2024高考數(shù)學(xué)教材：平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

2024高考數(shù)學(xué)教材:

平面向量,數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

目錄

1.平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算..................................................2

1.1.教材回扣基礎(chǔ)自測(cè)一一自主學(xué)習(xí)?知識(shí)積淀..............................2

1.2.課堂作業(yè).................................................................4

1.3.互動(dòng)課堂?考向探究........................................................6

1.3.1.考點(diǎn)一平面向量的概念自主練習(xí)...................................7

1.3.2.考點(diǎn)二平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算微專(zhuān)題.................................8

2.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示...............................................17

2.1.教材回扣基礎(chǔ)自測(cè)一一自主學(xué)習(xí)?知識(shí)積淀..............................17

2.2.課堂作業(yè)................................................................18

2.3.互動(dòng)課堂?考向探究.......................................................21

2.3.1.考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用....................................21

2.3.2.考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算........................................24

2.3.3.考點(diǎn)三平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示....................................27

3.平面向量的數(shù)量積............................................................33

3.1.教材回扣基礎(chǔ)自測(cè)一一自主學(xué)習(xí)?知識(shí)積淀.............................34

3.2.課堂作業(yè)................................................................35

3.3.互動(dòng)課堂?考向探究......................................................38

3.3.1.考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算自主練習(xí)...........................38

3.3.2.考點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的性質(zhì)應(yīng)用微專(zhuān)題..........................41

3.3.3.【例1】（配合考點(diǎn)一使用）若平面向量ei,e2滿(mǎn)足|ei|=|3ei+e2|=2,則為

在e2方向上的投影的最大值為（）....................................................................................47

3.4.互動(dòng)課堂?考向探究.....................................................49

3.4.1,考點(diǎn)—平面向量與平面幾何.......................................49

3.4.2.考點(diǎn)二平面向量中的最值問(wèn)題.....................................52

3.4.3.考點(diǎn)三平面向量與解三角形.......................................55

4.數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入.....................................................63

4.1.教材回扣基礎(chǔ)自測(cè)一一自主學(xué)習(xí)?知識(shí)積淀.............................63

4.2.課堂作業(yè)..............................................................65

4.3.互動(dòng)課堂?考向探究......................................................67

第1頁(yè)共73頁(yè)

4.3.1.考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念...........................................67

4.3.2.考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義...........................................69

4.3.3.考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的運(yùn)算微專(zhuān)題........................................71

1.平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算

考題舉

內(nèi)容要求考向規(guī)律

例

1.了解向量的實(shí)際

考情分析：主

背景

202。新要考查平面向量的

2.理解平面向量的

高考n線(xiàn)性運(yùn)算（加法、減

概念，理解兩個(gè)向量相

卷?△（向量的法、數(shù)乘）及其幾何

等的含義

線(xiàn)性運(yùn)算）意義、共線(xiàn)向量定

3.理解向量的幾何

2018?全理，有時(shí)也會(huì)有創(chuàng)

表示

國(guó)I卷Z（向新的新定義問(wèn)題；

4.掌握向量加法、

量的線(xiàn)性運(yùn)題型以選擇題、填

減法的運(yùn)算，并理解其

算）空題為主，屬于中

幾何意義

2017?江低檔題目。偶爾會(huì)

5.掌握向量數(shù)乘的

蘇高在解答題中作為工

運(yùn)算及其幾何意義，理

考？2（向量具出現(xiàn)

解兩個(gè)向量共線(xiàn)的含義

的線(xiàn)性運(yùn)算）核心素養(yǎng)：數(shù)

6.了解向量線(xiàn)性運(yùn)

學(xué)運(yùn)算

算的性質(zhì)及其幾何意義

1.1.教材回扣基礎(chǔ)自測(cè)-——自主學(xué)習(xí)知識(shí)積淀

一一Aq

1.向量的有關(guān)概念

（1）向量

兩個(gè)方面：大小和方向。

第2頁(yè)共73頁(yè)

其中，向量的大小，叫做向量的長(zhǎng)度(或模)。

(2)零向量

長(zhǎng)度為Oz方向是任意的。

(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位;方向是確定的。

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量。平行向量又叫共

線(xiàn)向量O規(guī)定：。與任一向量平行O

(5)相等向量：長(zhǎng)度相等;方向相同。

(6)相反向量：長(zhǎng)度相等;方向相反。

單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同；與

向量。平行的單位向量有兩個(gè)，即向量言和一臺(tái)。

2.向量的線(xiàn)性運(yùn)算

向量定運(yùn)算

法則(或幾何意義)

