易錯拔尖：平行線的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用（解析版）

易錯拔尖：平行線的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用（解析版）易錯點易錯點：畫圖考慮不周導(dǎo)致漏解1．如圖，已知∠ABC．請你再畫一個∠DEF，使DE∥AB，EF∥BC，且DE交BC邊與點P．探究：∠ABC與∠DEF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．思路引領(lǐng)：先根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．解：∠ABC與∠DEF的數(shù)量關(guān)系是相等或互補．如圖1，∵DE∥AB，∴∠ABC＝∠DPC，又∵EF∥BC，∴∠DEF＝∠DPC．∴∠ABC＝∠DEF．如圖2，∵DE∥AB，∴∠ABC+∠DPB＝180°，又∵EF∥BC，∴∠DEF＝∠DPB．∴∠ABC+∠DEF＝180°．總結(jié)提升：本題比較簡單，根據(jù)題意畫出圖形是解答此題的關(guān)鍵，解答此題時要注意分兩種情況討論，否則會造成漏解．拔尖角度角度1利用平行線的判定和性質(zhì)判斷兩直線的位置關(guān)系2．（2019春?雅安期末）如圖，在△ABC中，CD是高，點E、F、G分別在BC、AB、AC上且EF⊥AB，∠1＝∠2，試判斷DG與BC的位置關(guān)系，并說明理由．思路引領(lǐng)：根據(jù)垂直的定義可得∠EFB＝∠CDB＝90°，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行可得CD∥EF，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠2＝∠3，然后求出∠1＝∠3，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行證明即可．解：DG∥BC．理由如下：∵CD是高，EF⊥AB，∴∠EFB＝∠CDB＝90°，∴CD∥EF，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DG∥BC．總結(jié)提升：本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，是基礎(chǔ)題，熟記平行線的性質(zhì)與判定方法是解題的關(guān)鍵．角度2利用平行線的判定和性質(zhì)說明角的關(guān)系3．（2010春?中山市期末）如圖，AB∥CD，BN、DN分別平分∠ABM、∠MDC，試問∠BMD與∠BND之間的數(shù)量關(guān)系如何？證明你的結(jié)論．思路引領(lǐng)：過點M作直線ME∥AB，過點N作直線NF∥AB，由平行線的性質(zhì)可得∠BMD＝∠ABM+∠CDM，∠BND＝∠ABN+∠CDN，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得到∠BMD和∠BND的關(guān)系．解：∠BMD＝2∠BND．理由如下：過點M作直線ME∥AB，過點N作直線NF∥AB，（3分）又∵AB∥CD，∴ME∥CD，NF∥CD（平行于同一直線的兩直線互相平行），∴∠ABM＝∠BME，∠CDM＝∠DME（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴∠BMD＝∠BME+∠DME＝∠ABM+∠CDM．同理可得：∠BND＝∠ABN+∠CDN．∵BN，DN分別平分∠ABM，∠MDC，∴∠ABM＝2∠ABN，∠CDM＝2∠CDN（角平分線定義）∴∠BMD＝2∠BND．總結(jié)提升：本題考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．角度3利用平行線的判定與性質(zhì)解決閱讀探究問題4．（2022春?龍崗區(qū)期末）（1）如圖1，AB∥CD，求∠A+∠AEC+∠C的度數(shù)．解：過點E作EF∥AB．∵EF∥AB（已作）∴∠A+∠AEF＝180°（）又∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD（）∴∠CEF+∠＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°（等式性質(zhì)）即∠A+∠AEC+∠C＝．（2）根據(jù)上述解題及作輔助線的方法，在圖2中，AB∥EF，則∠B+∠C+∠D+∠E＝．（3）根據(jù)（1）和（2）的規(guī)律，圖3中AB∥GF，猜想：∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．（4）如圖4，AB∥CD，在B，D兩點的同一側(cè)有M1，M2，M3，…Mn共n個折點，則∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D的度數(shù)為（用含n的代數(shù)式表示）思路引領(lǐng)：（1）如圖1，過點E作EF∥AB，則EF∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A+∠AEF＝180°，∠CEF+∠C＝180°，即可得到結(jié)論；（2）分別過C，D作CG∥AB，DH∥AB，則CG∥DH∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）分別過C，D，E作CG∥DH∥EI∥AB，則CG∥DH∥EI∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（4）由（1）（2）（3）知，拐點的個數(shù)n與角的和之間的關(guān)系是（n+1）?180°，于是得到∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D＝（n+1）?180°．解：（1）過點E作EF∥AB．∵EF∥AB（已作）∴∠A+∠AEF＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）又∵AB∥CD（已知）∴EF∥CD（平行關(guān)系的傳遞性）∴∠CEF+∠C＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°（等式性質(zhì)）即∠A+∠AEC+∠C＝360°．