2022-2023學(xué)年北京市名校高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析 (一)

2022-2023學(xué)年北京市名校高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共6小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知集合/={y|y=]og2%,%>2},B={y\y<4},則An8=（）

A.{y|0<y<4]B.{y|0<y<1]C.{y|l<y<4}D.0

2.命題“Yx>0,%2-2x+1>0”的否定是（）

A.3%>0,x2—2x+1<0B.Vx>0,x2—2x+1<0

C.3%<0,%2—2x+1<0D.Vx<0,%2—2%+1<0

3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是（）

1__

A.y=--B.y=3X-3~xC.y=tanxD.y=y/x

4.已知a=辦=3,12,c=Igg，則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.a<b<c

6.已知函數(shù)/（久）=卜/一"—"”41是R上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）

Vlogax—l,x>1

AA.[「“151、）nB.「11-1C".（/0c,-h]cD.「[1-,1Y、）

二、多選題(本大題共2小題，共10.0分。在每小題有多項符合題目要求)

7.函數(shù)/(?=sm(3比+0)3>。)的最小正周期為兀，f(x)<f急,下列說法正確的是()

A./(久)的一個零點為一：B.〃久+》是偶函數(shù)

C.f(x)在區(qū)間(等,等)上單調(diào)遞增D.f(x)的一條對稱軸為x=-即

OOO

8.定義域和值域均為[-a,a]的函數(shù)y=/(久)和y=g(x)的圖象如圖所示，其中a>c>b>0,

下列四個結(jié)論中正確有()

A.方程f[g(x)]=0有且僅有三個解B.方程g[/Q)]=0有且僅有三個解

C.方程/[/(久)]=0有且僅有八個解D.方程g[g。)]=0有且僅有一個解

三、填空題(本大題共5小題，共25.0分)

9.函數(shù)/(X)=lg(x—2)++的定義域是.

10.把函數(shù)y=cosx的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半(縱坐標不變)，然后把圖

象向左平移9個單位，則所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為.

11.若a的終邊過點(—1,2)，則tana=-----而湍墨麗=-------

12.設(shè)函數(shù)/⑺={黑ffoj。)，若片則實數(shù)a=_(l)_，/(/(2))=_(2)_.

13.已知函數(shù)/(%)=+~50,方程〃久)=k有兩個實數(shù)解，貝味的范圍是.

四、解答題(本大題共3小題，共36.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

14.(本小題12.0分)

已知集合4={%|2怖>0],集合B={x\a-2<x<2a+1}.

(I)當a=3時，求4和(CR4)UB；

(II)若％e4是久eB的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.

15.(本小題12.0分)

已知aG(-,71),tana=

乙4

(I)求位712a的值；

sina+2cosa

(II)求的值;

Scoscc-C；nct

(III)求sin(2a—9的值.

16.(本小題12.0分)

函數(shù)/(%)匕是R上的奇函數(shù)，a,b是常數(shù)?

2+a

(1)求a,6的值；

(2)若不等式-3工)+/(3,—/—2)<0對任意實數(shù)萬恒成立，求實數(shù)k范圍.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：1?,A-(y\y>1),B=(y\y<4},

Ar\B={y|l<y<4}.

故選：C.

可求出集合4然后進行交集的運算即可.

本題考查了描述法的定義，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，交集及其運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：由已知得，命題“Vx>0,一一2久+1NO”的否定是：

Hx>0,%2—2x+1<0.

故選：A.

全稱量詞命題的否定，一是量詞變成存在量詞，二是否定結(jié)論，據(jù)此解決問題.

本題考查全稱量詞命題的否定方法，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性分別檢驗各選項即可判斷.

本題主要考查了函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)試題.

【解答】

解：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，y=-：在定義域(-8,0)u(0,+oo)內(nèi)不單調(diào)，不符合題意；

由于y=3，-孑為奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞增，符合題意；

根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)可知，y=tanx在定義域內(nèi)不單調(diào)，不符合題意；

根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)可知，y=?定義域［0,+8)不關(guān)于原點對稱，為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.

故選：B.

4.【答案】A

11

-1C-恒<O

【解析】解：；a=?)3.1e(0,1),=2>2-

■■■c<a<b.