運(yùn)算義律

⑴交

換律：。+

求兩ab=bJt-a；

三角形法則

加法個(gè)向量和⑵結(jié)

的運(yùn)算y合律：3

a+))+c=

平行四邊形法則a+S+c)

求a

與力的相a-b

減法反向量一b="+(一

的和的運(yùn)b)

三角形法則

算

第3頁(yè)共73頁(yè)

A(JLld)

⑴|必=|2|同；—；

求實(shí)(2)當(dāng)2>0時(shí)，2a的(2+

數(shù)/I與向方1可與a的方向相向;4)。=%+

數(shù)乘

量a的積當(dāng)A<0時(shí)，2a的方1可與

的運(yùn)算a的方向相反;當(dāng)2=0

時(shí)，觴=0b)=Aa-\~

Xb

?微提醒?

向量加法的多邊形法則

多個(gè)向量相加，利用三角形法則，應(yīng)首尾順次連接，a+b+

。表示從起點(diǎn)指向終點(diǎn)的向量，只關(guān)心起點(diǎn)、終點(diǎn)。

3.共線(xiàn)向量定理

。是非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)九使得力=癡，則向量〃與

非零向量a共線(xiàn)。

?微提醒?

-1

1.若尸為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則0P=]

—?—?

(QA+03)。

—?—?-?

2.。4=%。8+〃。。(九〃為實(shí)數(shù))，若A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)，則

%+〃=1。

1.2.課堂作業(yè)

第4頁(yè)共73頁(yè)

一、常規(guī)題

1.在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.|A3|=|AD|一定成立

—?—?-?

B.AC=A3+A。一定成立

C.AD=BC一定成立

—?—>—?

D.8O=AO—AB一定成立

解析在平行四邊形ABCD中，AC=AB+A。一定成立，

-A-A-A-A—?—?

=3。一定成立，8O=AO—AB一定成立，但|AB|=|AD|不一定成

立。故選A。

答案A

2.如圖所示，已知AC=33C,。4=0,OB=b,OC=c,則

下列等式中成立的是（)

A.c—^b—^a

B.c—2b—a

C.c—2a—b

c31,

D.c=/a一矽

解析因?yàn)锳C=38C,OA=a,OB=b,所以O(shè)C=QA+AC

33131

=0A=OA+](08—QA)=/0吐=/b—于。

第5頁(yè)共73頁(yè)

答案A

3.設(shè)a與〃是兩個(gè)不共線(xiàn)向量，且向量a+乃與一（力一2a）

共線(xiàn)，則%=o

解析依題意知向量。+勸與2a—力共線(xiàn)，設(shè)。+乃=左（2a

1—2左=0,1

一》），則有（1—2Z）a+（hH迫=0,所以，…解得％=萬(wàn)，

%+2=0,z

；=-20

套案--

u木2

二、易錯(cuò)題

―?

4.（對(duì)向量相等隱含條件認(rèn)識(shí)不清）若四邊形ABCD滿(mǎn)足AO

—>—>-A

〃3c且|AB|=|OC|,則四邊形ABCD的形狀是

解析當(dāng)|AD|=|BC|時(shí)，四邊形A3CD是平行四邊形；當(dāng)|AD

―?

|W|3C|時(shí)，四邊形A3CD是等腰梯形。

答案等腰梯形或平行四邊形

5.（兩向量的方向關(guān)系不清）已知同=2,網(wǎng)=5,則|。十"的

取值范圍是o

解析當(dāng)。與辦方向相同時(shí)，|a+"=7;當(dāng)a與8方向相反

時(shí)，|a+"=3;當(dāng)。與b不共線(xiàn)時(shí)，3<|。+例<7。所以|a+b|的取

值范圍為［3,7］。

答案［3,7］

考點(diǎn)例析對(duì)點(diǎn)微練

1.3.互動(dòng)課堂?考向探究

第6頁(yè)共73頁(yè)

L3.L考點(diǎn)一平面向量的概念自主練習(xí)