（2）如圖2，分別過C，D作CG∥AB，DH∥AB，則CG∥DH∥EF，∴∠1+∠B＝∠2+∠3＝∠4+∠E＝180°，∴∠B+∠C+∠D+∠E＝∠1+∠B+∠2+∠3+∠4+∠E＝540°＝3×180°；（3）如圖3，分別過C，D，E作CG∥DH∥EI∥AB，則CG∥DH∥EI∥CD，∴∠B+∠BCG＝180°，∠GCD+∠CDH＝180°，∠HDE+∠IED＝180°，∠IEF+∠JFE＝180°，∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝720°；（4）由（1）（2）（3）知，拐點的個數(shù)n與角的和之間的關(guān)系是（n+1）?180°，∴∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D＝（n+1）?180°．故答案為：（1）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；平行關(guān)系的傳遞性；C；360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n+1）×180°．總結(jié)提升：本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運用平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．角度4利用平行線與方位角解決實際應(yīng)用問題5．（2021秋?江夏區(qū)期中）如圖，是A，B，C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向．（1）從B島看A，C兩島的視角∠ABC是多少度？（2）從C島看A，B兩島的視角∠ACB是多少度？思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)方向角和平行線的性質(zhì)，求出∠EBA＝100°即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ACB＝∠DAC+∠EBC50°+40°＝90°．解：（1）由題意可知，∠DAC＝50°，∠DAB＝80°，∠EBC＝40°，∵DA∥BE，∴∠DAB+∠EBA＝180°，∴∠EBA＝180°﹣80°＝100°，∴∠ABC＝∠EBA﹣∠EBC＝100°﹣40°＝60°；（2）過點C作CF∥DA，則CF∥EB，∴∠ACF＝∠DAC，∠BCF＝∠EBC，∴∠ACB＝∠DAC+∠EBC＝50°+40°＝90°．總結(jié)提升：本題考查方向角，平行線的性質(zhì)，理解方向角的意義以及平行線的性質(zhì)是正確解答的前提．角度5拐點問題6．如圖1．已知AB∥CD，BP、DP分別平分∠ABD、∠BDC．（1）∠BPD＝°；（2）如圖②，將BD改為折線BED，BP、DP分別平分∠ABE、∠EDC，其余條件不變，若∠BED＝120°，求∠BPD的度數(shù)：并進(jìn)一步猜想∠BPD與∠BED之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，若∠BMN＝132°，∠MND＝144°，BP、DP分別平分∠ABM、∠CDN，那么∠BPD＝．思路引領(lǐng)：（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ABD+∠BDC＝∠180°，再根據(jù)角平分線的定義得出∠PBD+∠PDB的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；（2）連接BD，先求出∠EBD+∠EDB的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)得出∠ABD+∠CDB的度數(shù)，由角平分線的性質(zhì)得出∠PBE+∠PDE的度數(shù)，根據(jù)∠BPD＝180°﹣∠PBE﹣PDE﹣∠EBD﹣∠EDB即可得出結(jié)論．（3）連接BD，先求出∠MBD+∠NDB的度數(shù)，再求出∠PBM+∠PDN的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理即可解決．解：（1）∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC＝∠180°，∵BP、DP分別平分∠ABD、∠BDC，∴∠PBD+∠PDB＝90°，∴∠BPD＝180°﹣90°＝90°．故答案為：90；（2）連接BD，∵∠BED＝120°，∴∠EBD+∠EDB＝60°，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，∵BP、DP分別平分∠ABE、∠EDC，∴∠PBE=12∠ABE，∠PDE=1∴∠PBE+∠PDE=12（180°﹣60°）＝∴∠BPD＝180°﹣∠PBE﹣PDE﹣∠EBD﹣∠EDB＝60°．猜想：∠BPD=12∠（3）連接BD，∵∠BMN＝132°，∠MND＝144°，∴∠MBD+∠NDB＝360°﹣（132°+144°）＝84°，∵BP、DP分別平分∠ABM、∠NDC，∴∠PBM=12∠ABM，∠PDN=1∴∠PBM+∠PDN=12（180°﹣84°）＝∴∠BPD＝180°﹣（∠MBD+∠NDB）﹣（∠PBM+∠PDN）＝48°．故答案為48°．總結(jié)提升：本題考查的是平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形、四邊形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是這些知識的靈活應(yīng)用，學(xué)會添加輔助線，把問題轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形，屬于中考?？碱}型．7．（2019春?遵義期中）已知AB∥CD，解決下列問題：（1）如圖①，寫出∠ABE、∠CDE和∠E之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，BP、DP分別平分∠ABE、∠CDE，若∠E＝100°，求∠P的度數(shù)；（3）如圖③，若∠ABP=13∠ABE，∠CDP=13∠CDE，試寫出∠思路引領(lǐng)：（1）猜想得到三角之間的關(guān)系，驗證即可；（2）根據(jù)得出三角關(guān)系，以及角平分線定義求出四邊形PBED中的三個角，進(jìn)而利用四邊形內(nèi)角和求出所求角的度數(shù)即可；（3）依此類推確定出兩角關(guān)系，驗證即可．解：（1）根據(jù)題意得：∠ABE+∠CDE+∠E＝360°，理由如下：過E作EF∥AB，∴∠FEB+∠EBA＝180°，∵CD∥AB，EF∥AB，∴CD∥EF，∴∠CDE+∠DEF＝180°，∴∠CDE+∠DEB+∠ABE＝360°，故答案為：∠ABE+∠CDE+∠E＝360°；（2）∵BP、DP分別平分∠ABE、∠CDE，∴∠EDP=12∠CDE，∠EBP=12∠ABE，即∠CDE＝2∠EDP，∠ABE＝代入（1）的等式得：2∠EBP+2∠EDP+∠E＝360°，∵∠E＝100°，∴∠EBP+∠EDP＝180°-12∠E＝在四邊形PBED中，∠P＝360°﹣（∠EBP+∠EDP+∠E）＝360°﹣（130°+100°）＝130°；（3）