故選：A.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判斷出a,b,c的取值范圍，從而可得結(jié)果.

本題主要考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：函數(shù)/(久)=向在(―8,0)上遞減，在(0,+8)上遞增，故排除他

因為/(—1)=—1,〃1)=1,所以/(—1)片/(1),所以函數(shù)/(乃不是偶函數(shù)，圖象不關(guān)于y軸對

稱，故排除C.

故選：B.

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性排除4。；根據(jù)/(-1)*/(I)排除C.

本題主要考查函數(shù)的圖象與圖象的變換，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性，分段函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及減函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)

題.

根據(jù)題意可討論a：a>l時，可看出/(%)在(1,+8)上單調(diào)遞增，而/(%)在(-8,1］上不是增函數(shù),

(―>1

顯然不合題意；0<a<l時，可看出/(X)在(1,+8)上單調(diào)遞減，從而得出｛2a一,解

-1-->-1

出a的范圍即可.

【解答】

解：①a>l時，/(%)在(1,+8)上是增函數(shù)；

.?./(尤)在R上是增函數(shù)；

顯然f0)在(-叫1］上不是增函數(shù)；

a>1的情況不存在；

@0<a<1時，fQ)在(1,+8)上是減函數(shù)；

.?./(X)在R上是減函數(shù);

11

1

-->

2a-

-1

at1-

-4>

1

1

得<a<

4---

,2i

綜上得，實數(shù)a的取值范圍為白者.

故選：B.

7.【答案】ABD

【解析】解：因為函數(shù)/(X)的周期為兀，則3=2,

又/(%)</6)，則/。)=皿=居)，所以2義科卬=/2加六2,解得9=%2for,kez,

所以"K)=sin(2x+9，

選項A：因為/'(-，)=sin[2x(-，)+勺=sinO=0,故A正確；

o04

選項B：因為/'(x+今=sin[2x(%+/+,=sin(2x+/)=cos2x,而cos(-2x)=cos2久，故2

正確；

選項C：當無€(.第時,2x+^e(7T,2TT),此時函數(shù)/⑺不單調(diào)，故C錯誤;

選項。:因為/(-絮=sin[2x(-^)+5=Sin(—今=-1=f(x)-n=sin(-^)=-1=

故。正確，

故選：ABD.

由函數(shù)的周期求出3的值，再由為W/《)可得//)為函數(shù)的最大值，由此求出0的值，進而可

以求出函數(shù)/(久)的解析式，然后對應(yīng)各個選項逐個判斷即可求解.

本題考查了三角函數(shù)的周期性以及最值問題，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)以及學(xué)生的運算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

8.【答案】ABD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4,設(shè)t=g(X),則由/'[g(久)]=0,即f(t)=0,當t=0時，貝此=g(x)有三個不同值，由于

y=g(X)是減函數(shù)，所有三個解，A正確；

對于B,設(shè)t=/(x),若g[/(x)]=0，即g(t)=。，則t=6,所以/(X)=6,因為c>6>。，所以

對應(yīng)f(x)=b的解有3個，B正確；

對于C,設(shè)t=/(%),若f[f(x)]=0,即f(t)=0,t=-b或t=0或t=b,則f(x)=-b,或/(久)=0,

或/'(x)=b,

因為a>c>b>0,所以每個方程對應(yīng)著三個解，所以共9個解，C錯誤；

對于。，設(shè)t=g。),若g[g(x)]=0,即g(t)=0,所以t=b,則g(x)=b,因為y=g(x)是減函

數(shù)，所以方程g(x)=b只有1解，。正確；

故選：ABD.

根據(jù)題意，依次分析選項是否正確，即可得答案.

本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，涉及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題.

9.【答案】(2,3)U(3,+8)

【解析】解：要使原函數(shù)有意義，需要｛：[：：：解得：％>2且久中3.

所以原函數(shù)的定義域為(2,3)U(3,+8).

故答案為(2,3)U(3,+8).

函數(shù)解析式含有對數(shù)式和分式，由對數(shù)式的真數(shù)大于0和分式的分母不等于0取交集.