1.下面說(shuō)法正確的是（）

A.平面內(nèi)的單位向量是唯一的

B.平面內(nèi)所有單位向量的終點(diǎn)的集合為一個(gè)單位圓

C.所有的單位向量都是共線(xiàn)的

D.所有的單位向量的模相等

解析因?yàn)槠矫鎯?nèi)的單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

當(dāng)單位向量的起點(diǎn)不同時(shí)，其終點(diǎn)就不一定在同一個(gè)圓上，所以

選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)兩個(gè)單位向量的方向不相同也不相反時(shí)，這兩

個(gè)向量就不共線(xiàn)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)閱挝幌蛄康哪６嫉扔?/p>

1,所以選項(xiàng)D正確。

答案D

2.下列四個(gè)命題中，真命題為（）

A.若a//b,則a=b

B.若⑷=|例，則

C.若|0|=步|,則?！?/p>

D.若a=b,則|a|=l5I

答案D

3.下列四個(gè)命題中，正確的是（）

A.若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同

—?—?

B.若A,B,C,。是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，且則四邊

形A3CD為平行四邊形

C.a=）的充要條件是⑷=|加且a〃b

D.已知九〃為實(shí)數(shù)，若Za=曲,則。與〃共線(xiàn)

解析A錯(cuò)誤，若兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向

量相等，但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)；B正確，

第7頁(yè)共73頁(yè)

因?yàn)锳B=OC,所以|AB|=|Z）C|且A8〃0C,又A,B,C,。是不

共線(xiàn)的四點(diǎn)，所以四邊形ABCQ為平行四邊形；C錯(cuò)誤，當(dāng)a〃

8且方向相反時(shí),即使⑷=步|,也不能得到所以“⑷=網(wǎng)

且?！╞"不是“a=b”的充要條件，而是必要不充分條件；D錯(cuò)

誤，當(dāng)丸=〃=0時(shí)，。與〃可以為任意向量，滿(mǎn)足觴=曲，但a

與b不一定共線(xiàn)。

答案B

—————-—

*?-_=_II一；1L二I

向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)

1.向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度。

2.非零共線(xiàn)向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制。

3.相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相等。

4.單位向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度等于1個(gè)單位。

5.零向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度是0,規(guī)定零向量與任何向量共線(xiàn)。

1.3.2.考點(diǎn)二平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算微專(zhuān)題

微考向1：平面向量的加法、減法運(yùn)算

【例1】（1）（多選）如圖所示，在△A3C中，。是AB的中

點(diǎn)，下列關(guān)于向量CD表示不正確的是（）

A.CD=CA+DB

—?—?-?

B.CD=BC+DA

f1ff

C.CD^^AB+AC

第8頁(yè)共73頁(yè)

D.CD=!CA+《CB

解析對(duì)于A,因?yàn)?。?8的中點(diǎn)，所以AO=DB,因?yàn)?/p>

—?-A-A—?-A-A

CD=CA+AD,所以CO=CA+DB,所以A正確；對(duì)于B,由三

―?—?—?—?—?―?―?

角形法則得，CQ=CB+BO=CB+D4=—BC+D4,所以B不

正確；對(duì)于C,CD=CA+AD=^AB~AC,所以C不正確；對(duì)于

11

D,因?yàn)?。是A3的中點(diǎn)，所以。。=5。4+不。8,所以D正確。

故選BC。

答案BC

(2)(2021凍北育才學(xué)校模擬)如圖，在平行四邊形ABCD,

——3—

后為3C的中點(diǎn)，尸為。石的中點(diǎn)，若AF=%A3+京。，則％=

()

32

A-4B-3

C』D1

J24

-1

解析連接AE(圖略)，因?yàn)槭瑸?。石的中點(diǎn)，所以A尸=]

(AD+AE),而AE=A3+BE=A3+4BC=AB+H。，所以A尸=5

一1(——1—'

(AD+AE)=-^AD-\-AB+2AD,^AF=xAB+海

第9頁(yè)共73頁(yè)

m,1

所以％=2。

答案C

———一———..

w-二-']]”!TF,，1■,匚I

平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算技巧

1.不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解。

2.含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，

充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線(xiàn)等性質(zhì)，把未知

向量用已知向量表示出來(lái)求解。

微考向2：向量共線(xiàn)問(wèn)題

【例2】設(shè)向量ei，02是平面內(nèi)的一組基底，若向量。=

i3^1—02與力=C1一202共線(xiàn)，則丸=（）

1

二--

A.3B.3

C.-3D.3

解析因?yàn)閍與力共線(xiàn)，所以存在〃￡R,使得a=〃b,即

—3ei—e2=〃（ei—屁2）,即一3ei—02=〃2一加02,比較系數(shù)，得〃

=-3,—Aju=-1,故丸=一；。

答案B

二二=-j?匚?

