5.1 常量與變量（解析版）

5.1常量與變量1.了解常量、變量的概念，體驗(yàn)在一個(gè)過(guò)程中常量與變量相對(duì)地存在.2.能在簡(jiǎn)單的過(guò)程中辨別常量與變量.知識(shí)點(diǎn)一常量和變量在一個(gè)變化過(guò)程中,我們稱(chēng)數(shù)值發(fā)生變化的量為變量,數(shù)值始終不變的量為常量.注意：變量和常量是相對(duì)而言的，判斷的前提是“在同一個(gè)變化過(guò)程中”.當(dāng)變化過(guò)程改變時(shí)，同一個(gè)量的身份也可能隨之改變；“常量”是已知數(shù),是指在整個(gè)變化過(guò)程中保持不變的量,不能認(rèn)為式中出現(xiàn)的字母就是變量,如在一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)中的速度v就是一個(gè)常量;判斷一個(gè)量是不是變量,關(guān)鍵是看在變化過(guò)程中其數(shù)值是否發(fā)生變化;變量、常量與字母的指數(shù)沒(méi)有關(guān)系,如S=r2中,變量是“S和“r”（不能說(shuō)r2）,常量是“n”.指出一個(gè)變化過(guò)程中的常量時(shí),必須連同它前面的符號(hào)一起寫(xiě)出.即學(xué)即練球的體積是M，球的半徑為R，則M=43πRA．變量是M，R；常量是43π B．變量是R，π；常量是C．變量是M，π；常量是3，4，π D．變量是M，R；常量是M【答案】A【分析】根據(jù)變量和常量的定義：在一個(gè)變化的過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱(chēng)為變量；數(shù)值始終不變的量稱(chēng)為常量，根據(jù)常量和變量的概念解答即可．【詳解】球的體積是M，球的半徑為R，則M=4其中變量是M，R；常量是43故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了常量和變量，掌握概念是解題的關(guān)鍵．題型1常量與變量例1每張電影票的售價(jià)為10元，某日共售出x張票，票房收入為y元，在這一問(wèn)題中，是常量，是變量．【答案】電影票的售價(jià)電影票的張數(shù)，票房收入．【分析】根據(jù)常量，變量的定義進(jìn)行填空即可．【詳解】解：常量是電影票的售價(jià)，變量是電影票的張數(shù)，票房收入，故答案為電影票的售價(jià)；電影票的張數(shù)，票房收入．【點(diǎn)睛】本題考查了常量和變量，掌握常量和變量的定義是解題的關(guān)鍵．舉一反三1購(gòu)買(mǎi)單價(jià)為每支2元的圓珠筆，總金額y（元）與鉛筆數(shù)n（支）的關(guān)系式可表示為y=，其中，是變量．【答案】2nn、y【分析】由總價(jià)等于單價(jià)乘以數(shù)量可得函數(shù)解析式，從而可得答案．【詳解】解：由題意得：y=2n.其中n是自變量，y是因變量．故答案為：2n【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)的定義，考查對(duì)變量的理解，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．舉一反三2（2022秋·安徽·八年級(jí)期末）下圖是某地區(qū)一天的氣溫隨時(shí)間變化的圖象：(1)圖中的變量是什么？(2)氣溫在哪段時(shí)間是下降的？(3)最高氣溫和最低氣溫分別是多少攝氏度？【答案】(1)時(shí)間t小時(shí)與溫度T°C；(2)0≤t≤4或14≤t≤22時(shí)間內(nèi)(3)最高溫度8°C，最低溫度為-2°C【分析】（1）根據(jù)橫軸與縱軸得出變量；（2）根據(jù)圖像從左上到右下變化為下降，找出圖像上起點(diǎn)與終點(diǎn)即可；（3）從函數(shù)圖像找出最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)，與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可【詳解】（1）解：圖中的變量是時(shí)間t小時(shí)與溫度T°C；（2）解：在0≤t≤4或14≤t≤22時(shí)間內(nèi)溫度下降；（3）最高溫度8°C，最低溫度為-2°C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像獲取信息與處理信息，變量與常量，圖像的下降變化范圍，最值，掌握從函數(shù)圖像獲取信息與處理信息方法是解題關(guān)鍵，題型2用表格表示變量間的關(guān)系例2小穎在網(wǎng)上獲取了聲音在空氣中傳播的速度與空氣溫度的關(guān)系的一些數(shù)據(jù)并制成如下表格，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是：溫度聲速A．在這個(gè)變化中，自變量是溫度，因變量是聲速B．在范圍內(nèi)，溫度越高，聲速越快C．溫度每開(kāi)高，聲速提高D．當(dāng)空氣溫度為時(shí)，聲音在內(nèi)可傳傳【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的含義和表格中給出的規(guī)律逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：A、溫度的變化決定了聲速的變化，故正確，不符合題意；B、由表中的數(shù)據(jù)分析可知，在范圍內(nèi)，聲速隨著溫度的增加而加快，故正確，不符合題意；C、由表中的數(shù)據(jù)分析可知，溫度每升高10°C，聲速提高，故錯(cuò)誤，符合題意；D、當(dāng)空氣溫度為時(shí)，聲音在內(nèi)可傳播，故正確，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的表示方法，正確分析表中各數(shù)據(jù)反映出的規(guī)律是解題關(guān)鍵．舉一反三1彈簧掛上物體后會(huì)伸長(zhǎng)，測(cè)得一彈簧的長(zhǎng)度與所掛物體質(zhì)量之間有如下關(guān)系（其中）0123451010.51111.51212.5下列說(shuō)法不正確的是（

