/'=2時(shí)，/?取得最大值，此時(shí)為=21.5,

故選：C.

8.計(jì)算機(jī)處理任務(wù)時(shí)，經(jīng)常會(huì)以圓形進(jìn)度條的形式顯示任務(wù)完成的百分比.下面是同一個(gè)

任務(wù)進(jìn)行到不同階段時(shí)進(jìn)度條的示意圖：

若圓半徑為1,當(dāng)任務(wù)完成的百分比為x時(shí)，線段的長(zhǎng)度記為［（x）.下列描述正

確的是（）

A.d（25%）=1

B.當(dāng)x>50%時(shí)，d(x)>1

C.當(dāng)xi>%2時(shí)，d（xi）>d（X2）

D.當(dāng)xi+x2=100%時(shí)，d(xi)=d(X2)

【分析】利用圖象判斷即可.

解：A、d(25%)=我>1,本選項(xiàng)不符合題意.

B、當(dāng)x>50%時(shí)，OWd(x)<2,本選項(xiàng)不符合題意.

C、當(dāng)X1>X2時(shí)，d(X1)與d(X2)可能相等，可能不等，本選項(xiàng)不符合題意.

D、當(dāng)為+%2=100%時(shí)，d(xi)=d(及),本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

9.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)8在第一象限，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，ZAOB=ZB=

30。，04=2.將△4OB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是()

【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)夕作夕軸于H.解直角三角形求出O“，B'”即可.

解：如圖，過(guò)點(diǎn)2'作夕軸于

在RtZXA'B'，中，VA,B'=2,ZB'A'H=60°,

.".AzH=A'B'cos60°=1,B'H=A'B'sin60°=?,

O"=2+l=3,

：.B'（-遮，3）,

故選：A.

10.如圖，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(2,0),B(0,2)，點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=

1,點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接。河，則的最大值為(）

A.&+1B.?+/C.2&+1D.2y-/

【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點(diǎn)C在半徑為1的OB上，通過(guò)畫圖可知，C在BD

與圓8的交點(diǎn)時(shí)，最小，在DB的延長(zhǎng)線上時(shí)，0M最大，根據(jù)三角形的中位線定理

可得結(jié)論.

解：如圖,

?點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=1,

，C在08上，且半徑為1,

取。。=。4=2,連接CD,

VAM^CM,OD=OA,

河是△AC。的中位線，

0M=—CD,

2

當(dāng)0M最大時(shí)，即C。最大，而。，B,C三點(diǎn)共線時(shí)，當(dāng)C在的延長(zhǎng)線上時(shí)，0M

最大，

：08=00=2,ZBOD=9Q°,

：.BD=2y/2,

，8=2揚(yáng)1,

：.OM=±CD=M,，即OM的最大值為護(hù)士；

故選：B.

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.已知方程5x2+fcc-6=0的一個(gè)根是2,則%的值為-7.

【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系數(shù)的值.

解：把2代入方程有：5X4+2%-6=0

解得：k=-7.

故答案為：-7.

12.在“拋擲正六面體”的試驗(yàn)中，正六面體的六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字“1”、“2”、“3”、

“4”“5”、“6”，在試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，數(shù)字“1”朝上的頻率的變化趨勢(shì)接近的值是

_1

I-'

【分析】根據(jù)概率公式直接求解即可.

解：如果試驗(yàn)的次數(shù)增多，出現(xiàn)數(shù)字“1”的頻率的變化趨勢(shì)是接近

故答案為：-y.

6

13.a、b、c是實(shí)數(shù)，點(diǎn)A（a+1、b）、B（a+2,c）在二次函數(shù)y=x2-2a尤+3的圖象上，

則Ac的大小關(guān)系是b<c（用“>”或號(hào)填空）

【分析】求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷即可.

解：,二次函數(shù)尸？-2依+3的圖象的對(duì)稱軸為x=a,二次項(xiàng)系數(shù)1>0,

拋物線的開口向上，在對(duì)稱軸的右邊，y隨x的增大而增大，

：a+1<a+2,點(diǎn)A（a+1、b）、B（a+2,c）在二次函數(shù)y=N-2辦+3的圖象上，

'.b<c,

故答案為：<.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為2的正方形0ABe的兩頂點(diǎn)A,C分別在y軸、x

軸的正半軸上，點(diǎn)。在原點(diǎn).現(xiàn)將正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A第一次落在

直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，則邊在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積為

【分析】由于S陰=5△043+3扇形03*-S^OAA'-S^OAA,根據(jù)公式即可求解.