兩個(gè)向量共線(xiàn)是指兩個(gè)向量的方向相同或相反,因此共線(xiàn)包

含兩種情況：同向共線(xiàn)或反向共線(xiàn)。

一般地，若。=勸（。70）,則a與力共線(xiàn)：

1.當(dāng)z>0時(shí)，a與8同向；

2.當(dāng)丸<0時(shí)，°與力反向。

微考向3：三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題

[例3]（1）（2021?鄭州模擬）設(shè)白與外是兩個(gè)不共線(xiàn)的向

第10頁(yè)共73頁(yè)

量，A3=3ei+2e2，CB=ke\+ei，CD=3e、-2ke2,若A,B,D

三點(diǎn)共線(xiàn)，則％的值為O

解析因?yàn)锳,B,。三點(diǎn)共線(xiàn)，所以必存在一個(gè)實(shí)數(shù)九使

^AB=XBDO又A3=3ei+2e2,CB=ke\+e2,CD=3e\~2ke2,所

以3。=。。-08=3d一2既2一(既1+02)=(3—幻幻一(2%+1)62,所

以3ei+2e2=〃3—Z)ei—〃2左+1)02,又仍與?不共線(xiàn)，所以

3=43一2),9

解得k=—］。

2=T(2%+1),

答案V9

(2)設(shè)。4,。8不共線(xiàn)，求證：P,A,8三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件

-A-A—>

是：OP=%OA+〃OB且2+〃=1,九〃￡R。

證明充分性：因?yàn)椋?〃=1,

—?-?-A-A-A—?—A-A

所以0P=A0A+〃08=(l—4)0A+〃08=0A+〃(08—QA)

—?—?

=0A+〃A5。

—?—?-?

所以O(shè)P—OA=〃AB。

—?—?—?-?

所以AP=〃AB,所以AP,A3共線(xiàn)。

因?yàn)閮上蛄坑泄颤c(diǎn)A,所以A,P,3三點(diǎn)共線(xiàn)。

必要性：若P,A,3三點(diǎn)共線(xiàn)，

-A-A-A-A

則AP=〃A8=〃(08—0A)。

—>—?-A-?

所以0尸一0A=3—"0Ao

第11頁(yè)共73頁(yè)

所以O(shè)P=(1—〃)。4+〃0瓦

-A-?-?

令人=1一〃，貝|QP=%OA+〃QB,其中〃+2=1。

-A-?―?

綜上，P,A,3三點(diǎn)共線(xiàn)的主要條件是：OP=AOA+^OB^L

2+〃=1,A,〃￡R。

總結(jié)反思

1.證明三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，可用向量共線(xiàn)來(lái)解決，但應(yīng)注意向

量共線(xiàn)與三點(diǎn)共線(xiàn)的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線(xiàn)且有公共點(diǎn)時(shí),

—?—?

才能得出三點(diǎn)共線(xiàn)，即A,B,。三點(diǎn)共線(xiàn)臺(tái)AB,AC共線(xiàn)。

-?-?—>?

2.A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)的一個(gè)充要條件是。4=203+〃0。(2

+〃=1)(0是平面內(nèi)任意一點(diǎn)),此結(jié)論在解決三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題時(shí)非

常方便。

【題組對(duì)點(diǎn)練】

1.(微考向1)設(shè)。為△A4C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC=3CD,

若AQ=143+〃AC,則2一〃=()

54

A.-3B.—3

C.gD.|

解析由BC=3CO,可知8,C,。三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，如

圖所示。根據(jù)題意及圖形，可得AD=AC+CD=AC+"(AC—A3)

14145

,所以丸=一,，所以〃

2—=-333°

故選A。

第12頁(yè)共73頁(yè)

答案A

—?—?-?

