人教版七年級數(shù)學(xué)下冊同步練習(xí)第05講平行線的判定(1個知識點(diǎn)+5類熱點(diǎn)題型講練+習(xí)題鞏固)(原卷版+解析)

第05講平行線的判定課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①平行的判定方法掌握同位角相等判定兩直線平行，內(nèi)錯角相等判定兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)判定兩直線平行，并能夠熟練選擇判定方法。能夠利用平行公理的推論以及垂直于同一直線的兩直線平行判定兩直線平行。知識點(diǎn)01平行線的判定同位角相等，兩直線平行：①判定內(nèi)容：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。簡單說成。②符號語言：若∠NEB＝∠NFD，則AB∥CD。內(nèi)錯角相等，兩直線平行：①判定內(nèi)容：兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。簡單說成。②符號語言：若∠AEM＝∠DFN，則AB∥CD。同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行：①判定內(nèi)容：兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。簡單說成。②符號語言：若∠BEM＋∠DFN＝180°，則AB∥CD。利用同位角、內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角判定平行時，平行線一定是這些角不公共的邊。平行公理的推論判定平行：①判定內(nèi)容：平行于同一直線的兩直線平行。②符號語言：若a∥b，a∥c，則b∥c垂直判定平行：①判定內(nèi)容：垂直于同一直線的兩直線平行。②符號語言：a⊥b，a⊥c，則b∥c【即學(xué)即練1】1．如圖，點(diǎn)E在BC延長線上，下列條件中，不能推斷AB∥CD的是（）A．∠4＝∠3 B．∠1＝∠2 C．∠B＝∠5 D．∠B+∠BCD＝180°【即學(xué)即練2】2．對于同一平面內(nèi)的三條直線a，b，c，下列命題中不正確的是（）A．若a∥b，b∥c，則a∥c B．若a⊥b，a⊥c，則b⊥c C．若a∥b，a⊥c，則b⊥c D．若a⊥b，a⊥c，則b∥c題型01確定判定兩直線平行的條件【典例1】如圖，能推斷AB∥CD的是（）A．∠3＝∠5 B．∠2＝∠4 C．∠1＝∠2+∠3 D．∠D+∠4+∠5＝180°【變式1】如圖，下列條件中，不能判定l1∥l2的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠2＝∠3 D．∠4+∠5＝180°【變式2】如圖，下列推理中正確的是（）A．若∠1＝∠2，則AD∥BC B．若∠1＝∠2，則AB∥DC C．若∠A＝∠3，則AD∥BC D．若∠3＝∠4，則AB∥DC【變式3】如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊BC延長線上一點(diǎn)，射線CE在∠ACD內(nèi)部，下列條件中能判定AB∥CE的是（）A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACB C．∠A＝∠ECD D．∠B＝∠ACE【變式4】如圖，下列推理中正確的是（）A．∵∠1＝∠4，∴BC∥AD B．∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴BC∥AD C．∵∠2＝∠3，∴AB∥CD D．∵∠CBA+∠C＝180°，∴BC∥AD【變式5】如圖，直線a，b被直線c所截，現(xiàn)給出下列四個條件：①∠1＝∠3；②∠4＝∠8；③∠1+∠6＝180°；④∠5+∠8＝180°．其中能判定a∥b的條件的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式6】若將一副三角板按如圖所示的方式放置，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，則有AC∥DE C．如果∠2＝45°，則有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，則有BC∥AE【變式7】以下四種沿AB折疊的方法中，不一定能判定紙帶兩條邊線a，b互相平行的是（）A．如圖A，展開后測得∠1＝∠2 B．如圖B，展開后測得∠1＝∠2且∠3＝∠4 C．如圖C，測得∠1＝∠2 D．如圖D，測得∠1＝∠2題型02添加判定條件判定平行【典例1】如圖，請?zhí)顚懸粋€條件，使a∥b．【變式1】如圖，要得到AE∥BG的結(jié)論，需要添加的條件是．（寫出一個正確答案即可）【變式2】如圖：請寫出一個條件：，使AB∥CD．理由是：．題型03根據(jù)判定條件求值【典例1】如圖，已知∠1＝85°，下列條件能判斷AB∥CD的是（）A．∠2＝75° B．∠3＝85° C．∠3＝95° D．∠4＝95°【變式1】如圖是小明探索直線平行的條件時所用的學(xué)具，木條a，b，c在同一平面內(nèi)，經(jīng)測量，要使木條a∥b，∠2＝110°，要使木條a與b平行，則∠1的度數(shù)應(yīng)為（）A．20° B．70° C．110° D．160°【變式2】如圖，分別將木條a，b與固定的木條c釘在一起，∠1＝50°，∠2＝80°，順時針轉(zhuǎn)動木條a，下列選項(xiàng)能使木條a與b平行的是（）A．旋轉(zhuǎn)30° B．旋轉(zhuǎn)50° C．旋轉(zhuǎn)80° D．旋轉(zhuǎn)130°【變式3】如圖，將木條a，b與c釘在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是（）A．