第5章 特殊平行四邊形專項訓練：角度計算1(含答案)

角度計算專項訓練（1）夯實基礎，穩(wěn)扎穩(wěn)打1．某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖②是其示意圖，其中AB，CD都與地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝55°．當AM與CB平行時，求∠MAC的度數．2.如圖，已知D為△ABC邊AB的中點，E在AC上，將△ABC沿著DE折疊，使A點落在BC上的F處．若∠B=65°，求∠BDF的度數3.如圖，△ABC中，D是BC上一點，AC=AD=DB，∠BAC=102°，求∠ADC的度數．在平行四邊形ABCD中，∠A+∠C＝200°，求∠C的度數5．如圖，在菱形ABCD中，E是CD上一點，連接AE交對角線BD于點F，連接CF，若∠AED=40°，求∠BCF的度數6．如圖，ABCD為一長方形紙帶，AD∥CB，將長方形ABCD沿EF折疊，C，D兩點分別與G，H對應，若∠1＝4∠2，求∠AEF的度數．連續(xù)遞推，豁然開朗7、如右圖，在正方形ABCD中，點E是AD的中點，點F是BA延長線上一點，AF=AB，△ABE可以通過繞A點逆時針旋轉到△ADF的位置，求旋轉的最小角度。8．【學習新知】射到平面鏡上的光線（入射光線）和反射后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，AB是平面鏡，若入射光線與水平鏡面夾角為∠1，反射光線與水平鏡面夾角為∠2，則∠1＝∠2．（1）【初步應用】如圖2，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射到平面鏡b上，又被b反射，若被b反射出的光線n與光線m平行，且∠1＝50°，則∠2＝，∠3＝．（2）【猜想驗證】由（1），請你猜想：當兩平面鏡a、b的夾角∠3＝時，可以使任何射到平面鏡a上的光線m，經過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行．請說明理由．（3）【拓展探究】如圖3，有三塊平面鏡AB，BC，CD，入射光線EF與鏡面AB的夾角∠1＝α°，鏡面AB、BC的夾角∠B＝120°，已知入射光線從鏡面AB開始反射，經過n（n為正整數，n≤3）次反射，當第n次反射光線與入射光線EF平行時，請直接寫出∠BCD的度數．（可用含有α的代數式表示）思維拓展，更上一層9.“勾股圖”有著悠久的歷史，歐幾里得在《幾何原本》中曾對它做了深入研究.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以△ABC的三條邊為邊向外作正方形.連接EB，CM，DG，CM分別與AB，BE相交于點P，Q.若∠AMP＝30°，則∠ABE＝°，DGQM的值為 角度計算專項訓練（1）夯實基礎，穩(wěn)扎穩(wěn)打1.解：∵AB∥l，CD∥l，∴AB∥CD，∵∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BCD＝60°，∵∠BAC＝55°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣55°＝65°，∵要使AM與CB平行，則有∠ACB＝∠MAC，∴∠MAC＝65°，故B正確．2.解：∵△DEF是△DEA沿直線DE翻折變換而來，∴AD=DF，∵D是AB邊的中點，∴AD=BD，∴BD=DF，∴∠B=∠BFD，∵∠B=65°，∴∠BDF=180°﹣∠B﹣∠BFD=180°﹣65°﹣65°=50°．3解：∵AC=AD=DB，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C.∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠ADC=∠C=2∠B.設∠B=x°，則∠C=2x°.∵在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴x+2x+102=180.解得：x=26.∴∠ADC=2x=52°.4.解：在平行四邊形ABCD中，∠A＝∠C，又∠A+∠C＝200°，所以，5.解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CB，AB∥DC，∠ABF=∠CBF，∵AB=CB，∠ABF=∠CBF，BF=BF，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴∠BAF=∠BCF，∵∠AED=40°，AD∥BC，∴∠AED=∠BAF，∴∠BCF=40°，6..