2.(微考向1)(多選)已知平面向量OA,OB,0C為三個(gè)單位

—?-?-A—>-A

向量，且。403=0,^OC=xOA+yOB{x,j￡R),則x+y的可

能取值為()

A.0B.1

C.也D.2

解析依題意，QA,是一組垂直的單位向量，如圖建立

坐標(biāo)系，向量03作為一組垂直的單位基底可以表示單位圓

上任一點(diǎn)C(cosQ,sin0)(3表示由x軸非負(fù)半軸旋轉(zhuǎn)到OC所形

—?-?-A

成的角)構(gòu)成的向量OC,附0,2兀),因?yàn)?。A=(l,0),03=(0,1),

-?-A->—?

(?C=(cos0,sinO'),OC=xOA~\-yOB,所以％=cos仇j=sin0,

故x+y=cos9+sin9=gsin。+彳，[0,2兀)，故％+y￡[―

也也,可以取0,1,也。故選ABC。

第13頁(yè)共73頁(yè)

答案ABC

3.（微考向3）如圖所示，在aABC中，。是3C的中點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)0的直線(xiàn)分別交AB,AC所在直線(xiàn)于點(diǎn)M,N,若

AC=nAN,則m+n的值為（）

-―.----------..A

mn

解析解法一:連接AO,則AO=1(AB+AC)=EAM+]AN,

mn

因?yàn)锳f,0,N三點(diǎn)共線(xiàn)，所以萬(wàn)+5=1,所以〃?+〃=2。

1

解法二：連接A0。由于。為的中點(diǎn)，故AO=］（AB+

AC）,MO=AO-AM^AB+AC）-^iAB=\^--^B+^AC,同

理，NO=pB+|j一力4。。由于向量MO,NO共線(xiàn)，故存在實(shí)數(shù)

第14頁(yè)共73頁(yè)

（11）11-*（八_

2使得M0=AM9,即一/川+濟(jì)仁支/鉆+攻\一小。。由于

-fiiiino

AC不共線(xiàn)，故得不一=萬(wàn)/1且5=%萬(wàn)一二，消掉2,得（

AB,乙777乙乙it）m—

2）（〃-2）=也〃，化簡(jiǎn)即得機(jī)+〃=2。

答案B

4.（微考向2）設(shè)兩個(gè)非零向量。與〃不共線(xiàn)。若癡+力與。

+kb共線(xiàn)，則k—o

解析因?yàn)棰?力與。+心共線(xiàn)，則存在實(shí)數(shù)2,使加+8

=%3+劭），即（女一人加=（"一1）兒又。，。是兩個(gè)不共線(xiàn)的非零

向量，所以％—2=欣一1=0。消去九得3—1=0,所以左=±1。

答案±1

教師備用題

【例1】（配合例1使用）在△A3C中，。為邊3C上一點(diǎn)，

AAA[-?>

E是線(xiàn)段AO的中點(diǎn)，若CE=^AB+^iAC,貝!J2+〃=

()

A-3B.一

〃77

C.70D.—76

f]fff(1)+]

角窣析CE=^CB-CA)+^AC=-jCB+^-^-MCA=—^~

1

（112+11

CD+1—Q—〃JCA,因?yàn)槭茿Q的中點(diǎn)，所以一丁=13-

=；,解得丸=3，//=—|,故2+〃=—'。故選B。

答案B

【例2】（配合例1使用）已知數(shù)列｛斯｝是正項(xiàng)等差數(shù)列,

第15頁(yè)共73頁(yè)

在△ABC中，BD=tBCQ￡R),若人。：的人與+益人。，則的小的

最大值為()

A.1B.；

C』D1

J458

―?—?-?

解析因?yàn)锽D=tBC,所以B,C,。三點(diǎn)共線(xiàn)。又因?yàn)锳。

—?—?

=a^B+asAC,所以。3+恁=1。由數(shù)列｛。〃｝是正項(xiàng)等差數(shù)列，

得“3>0,恁>。，所以1=43+45、

2\/a3a5,解得的當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?%=夕寸取等號(hào)。故選

Co

答案c

【例3】(配合例3使用)如圖，在△ABC中，。為5c的

—?—?—?―?—?

中點(diǎn)，AE=2EC,AD與BE相交于點(diǎn)G,若AG=xGQ,BG=

—?

yGE,貝ij%+y=()

A.4B.與C.2D.冷

—?—?-?