解：如圖，

邊A3在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積=5陰=S△043+S扇形052-S扇形0A4，

=S扇形03段-S扇形。44

=羔5義(272)2-蕓FX22

360v360

_1

~~271,

故答案為：

15.如圖，△ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度(0°

<a<180°)得到△QCE,點(diǎn)A與點(diǎn)。對(duì)應(yīng)，點(diǎn)8與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)，當(dāng)點(diǎn)。落在AABC的

【分析】據(jù)題意畫出圖形，分點(diǎn)。在AB邊上和BC邊上兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)。落在AB

邊上時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CHLAB于區(qū)證△ACHS^ABC,求出AD的長(zhǎng)，可進(jìn)一步求出8。

的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)。落在BC邊上時(shí)，由旋轉(zhuǎn)知，AC=CD=3,所以BO=BC-CO=1.

解：在中，

Rt^ABCAB=^AC2+BC2=5,

如圖1,當(dāng)點(diǎn)D落在A3邊上時(shí)，

過(guò)點(diǎn)C作CH1AB于H,

由旋轉(zhuǎn)知，AC=CD=3,

:?AH=DH,

VZA=ZA,ZAHC=ZACB=90°,

???AACH^AABC,

.ACAH0n3AH

ABAC53

9

5

1o

.,.AD=2AH=—,

5

1o7

：.DB^AB-A0=5--=—；

55

如圖2,當(dāng)點(diǎn)。落在3C邊上時(shí)，

由旋轉(zhuǎn)知，AC=CD=3,

??.80=3。-C0=4-3=1；

故答案為："或1.

5

A

H

圖1

三、解答題(本大題共8個(gè)小題，滿分75分)

16.解下列方程：

(1)x2-2%-3=0；

(2)2x2-x-5=0(配方法).

【分析】(1)再將左邊利用十字相乘法因式分解，繼而可得兩個(gè)關(guān)于工的一元一次方程,

分別求解即可得出答案；

(2)將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,繼而兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一

半的平方配成完全平方式后，再開方即可得.

解：(1)因式分解，得(x-3)(x+1)=0,

于是得％-3=0或x+l=0,

解得的=3,%2=-1;

(2)移項(xiàng)，得2x2-x—5,

二次項(xiàng)系數(shù)化為1,得

配方，得x2蔣x+合)2=1"+g)2,即(X—

由此可得x」-=+'近，

4-4

.1+V411-V41

,,xl=一4-，x2=—4-'

17.甲、乙兩人分別從A、B、C這3個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇2個(gè)景點(diǎn)游覽.

(1)求甲選擇的2個(gè)景點(diǎn)是A、3的概率；

(2)甲、乙兩人選擇的2個(gè)景點(diǎn)恰好相同的概率是4.

一3一

【分析】(1)列舉出甲選擇的2個(gè)景點(diǎn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況，進(jìn)而求出相應(yīng)的概率;

(2)用樹狀圖表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，再求出兩個(gè)景點(diǎn)相同的概率.

解：甲選擇的2個(gè)景點(diǎn)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下:

個(gè)

ABC

第

ABACA

BABCB

CACBC

（1）共有6種可能出現(xiàn)的結(jié)果,其中選擇A、B的有2種,

.?―2—1

..r（A、B）—-......-■

63

（2）用樹狀圖表示如下:

甲/|\

乙ABACBC$3ACBCABACBC

共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中選擇景點(diǎn)相同的有3種,

.D_3_1

?（景點(diǎn)相同）一~―――

yo

故答案為：4-

o

18.小紅經(jīng)營(yíng)的網(wǎng)店以銷售文具為主，其中一款筆記本進(jìn)價(jià)為每本10元，該網(wǎng)店在試銷售

期間發(fā)現(xiàn)，每周銷售數(shù)量》（本）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，三對(duì)對(duì)應(yīng)

值如表:

銷售單價(jià)X（元）121416

每周的銷售量y（本）500400300

（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：y=-50x+l100

（2）通過(guò)與其他網(wǎng)店對(duì)比，小紅將這款筆記本的單價(jià)定為x元（12WxW15,且x為整

數(shù)），設(shè)每周銷售該款筆記本所獲利潤(rùn)為W元，當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)每周所獲利潤(rùn)

最大，最大利潤(rùn)是多少元?

