湖南省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

湖南高一年級(jí)期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)集合求交集即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)終邊相同的角的三角函數(shù)值相等，結(jié)合充分不必要條件的定義，即可得到答案；【詳解】，當(dāng)，“”是“”的充分不必要條件，故選：A3.已知弧長為的扇形面積也為，則該扇形的圓心角（正角）為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，利用扇形弧長公式和面積公式，列出方程組，即可求解.【詳解】設(shè)該扇形的圓心角為，半徑為，則，解得.故選：D.4.已知，則的最小值為（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】利用重要不等式列出不等式求解即可.【詳解】由重要不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，解得，顯然A正確，故選：A5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即得.【詳解】依題意，，，所以.故選：A6.函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，又，，故，所以函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：B7.若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正切與正、余弦的的關(guān)系求出，再結(jié)合正切二倍角公式求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，所?故選：A.8.把某種物體放在空氣中冷卻，若該物體原來的溫度是，空氣的溫度是，則后該物體的溫度可由公式求得.若將溫度分別為和的兩塊物體放入溫度是的空氣中冷卻，要使得兩塊物體的溫度之差不超過，則至少要經(jīng)過（取：）（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題中定義的公式，代入相關(guān)數(shù)值，再列出不等式求解即可.【詳解】的物塊經(jīng)過后的溫度，的物塊經(jīng)過后的溫度.要使得兩塊物體的溫度之差不超過，則，即，解得.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知且，，則函數(shù).與的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)條件確定的范圍，利用與的單調(diào)性分析即得.詳解】因且，，則中必有一個(gè)大于1，一個(gè)小于1且大于零.當(dāng)時(shí)，有，則B項(xiàng)符合，當(dāng)時(shí)，有，則D項(xiàng)符合.故選：BD.10.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值可能為（）A.1 B.2 C.4 D.5【答案】CD【解析】【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式組求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得．故選：CD.11.如圖，天津永樂摩天輪有著“天津之眼”的美譽(yù)，也是世界上唯一一座建在橋上的摩天輪.以摩天輪某座艙距離地面高度的最小值處為初始位置，摩天輪（勻速轉(zhuǎn)動(dòng)）的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘）與座艙距離地面的高度（單位：米）的函數(shù)關(guān)系式為，，，且開始轉(zhuǎn)動(dòng)5分鐘后，座艙距離地面的高度為37.5米，轉(zhuǎn)動(dòng)10分鐘后，座艙距離地面的高度為92.5米，則（）A.B.該摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一圈所用的時(shí)間為30分鐘C.D.該摩天輪座艙距離地面的最大高度為120米【答案】BCD【解析】【分析】由即可求出，結(jié)合周期，即可求解.【詳解】依題知，則，因?yàn)?，所以，A錯(cuò)誤；由，則周期為，則該摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周需30分鐘，B正確；，由，可得，故座艙距離地面的最大高度為，CD正確.故選：BCD12.已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.在上單調(diào)遞減C. D.函數(shù)恰有8個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【解析】【分析】利用周期定義求出周期可判斷A；結(jié)合周期畫出的部分圖象可判斷B；利用周期計(jì)算可判斷C；畫出函數(shù)、的圖象可判斷D．【詳解】對(duì)于A，由，得，可得的周期為4，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則，得，結(jié)合周期畫出的部分圖象如圖所示，由圖可得在上單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，令，得，畫出函數(shù)的圖象，因?yàn)?，所以與在上的圖象只有8個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)奇偶性可得恰有16個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤．故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)解題的關(guān)鍵點(diǎn)是畫出函數(shù)與的圖象解題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則______.【答案】##【解析】【分析】利用任意角三角函數(shù)的定義求出，再用誘導(dǎo)公式化簡求值即可.【詳解】由已知得角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則是第一象限角，，由任意角三角函數(shù)的定義得，由誘導(dǎo)公式得.故答案為：14.函數(shù)（）的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】借助對(duì)數(shù)函數(shù)的定點(diǎn)問題，令，計(jì)算即可.【詳解】令，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：.15.