解析由題意得向量AG=%GO,。為3c的中點(diǎn)，且AE=

-A―A—?—?—?-?

XXXX

2EC，可得AG=yzpjAQ=2(l+%)/§+2(1+%)/0=2(1+x)/3

3r-X3尤

+4(1+%)"及因?yàn)?G,石二點(diǎn)共線(xiàn)，所以2(1+%)+4(1+%)

第16頁(yè)共73頁(yè)

=1,解得了=4。由BG=yGE,。為8c的中點(diǎn)，_ELAE=2EC,

可得的南南服+孤卜南服+胸）,=

-AA-A

、/A+二/、BD。因?yàn)锳,G,。三點(diǎn)共線(xiàn)，所以

3（1+y）3（1+y）3（1+y）

+4%=1，解得尸點(diǎn)所以％+y=?。故選D。

答案D

2.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

內(nèi)容要求考題舉例考向規(guī)律

考情分析：平面

1.了解平面向

向量的坐標(biāo)運(yùn)算承前

量的基本定理及其

啟后，不僅使向量的

意義2018?全國(guó)III

加法、減法和實(shí)數(shù)與

2.掌握平面向卷?13（向量共線(xiàn)

向量的積完全代數(shù)

量的正交分解及其的坐標(biāo)表小）

化，也是學(xué)習(xí)向量數(shù)

坐標(biāo)表小2017?全國(guó)in

量積的基礎(chǔ)，因此是

3.會(huì)用坐標(biāo)表卷18（平面向量

平面向量中的重要內(nèi)

不平面向量的加的坐標(biāo)運(yùn)算）

容之一，也是高考中

法、減法與數(shù)乘運(yùn)2015?江蘇高

命題的熱點(diǎn)內(nèi)容。在

算考二6（平面向量

這里，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)

4.理解用坐標(biāo)的坐標(biāo)運(yùn)算）

化和數(shù)形結(jié)合的思想

表不的平面向量共

核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)

線(xiàn)的條件

運(yùn)算

2.1.教材回扣基礎(chǔ)自測(cè)—自主學(xué)習(xí)?知識(shí)積淀

、基礎(chǔ)細(xì)梳理知識(shí)必備?固根基.

第17頁(yè)共73頁(yè)

1.平面向量基本定理

(1)基底：不共線(xiàn)的向量6,02叫做表示這一平面內(nèi)所有向量

的一組基底。

(2)定理：如果白，62是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量,那么

對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量。，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)為，丸2，使a

=』1C1+2262。

2.平面向量的坐標(biāo)表示

在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與％軸、y軸方向相同的兩個(gè)

單位向量i,j作為基底，該平面內(nèi)的任一向量?？杀硎境伞?%

i+yj,a與數(shù)對(duì)(%,y)是一一對(duì)應(yīng)的，把有序數(shù)對(duì)(%,y)叫做向量

a的坐標(biāo)，記作a=(%,y),其中a在％軸上的坐標(biāo)是％,。在y

軸上的坐標(biāo)是y。

3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)。=（%i，y）,b=g,竺），則a+1=（%i+%2，yi+y2），

向量的加法、減法

a-b—但一?，y1—>2）

向量的數(shù)乘設(shè)a=（%,y）,貝！Jia=（/be2"）

向量坐標(biāo)的求法

設(shè)A（%i，y）,5（X2,竺），則AB=（%2—幻，丫2-yi）

4.平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示

右,4=(%],yD，b—(X2>”)，則a〃8-%2丫1=0。

?微提醒?

1.平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線(xiàn)向量都可以作為基底，反之亦然。

2.若a與8不共線(xiàn)，癡+〃力=0,則2=〃=0。

3.已知a=(%i,yi),b=(x2,y2),如果％2WO,"WO,貝股〃

，可弋。

2.2.課堂作業(yè)

一、常規(guī)題

第18頁(yè)共73頁(yè)

1.已知點(diǎn)Pi(l,3),P2(4,0),若尸是線(xiàn)段P1P2的一個(gè)三等分

點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

(2,2)(3,-1)

(2,2)或(3,-1)(2,2)或(3,1)

-A1-A-A2-A-A

解析由題意得=或=RP2=(3,-3)O

ff1f

設(shè)P(%,y),則P1P=(%—1,y—3),當(dāng)P1P=§P1P2時(shí)，(X-I,y一

1-2一

3)=§(3,-3),所以％=2,y=2,即尸(2,2)o當(dāng)PiP=]PE時(shí)，

2

(x-1,y—3)=g(3,-3),所以％=3,y=l,即尸(3,1)。故選D。

答案D

-A->

2.如圖，在正方形ABCD中，石為。。的中點(diǎn)，若

-?