本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】y=-sinZx

【解析】解：函數(shù)y=cos久的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半(縱坐標不變)，得到y(tǒng)=

cos2x,

把圖象向左平移?個單位，得到y(tǒng)=cos[2(%+/]=cos(2x+5)=-Sin2x

故答案為：y=-sin2x

函數(shù)y=COSY的圖象上的所有點的橫坐標縮小到原來的一半(縱坐標不變〃的系數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍,

然后根據(jù)平移求出函數(shù)的解析式.

本題考查函數(shù)y=Asin(a)x+⑴)的圖象變換.準確理解變換規(guī)則是關(guān)鍵.

11.【答案】-2-1

【解析】解：:a的終邊過點（一1,2）,???汝九仇=占=-2；

?,sin（7r—a）1,1,日、,

-sinasina

貝I~TTTT_x7-.>.=T==9tcvncc=-x（-2）=-1.

7Jsin（2+a）-cos（7r+a）cosa+cosa2cosa22、，

故答案為：一2；-1.

由已知利用正切函數(shù)的定義求得tcma,再由誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求

sin（7r—a）

sin（^+a）—cos（7r+a）*

本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

12.【答案】；

V2

T

【解析】解：函數(shù)f（X）=償吧0：°），若用）=r

可得得=<，解得a另；

ZZ4

1

/（2）=/0取2=W.

42

?（2））=/（+）=24=強=亭

故答案為：1年.

利用分段函數(shù)的解析式通過統(tǒng)）巖，求解a的值，利用分段函數(shù)逐步求解〃（2））即可.

本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)值的求法函數(shù)解析式的求法，考查計算能力.

13.【答案】仇優(yōu)=-4或k>-3}

【解析】

【分析】

本題考查分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用，方程的解的個數(shù)問題，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

畫出函數(shù)〃久）的圖象，作出直線丫=匕觀察圖象，即可得解.

【解答】

解：函數(shù)/⑺七*二/°的圖象如圖，

作出直線y=k,觀察圖象，k=-4或k>-3口寸，直線y=k與函數(shù)/(%)有兩個交點，即方程/(?=

k有兩個實數(shù)解，

故實數(shù)k的取值范圍是僅忙=—4或k>-3}.

故答案為：伙生=-4或k>—3}.

14.【答案】解：

(1)集合4={刈案>0},

整理得：A={x\x>4或久<-3],QRA={x|-3<x<4},

集合B={x\a-2<%<2a+1].

當a=3時，B={x|l<%<7}.

所以(QZ)UB={X|-3<%<7].

(II)若％e/是％e8的必要不充分條件，

所以8星4

當B=。時，a—2>2a+1,解得a<一3；

當B手。時,{"黃片+1或祗-2-20+1,

⑦一2〉412a+1<-3

整理得a>6或一3<a<-2；

綜上所述：a的取值范圍為{a[a>6或a<-2}.

【解析】本題主要考查集合的交、并，補集的混合運算，必要不充分條件，以及利用集合關(guān)系求

參數(shù)范圍，屬于中檔題.

(I)首先求出集合4再求出集合B,根據(jù)補集和并集的定義即可求出(CRA)U8；

(II)由xea是無68的必要不充分條件，可得B反&,分B=0和8K0討論即可得解.

.【答案】解:

15(I)-aG乙tana=-p4

2tana24

???tan2a=1—tan2a

T+2_5

3—p〃日sina+2cosatana+2

(II)由汝71a=—?可得5c.sa-sina

5—tana9-

2sinacosa2tana24cos2a—sin2a1—tan2a7

(III)sin2a=222fCOS2.CC-2~,

sina+cosatana+lsina+cos'atan2a+l4+125

.7T、.cTt.7T24V37124V3+7

???sm(2a--)=sin2acos--cosnlastn-=——x—-——x-=-----——

66625225250

【解析】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，兩角和差的三角公式，屬于基礎(chǔ)

題.

(I)由題意利用倍角公式，求得tern2a的值；

(II)由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得;譏a+2cosa的值

5cosa—si/

(III)先求得s譏2a、cos2a的值，再利用兩角差的正弦公式，求出sin(2a-9的值.

16.【答案】解：(1)因為函數(shù)f(x)=提必是R上的奇函數(shù),

2+a