）A．與都是變量，且是自變量，是因變量B．彈簧不掛重物時(shí)的長(zhǎng)度為C．所掛物體質(zhì)量每增加，彈簧長(zhǎng)度增加D．所掛物體質(zhì)量為時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為【答案】D【分析】根據(jù)變量與常量，用表格表示變量之間的關(guān)系，結(jié)合表格中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．x與y都是變量，且x是自變量，y是因變量，是正確的，因此該選項(xiàng)不符合題意；B．彈簧不掛重物時(shí)的長(zhǎng)度，即當(dāng)時(shí)y的值，此時(shí)，是正確的，因此該選項(xiàng)不符合題意；C．物體質(zhì)量x每增加，彈簧長(zhǎng)度增加，是正確的，因此該選項(xiàng)不符合題意；D．根據(jù)物體質(zhì)量x每增加，彈簧長(zhǎng)度增加，可得出所掛物體質(zhì)量為時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為，原選項(xiàng)錯(cuò)誤，因此該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查常量與變量，用表格表示變量之間的關(guān)系，理解和發(fā)現(xiàn)表格中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．舉一反三2某水果店每天售出某種水果的數(shù)量（單位：千克）與該水果的售價(jià)（單位：元/千克）之間的關(guān)系如下表所示，由表可知，當(dāng)售價(jià)為2.2元/千克時(shí)，每天能售出千克．售價(jià)（元/千克）1.51.61.71.81.92.0…數(shù)量（千克）201918171615…【答案】13【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知：售價(jià)每增加元/千克，數(shù)量就減少1千克，據(jù)此列式解答即可．【詳解】解：由表可知，當(dāng)售價(jià)為2.2元/千克時(shí)，每天能售出（千克）；故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查了用表格表示變量之間的關(guān)系，得出售價(jià)每增加元/千克，數(shù)量就減少1千克是解題的關(guān)鍵．題型3用關(guān)系式表示變量間的關(guān)系例3在圓的面積計(jì)算公式中，表示半徑，則變量是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查常量與變量，在圓的面積計(jì)算公式中，π是圓周率，是常數(shù)，變量為S，r．解題關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的面積S隨半徑的變化而變化．【詳解】在圓的面積計(jì)算公式中，π是圓周率，是常數(shù)，變量為S，r．故選：B．舉一反三1一列火車(chē)從A站行駛3公里到B處以后，以每小時(shí)120公里的速度前進(jìn)．則離開(kāi)B處t小時(shí)后，火車(chē)離A站的路程s與時(shí)間t的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是理解路程、速度、時(shí)間之間的關(guān)系．【詳解】解：火車(chē)離A站的距離等于先行的3公里，加上后來(lái)t小時(shí)行駛的距離可得：，故選：A．舉一反三2某超市銷(xiāo)售一種飲料，每瓶進(jìn)價(jià)為3元，當(dāng)售價(jià)為5元時(shí)，每天可賣(mài)出100瓶，據(jù)調(diào)查若每瓶售價(jià)每漲0.5元，每天銷(xiāo)量減少5瓶．設(shè)每瓶定價(jià)為x元，每天利潤(rùn)為y元，則下列表達(dá)式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了列函數(shù)表達(dá)式．設(shè)每瓶定價(jià)為元，根據(jù)題意表示出每瓶利潤(rùn)，日銷(xiāo)售量，根據(jù)等量關(guān)系列出表達(dá)式即可．【詳解】解：設(shè)每瓶定價(jià)為元，則每天可賣(mài)出瓶，根據(jù)題意得：，故選：B．題型4用圖象表示變量間的關(guān)系例4在年的卡塔爾世界杯中，阿根廷守門(mén)員馬丁內(nèi)斯表現(xiàn)突出，他大腳開(kāi)出去的球的高度與球在空中運(yùn)行時(shí)間的關(guān)系，用圖象描述大致是如圖中的（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由題意可知，踢出去的足球先上向上運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)后向下運(yùn)動(dòng)，據(jù)此即可判斷出答案【詳解】解：足球守門(mén)員馬丁內(nèi)斯大腳開(kāi)出去的球，踢出去的足球先上向上運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最高點(diǎn)后向下運(yùn)動(dòng)，即高度h先越來(lái)越大，再越來(lái)越小，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了用圖象表示變量之間的關(guān)系，解題關(guān)鍵是了解兩個(gè)變量之間的關(guān)系，解決此類(lèi)題目還應(yīng)有一定的生活經(jīng)驗(yàn)．舉一反三1水滴進(jìn)玻璃容器（滴水速度相同）實(shí)驗(yàn)中，水的高度隨滴水時(shí)間變化的情況（下左圖），下面符合條件的示意圖是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】判斷各容器的水的高度隨時(shí)間上升的快慢進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：根據(jù)圖象，水的高度隨滴水時(shí)間變化，先上升的快，后上升的慢，選項(xiàng)A、B、C中容器上下粗細(xì)均勻，水的高度隨滴水時(shí)間變化，上升速度一致，不符合題意；選項(xiàng)D中容器下細(xì)上粗，水的高度隨滴水時(shí)間變化，先上升的快，后上升的慢，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查用圖象表示變量間的關(guān)系，從圖象中得到水的高度隨時(shí)間上升的快慢以及各容器的結(jié)構(gòu)是解答的關(guān)鍵．舉一反三2如圖，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著弧線，線段，勻速運(yùn)動(dòng)到A，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t時(shí)，的長(zhǎng)為s，則s與t的關(guān)系可以用圖象大致表示為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】分別判斷出點(diǎn)P在弧線上時(shí)，點(diǎn)P在線段上時(shí)，點(diǎn)P在線段上時(shí)，的變化情況，然后可得答案．【詳解】解：點(diǎn)P在弧線上時(shí)，的長(zhǎng)不變；當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的長(zhǎng)逐漸變小；當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的長(zhǎng)逐漸變大；所以D選項(xiàng)的圖象符合．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了用圖象表示變量間的關(guān)系，理清點(diǎn)P在各邊時(shí)長(zhǎng)度的變化情況是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．如圖是夢(mèng)夢(mèng)在超市購(gòu)買(mǎi)蘋(píng)果的銷(xiāo)售標(biāo)簽，則在單價(jià)、重量、總價(jià)的關(guān)系中，常量是（