+〃AC,則2+〃的值為()

D.-1

11

解析因?yàn)镋為。。的中點(diǎn)，所以AC=AB+AD=]A3+]

AB+AD=^AB+DE+AD=^AB+AE,即AE=—NB+AC,所以

答案A

第19頁(yè)共73頁(yè)

3.已知向量a=(l,2),b=Q,—2),c=(l,A)o若c〃(2a

+b),則2=o

解析由題意可得2a+b=(4,2)。因?yàn)閏〃(2a+))，c=(l,

A),所以42—2=0,即%=:。

較安—

u木2

二'易錯(cuò)題

4.(忽視基底不共線(xiàn))給出下列三個(gè)向量:

—3),c=(—2,6)。從三個(gè)向量中任意取兩個(gè)作為一組，能構(gòu)成基

底的組數(shù)為o

解析這三個(gè)向量中，b//c,a與6c不平行，所以可以構(gòu)

成基底的是a與6a與c,所以能構(gòu)成兩組基底。

答案2

5.(忽視共線(xiàn)的兩種情況)已知點(diǎn)A(—1,3),BQ,-1),則與

向量A8共線(xiàn)的單位向量是。

-A-?-A

解析AB=(3,-4),|AB|=^32+(-4)2=5,所以與A3共線(xiàn)

的單位向量是序一刁或［一右刁。

令口士案［G予一小4V或,f［一3于45,)

6.(向量共線(xiàn)的坐標(biāo)公式掌握不牢)已知點(diǎn)8(4,2)和

-A-A

向量4=(2,2),若。〃AB,則實(shí)數(shù)2=；若a=〃A5,

則4=。

-A->

解析由題意得A8=(3,l),因?yàn)閍〃AB,所以“一2=0,

第20頁(yè)共73頁(yè)

2f[3〃=2,

解得2=鼻。由a=fiAB,得（2,2）=（3〃，//）,所以，故〃

J〔〃=九，

_2

=3°

答案,2:2

考點(diǎn)例析對(duì)點(diǎn)微練

2.3.互動(dòng)課堂?考向探究

2.3.1.考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用

【例1】（1）（2021?鄭州模擬）如圖，在直角梯形ABCO中，

A3=2AO=2QC,石為8C邊上一點(diǎn)，BC=3EC,/為AE的中

解析如圖，取A3的中點(diǎn)G,連接QG,CG,易知四邊形

—————[—

OC5G為平行四邊形，所以3C=GO=AQ—AG=AO—%B,所

—f—*1?

以AE=A3+8E=AB+w8C=AB+wAD—=|AB+|AD,于

1、

—?—?―?[―?-?1

^BF=AF~AB=^AE~AB9-Fk1

^+-7—AB=gAO。

第21頁(yè)共73頁(yè)

故選c。

答案c

f2f1一

(2)在△ABC中，點(diǎn)P是A3上一點(diǎn)，且CP=gCA+§CB,Q

是3C的中點(diǎn)，A。與CP的交點(diǎn)為M,又CM=tCP,則實(shí)數(shù)，的

值為o

解析因?yàn)椤Ｊ?（。1+?8,所以3cp=2C4+C8,即2cp

-2CA=CB-CP,所以2Ap=PB。即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)

(靠近A點(diǎn))，又因?yàn)锳,M,。三點(diǎn)共線(xiàn)，HAM=XAQO所以CM

———?f—?[f'f)一)—2f

=AM-AC=XAQ-AC=X^AB+^AC-AC=^AB+^~AC,又

CM=tCP=t(AP—AC)=t^AB—AC=—tAC。故

<3JJ

第22頁(yè)共73頁(yè)

答案i3

總結(jié)反思

平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及應(yīng)用思路

i.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊

形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加法、減法或數(shù)乘運(yùn)算。

2.用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一

組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)

向量的運(yùn)算來(lái)解決。

【變式訓(xùn)練】(1)在梯形ABC。中，AB//CD,AB=2CD,

—?—?-?