15° B．25° C．35° D．50°【變式4】如圖，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和4度/秒的速度同時順時針轉(zhuǎn)動，在射線CD轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，使得CD與AB平行所有滿足條件的時間＝．【變式5】如圖，已知∠1＝（3x+24）°，∠2＝（5x+20）°，要使m∥n，那么∠1＝（度）．題型04平行公理的推論以及判定平行【典例1】如果b∥a，c∥a，那么．【典例2】同一平面內(nèi)三條直線a、b、c，若a⊥b，c⊥b，則a與c的關(guān)系是：．【變式1】若直線a，b，c，d有下列關(guān)系，則推理正確的是（）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c【變式2】a、b、c是直線，下列說法正確的是（）A．若a⊥b，b∥c，則a∥c B．若a⊥b，b⊥c，則a⊥c C．若a∥b，b⊥c，則b∥c D．若a∥b，b∥c，則a∥c【變式3】同一平面內(nèi)有四條直線a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，則c、d的位置關(guān)系為（）A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．沒有確定關(guān)系題型05平行線的判定證明【典例1】如圖，一個彎形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，這時說管道AB∥CD對嗎？為什么？【典例2】直線AB，CD被直線EF所截，∠1＝∠2，直線AB和CD平行嗎？為什么？【典例3】如圖，∠1＝47°，∠2＝133°，∠D＝47°，那么BC與DE平行嗎？AB與CD呢？為什么？【變式1】如圖，GH分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，∠AEF＝∠EFD．（1）試寫出AB∥CD的依據(jù)；（2）若ME是∠AEF的平分線，F(xiàn)N是∠EFD的平分線，則EM、FN平行嗎？若平行，請說明理由．【變式2】已知：如圖，直線EF分別與直線AB，CD相交于點(diǎn)P，Q，PM垂直于EF，∠1+∠2＝90°．求證：AB∥CD．【變式3】已知：如圖，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于點(diǎn)G．求證：AB∥CD．1．下列畫出的直線a與b不一定平行的是（）A． B． C． D．2．如圖，點(diǎn)E在AC的延長線上，下列條件中能判斷AB∥CD的是（）A．∠3＝∠4 B．∠D+∠ACD＝180° C．∠D＝∠DCE D．∠1＝∠23．如圖，下列四組條件中，能判斷AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠ABC+∠BCD＝180° D．∠BAD+∠ABC＝180°4．蜂房的頂部由三個全等的四邊形圍成，每個四邊形的形狀如圖所示，其中∠α＝109°28′，∠β＝70°32′．則這個四邊形對邊的位置關(guān)系為（）A．平行 B．相等 C．垂直 D．不能確定5．如圖所示，由下列條件能判定AB∥CD的是（）A．∠BAC＝∠DAC B．∠DAC＝∠ACB C．∠BAC＝∠DCA D．∠D+∠DCB＝180°6．如圖所示，下列條件中，能判斷AB∥CD的是（）A．∠BAD＝∠BCD B．∠1＝∠2 C．∠BAC＝∠ACD D．∠3＝∠47．如圖，固定木條b、c，使∠1＝80°，旋轉(zhuǎn)木條a，要使得a∥b，則∠2應(yīng)調(diào)整為（）A．70° B．80° C．90° D．100°8．如圖，下列推理不正確的是（）A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC C．∵∠3＝∠4，∴AD∥BC D．∵∠4＝∠5，∴AB∥CD9．在同一平面內(nèi)，將兩個完全相同的三角板按如圖擺放，可以畫出兩條互相平行的直線l1與l2這樣畫的依據(jù)是（）A．內(nèi)錯角相等，兩直線平行 B．同位角相等，兩直線平行 C．兩直線平行，同位角相等 D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等10．下列說法正確的是（）A．a(chǎn)、b、c是直線，若a⊥b，b∥c，則a∥c B．a(chǎn)、b、c是直線，若a⊥b，b⊥c，則a⊥c C．a(chǎn)、b、c是直線，若a∥b，b⊥c，則a∥c D．a(chǎn)、b、c是直線，若a∥b，b∥c，則a∥c11．如圖，點(diǎn)E在AC的延長線上，請?zhí)砑右粋€恰當(dāng)?shù)臈l件，使AB∥CD．12．三個完全相同的含30°角的三角板如圖擺放，可以判斷AB與EC平行的理由是．13．如圖，下列條件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2+∠4＝180°中，能判斷直線l1∥l2的有個．14．如圖，在下列四組條件中：①∠1＝∠2，②∠3＝∠4，③∠BAD+∠ABC＝180°，④∠BAC＝∠ACD，能判定AD∥BC的是．15．將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），當(dāng)∠ACE＜180°，且點(diǎn)E在直線AC的上方時，滿足三角尺BCE有一條邊與斜邊AD平行，那么此時∠ACE＝．16．如圖，點(diǎn)A在射線DE上，點(diǎn)C在射線BF上，∠B+∠BAD＝180°，∠1＝∠2．求證：AB∥CD．請將下面的證明過程補(bǔ)充完整．證明：∵∠B+∠BAD＝180°（已知），∠1+∠BAD＝180°，∴∠1＝，∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝（），∴AB∥CD（）．17．如圖，直線a，b被直線c所截，∠1＝50°，請你再添加一個條件，可以說明直線a與b平行，并說明理由．18．如圖所示，直線AF，BD相交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作射線CE，使得CD平分∠ECF，連接AB，若∠B＝∠ACB，試說明AB∥CE．19．如圖，已知∠A＝∠C，∠1與∠2互補(bǔ)，求證：AB∥CD．20．如圖，直線EF分別與直線AB，CD相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，說出圖中哪些直線平行，并說明理由．