【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，用待定系數(shù)法可以求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系

式;

（2）根據(jù)題意，可以得到卬與x的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可以解答本

題.

【解答】（1）設(shè)y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式是y=fcv+b（人/0）,

12k+b=500

14k+b=400,

k=-50

解得:

b=1100,

與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-50x+1100,

故答案為：y=-50x+1100；

（2）由題意可得,

w=(x-10)y

=(%-10)(-50x4-1100)

=-50(%-16)2+1800,

：-50<0,

.?.當(dāng)x<16時(shí)，w隨x的增大而增大，

?.T2WxW15,尤為整數(shù)，

...當(dāng)x=15時(shí)，w有最大值，此時(shí)，VP=-50（15-16）2+1800=1750,

答：銷售單價(jià)為15元時(shí)，每周獲利最大，最大利潤(rùn)是1750元.

19.閱讀材料，回答下列問(wèn)題：

阿爾?花拉子米（約780?約850）,著名阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家、天文學(xué)家、地理學(xué)家，是代數(shù)

與算術(shù)的整理者，被譽(yù)為“代數(shù)之父”.他利用正方形圖形巧妙解出了一元二次方程T+2x

-35=0的一個(gè)解.

將邊長(zhǎng)為x的正方形和邊長(zhǎng)為1的正方形，外加兩個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為尤，寬為1,拼合在一

起面積就是x2+2X1+1X1,即x2+2x+l,而由原方程x1+2x-35=0變形得x2+2x+l=35+1,

即右邊邊長(zhǎng)為x+1的正方形面積為36.所以（x+1）占36,則尤=5.

（1）上述求解過(guò)程中所用的方法與下列哪種方法是一致的C.

A.直接開平方法B.公式法

C.配方法D.因式分解法

（2）所用的數(shù)學(xué)思想方法是8.

A.分類討論思想B.數(shù)形結(jié)合思想C.轉(zhuǎn)化思想

（3）運(yùn)用上述方法構(gòu)造出符合方程N(yùn)+4X-5=0的一個(gè)正根的正方形.

【分析】(1)由閱讀材料所用方法可知答案；

(2)結(jié)合圖形來(lái)解題，故答案易得；

(3)構(gòu)造出邊長(zhǎng)為x+2的正方形，其面積為9,則x=l為方程的一個(gè)正根.

解：(1)由閱讀材料可知所用方法為配方法.

故答案為：C.

(2)所用的思想方法為數(shù)形結(jié)合思想.

故答案為：B.

(3)將邊長(zhǎng)為x的正方形和邊長(zhǎng)為2的正方形，外加兩個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為無(wú)，寬為2,拼

合在一起面積就是/+2XX+2X2,即/+2X+1,

而由原方程X2+4X-5=0變形得始+標(biāo)+4=9,即圖中邊長(zhǎng)為x+2的正方形面積為9.所以

(x+2)2=9,x+2=3

則x=l.

20.閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)

婆羅摩笈多(Brahmagupta)是古印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，他在三角形、四邊形、零

和負(fù)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算規(guī)則、二次方程等方面均有建樹，特別是在研究一階和二階不定方程

方面作出了巨大貢獻(xiàn).他曾經(jīng)提出了“婆羅摩笈多定理”，該定理也稱為“古拉美古塔

定理”.該定理的內(nèi)容及部分證明過(guò)程如下：

古拉美古塔定理：已知：如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。，對(duì)角線垂足為M,

直線垂足為E,并且交直線于點(diǎn)E則AF=ED.