若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，，則______.【答案】【解析】【分析】先求出函數(shù)周期，可得函數(shù)在上有個(gè)周期，結(jié)合圖象特征求出的值.【詳解】由已知函數(shù)的最小正周期，作出函數(shù)的草圖如圖：由于函數(shù)在上有個(gè)周期，若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則.故答案為：.16.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋矣?，若?duì)，都有，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造，判斷出的奇偶性和單調(diào)性，把不等式轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性解不等式即可.【詳解】由題知，記，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以，所以為偶函數(shù)，由題知，記，即，因?yàn)椋?，即，所以在上，為減函數(shù)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上，為增函數(shù)，因?yàn)椴坏仁娇苫癁椋?，又因?yàn)椋傻?，所以可化為，解得，或，所以解集為故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（1）計(jì)算：；（2）已知正數(shù)a滿足，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)，對(duì)數(shù)的性質(zhì)處理即可.（2）利用指數(shù)冪運(yùn)算法則結(jié)合條件求值即可.【詳解】（1）原式；（2）由已知得，同時(shí)平方得，即，平方得，故.18.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍.得到函數(shù)的圖象.（1）求的解析式；（2）若是奇函數(shù)，求的值；（3）求在上的最小值與最大值.【答案】（1）（2）（3）最大值2，最小值【解析】【分析】（1）根據(jù)周期變換和平移變換即可得解；（2）根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性即可得解；（3）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合整體思想即可得解.【小問1詳解】由題意可得；【小問2詳解】，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，解得；【小問3詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，取得最小值，且最小值為，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且最大值為.19.某企業(yè)制定了一個(gè)關(guān)于銷售人員的提成方案，如下表：銷售人員個(gè)人每月銷售額/萬元銷售額的提成比例不超過100萬元的部分5%超過100萬元的部分記銷售人員每月的提成為（單位：萬元），每月的銷售總額為（單位：萬元）．注：表格中的（）表示銷售額超過100萬元的部分．另附參考公式：銷售額×銷售額的提成比例＝提成金額．（1）試寫出提成關(guān)于銷售總額的關(guān)系式；（2）若某銷售人員某月的提成不低于7萬元，試問該銷售人員當(dāng)月的銷售總額至少為多少萬元？【答案】（1）（2）135萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)題意寫出提成與銷售額的關(guān)系式即可；（2）根據(jù)關(guān)系式，通過求解對(duì)數(shù)不等式可得答案.【小問1詳解】根據(jù)題意可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故提成關(guān)于銷售總額的函數(shù)關(guān)系式為【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，則該銷售人員當(dāng)月的銷售總額必定超過100萬元，令，得，解得，即該銷售人員當(dāng)月的銷售總額至少為135萬元．20.已知指數(shù)函數(shù).（1）若在上的最大值為8，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）或2（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，即可求解；（2）方法一：由在上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為，即可求解；方法二：根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，令，結(jié)合哈市的單調(diào)性，得到，即可求解.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí).在上單調(diào)遞增，可得，解得；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，可得，解得.綜上可得，實(shí)數(shù)的值為或2.【小問2詳解】解：方法一：由函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，所以，即，又因?yàn)椋?，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.方法二：由題意得，不等式對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，因?yàn)椋詾樵龊瘮?shù)，所以，所以，又因?yàn)椋獾?，所以?shí)數(shù)取值范圍是.21.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)；（3）若，，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，化簡得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）由（1）中函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（3）由，求得，得到，結(jié)合兩角差的余弦公式，即可求解.【小問1詳解】解：由函數(shù).令，可得.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】解：由函數(shù)，令，解得，所以圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為.【小問3詳解】解：由，可得，則，因?yàn)?，所以，所以，所?22.已知函數(shù)且.（1）若，函數(shù)，求的定義域；（2）若，求的取值