第05講平行線的判定課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①平行的判定方法掌握同位角相等判定兩直線平行，內(nèi)錯角相等判定兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)判定兩直線平行，并能夠熟練選擇判定方法。能夠利用平行公理的推論以及垂直于同一直線的兩直線平行判定兩直線平行。知識點(diǎn)01平行線的判定同位角相等，兩直線平行：①判定內(nèi)容：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。簡單說成同位角相等，兩直線平行。②符號語言：若∠NEB＝∠NFD，則AB∥CD。內(nèi)錯角相等，兩直線平行：①判定內(nèi)容：兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。簡單說成內(nèi)錯角相等，兩直線平行。②符號語言：若∠AEM＝∠DFN，則AB∥CD。同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行：①判定內(nèi)容：兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。簡單說成同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。②符號語言：若∠BEM＋∠DFN＝180°，則AB∥CD。利用同位角、內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角判定平行時，平行線一定是這些角不公共的邊。平行公理的推論判定平行：①判定內(nèi)容：平行于同一直線的兩直線平行。②符號語言：若a∥b，a∥c，則b∥c垂直判定平行：①判定內(nèi)容：垂直于同一直線的兩直線平行。②符號語言：a⊥b，a⊥c，則b∥c【即學(xué)即練1】1．如圖，點(diǎn)E在BC延長線上，下列條件中，不能推斷AB∥CD的是（）A．∠4＝∠3 B．∠1＝∠2 C．∠B＝∠5 D．∠B+∠BCD＝180°【分析】根據(jù)平行線的判定定理對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．【解答】解：A、∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，無法得出AB∥CD，故本選項(xiàng)錯誤；B、∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故本選項(xiàng)正確；C、∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故本選項(xiàng)正確；D、∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，故本選項(xiàng)正確．故選：A．【即學(xué)即練2】2．對于同一平面內(nèi)的三條直線a，b，c，下列命題中不正確的是（）A．若a∥b，b∥c，則a∥c B．若a⊥b，a⊥c，則b⊥c C．若a∥b，a⊥c，則b⊥c D．若a⊥b，a⊥c，則b∥c【分析】根據(jù)平行公理的推論“如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行”和“垂直于同一條直線的兩直線平行”進(jìn)行分析判斷．【解答】解：A．a(chǎn)∥b，b∥c，則a∥c，正確；B．a(chǎn)⊥b，a⊥c，則b∥c，故錯誤；C．a(chǎn)∥b，a⊥c，則b⊥c，正確；D．a(chǎn)⊥b，a⊥c，則b∥c，正確；故選：B．題型01確定判定兩直線平行的條件【典例1】如圖，能推斷AB∥CD的是（）A．∠3＝∠5 B．∠2＝∠4 C．∠1＝∠2+∠3 D．∠D+∠4+∠5＝180°【分析】根據(jù)平行線的判定定理（①同位角相等，兩直線平行，②內(nèi)錯角相等，兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）判斷即可．【解答】解：A、∵∠3＝∠5，∴BC∥AD，不能推出AB∥CD，故本選項(xiàng)錯誤；B、∵∠2＝∠4，∴AB∥CD，故本選項(xiàng)正確；C、∵∠1＝∠2+∠3，∴∠1＝∠BAD，∴BC∥AD，不能推出AB∥DC，故本選項(xiàng)錯誤；D、∵∠D+∠4+∠5＝180°，∴BC∥AD，不能推出AB∥DC，故本選項(xiàng)錯誤；故選：B．【變式1】如圖，下列條件中，不能判定l1∥l2的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠2＝∠3 D．∠4+∠5＝180°【分析】直接利用平行線的判定方法分別分析得出答案．