M,N分別為CO,的中點(diǎn)。若A8=14M+"AN,則2+〃等

于O

-A-A-A-?—A-A-A-A

解析因?yàn)锳B=AN+NB=AN+CN=AN+(CA+AN)=

ffff]—ff8—4一

2AN+CM+MA=2AN~^AB~AM,所以A3=gAN—5AAf,所以

.48“，…4

A=-予4=予所以

4

套案-

u木5

(2)如圖，已知平行四邊形A3CD的邊3C,CO的中點(diǎn)分別

-A-A-A-A

是K,L,且AK=ei，AL—e2.>試用ei，e?表不JBC,CD。

解設(shè)BC=*,CD=y,

第23頁(yè)共73頁(yè)

則3K=；x,DL=—^y0

-?-?—>—>—>—?

由AB+8K=AK,AD+DL=AL,

〃1

—y+/=ei①，

得J1

x—^y=e2②，

①+②X(—2),得;x—2x=ei—2e2,

224

即x=-1(ei-2e2)=一?1+予2,

,一24

所以BC=—gei+ge2。

42

同理可得y=—+$2,

-42

即CD=—,01+^02。

2.3.2.考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【例2】(1)如圖，原點(diǎn)。是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，頂點(diǎn)A在x

-A-A-?

軸上，ZAOB=150°,ZBOC=90°,\0A\=2,\OB\=1,\OC\=

第24頁(yè)共73頁(yè)

C.一小D.小

解析由題意可得A(2,0),小一坐，(|,一啕。因

—?—?-?

為0C=%0A+"05,所以由向量相等的坐標(biāo)表示得

&蛆_3

2z—n_3

Z2逆解得憶=_35，所吟小。故選0。

、2一2'

答案D

—?-A

(2)在平行四邊形ABCQ中，AC=(2,3),BD=(-1,4),則

—?—?

AB=；AD—o

—?―?―?—?―?—?

解析AB+AD=AC=(2,3),AB~AD=DB=(1,一4)。所以

f-(3n一

2A5=(2,3)+(1,-4)=(3,-1),即一a，2AD=(2,3)

-(1,-4)=(1,7),即AO=b，引。

(3)設(shè)向量G,b滿(mǎn)足同=24,8=(2,1),且。與力的方向相

反，則。的坐標(biāo)為o

解析設(shè)a=(%,y),x<0,y<0,則％—2y=0且x2+y2=20,

解得％=4,y=2(舍去)，或者％=—4,y=—2,即a=(—4,一

2)o

答案(-4,-2)

總結(jié)反思

1.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)

第25頁(yè)共73頁(yè)

乘運(yùn)算法則，然后根據(jù)“兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)

相等”這一原則，化歸為方程(組)進(jìn)行求解。

2.向量的坐標(biāo)表示把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系起來(lái)，實(shí)際上是向量的代

數(shù)表示，即引入平面向量的坐標(biāo)可以使向量運(yùn)算代數(shù)化，成為

數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使很多幾何問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟

知的數(shù)量運(yùn)算。

【變式訓(xùn)練】⑴已知點(diǎn)M(3,-2),N(—5,-1),且MP

=，N,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

(,3〕

A.(—8,1)B.-1,1萬(wàn)

(3)

C.1,5D.(8,-1)

\乙)

11

解析設(shè)點(diǎn)P{x,y),則MP=(%-3,y+2),而］A/N=/(一

卜一3=-4,

8,1)=—4,5,所以＜I.1解得＜3所以

(1卜+2=于［產(chǎn)一于

L，一辦

答案B

(2)向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c=

〃仇九

第26頁(yè)共73頁(yè)

解析以向量a和力的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直

角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1),則A(l,-1),3(6,2),

C(5,-1),所以a=AO=(—l,1),b=0B=(6,劣,c=BC=(一

1,—3)o因?yàn)橛?所以(一1,—3)=2(—1,1)+〃(6,2)o

一2+6〃=—1,

即＜

4+2〃=—3,

答案4

2.3.3.考點(diǎn)三平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示

[例3](1)(多選)已知向量。4=(1,-3),08=(—2,1),

0C=(r+3,r-8),若點(diǎn)A,B,。能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)f可以

為()

A.—2