）蘋(píng)果單價(jià)：5.60元/千克重量：2.8千克總價(jià)：15.68元A．單價(jià) B．重量 C．總價(jià) D．重量和總價(jià)【答案】A【分析】本題考查了常量與變量，理解保持不變的量稱(chēng)為常量，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由于重量與總價(jià)是一個(gè)量隨另一個(gè)量的變化而變化的，只有單價(jià)是不變的，所以單價(jià)5.60元/千克是常量．故選：A．2．圓的周長(zhǎng)C厘米與圓的半徑r厘米之間的關(guān)系式為，在這個(gè)關(guān)系中，變量為(

)A．C，π，r B．π，r C．C，π D．C，r【答案】D【分析】在一個(gè)變化的過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱(chēng)為變量，由此即可判斷．【詳解】解：圓的周長(zhǎng)公式是：，那么在這個(gè)公式中，變量是C，r．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查常量與變量，關(guān)鍵是掌握常量與變量的定義．3．劉老師到加油站加油，如圖，這是他所用的加油機(jī)上某一時(shí)刻的數(shù)據(jù)顯示牌，則其中的常量是（

）

A．金額 B．單價(jià) C．?dāng)?shù)量 D．金額和數(shù)量【答案】B【分析】根據(jù)常量和變量的定義即可求解．【詳解】解：∵常量是固定不變的量，變量是變化的量，∴單價(jià)是不變的量，而金額隨著數(shù)量的變化而變化，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查常量和變量，正確理解常量與變量的定義是解題的關(guān)鍵．4．睡覺(jué)前小紅在浴缸內(nèi)緩緩放入溫水，10分鐘后關(guān)閉水龍頭，小紅洗澡時(shí)浴缸里的水還是溢出了一些，23分鐘后泡澡結(jié)束，小紅離開(kāi)浴缸．下面正確反映出浴缸水位變化情況的圖是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)分鐘，浴缸水位上升，分鐘，浴缸水位保持不變，分鐘后，水位略下降，進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，分鐘，浴缸水位上升，分鐘，浴缸水位保持不變，分鐘后，水位略下降，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了用圖象表示變量間的關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于理解題意．5．下列各圖象中，y不是x的函數(shù)的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由函數(shù)的概念可知，在變化過(guò)程兩個(gè)變量x、y，如果給x一個(gè)值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么y是x的函數(shù)；接下來(lái)對(duì)題目中給出的四個(gè)選項(xiàng)的圖象進(jìn)行判斷，即可得到y(tǒng)不是x的函數(shù)的圖象．【詳解】解：選項(xiàng)A，根據(jù)圖象，當(dāng)時(shí)，y有兩個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，因此不是函數(shù)，符合題目要求．選項(xiàng)B、C、D，根據(jù)圖象，每一個(gè)x的值，都有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)，因此是函數(shù)，不符合題目要求．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的概念是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)函數(shù)的定義可知x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，根據(jù)上述特點(diǎn)即可進(jìn)行判斷出正確選項(xiàng)．二、填空題6．