【解答】解：A、∵∠1＝∠3，∴直線l1∥l2，故此選項(xiàng)不合題意；B、∵∠2+∠4＝180°，∴直線l1∥l2，故此選項(xiàng)不合題意；C、∠2＝∠3，不能得出直線l1∥l2，故此選項(xiàng)符合題意；D、∵∠2＝∠5，∠4+∠5＝180°，∴∠4+∠2＝180°，∴直線l1∥l2，故此選項(xiàng)不合題意．故選：C．【變式2】如圖，下列推理中正確的是（）A．若∠1＝∠2，則AD∥BC B．若∠1＝∠2，則AB∥DC C．若∠A＝∠3，則AD∥BC D．若∠3＝∠4，則AB∥DC【分析】根據(jù)平行線的判定判斷即可．【解答】解：A、根據(jù)∠1＝∠2不能推出AD∥BC，故本選項(xiàng)錯誤；B、根據(jù)∠1＝∠2能推出AB∥DC，故本選項(xiàng)正確；C、根據(jù)∠A＝∠3不能推出AD∥BC，故本選項(xiàng)錯誤；D、根據(jù)∠3＝∠4不能推出AB∥DC，故本選項(xiàng)錯誤．故選：B．【變式3】如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊BC延長線上一點(diǎn)，射線CE在∠ACD內(nèi)部，下列條件中能判定AB∥CE的是（）A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACB C．∠A＝∠ECD D．∠B＝∠ACE【分析】根據(jù)平行線的判定方法即可求解．【解答】解：A選項(xiàng)，∠A＝∠ACE，內(nèi)錯角相等，兩直線平行，故符合題意；B選項(xiàng)，∠B＝∠ACB，不能判定AB∥CE，故不符合題意；C選項(xiàng)，∠A＝∠ECD，不能判定AB∥CE，故不符合題意；D選項(xiàng)，∠B＝∠ACE，不能判定AB∥CE，故不符合題意；故選：A．【變式4】如圖，下列推理中正確的是（）A．∵∠1＝∠4，∴BC∥AD B．∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴BC∥AD C．∵∠2＝∠3，∴AB∥CD D．∵∠CBA+∠C＝180°，∴BC∥AD【分析】結(jié)合圖形分析相等或互補(bǔ)的兩角之間的關(guān)系，根據(jù)平行線的判定方法判斷．【解答】解：A、∵∠1＝∠4，∴AB∥CD，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B、∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，故選項(xiàng)正確，符合題意；C、∵∠2＝∠3，∴BC∥AD，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D、∵∠CBA+∠C＝180°，∴AB∥CD，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意．故選：B．【變式5】如圖，直線a，b被直線c所截，現(xiàn)給出下列四個條件：①∠1＝∠3；②∠4＝∠8；③∠1+∠6＝180°；④∠5+∠8＝180°．其中能判定a∥b的條件的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)平行線的判定方法一一判斷即可．【解答】解：能判斷a∥b的條件是：②∠4＝∠8；③∠1+∠6＝180°；故選：B．【變式6】若將一副三角板按如圖所示的方式放置，則下列結(jié)論正確的是（）A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，則有AC∥DE C．如果∠2＝45°，則有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，則有BC∥AE【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)一一判斷即可【解答】解：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠1＝∠3，故A錯誤．∵∠2＝30°，∴∠1＝∠3＝60°∴∠CAE＝90°+60°＝150°，∴∠E+∠CAE＝180°，∴AC∥DE，故B正確，∵∠2＝45°，∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，∵∠E+∠3＝∠B+∠4，∴∠4＝30°，∵∠D＝60°，∴∠4≠∠D，故C錯誤，∵∠2＝50°，∴∠3＝40°，∴∠B≠∠3，∴BC不平行AE，故D錯誤．故選：B．【變式7】以下四種沿AB折疊的方法中，不一定能判定紙帶兩條邊線a，b互相平行的是（）A．如圖A，展開后測得∠1＝∠2 B．如圖B，展開后測得∠1＝∠2且∠3＝∠4 C．如圖C，測得∠1＝∠2 D．如圖D，測得∠1＝∠2【分析】根據(jù)平行線的判定定理，逐一進(jìn)行分析，即可解答．【解答】解：A、∠1＝∠2，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行進(jìn)行判定，故正確，不符合題意；B、∵∠1＝∠2且∠3＝∠4，由圖可知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，∴a∥b（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故正確，不符合題意；C、測得∠1＝∠2，∵∠1與∠2既不是內(nèi)錯角也不是同位角，∴不一定能判定兩直線平行，故錯誤，符合題意；D、∠1＝∠2，根據(jù)同位角相等，兩直線平行進(jìn)行判定，故正確，不符合題意；故選：C．題型02添加判定條件判定平行【典例1】如圖，請?zhí)顚懸粋€條件∠2＝∠4，使a∥b．【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．【解答】解：填寫條件∠2＝∠4，理由如下：∵∠2＝∠4，∴a∥b（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故答案為：∠2＝∠4（答案不唯一）．