證明：\'AC±BD,MELBC

：.ZCME+ZC=90°,ZCBD+ZC=9Q°

：.ZCBD=ZCME

ZCME=ZAMF

：.ZCAD=ZAMF

：.AF=MF

任務(wù)：

(D材料中①短缺的條件為：NCBD=NCAD；

(2)請(qǐng)用符號(hào)語(yǔ)言將下面“布拉美古塔定理”的逆命題補(bǔ)充完整，并證明該逆命題的正

確性：

己知：如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于O。，對(duì)角線ACLBD,垂足為尸為AD上一點(diǎn)，

直線交BC于點(diǎn)E,FA=FD

求證：EFtBC

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理可得結(jié)論.

(2)把題設(shè)與結(jié)論交換可得逆命題，利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)證明即可.

解：(1)由題意：空格處為

故答案為ACAD.

(2)①FA=FD,?FE_LBC.

故答案為E4=ED,FELBC.

理由：-：AF=FD,AC_LBDf

???NAMD=90°,

：.AF=MF=FD,

：.ZFMD=NADM,

VZDAM+ZADM=90°,

ZFMD+ZDAM^90°,

VZFMD=ZBME,ZDAM=ZDBC,

：.ZDBC+ZBME=90°,

???NME8=90°,

：.FE_LBC,

21.如圖，拋物線y=r+2x-c與x軸負(fù)半軸，y軸負(fù)半軸分別交于點(diǎn)A,C,OA=OC,它

的對(duì)稱軸為直線/.

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是該拋物線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作/的垂線，垂足為，E是/上的點(diǎn).要使以尸、D、

E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，求滿足條件的點(diǎn)尸，點(diǎn)石的坐標(biāo).

【分析】（1）由拋物線y=%2+2x-。與）軸負(fù)半軸交于點(diǎn)。得。（0,-c）,再由04

=0C,且點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上得A(-c,0),將A(-c,0)代入/=(+2彳-c,即可

求出c的值，求得拋物線的解析式；

(2)先將拋物線的解析式配成頂點(diǎn)式，求出拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1,再分別求出

點(diǎn)A、點(diǎn)C的坐標(biāo)，則OA=OC=3,ZPDE=ZAOC=90°,因此當(dāng)PD=DE=3時(shí)，

以尸、D、￡為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(m,n),按點(diǎn)P在直線

尤=1的左側(cè)、右側(cè)分別求出加、w的值及點(diǎn)尸和點(diǎn)E的坐標(biāo)即可.

【解答】(1)???拋物線與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,

：.C(0,-c),

'：OA=OC,且點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，

AA(-c,0),

,拋物線y=/+2x-c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-c,0),

.'.c2-2c-c=0.

解得ci=3,C2=0(不符合題意，舍去)，

；?拋物線的解析式為y=N+2x-3.

(2),.,)=尤2+2%-3=(x+1)2-4,

.?.拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1；

當(dāng)>=0,則/+2x-3=0,

解得Xl=-3,X2=l,

：.A(-3,0)、B(1,0)；

由(1)得C(0,-3),

OA=OC=3,

'：ZPDE=ZAOC=90°,

...當(dāng)PO=OE=3時(shí)，以尸、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC全等，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為Cm,n),

當(dāng)點(diǎn)P在直線尤=-1左側(cè)時(shí)，如圖1,則-1—3,

解得m=-4,

：.n=(-4)2+2X(-4)-3=5,

：.P(-4,5),D(-1,5),

?；DE=DE'=3,

：.E(-1,2)或E'(-1,8)；

當(dāng)點(diǎn)P在直線x=-1右側(cè)時(shí)，如圖2,則根-(-1)=3,

解得加=2,

.*.n=22+2X2-3=5,

：.P(2,5),D(-1,5),

同理得E(-1,2)或E'(-1,8),

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-4,5)或(2,5),點(diǎn)、E的坐標(biāo)為(-1,2)或(-1,8).

22.如圖，P是窟與弦AB所圍成的圖形的外部的一定點(diǎn)，C是品上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC交弦

AB于點(diǎn)D

小衛(wèi)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)線段PC,PD,4。的長(zhǎng)度之間的關(guān)系進(jìn)行了探究.下面是

小衛(wèi)的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

(1)對(duì)于點(diǎn)C在窟上的不同位置，畫圖、測(cè)量，得到了線段PC,PD,AO的長(zhǎng)度的幾

組值，如表:

位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8

PCIcm3.443.303.072.702.252.252.642.83

PD/cm3.442.69