一個(gè)彈簧秤不掛重物時(shí)長(zhǎng)，掛上重物后伸長(zhǎng)的長(zhǎng)度與所掛重物的質(zhì)量成正比．如果掛上的物體后，彈簧伸長(zhǎng)，則彈簧總長(zhǎng)（單位：cm）與所掛重物質(zhì)量（單位：kg）的函數(shù)解析式是．【答案】【分析】此題考查函數(shù)解析式問(wèn)題．根據(jù)題意可知，彈簧總長(zhǎng)度與所掛物體質(zhì)量之間符合一次函數(shù)關(guān)系，從而可求解．【詳解】解：由題意得，彈簧總長(zhǎng)y（單位：）關(guān)于所掛重物x（單位：）的函數(shù)關(guān)系式為，故答案為：．7．如果每盒圓珠筆有12支，每盒的售價(jià)是18元，那么圓珠筆的總售價(jià)y（元）與數(shù)量x（支）之間的函數(shù)關(guān)系式為．【答案】【分析】本題主要考查用變量間的關(guān)系列函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系．根據(jù)題意先求出圓珠筆的單價(jià)，根據(jù)售價(jià)的單價(jià)數(shù)量即可列出函數(shù)解析式；【詳解】根據(jù)題意可知圓珠筆的單價(jià)為(元)，根據(jù)售價(jià)單價(jià)數(shù)量可得．故答案為：．8．聲音在空氣中的傳播速度與溫度的關(guān)系如下表所示：溫度05101520傳播速度331334337340343則傳播速度與溫度之間的關(guān)系式為．【答案】【分析】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，分析表格中的數(shù)據(jù)可得溫度每升高，聲音的傳播速度增快，由此即可得到答案．【詳解】解：由表格的數(shù)據(jù)可得：溫度每升高，聲音的傳播速度增快，傳播速度與溫度之間的關(guān)系式為，故答案為：．9．一水池現(xiàn)蓄水，用水管以的速度向水池中注水，則水池蓄水量與注水時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式是．【答案】/【分析】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)“水池蓄水量”“原有水量”和“注入水量”之間的關(guān)系進(jìn)行解答即可．【詳解】解：根據(jù)水池蓄水量等于原有水量加注入水量可得：，故答案為：．10．小明想了解一根彈簧的長(zhǎng)度是如何隨所掛物體質(zhì)量的變化而變化的，他把這根彈簧的上端固定，在其下端懸掛物體，如表是小明測(cè)得的彈簧的長(zhǎng)度y（cm）與所掛物體質(zhì)量x（kg）的幾組對(duì)應(yīng)值．所掛物體質(zhì)量012345彈簧長(zhǎng)度151821242730請(qǐng)寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式為．（不需要考慮自變量x的取值范圍）【答案】【分析】根據(jù)表格中，彈簧的起始長(zhǎng)度為，所掛物體質(zhì)量每增加，彈簧長(zhǎng)度增加，即可求出與的關(guān)系式．【詳解】解：根據(jù)表格可知，物體質(zhì)量每增加，長(zhǎng)度增加了，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，理解給定表格中各組數(shù)據(jù)的含義是解題的關(guān)鍵．三、問(wèn)答題11．按如圖所示的方式擺放餐桌和椅子，1張餐桌擺6把椅子，2張餐桌擺10把椅子，3張餐桌擺14把椅子…，其中餐桌的數(shù)量用（張）表示，椅子的數(shù)量用（把）表示，椅子的數(shù)量隨著餐桌數(shù)量的變化而變化．

(1)題中反映了哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系？哪個(gè)是自變量？哪個(gè)是因變量？(2)請(qǐng)寫(xiě)出椅子的數(shù)量（把）和餐桌的數(shù)量（張）之間的關(guān)系式；(3)按如圖所示的方式擺放餐桌和椅子，能否剛好坐80人？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)題中反映了餐桌的數(shù)量和椅子的數(shù)量之間的關(guān)系，其中餐桌的數(shù)量是自變量，椅子的數(shù)量是因變量(2)(3)不能剛好坐80人，理由見(jiàn)解析【分析】（