【變式1】如圖，要得到AE∥BG的結(jié)論，需要添加的條件是∠EDC＝∠BCD（答案不唯一）．（寫出一個正確答案即可）【分析】∠EDC與∠BCD為內(nèi)錯角，可利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行判定平行線．【解答】解：要得到AE∥BG的結(jié)論，則需要角相等的條件是∠EDC＝∠BCD（答案不唯一）．故答案為：∠EDC＝∠BCD（答案不唯一）．【變式2】如圖：請寫出一個條件：∠B＝∠BCD，使AB∥CD．理由是：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【分析】可以寫一個條件內(nèi)錯角∠B＝∠BCD，所以兩直線AB∥CD．【解答】解：可以寫一個條件：∠B＝∠DCE；∵∠B＝∠BCD；∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；故答案為：∠B＝∠BCD．題型03根據(jù)判定條件求值【典例1】如圖，已知∠1＝85°，下列條件能判斷AB∥CD的是（）A．∠2＝75° B．∠3＝85° C．∠3＝95° D．∠4＝95°【分析】根據(jù)平行線的判定條件逐一判斷即可．【解答】解：A、∵∠1＝85°，∠2＝75°，∴∠1≠∠2，∴AB與CD不平行，不符合題意；B、∵∠1＝85°，∠3＝85°，∴∠1+∠3＝170°≠180°，∴AB與CD不平行，不符合題意；C、∵∠1＝85°，∠3＝95°，∴∠1+∠3＝180°，∴AB∥CD，符合題意；D、由∠1＝85°，∠4＝95°無法證明AB∥CD，不符合題意；故選：C．【變式1】如圖是小明探索直線平行的條件時所用的學(xué)具，木條a，b，c在同一平面內(nèi)，經(jīng)測量，要使木條a∥b，∠2＝110°，要使木條a與b平行，則∠1的度數(shù)應(yīng)為（）A．20° B．70° C．110° D．160°【分析】先求出∠2的對頂角的度數(shù)，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行解答．【解答】解：如圖，∵∠2＝110°，∴∠3＝∠2＝110°，∴要使b與a平行，則∠1+∠3＝180°，∴∠1＝180°﹣110°＝70°．故選：B．【變式2】如圖，分別將木條a，b與固定的木條c釘在一起，∠1＝50°，∠2＝80°，順時針轉(zhuǎn)動木條a，下列選項(xiàng)能使木條a與b平行的是（）A．旋轉(zhuǎn)30° B．旋轉(zhuǎn)50° C．旋轉(zhuǎn)80° D．旋轉(zhuǎn)130°【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可求解．【解答】解：在圖中標(biāo)注出∠3，如圖所示：若a∥b，則∠2＝∠3，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2＝50°，故應(yīng)將木條a順時針轉(zhuǎn)動30°．故選：A．【變式3】如圖，將木條a，b與c釘在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是（）A．15° B．25° C．35° D．50°【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行，求出旋轉(zhuǎn)后∠2的同位角的度數(shù)，然后用∠1減去即可得到木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．【解答】解：∵∠AOC＝∠2＝50°時，OA∥b，∴要使木條a與b平行，木條a旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少是85°﹣50°＝35°．故選：C．【變式4】如圖，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和4度/秒的速度同時順時針轉(zhuǎn)動，在射線CD轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，使得CD與AB平行所有滿足條件的時間＝秒或秒．【分析】分①AB與CD在EF的兩側(cè)，分別表示出∠ACD與∠BAC，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行，列式計算即可得解；②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計算即可得解；③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計算即可得解．【解答】解：∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，分三種情況：如圖①，AB與CD在EF的兩側(cè)時，∠ACD＝120°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，要使AB∥CD，則∠ACD＝∠BAC，即120°﹣（4t）°＝110°﹣t°，解得t＝；②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)時，∠DCF＝360°﹣（4t）°﹣60°＝300°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，要使AB∥CD，則∠DCF＝∠BAC，即300°﹣（4t）°＝110°﹣t°，解得t＝；③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)時，∠DCF＝（4t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（4t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°，要使AB∥CD，則∠DCF＝∠BAC，即（4t）°﹣300°＝t°﹣110°，解得t＝﹣，∴此情況不存在．