解：由翻折的性質可知：∠DEF＝∠FEH，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠1，∵∠1＝4∠2，∴設∠2＝x，則∠DEF＝∠1＝∠FEH＝4x，∵∠2+∠DEF+∠HEF＝180°，∴9x＝180°，∴x＝20°，∴∠AEF＝∠2+∠HEF＝x+4x＝5x＝100°，故答案為：100°．7、9008.解：（1）如圖2，∵入射角與反射角相等，即∠1＝∠4＝50°，∠5＝∠6，又∵∠7＝180°﹣∠1﹣∠4＝80°，m∥n，∴∠2＝180°﹣∠7＝100°，∴∠5＝∠6＝（180°﹣100°）÷2＝40°．∵三角形內角和為180°，∴∠3＝180°﹣∠4﹣∠5＝90°；故答案為：100°，90°；（2）由（1）可得當兩平面鏡a、b的夾角∠3＝90°時，可以使任何射到平面鏡a上的光線m，經過平面鏡a、b的兩次反射后，入射光線m與反射光線n平行．理由：∵∠3＝90°，∴∠4+∠5＝90°．又由題意知∠1＝∠4，∠5＝∠6，∴∠2+∠7＝180°﹣（∠5+∠6）+180°﹣（∠1+∠4）＝360°﹣2∠4﹣2∠5＝360°﹣2（∠4+∠5）＝180°．由同旁內角互補，兩直線平行，可知：m∥n．故答案為：90°；（3）90°+α°或150°．理由如下：①當n＝3時，如圖3：∵∠BEG＝∠1＝α°，∴∠BGE＝∠CGH＝180°﹣∠B﹣∠BEG＝180°﹣120°﹣α°＝60°﹣α°，∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2α°，∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣α°）＝60°+2α°，∵EF∥HK，∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°，∴∠GHK＝360°﹣（180°﹣2α°）﹣（60°+2α°）＝120°，∴∠GHC＝30°，由△GCH內角和得∠BCD＝180°﹣∠GHC﹣∠CGH＝180°﹣30°﹣（60°﹣α°）＝90°+α°；②當n＝2時，如果在BC邊反射后與EF平行，則∠B＝90°，與題意不符；則只能在CD邊反射后與EF平行，如圖4所示：∵∠GBC＝180°﹣ABC＝60°，∴∠G＝∠BCD﹣∠GBC＝∠BCD﹣60°，由EF∥HK，且由（1）的結論可得，∠G＝∠BCD﹣60°＝90°，則∠BCD＝150°．綜上所述：∠BCD的度數為90°+α°或150°．9.解：（1）①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON，∴∠AOB＝∠BON＝20°，∵AB∥ON，∴∠ABO＝∠BON＝20°；②當∠BAD＝∠ABD時，∵∠ABO＝∠AOB＝20°，∴∠BAD＝20°，∠BAO＝180°﹣20°﹣20°＝140°，∴∠OAC＝∠BAO﹣∠BAD＝120°；當∠BAD＝∠BDA時，∵∠ABO＝20°，∴∠BAD＝∠BDA＝80°，∵∠AOB＝20°，∴∠OAC＝∠BDA﹣∠AOB＝60°；故答案為：①20°；②120°，60°；（2）①當∠BDC＝2∠BFC時，如圖，∵AB⊥OM，∠MON＝40°，∴∠BFC＝50°，∴∠BDC＝2∠BFC＝100°，∵∠ABO＝∠BFC+∠BON＝50°+20°＝70°，∴∠BAC＝∠BDC﹣∠ABO＝100°﹣70°＝30°，∴α＝30°；②當點C在F左邊，∠DBF＝2∠DCF時，∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°，∴∠DBF＝∠AOB+∠OAB＝20°+90°＝110°，∠BFC＝50°，∴∠DCF＝∠DBF＝55°，∴∠BAC＝180°﹣∠BFC﹣∠ACF＝180°﹣50°﹣55°＝75°，∴α＝75°；③當點C在F右邊，∠DBF＝2∠DCF時，∵AB⊥OM，∠AOB＝20°，∠MON＝40°，∴∠DBF＝∠ABO＝90°﹣∠AOB＝90°﹣20°＝70°，∠AFO＝50°，∴∠DCF＝∠DBF＝35°，∠AFC＝130°，∴∠BAC＝180°﹣∠DCF﹣∠AFC＝180°﹣35°﹣130°＝15°，∴α＝15°；10解：∵四邊形AEDC、四邊形AMNB四邊形BCGF都為正方形，∴AE＝AC＝CD，AB＝AM，BC＝CG，∠EAC＝∠MAB＝∠ACD＝∠BCG＝90°，∴∠EAB＝∠CAM，在△EAB和△CAM中，AE=AC∠EAB=∠CAMAB=AM∴△EAB≌△CAM（SAS），∴∠EBA＝∠CMA＝∠AMP＝30°，∴∠BPQ＝∠APM＝60°，∴∠BQP＝90°，∴PQ＝12PB設AP＝a，∴PM＝2AP＝2a，在Rt△MAP中，由勾股定理得：AM＝PM2∴PB＝AB﹣AP＝AM﹣AP＝