綜上所述，當(dāng)時間t的值為或秒時，CD與AB平行．故答案為：秒或秒．【變式5】如圖，已知∠1＝（3x+24）°，∠2＝（5x+20）°，要使m∥n，那么∠1＝75（度）．【分析】直接利用鄰補(bǔ)角的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)得出答案．【解答】解：如圖所示：∠1+∠3＝180°，∵m∥n，∴∠2＝∠3，∴∠1+∠2＝180°，∴3x+24+5x+20＝180°，解得：x＝17，則∠1＝（3x+24）°＝75°．故答案為：75．題型04平行公理的推論以及判定平行【典例1】如果b∥a，c∥a，那么b∥c．【分析】根據(jù)平行公理推論求解即可．【解答】解：如果b∥a，c∥a，那么b∥c（平行于同一直線的兩直線平行），故答案為：b∥c．【典例2】同一平面內(nèi)三條直線a、b、c，若a⊥b，c⊥b，則a與c的關(guān)系是：a∥c．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)：垂直于同一直線的兩條直線互相平行可知直線a與直線c的關(guān)系是平行．【解答】解：∵a⊥b，c⊥b，∴a∥c．故答案為：a∥c．【變式1】若直線a，b，c，d有下列關(guān)系，則推理正確的是（）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c【分析】根據(jù)平行公理及推論，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、∵a∥b，b∥c，∴c∥a，故A不符合題意；B、∵a∥c，b∥d，∴c與d不一定平行，故B不符合題意；C、∵a∥b，a∥c，∴b∥c，故C符合題意；D、∵a∥b，c∥d，∴a與c不一定平行，故D不符合題意；故選：C．【變式2】a、b、c是直線，下列說法正確的是（）A．若a⊥b，b∥c，則a∥c B．若a⊥b，b⊥c，則a⊥c C．若a∥b，b⊥c，則b∥c D．若a∥b，b∥c，則a∥c【分析】根據(jù)平行公理以及平行線的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：A、在同一平面內(nèi)，若a⊥b，b∥c，則a⊥c，原說法錯誤，不符合題意；B、在同一平面內(nèi)，若a⊥b，b⊥c，則a∥c，原說法錯誤，不符合題意；C、在同一平面內(nèi)，若a∥b，b⊥c，則a⊥c，原說法錯誤，不符合題意；D、若a∥b，b∥c，則a∥c，正確，符合題意．故選：D．【變式3】同一平面內(nèi)有四條直線a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，則c、d的位置關(guān)系為（）A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．沒有確定關(guān)系【分析】作出圖形，根據(jù)平行公理的推論解答．【解答】解：如圖，∵a∥b，a⊥c，∴c⊥b，又∵b⊥d，∴c∥d．故選：B．題型05平行線的判定證明【典例1】如圖，一個彎形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，這時說管道AB∥CD對嗎？為什么？【分析】由已知∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，即∠ABC+∠BCD＝120°+60°＝180°，可得關(guān)于AB∥CD的判定條件：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【解答】解：說管道AB∥CD是對的．理由：∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°∴∠ABC+∠BCD＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．【典例2】直線AB，CD被直線EF所截，∠1＝∠2，直線AB和CD平行嗎？為什么？【分析】根據(jù)對頂角相等可得∠1＝∠3，再根據(jù)∠1＝∠2，可推出∠2＝∠3，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可推出AB∥CD．【解答】解：AB∥CD，理由：∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB∥CD．【典例3】如圖，∠1＝47°，∠2＝133°，∠D＝47°，那么BC與DE平行嗎？AB與CD呢？為什么？【分析】由于∠1＝47°，∠2＝133°，則∠ABC+∠2＝180°，根據(jù)平行線的判定方法得到AB∥CD；然后利用平角的定義計算出∠BCD＝180°﹣133°＝47°，則∠BCD＝∠D，根據(jù)平行線的判定即可得到BC∥DE．【解答】解：BC∥DE，AB∥CD．理由如下：∵∠1＝47°，∠2＝133°，而∠ABC＝∠1＝47°，∴∠ABC+∠2＝180°，∴AB∥CD；∵∠2＝133°，∴∠BCD＝180°﹣133°＝47°，而∠D＝47°，∴∠BCD＝∠D，∴BC∥DE．【變式1】如圖，GH分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，∠AEF＝∠EFD．（1）試寫出AB∥CD的依據(jù)；（2）若ME是∠AEF的平分線，F(xiàn)N是∠EFD的平分線，則EM、FN平行嗎？若平行，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，推出即可；（2）根據(jù)角平分線定義求出∠MEF＝∠NFE，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，推出即可．【解答】（1）證明：∵∠AEF＝∠EFD，∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．（2）EM∥FN，證明：∵M(jìn)E是∠AEF的平分線，F(xiàn)N是∠EFD的平分線，∴∠MEF＝∠AEF，∠NFE＝∠EFD，∵∠AEF＝∠EFD，∴∠MEF＝∠NFE，∴EM∥FN（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【變式2】已知：如圖，直線EF分別與直線AB，CD相交于點(diǎn)P，Q，PM垂直于EF，∠1+∠2＝90°．求證：AB∥CD．【分析】先根據(jù)垂直的定義可得∠APQ+∠2＝90°，再結(jié)合∠1+∠2＝90°可得∠APQ＝∠1，然后根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”即可證明結(jié)論．【解答】證明：∵PM⊥EF（已知），∴∠APQ+∠2＝90°（垂直定義）．∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠APQ＝∠1（同角的余角相等），∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【變式3】已知：如圖，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于點(diǎn)G．求證：AB∥CD．【分析】先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C＝∠2，從而證得AB∥CD．【解答】證明：∵BE⊥FD，∴∠EGD＝90°，∴∠1+∠D＝90°，又∠2和∠D互余，即∠2+∠D＝90°，∴∠1＝∠2，又已知∠C＝∠1，∴∠C＝∠2，∴AB∥CD．1．下列畫出的直線a與b不一定平行的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可解答．【解答】解：A．直線a與b不一定平行，故本選項(xiàng)符合題意；B．根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可得a∥b，故本選項(xiàng)不符合題意；C．根據(jù)平行線的定義可得a∥b，故本選項(xiàng)不符合題意；D．根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得a∥b，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．2．如圖，點(diǎn)E在AC的延長線上，下列條件中能判斷AB∥CD的是（）A．∠3＝∠4 B．∠D+∠ACD＝180° C．∠D＝∠DCE D．∠1＝∠2【分析】根據(jù)平行線的判定定理分別進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、∠3＝∠4可判斷DB∥AC，故此選項(xiàng)錯誤；B、∠D+∠ACD＝180°可判斷DB∥AC，故此選項(xiàng)錯誤；C、∠D＝∠DCE可判斷DB∥AC，故此選項(xiàng)錯誤；D、∠1＝∠2可判斷AB∥CD，故此選項(xiàng)正確；故選：D．3．如圖，下列四組條件中，能判斷AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠ABC+∠BCD＝180° D．∠BAD+∠ABC＝180°【分析】根據(jù)平行線的判定方法一一判斷即可．【解答】解：∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD．故選：C．4．蜂房的頂部由三個全等的四邊形圍成，每個四邊形的形狀如圖所示，其中∠α＝109°28′，∠β＝70°32′．則這個四邊形對邊的位置關(guān)系為（）A．平行 B．相等 C．垂直 D．不能確定【分析】先計算兩角的和得180°，再根據(jù)平行線判定定理“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”即可得出這個四邊形對邊的位置關(guān)系．正確識別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是正確答題的關(guān)鍵．【解答】解：如圖標(biāo)字母，∵∠BAD＝∠α＝109°28′，∠ADC＝∠β＝70°32′∴∠BAD+∠ADC＝∠α+∠β＝109°28′+70°32′＝179°60′＝180°，∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）∵∠BAD＝∠α＝109°28′，∠ABC＝∠β＝70°32′∴∠BAD+∠ABC＝∠α+∠β＝109°28′+70°32′＝179°60′＝180°，∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．故選：A．5．如圖所示，由下列條件能判定AB∥CD的是（）A．∠BAC＝∠DAC B．∠DAC＝∠ACB C．∠BAC＝∠DCA D．∠D+∠DCB＝180°【分析】根據(jù)平行線的判定定理判斷求解即可．【解答】解：由∠BAC＝∠DAC，不能判定AB∥CD，故A不符合題意；∵∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC，故B不符合題意；∵∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，故C符合題意；∵∠D+∠DCB＝180°，∴AD∥BC，故D不符合題意；故選：C．6．如圖所示，下列條件中，能判斷AB∥CD的是（）A．∠BAD＝∠BCD B．∠1＝∠2 C．∠BAC＝∠ACD D．∠3＝∠4【分析】兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A．根據(jù)∠BAD＝∠BCD，不能判斷AB∥CD；B．根據(jù)∠1＝∠2，只能判斷AD∥BC；C．根據(jù)∠BAC＝∠ACD，能判斷AB∥CD；D．根據(jù)∠3＝∠4，不能判斷AB∥CD；故選：C．7．如圖，固定木條b、c，使∠1＝80°，旋轉(zhuǎn)木條a，要使得a∥b，則∠2應(yīng)調(diào)整為（）A．70° B．80° C．90° D．100°【分析】根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，求出∠2的度數(shù)即可．【解答】解：要使得a∥b，則需滿足∠1+∠2＝180°，∵∠1＝80°，∴∠2＝100°，故選：D．8．如圖，下列推理不正確的是（）A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC C．∵∠3＝∠4，∴AD∥BC D．∵∠4＝∠5，∴AB∥CD【分析】根據(jù)平行線的判定定理判斷求解即可．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故A正確，不符合題意；∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故B不正確，符合題意；∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，故C正確，不符合題意；∵∠4＝∠5，∴AB∥CD，故D正確，不符合題意；故選：B．9．在同一平面內(nèi)，將兩個完全相同的三角板按如圖擺放，可以畫出兩條互相平行的直線l1與l2這樣畫的依據(jù)是（）A．內(nèi)錯角相等，兩直線平行 B．同位角相等，兩直線平行 C．兩直線平行，同位角相等 D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等【分析】根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，即可解答．【解答】解：在同一平面內(nèi)，將兩個完全相同的三角板按如圖擺放，可以畫出兩條互相平行的直線l1與l2這樣畫的依據(jù)是：內(nèi)錯角相等，兩直線平行，故選：A．10．下列說法正確的是（）A．a(chǎn)、b、c是直線，若a⊥b，b∥c，則a∥c B．a(chǎn)、b、c是直線，若a⊥b，b⊥c，則a⊥c C．a(chǎn)、b、c是直線，若a∥b，b⊥c，則a∥c D．a(chǎn)、b、c是直線，若a∥b，b∥c，則a∥c【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定逐個判斷即可．【解答】解：A、∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c，故本選項(xiàng)錯誤；B、在同一平面內(nèi)，當(dāng)a⊥b，b⊥c時，a∥c，故本選項(xiàng)錯誤；C、當(dāng)a∥b，b⊥c時，a⊥c，故本選項(xiàng)錯誤；D、當(dāng)a∥b，b∥c時，a∥c，故選項(xiàng)正確；故選：D．11．如圖，點(diǎn)E在AC的延長線上，請?zhí)砑右粋€恰當(dāng)?shù)臈l件∠1＝∠2（答案不唯一），使AB∥CD．【分析】利用平行線的判定定理進(jìn)行分析即可．【解答】解：當(dāng)∠1＝∠2時，利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行可判定AB∥CD；當(dāng)∠A＝∠DCE時，利用同位角角相等，兩直線平行可判定AB∥CD；當(dāng)∠A+∠ACD＝180°時，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可判定AB∥CD；當(dāng)∠ABD+∠D＝180°時，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可判定AB∥CD；故答案為：∠1＝∠2（答案不唯一）．12．三個完全相同的含30°角的三角板如圖擺放，可以判斷AB與EC平行的理由是同位角相等，兩直線平行（答案不唯一）．【分析】根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”求解即可．【解答】解：∵∠ACB＝60°，∠ACE＝90°，∠ECD＝30°，∴∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°，∴B、C、D在一條直線上，∵∠B＝30°＝∠ECD，∴AB∥EC（同位角相等，兩直線平行），故答案為：同位角相等，兩直線平行（答案不唯一）．13．如圖，下列條件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2+∠4＝180°中，能判斷直線l1∥l2的有3個．【分析】根據(jù)平行線的判斷方法，可以判斷出各個小題中的條件是否可以得到直線l1∥l2，從而可以解答本題．【解答】解：∵∠1＝∠3，∴l(xiāng)1∥l2，故①符合題意；當(dāng)∠2＝∠3時，無法判斷l(xiāng)1∥l2，故②不符合題意；∵∠4＝∠5，∴l(xiāng)1∥l2，故③符合題意；∵∠2+∠4＝180°，∴l(xiāng)1∥l2，故④符合題意；故答案為：3．14．如圖，在下列四組條件中：①∠1＝∠2，②∠3＝∠4，③∠BAD+∠ABC＝180°，④∠BAC＝∠ACD，能判定AD∥BC的是①②③．【分析】根據(jù)平行線的判定，逐一